พีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบเป็นการประยุกต์ใช้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดเพื่อสร้างแบบจำลองระนาบ เส้น จุด และการแปลงแบบแข็งเกร็งโดยทั่วไปแล้วมีเป้าหมายเพื่อแก้ปัญหาประยุกต์ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเหล่านี้และจุดตัด การฉายภาพและมุมระหว่างกันในพื้นที่ 3 มิติ^{[ 1 ]}เดิมทีพัฒนามาจากงานวิจัยเกี่ยวกับกลุ่มสปิน^{[ 2 ] [ 3} ] ^{โดยคำนึงถึง}การประยุกต์ใช้กับหุ่นยนต์^{[ 4 ] [ 5 ]}ต่อมาได้มีการนำไปประยุกต์ใช้กับการเรียนรู้ของเครื่อง^{[ 6 ]}พลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง [ ^{7 ]}และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ [ ^{8 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งคอมพิวเตอร์กราฟิก^{[ 8 ] [ 9 ]}โดยปกติจะรวมเข้ากับ การดำเนินการ แบบคู่ขนานในระบบที่เรียกว่า "พีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบฉายภาพ" ดังที่กล่าวไว้ ^{ด้านล่าง}

พีชคณิตเรขาคณิตบนระนาบใช้การสะท้อนบนระนาบเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน และสร้างการแปลงและวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ ทั้งหมดจากองค์ประกอบเหล่านั้น กล่าวอย่างเป็นทางการคือ มันระบุการสะท้อนบนระนาบกับ องค์ประกอบ ระดับ 1ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด นั่นคือ องค์ประกอบที่เขียนด้วยตัวห้อยตัวเดียว เช่น " " โดยมีข้อยกเว้นที่หายากบางประการที่อธิบายไว้ด้านล่าง พีชคณิตนี้เกือบจะเป็นCl _3,0,1 ( R ) เสมอ ( เวอร์ชัน เชิงฉายของพีชคณิตของปริภูมิทางกายภาพ ) ซึ่งหมายความว่ามันมีองค์ประกอบระดับ 1 พื้นฐานสามตัวที่มีกำลังสองเท่ากับและองค์ประกอบพื้นฐานตัวเดียวที่มีกำลังสองเท่ากับ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

GA ที่ใช้ระนาบครอบคลุมโครงสร้างพีชคณิตจำนวนมากที่ใช้ในงานวิศวกรรม รวมถึง การแสดง การหมุนด้วยแกน-มุมการแสดงการหมุนและการแปลด้วยค วอเทอ ร์เนียนและค วอเทอร์ เนียนคู่การแสดงเส้นตรงด้วยพลุคเกอร์การแสดงระนาบด้วยจุดปกติและการแสดงจุดแบบเอกพันธุ์จากนั้นควอเทอร์เนียนคู่จะช่วยให้สามารถสร้างแบบจำลองสกรู บิด และประแจ ของกลศาสตร์คลาสสิกได้ ^{[ 7 ]}

แนวทางการใช้ระนาบในเรขาคณิตอาจแตกต่างจากแนวทางการใช้ผลคูณเวกเตอร์ซึ่งจุด การเลื่อน การหมุน และเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ ล้วนถูกจำลองเป็น "เวกเตอร์" อย่างไรก็ตาม การใช้เวกเตอร์ในปัญหาทางวิศวกรรมขั้นสูงมักต้องการความแตกต่างที่ละเอียดอ่อนระหว่างเวกเตอร์ชนิดต่างๆ เนื่องจากเหตุผลนี้ รวมถึงเวกเตอร์ของกิบส์ เวกเตอร์เทียมและเวกเตอร์ผกผันในเรขาคณิตเชิงพันธุกรรมแบบระนาบ เวกเตอร์ผกผันจะสอดคล้องกับแนวคิดของ "แกนหมุน" และ "จุด" โดยความแตกต่างระหว่างทั้งสองจะถูกทำให้ชัดเจนด้วยสัญลักษณ์: แกนหมุน เช่น(ดัชนีล่างสองตัว) จะถูกเขียนสัญลักษณ์แตกต่างจากจุด เช่น(ดัชนีล่างสามตัว) เสมอ${\displaystyle \mathbf {e} _{13}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

