ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบรา (Lie superalgebra)คือการขยายความของพีชคณิตลี (Lie algebra)เพื่อให้รวมถึงการจัดระดับ ( grading ) ด้วย พีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบรามีความสำคัญในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีโดยใช้ในการอธิบายคณิตศาสตร์ของสมมาตรยิ่งยวด (supersymmetry ) ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

แนวคิดของการจัดระดับที่ใช้ในที่นี้แตกต่างจากการจัดระดับที่สองที่มีต้นกำเนิดทางโคฮอโมโลยี พีชคณิตลีแบบจัดระดับ (เช่น จัดระดับโดยหรือ) ที่เป็นปฏิการสลับที่และมีเอกลักษณ์จาโคบี แบบจัดระดับ ก็มีการจัดระดับเช่นกัน นี่คือการ "ม้วน" พีชคณิตออกเป็นส่วนคี่และส่วนคู่ การม้วนนี้โดยปกติจะไม่เรียกว่า "ซูเปอร์" ดังนั้น พีชคณิตลีซูเปอร์แบบจัดระดับจึงมีการจัดระดับคู่หนึ่งซึ่งอันหนึ่งเป็นแบบสมมาตรยิ่งยวด และอีกอันเป็นแบบคลาสสิก ปิแอร์ เดลิญเรียกแบบสมมาตรยิ่งยวดว่าการจัดระดับซูเปอร์และแบบคลาสสิกว่าการจัดระดับโคฮอโมโลยี การจัดระดับทั้งสองนี้ต้องเข้ากันได้ และมักมีความเห็นไม่ตรงกันว่าควรพิจารณาอย่างไร^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

ในทางทฤษฎีแล้ว พีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบรา คือพีชคณิตแบบ Z²-เกรด_ที่ไม่เชื่อม โยงกัน หรือซูเปอร์แอลเจบราบนวงแหวนสลับที่ (โดยทั่วไปคือRหรือC ) ซึ่งผลคูณ [·, ·] เรียกว่าลีซูเปอร์แบร็กเก็ตหรือซูเปอร์คอมมิวเทเตอร์ เป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อ (ซึ่งเป็นอนาล็อกของสัจพจน์ พีชคณิตลีทั่วไปพร้อมการจัดระดับ):

สมมาตรเฉียงขั้นสูง:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

เอกลักษณ์ Jacobi ขั้นสูง: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

โดยที่x , yและzเป็นจำนวนบริสุทธิ์ใน ระบบการจัด _{ระดับ}Z²ในที่นี้ | x | หมายถึงดีกรีของx (0 หรือ 1) ดีกรีของ [x,y] คือผลรวมของดีกรีของ x และ y มอดูล 2

บางครั้งเราอาจเพิ่มสัจพจน์สำหรับ | x | = 0 (ถ้า 2 สามารถผกผันได้ เงื่อนไขนี้จะตามมาโดยอัตโนมัติ) และสำหรับ | x | = 1 (ถ้า 3 สามารถผกผันได้ เงื่อนไขนี้จะตามมาโดยอัตโนมัติ) เมื่อวงแหวนพื้นฐานเป็นจำนวนเต็มหรือพีชคณิตลีซูเปอร์แอลจีบราเป็นโมดูลอิสระ เงื่อนไขเหล่านี้จะเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ทฤษฎีบทปวงกาเร-เบียร์คอฟ-วิตต์เป็นจริง (และโดยทั่วไปแล้ว เงื่อนไขเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการที่ทฤษฎีบทจะเป็นจริง) ${\displaystyle [x,x]=0}$${\displaystyle [[x,x],x]=0}$

เช่นเดียวกับพีชคณิตลีพีชคณิตห่อหุ้มสากลของซูเปอร์พีชคณิตลีสามารถกำหนดโครงสร้าง พีชคณิตฮอปฟ์ ได้

พีชคณิตลีซูเปอร์ปรากฏในฟิสิกส์ในหลายรูปแบบ ในสมมาตรยิ่งยวด แบบดั้งเดิม สมาชิกคู่ของพีชคณิตซูเปอร์จะสอดคล้องกับโบซอนและสมาชิกคี่ จะสอดคล้องกับ เฟอร์มิออนซึ่งสอดคล้องกับวงเล็บที่มีระดับเป็นศูนย์:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในซูเปอร์สมมาตร BRSTและในรูปแบบ Batalin–Vilkoviskyนั้นเป็นไปในทางตรงกันข้าม ซึ่งสอดคล้องกับวงเล็บที่มีระดับชั้นเป็น -1:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

ความแตกต่างนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษเมื่อพีชคณิตมีผลคูณแบบสลับลำดับชั้น ไม่เพียงหนึ่ง แต่มีสองแบบ นอกจากวงเล็บ Lie แล้ว อาจมีผลคูณ "ธรรมดา" อีกด้วย ซึ่งทำให้เกิดซูเปอร์พีชคณิต Poissonและพีชคณิต Gerstenhaberการจัดลำดับชั้นดังกล่าวพบได้ในทฤษฎีการเปลี่ยนรูป ด้วยเช่น กัน