วัตถุที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ แทบจะไม่ใช่ "เวกเตอร์" ในความหมายที่เราสามารถมองเห็นภาพพวกมันเป็นลูกศร (หรือหาผลคูณเวกเตอร์) ได้อย่างมีประโยชน์ แต่ทั้งหมดเป็น "เวกเตอร์" ในความหมายทางเทคนิคขั้นสูง กล่าวคือ พวกมันเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ดังนั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งเกี่ยวกับความหมายทางพีชคณิตและทางภาพที่แตกต่างกันของคำว่า 'เวกเตอร์' บทความนี้จึงหลีกเลี่ยงการใช้คำว่า 'เวกเตอร์'

พีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบเริ่มต้นด้วยระนาบ แล้วจึงสร้างวัตถุอื่นๆ จากระนาบเหล่านั้นฐาน มาตรฐานของมัน ประกอบด้วยระนาบ ซึ่งกำหนดโดยสัญลักษณ์ระนาบซึ่งกำหนดโดยสัญลักษณ์และระนาบระนาบอื่นๆ อาจได้มาจากการรวมเชิงเส้น (ผลรวมถ่วงน้ำหนัก) ของระนาบพื้นฐาน ตัวอย่างเช่นจะเป็นระนาบที่อยู่กึ่งกลางระหว่างระนาบ y และระนาบ z ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}$

โดยทั่วไป การรวมสองสิ่งใน GA แบบระนาบจะให้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเสมอ ดังนั้น การรวมจุดจะให้จุดที่อยู่ระหว่างจุดทั้งสอง การรวมเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันจะให้เส้นที่อยู่ระหว่างเส้นนั้น แม้แต่การหมุนก็สามารถรวมกันเพื่อให้ได้การหมุนที่มีแกนและมุม ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้ว จะอยู่ระหว่างค่าของสิ่งที่นำมาบวกกัน

การคูณ ทางเรขาคณิตเป็นอีกหนึ่งการดำเนินการพื้นฐานเช่นเดียวกับการบวกตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{123}}$

ในที่นี้เราใช้ซึ่งเป็นการสะท้อนในระนาบและซึ่งเป็นการหมุน 180 องศา รอบแกน x ผลคูณทางเรขาคณิตของทั้งสองคือซึ่งเป็นการสะท้อนจุดในจุดกำเนิด เพราะนั่นคือการแปลงที่ได้จากการหมุน 180 องศา ตามด้วยการสะท้อนในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนการหมุน ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

สำหรับองค์ประกอบสองอย่างใดๆและผลคูณทางเรขาคณิตขององค์ประกอบทั้งสองคือการแปลงตามด้วยการแปลงโปรดทราบว่าการประกอบ การแปลง ไม่ใช่การประยุกต์ใช้การแปลงตัวอย่างเช่นไม่ใช่ " ถูกแปลงโดย" แต่เป็นการแปลงตามด้วยการแปลง การประยุกต์ใช้การแปลง นั้นถูกนำไปใช้กับผลคูณแบบแซนด์วิชดังที่แสดงด้านล่าง ${\textstyle A}$${\displaystyle B}$${\textstyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\textstyle A}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{23}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$

การตีความทางเรขาคณิตนี้มักจะควบคู่ไปกับข้อความต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}=1\qquad \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}=1\qquad \mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=1\qquad \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$

การตีความทางเรขาคณิตของสมการกำหนดสามสมการแรกคือ ถ้าเราทำการสะท้อนระนาบเดียวกันสองครั้ง เราจะกลับไปยังจุดเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบระดับ 1 ใดๆ (ระนาบ) เมื่อคูณด้วยตัวเองจะได้ฟังก์ชันเอกลักษณ์ " " ส่วนข้อความที่ละเอียดอ่อนกว่านั้นคือ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ 1 มิติอื่นๆ องค์ประกอบพีชคณิตแสดงถึงระนาบ แต่เป็นระนาบที่อนันต์ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$

ระนาบที่ระยะอนันต์นั้นมีพฤติกรรมแตกต่างจากระนาบอื่นๆ ในสามมิติสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นท้องฟ้า ซึ่งเป็นระนาบที่อยู่ไกลแสนไกล สามารถเข้าใกล้ได้แต่ไม่สามารถไปถึงได้ ในขณะที่การสะท้อนในระนาบอื่นๆ นั้นมีความหมาย การสะท้อนในท้องฟ้ากลับไร้ความหมาย ซึ่งถูกสื่อออกมาในประโยคนี้แล้วจุดต่างๆ ที่อยู่ภายในท้องฟ้าเรียกว่า " จุดหายไป " หรือ "จุดในอุดมคติ" หรือ "จุดที่ระยะอนันต์" เส้นขนานอาจกล่าวได้ว่ามาบรรจบกันที่จุดเหล่านี้ ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$

เส้นอนันต์ก็มีอยู่เช่นกันทางช้างเผือกปรากฏเป็นเส้นอนันต์ และเส้นขอบฟ้าก็เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง สำหรับผู้สังเกตที่ยืนอยู่บนระนาบ ระนาบทั้งหมดที่ขนานกับระนาบที่พวกเขายืนอยู่จะมาบรรจบกันที่เส้นขอบฟ้า ในทางพีชคณิต ถ้าเรากำหนดให้ เป็นพื้นดิน แล้ว จะเป็นระนาบที่ขนานกับพื้นดิน (เลื่อนออกไป 5 เมตร ) ระนาบขนานทั้งสองนี้มาบรรจบกันที่เส้นอนันต์${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+5\mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{02}}$

เส้นตรงส่วนใหญ่เช่นเส้นตรงx , y , z ...​​​​​​ ${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{30}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{13}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \mathbf {e} _{10}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{20}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{30}}$

เนื่องจากผลคูณเชิงเรขาคณิตถูกนิยามว่าเป็นองค์ประกอบการแปลง จึงมีการดำเนินการที่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติมากมายที่สามารถกำหนดได้โดยใช้ผลคูณเชิงเรขาคณิต (คล้ายคลึงโดยตรงกับวิธีการนิยามผลคูณจุดและผลคูณไขว้ ใน ผลคูณควอเทอร์เนียน ) ซึ่งได้แก่:

1. จุดตัดหรือจุดบรรจบกันของวัตถุสองชิ้นใดๆ คือส่วนที่มีระดับสูงสุดของผลคูณทางเรขาคณิตของวัตถุทั้งสองนั้น ตัวอย่างเช่น จุดตัดของระนาบ(ระดับ 1) กับเส้นตรง(ระดับ 2) คือจุด (ระดับ 3) การดำเนินการนี้ใช้สัญลักษณ์ลิ่ม แทนด้วย จุด${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle P\wedge L}$
2. การหาค่าผกผันของการหมุน การเลื่อน หรือการสะท้อนแบบโรเตอร์นั้นคำนวณได้ง่ายมาก เพียงแค่กลับเครื่องหมายส่วนที่เป็นเส้นหรือส่วนที่เป็นจุด นี่คือการดำเนินการที่เรียกว่า "การกลับด้าน" โดยใช้สัญลักษณ์ แทน ค่าผกผัน ของในกรณีที่ ถูกทำให้เป็นค่ามาตรฐานหมายความว่ามีค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 :${\textstyle T}$${\textstyle {\tilde {T}}}$${\textstyle T^{-1}={\tilde {T}}}$${\textstyle T}$${\displaystyle \|T\|={\sqrt {T{\tilde {T}}}}=1}$
3. การหมุน การเลื่อน หรือการเคลื่อนที่แบบเกลียวจากจุด/เส้น/ระนาบมาตรฐานใดๆไปยังจุด/เส้น/ระนาบมาตรฐานใดๆคือ.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 1+B{\tilde {A}}}$
4. มุมระหว่างวัตถุสองชิ้นใดๆ ที่ถูกทำให้เป็นหน่วย( เช่น เส้นตรงสองเส้น ระนาบสองระนาบ หรือเส้นตรงและระนาบ) คือθ โดย θ คือ ผลคูณ ภายในซึ่งเป็นการขยายความของผลคูณจุดเช่นเดียวกับผลคูณลิ่มที่เป็นส่วนสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลคูณทางเรขาคณิตของวัตถุสองชิ้น ผลคูณภายในจะเท่ากับส่วนที่มีระดับต่ำสุด${\displaystyle \theta _{AB}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \theta _{AB}=\arccos(\lVert A\cdot B\rVert )}$${\displaystyle \cdot }$
5. การหมุน การเลื่อน หรือการสะท้อนวัตถุใดๆด้วยการแปลงที่เลือกไว้คือ การผันกลุ่ม ( group conjugation ) ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่า "ผลคูณแซนด์วิช" (sandwich product) เนื่องจากพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นซูเปอร์พีชคณิตผลลัพธ์จึงควรถูกกลับค่าในกรณี (ซึ่งค่อนข้างหายาก) ที่และต่างก็มีระดับคี่${\textstyle A}$${\textstyle T}$${\textstyle TA{\tilde {T}}}$${\textstyle A}$${\textstyle T}$
6. การฉายภาพวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งนั้น– สูตรนี้ใช้ได้ไม่ว่าวัตถุนั้นจะเป็นจุด เส้น หรือระนาบก็ตาม${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (A\cdot B){\tilde {B}}}$
7. ระยะห่างระหว่างวัตถุที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานจะแปรผันตรงกับขนาดของส่วนที่มีเกรดสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลคูณทางเรขาคณิตของวัตถุเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม การดึงขนาดนี้ออกมานั้นต้องใช้คู่ขนานซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป คู่ขนานนี้ยังใช้ในการกำหนดการเชื่อมต่อหรือช่วงของวัตถุ เช่น เส้นที่ฝังจุดสองจุด หรือระนาบที่ฝังจุดและเส้น
8. การหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาก็คำนวณได้ง่ายเช่นกัน ถ้าคือลอการิทึมของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นกับวัตถุอนุพันธ์เทียบกับเวลาจะเป็น นี่คือวงเล็บ Lie ซึ่ง ในที่นี้เหมือนกับวงเล็บPoisson${\textstyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\dot {B}}}$${\textstyle {\dot {B}}={\frac {1}{2}}(AB-BA)}$

พีชคณิตของการแปลงที่รักษาระยะทางทั้งหมดใน 3 มิติ เรียกว่ากลุ่มยูคลิด (Euclidean Group ) ตาม ทฤษฎีบทของ คาร์ตัน-ดีเออโดเน่ (Cartan–Dieudonné theorem ) สมาชิกใดๆ ในกลุ่มนี้ ซึ่งรวมถึงการหมุนและการเลื่อน สามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมของการสะท้อนในระนาบ ${\displaystyle E(3)}$

ใน GA ที่ใช้ระนาบเป็นพื้นฐาน วัตถุทางเรขาคณิตทั้งหมดสามารถมองได้ว่าเป็นการแปลง ระนาบ เช่นคือการสะท้อนระนาบ จุด เช่นคือการสะท้อนจุดและเส้น เช่นคือการสะท้อนเส้น ซึ่งใน 3 มิติก็คือการหมุน 180 องศา การแปลงเอกลักษณ์เป็นวัตถุที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสร้างขึ้นจากการสะท้อนเป็นศูนย์ ทั้งหมดนี้เป็นองค์ประกอบของ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$${\displaystyle E(3)}$

องค์ประกอบบางอย่างของเช่น การหมุนด้วยมุมใดๆ ที่ไม่ใช่ 180 องศา ไม่มีวัตถุทางเรขาคณิตเฉพาะเจาะจงที่ใช้ในการแสดงภาพ แต่ถึงกระนั้นก็สามารถคิดได้เสมอว่าองค์ประกอบเหล่านั้นประกอบขึ้นจากการสะท้อน และสามารถแสดงได้เสมอในรูปของการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบบางอย่างของวัตถุในพีชคณิตเรขาคณิตบนระนาบ ตัวอย่างเช่นคือการหมุนเล็กน้อยรอบแกน และสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณทางเรขาคณิต (การประกอบการแปลง) ของและ ซึ่งทั้งสองเป็นการสะท้อนบนระนาบที่ตัดกัน ที่ เส้น${\displaystyle E(3)}$${\displaystyle 0.8+0.6\mathbf {e} _{12}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle 0.8\mathbf {e} _{1}+0.6\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$