ให้เป็นพีชคณิตซูเปอร์ลี จากการตรวจสอบเอกลักษณ์ของจาโคบี จะเห็นว่ามีแปดกรณีขึ้นอยู่กับว่าอาร์กิวเมนต์เป็นเลขคู่หรือเลขคี่ กรณีเหล่านี้แบ่งออกเป็นสี่คลาส โดยกำหนดดัชนีตามจำนวนองค์ประกอบเลขคี่: ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$

1. ไม่มีองค์ประกอบแปลกปลอม ข้อความดังกล่าวเป็นเพียงพีชคณิตลีธรรมดา เท่านั้น${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$
2. มีองค์ประกอบที่แปลกประหลาดอยู่อย่างหนึ่ง นั่นคือโมดูลสำหรับการกระทำนั้น${\displaystyle {\mathfrak {g}__{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$
3. องค์ประกอบแปลกสองอย่าง เอกลักษณ์ของจาโคบีกล่าวว่าวงเล็บเป็นการแมปแบบสมมาตร${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$
4. องค์ประกอบแปลกประหลาดสามอย่าง สำหรับทั้งหมด, .${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$

ดังนั้น พีชคณิตย่อยคู่ของพีชคณิตลีซูเปอร์จึงก่อให้เกิดพีชคณิตลี (ปกติ) เนื่องจากเครื่องหมายทั้งหมดหายไป และซูเปอร์แบร็กเก็ตกลายเป็นแบร็กเก็ตลีปกติ ในขณะที่เป็นการแสดงเชิงเส้นของและมีแผนที่เชิงเส้นสมมาตร - equivariant อยู่ เช่นนั้น ${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

เงื่อนไข (1)–(3) เป็นเชิงเส้นและสามารถเข้าใจได้ทั้งหมดในแง่ของพีชคณิต Lie ทั่วไป เงื่อนไข (4) เป็นแบบไม่เชิงเส้น และเป็นเงื่อนไขที่ยากที่สุดที่จะตรวจสอบเมื่อสร้างพีชคณิต Lie ซูเปอร์โดยเริ่มจากพีชคณิต Lie ทั่วไป ( ) และการแสดงแทน ( ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{1}}$

พีชคณิตLie superalgebraคือพีชคณิต Lie superalgebra เชิงซ้อนที่มี แผนที่ แอนติลิเนียร์แบบผกผันจากตัวมันเองไปยังตัวมันเอง ซึ่งเคารพ การจัดระดับ Z ₂และสอดคล้องกับ [ x , y ] ^*  = [ y ^* , x ^* ] สำหรับทุกxและyในพีชคณิต Lie superalgebra (ผู้เขียนบางคนนิยมใช้แบบแผน [ x , y ] ^*  = (−1) ^{| x || y |} [ y ^* , x ^* ]; การเปลี่ยน * เป็น −* จะสลับระหว่างแบบแผนทั้งสอง) พีชคณิตห่อหุ้มสากล ของมัน จะเป็นพีชคณิต^*ธรรมดา ${\displaystyle *}$

เมื่อกำหนดซูเปอร์แอลเจบราแบบสมาคม ใดๆ เราสามารถกำหนดซูเปอร์คอมมิวเทเตอร์บนองค์ประกอบเอกพันธุ์ได้โดย ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

จากนั้นขยายโดยใช้ความเป็นเส้นตรงไปยังองค์ประกอบทั้งหมด พีชคณิตพร้อมกับซูเปอร์คอมมิวเทเตอร์จะกลายเป็นพีชคณิตซูเปอร์ลี ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของกระบวนการนี้อาจเป็นเมื่อเป็นปริภูมิของฟังก์ชันเชิงเส้นทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์ไปยังตัวมันเอง เมื่อ ปริภูมินี้จะ ^ถูกแทนด้วยหรือ^{[ 4} ] ด้วยวงเล็บลีตามข้างต้น ปริภูมิจะถูกแทนด้วย^{[ 5 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$${\displaystyle M^{p|q}}$${\displaystyle M(p|q)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$

พีชคณิตปัวซง ( Poisson algebra)คือพีชคณิตแบบสมาคม (associative algebra) ร่วมกับวงเล็บลี (Lie bracket) ถ้าหากพีชคณิตนี้ได้รับ การจัดระดับแบบ Z² _(Z² -grading) โดยที่วงเล็บลีกลายเป็นวงเล็บลีชั้นสูง (Lie superbracket) ก็จะได้พีชคณิตปัวซง ชั้นสูง (Poisson superalgebra ) และถ้าหากผลคูณแบบสมาคมนั้นมีคุณสมบัติสลับที่ได้มากกว่า (supercommutative ) ก็จะได้พีชคณิตปัวซงชั้นสูงแบบสลับที่ได้มากกว่า (supercommutative Poisson superalgebra)