ในความเป็นจริง การหมุนใดๆ ก็สามารถเขียนได้เป็นการประกอบกันของการสะท้อนระนาบสองครั้งที่ผ่านแกนของมัน ดังนั้นจึงเรียกว่าการสะท้อน 2 มิติ [ ^{10 ] การ}สะท้อนแบบหมุนการสะท้อนแบบเลื่อนและการสะท้อนแบบจุดยังสามารถเขียนได้เป็นการประกอบกันของการสะท้อนระนาบ 3 ครั้งเสมอ จึงเรียกว่าการสะท้อน 3 มิติ ขีดจำกัดสูงสุดของสิ่งนี้สำหรับ 3 มิติ คือการเคลื่อนที่แบบเกลียวซึ่งเป็นการสะท้อน 4 มิติ ด้วยเหตุนี้ เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่แบบเกลียว จึงจำเป็นต้องใช้องค์ประกอบระดับ 4 ของ GA แบบระนาบ 3 มิติซึ่งเป็นองค์ประกอบระดับสูงสุด ${\displaystyle \mathbf {e} _{1230}}$

การสะท้อนในระนาบหนึ่งแล้วตามด้วยการสะท้อนใน ระนาบ เดียวกันจะไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ การตีความเชิงพีชคณิตสำหรับเรขาคณิตนี้คือองค์ประกอบระดับ 1 เช่นกำลังสองถึง1ข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้สามารถนำมาใช้เพื่อให้การตีความเชิงเรขาคณิตสำหรับพฤติกรรมทั่วไปของผลคูณทางเรขาคณิตในฐานะอุปกรณ์ที่แก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดย "การยกเลิกกระจก" ^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$

เพื่อยกตัวอย่างประโยชน์ของสิ่งนี้ สมมติว่าเราต้องการหาเส้นระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นตรงLใน 3 มิติ และผ่านจุดPเส้น หนึ่ง Lเป็นการสะท้อนแบบ 2 มิติ และเป็นการสะท้อนแบบ 3 มิติ ดังนั้นการนำผลคูณทางเรขาคณิตของทั้ง สอง PLมาใช้ จะได้การสะท้อนแบบ 5 มิติในบางแง่ อย่างไรก็ตาม ดังในภาพด้านล่าง การสะท้อนสองครั้งจะหักล้างกัน เหลือเพียงการสะท้อนแบบ 3 มิติ (บางครั้งเรียกว่าการสะท้อนแบบโรเตอร์ ) ในสัญลักษณ์พีชคณิตเรขาคณิตแบบระนาบ การสะท้อนแบบโรเตอร์นี้สามารถคิดได้ว่าเป็นการสะท้อนแบบระนาบที่ "เพิ่มเข้าไป" กับการสะท้อนแบบจุด ส่วนที่เป็นระนาบของการสะท้อนแบบโรเตอร์นี้คือระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นตรงLและจุดP เดิม ขั้นตอนที่คล้ายกันนี้สามารถใช้เพื่อหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบและผ่านจุด หรือจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ หรือเส้นตัดของระนาบกับระนาบอื่นได้ ${\displaystyle P}$

การหมุนและการเลื่อนเป็นการแปลงที่รักษาระยะห่างและทิศทาง ( ความถนัดมือ ) ไว้ เช่น เมื่อนำไปใช้กับกลุ่มของวัตถุ ระยะห่างสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุเหล่านั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง และทิศทางของวัตถุก็จะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน กล่าวคือ ถุงมือสำหรับคนถนัดขวาจะไม่กลายเป็นถุงมือสำหรับคนถนัดซ้าย การแปลงทั้งหมดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบยุคลิด 3 มิติจะรักษาระยะห่างไว้ แต่การสะท้อน การหมุนสะท้อน และการเลื่อนจะไม่รักษาทิศทางไว้

การหมุนและการเลื่อนจะรักษาความเป็นมือซ้ายหรือมือขวาไว้ ซึ่งในอัลกอริทึมพันธุกรรมแบบระนาบ 3 มิติ หมายความว่าสามารถเขียนได้ในรูปของการประกอบกันของ การสะท้อน จำนวนคู่การหมุนสามารถคิดได้ว่าเป็นการสะท้อนในระนาบหนึ่ง ตามด้วยการสะท้อนในอีกระนาบหนึ่งที่ไม่ขนานกับระนาบแรก (ควอเทอร์เนียน ซึ่งถูกกำหนดไว้ในบริบทของ PGA ข้างต้น) หากระนาบทั้งสองขนานกัน การประกอบกันของการสะท้อนจะทำให้ได้การเลื่อน

การหมุนและการเลื่อนต่างก็เป็นกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่แบบสกรูเช่น การหมุนรอบเส้นตรงในอวกาศตามด้วยการเลื่อนไปตามแนวเส้นตรงเดียวกัน กลุ่มนี้มักเรียกว่าSE(3)ซึ่งเป็นกลุ่มของ การแปลงแบบ ยุคลิดพิเศษ (รักษาความมีมือ) ใน3มิติ กลุ่มนี้มีการแสดงแทนที่ใช้กันทั่วไปสองแบบที่ช่วยให้สามารถใช้ในพีชคณิตและการคำนวณได้ แบบหนึ่งคือเมทริกซ์ 4×4 ของจำนวนจริง และอีกแบบหนึ่งคือควอเทอร์เนียนคู่การแสดงแทนควอเทอร์เนียนคู่ (เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียนทั่วไป) จริงๆ แล้วเป็นการครอบคลุมสองชั้นของ SE(3) เนื่องจากควอเทอร์เนียนคู่ปิดภายใต้การคูณและการบวก และสร้างจากจำนวนองค์ประกอบพื้นฐานที่เป็นเลขคู่ จึงเรียกว่าพีชคณิตย่อยคู่ของพีชคณิตเรขาคณิตแบบยุคลิด 3 มิติ (บนระนาบ) บางครั้งใช้คำว่า ' สปินเนอร์ ' เพื่ออธิบายพีชคณิตย่อยนี้^{[ 11 ] [ 12 ]}

การอธิบายการแปลงแบบแข็งโดยใช้ระนาบเป็นเป้าหมายหลักในงานของCamille Jordan [ ^{13 ] และ} Michel Chasles ^{[ 14 ]}เนื่องจากช่วยให้การรักษาไม่ขึ้นอยู่กับมิติ

เรขาคณิตผกผันคือการศึกษาวัตถุและพฤติกรรมทางเรขาคณิตที่เกิดจากการผกผันในวงกลมและทรงกลมการสะท้อนในระนาบเป็นกรณีพิเศษของการผกผันในทรงกลม เนื่องจากระนาบเป็นทรงกลมที่มีรัศมีอนันต์ เนื่องจากพีชคณิตเรขาคณิตบนระนาบเกิดจากการประกอบของการสะท้อน จึงเป็นกรณีพิเศษของเรขาคณิตผกผัน เรขาคณิตผกผันเองสามารถดำเนินการได้ด้วยระบบที่ใหญ่กว่าที่เรียกว่าพีชคณิตเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอล (CGA) ซึ่งพีชคณิตเรขาคณิตบนระนาบเป็นพีชคณิตย่อยของ ระบบนี้

CGA มักถูกนำไปใช้กับพื้นที่ 3 มิติ และสามารถจำลองทรงกลมทั่วไป วงกลม และ การแปลง แบบคอนฟอร์มอล (รักษามุม) ซึ่งรวมถึงการแปลงที่เห็นบนจานปวงกาเร [ ^{15 ] อาจ}เป็นเรื่องยากที่จะเห็นความเชื่อมโยงระหว่าง PGA และ CGA เนื่องจาก CGA มักเป็น "แบบจุด" แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะใช้แนวทางแบบระนาบกับ CGA ^{[ 10 ]}ซึ่งทำให้สัญลักษณ์สำหรับ GA แบบระนาบและ CGA เหมือนกัน