ผลคูณไวท์เฮดบนกลุ่มโฮโมโทปีให้ตัวอย่างมากมายของซูเปอร์อัลเจบราลีเหนือจำนวนเต็ม

พีชคณิตซูเปอร์ปวงกาเรสร้างไอโซเมตรีของซูเปอร์สเปซ แบบ ราบ

ซูเปอร์อัลเจบรา Lie เชิงซ้อนแบบง่ายที่มีมิติจำกัดได้รับการจำแนกประเภทโดยVictor Kac

ได้แก่ (ไม่รวมพีชคณิต Lie): ^{[ 6 ]}

ซู เปอร์แอ ลเจบราเชิงเส้นลีพิเศษ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$

ซูเปอร์อัลเจบราของ Lie คือซับอัลเจบราของที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีร่องรอยซูเปอร์เป็นศูนย์ มันจะเรียบง่ายเมื่อถ้าแล้วเมทริกซ์เอกลักษณ์จะสร้างไอเดียล การหารไอเดียลนี้ออกไปจะนำไปสู่ ​​ซึ่งจะเรียบง่ายสำหรับ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$${\displaystyle m\not =n}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle I_{2m}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$${\displaystyle m\geq 2}$

พีชคณิตซูเปอร์ลีออร์โธซิมเพล็ก ติก ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$

พิจารณาฟอร์มทวิเชิงเส้นคู่ที่ไม่เสื่อมสภาพและสมมาตรยิ่งยวดบนแล้วพีชคณิตลีซูเปอร์ออร์โธซิมเพล็กติกคือพีชคณิตย่อยของ ที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่ทำให้ฟอร์มนี้ไม่เปลี่ยนแปลง: ส่วนคู่ของมันกำหนดโดย ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$$${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$

พีชคณิตลีขั้นสูงอันยอด เยี่ยม ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$

มีตระกูลของ Lie superalgebras มิติ (9∣8) ที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงรูปทรงของถ้าและแล้ว D(2,1,α) จะเป็น simple ยิ่งไปกว่านั้นถ้าและ อยู่ภายใต้วงโคจร เดียวกัน ภายใต้แผนที่และ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$${\displaystyle \alpha \not =0}$${\displaystyle \alpha \not =-1}$${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$

พีชคณิตลีขั้นสูงอันยอด เยี่ยม ${\displaystyle F(4)}$

มีมิติ (24|16) ส่วนที่เป็นเลขคู่กำหนดโดย. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$

พีชคณิตลีขั้นสูงอันยอด เยี่ยม ${\displaystyle G(3)}$

มีมิติ (17|14) ส่วนที่เป็นเลขคู่กำหนดโดย. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$

นอกจากนี้ยังมี อนุกรม ที่แปลก ประหลาดอีกสอง ชุดที่เรียกว่าและ. ${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

ประเภทของคาร์ตันสามารถแบ่งออกได้เป็นสี่ตระกูล ได้แก่, , และสำหรับประเภทของคาร์ตันของซูเปอร์อัลเจบราลีแบบง่าย ส่วนคี่จะไม่สามารถลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ภายใต้การกระทำของส่วนคู่ ${\displaystyle W(n)}$${\displaystyle S(n)}$${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$${\displaystyle H(n)}$

การจัดกลุ่มประกอบด้วยอนุกรม 10 ชุด ได้แก่W ( m , n ), S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n) , K (2 m + 1, n ), HO(m, m) ( m ≥ 2), SHO ( m , m ) ( m ≥ 3), KO ( m , m + 1), SKO(m, m + 1; β) ( m ≥ 2), SHO  ~ (2 m , 2 m ), SKO  ~ (2 m + 1, 2 m + 3) และพีชคณิตพิเศษอีกห้าชุด:

อี(1, 6) , อี(5, 10) , อี(4, 4) , อี(3, 6) , อี(3, 8)

สองอันสุดท้ายน่าสนใจเป็นพิเศษ (ตามที่ Kac กล่าว) เพราะมีกลุ่มเกจโมเดลมาตรฐานSU (3)× S U(2)× U (1) เป็นพีชคณิตระดับศูนย์ พีชคณิต Lie ซูเปอร์มิติอนันต์ (แอฟฟิน) เป็นสมมาตรที่สำคัญในทฤษฎีซูเปอร์สตริงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิต Virasoro ที่มีซูเปอร์สมมาตรนั้นมีส่วนขยายศูนย์กลางเพียงเท่านั้น^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

ในทฤษฎีหมวดหมู่ พีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบรา สามารถนิยามได้ว่าเป็นซูเปอร์แอลเจบรา ที่ไม่เชื่อมโยงกัน ซึ่งผลคูณของมันเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

โดยที่ σ คือการถักเปียแบบเรียงสับเปลี่ยนวัฏจักรในรูปแบบแผนภาพ: ${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$

• พีชคณิต Gerstenhaber
• พีชคณิตลีแอนยอนิก
• พีชคณิตกราสส์มันน์
• การแทนซูเปอร์อัลเจบราของลี
• ซูเปอร์สเปซ
• ซูเปอร์กรุ๊ป
• พีชคณิตห่อหุ้มสากล

• เอกสาร ของIrving Kaplansky เกี่ยวกับ Lie superalgebras