พีชคณิตเรขาคณิตบนระนาบสามารถแสดงการแปลงแบบยุคลิดทั้งหมดได้ แต่ในทางปฏิบัติมักจะถูกใช้เกือบตลอดเวลา (รวมถึงในการใช้งานดั้งเดิม^{[ 4 ]} ) เป็นส่วนหนึ่งของระบบที่ใหญ่กว่าและมีประโยชน์ในทางปฏิบัติมากกว่าที่เรียกว่าพีชคณิตเรขาคณิตเชิงฉาย (Projective Geometric Algebra , PGA) ^{[ 16 ]} PGA มีผลคูณแบบถดถอย ที่ช่วยให้สามารถหาเส้นที่เชื่อมจุดสองจุด ระนาบที่เชื่อมเส้นและจุด และการวางนัยทั่วไปของสิ่งเหล่านี้ไปยังปริภูมิย่อยที่มีมิติสูงกว่า เช่น ปริมาตรที่ประกอบด้วยเส้นสองเส้น การกำหนดผลคูณแบบถดถอย เช่นเดียวกับในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและกราสแมนน์ อื่นๆ จำเป็นต้องมีการกำหนด คู่ของ คู่ของจะถูกแทนด้วยและผลคูณแบบถดถอยถูกกำหนดเป็น ${\displaystyle A\vee B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\star }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle (A\vee B)\star ={A\star }\wedge {B\star }}$

คำจำกัดความที่ใช้ข้างต้นนั้นแตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียนแต่ไม่ว่าคำจำกัดความใดที่ใช้ ผลลัพธ์ของผลคูณถดถอยก็เหมือนกันทุกประการ เนื่องจากจึงเป็นเรื่องทางทฤษฎีมากกว่าทางปฏิบัติ การอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับคู่ตรงข้ามจึงมักไม่รวมอยู่ในเนื้อหาเบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิตเรขาคณิตเชิงฉาย แนวทางต่างๆ ในการกำหนดนิยามได้แก่: ${\displaystyle \star }$${\displaystyle x\star }$

1. ระบุว่าเป็นส่วนเติมเต็มที่ถูกต้องของด้วยสเกลาร์เทียม (สเกลาร์เทียมคือผลคูณลิ่มที่ขึ้นอยู่กับมิติของเวกเตอร์ฐาน 1 ทั้งหมด) ดังนั้นใน 3 มิติเราจึงมี; ใน 2 มิติเราจะมีแทนวิธีนี้เชื่อมโยงองค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบกับองค์ประกอบอื่น ๆ ของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบ (เช่น การแปลงแบบยุคลิดอื่น ๆ) ตัวอย่างเช่น ใน 3 มิติ การสะท้อนระนาบ (ระนาบ) จะกลายเป็นการสะท้อนจุด (จุด) นี่คือคำจำกัดความดั้งเดิมและยังคงเป็นคำจำกัดความที่พบบ่อยที่สุดของคู่^{[ 4 ]}${\displaystyle x\star }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\wedge x\star ={\text{e}}_{1230}}$${\displaystyle x\wedge x\star ={\text{e}}_{120}}$
2. คู่เชิงโปรเจคทีฟยังแมประนาบไปยังจุดต่างๆ แต่ไม่ใช่ว่าทั้งสองจะเป็นการสะท้อนกัน ในทางกลับกัน คู่เชิงโปรเจคทีฟจะสลับไปมาระหว่างพื้นที่ที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบทำงานอยู่ และ พื้นที่ ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (แต่ไม่ใช่ทั้งแบบไฮเปอร์โบลิกหรือแบบวงรี) ที่ไคลน์กล่าวถึง^{[ 17 ]}ตัวอย่างเช่น ระนาบในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตบนระนาบ ซึ่งทำการสะท้อนระนาบ จะถูกแมปไปยังจุดในพื้นที่คู่ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแปลงที่ไม่ธรรมดาที่เรียกว่าcollineationsดังนั้นและ จึง ไม่สามารถวาดได้ทั้งคู่ในพื้นที่ยุคลิด ที่คุ้นเคย ผู้เขียนหลายคนเรียกส่วน GA บนระนาบของ PGA ว่า "พื้นที่ยุคลิด" ^{[ 18 ]}และ "พื้นที่ปฏิ" ^{[ 9 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x\star }$
3. พีชคณิตเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอล (CGA) เป็นระบบที่ใหญ่กว่าซึ่งพีชคณิตเรขาคณิตแบบระนาบเป็นพีชคณิตย่อย การเชื่อมต่อมีความละเอียดอ่อน การเชื่อมต่อของจุดสามจุดใน CGA ถูกกำหนดทางเรขาคณิตเป็นวงกลมในขณะที่ใน PGA เป็นระนาบ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นการดำเนินการที่แตกต่างกัน จุดใน PGA มีการแสดงทางพีชคณิตที่แตกต่างจากจุดใน CGA โดยพื้นฐาน เพื่อเปรียบเทียบพีชคณิตทั้งสอง จุดใน PGA ต้องได้รับการยอมรับว่าเป็นกรณีพิเศษของคู่จุดใน CGA โดยที่คู่นั้นมีจุดหนึ่งอยู่ที่อนันต์ ("การสะท้อนจุด") คู่จุดทั่วไปและวงกลมเกี่ยวข้องกับการแปลงที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (เช่นเดียวกับวัตถุ CGA ส่วนใหญ่ รวมถึงคู่ทั้งหมดของวัตถุ PGA) ในการทำงานกับทั้งสอง ผู้เขียนจะแปลงระหว่างการสะท้อนจุดและจุด CGA อย่างระมัดระวัง^{[ 19 ]}หรือทำงานภายในพีชคณิตย่อยที่สมมาตรกับ PGA ภายใน CGA ซึ่งอาจมีหลายอัน^{[ 20 ]}

รูปแบบทวิภาวะแบบที่สอง ประกอบกับข้อเท็จจริงที่ว่าวัตถุทางเรขาคณิตถูกแทนด้วยเอกพันธุ์ (หมายความว่าการคูณด้วยสเกลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงวัตถุเหล่านั้น) เป็นเหตุผลที่ระบบนี้เรียกว่าพีชคณิตเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟ ควรชี้แจงให้ชัดเจนว่าพีชคณิตเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟไม่ได้รวมกลุ่มโปรเจคทีฟ ทั้งหมดไว้ด้วย ซึ่งแตกต่างจากพีชคณิตเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอล 3 มิติ ที่รวมกลุ่มคอนฟอร์มอล ทั้งหมด ไว้

โดยประมาณแล้ว โลกทางกายภาพเป็นแบบยุคลิด กล่าวคือ การแปลงส่วนใหญ่เป็นแบบแข็ง ดังนั้น พีชคณิตเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟจึงมักอิงตามCl _3,0,1 ( R )เนื่องจากการแปลงแบบแข็งสามารถจำลองได้ในพีชคณิตนี้ อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะจำลองพื้นที่อื่นๆ โดยการปรับเปลี่ยนพีชคณิตเล็กน้อย^{[ 18 ]}

ในระบบเหล่านี้ จุด ระนาบ และเส้นตรงจะมีพิกัดเดียวกันกับที่มีใน GA ที่ใช้ระนาบเป็นฐาน แต่การแปลง เช่น การหมุนและการสะท้อน จะมีผลต่อรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกันมาก ในทุกกรณีด้านล่าง พีชคณิตจะเป็นการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มการสะท้อน การหมุน และการสะท้อนแบบหมุนในปริภูมิ

สูตรทั้งหมดจากเรขาคณิตยุคลิดยังคงใช้ได้กับเรขาคณิตอื่นๆ เช่น จุดตัดยังคงทำหน้าที่ในการหาจุดร่วมของวัตถุ ผลคูณทางเรขาคณิตยังคงทำหน้าที่ในการสร้างการแปลง และในกรณีของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ผลคูณภายในสามารถใช้ในการวัดมุมไฮเปอร์โบลิกได้

พีชคณิตย่อยคู่ทั้งสามเป็นกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก (หลังจากหารด้วยสเกลาร์) พีชคณิต Lie ที่เกี่ยวข้อง สำหรับแต่ละกลุ่มคือองค์ประกอบเกรด 2 ของพีชคณิต Clifford ^{[ 21 ]}โดยไม่ต้องหารด้วยสเกลาร์

• ปริภูมิเชิงฉาย — วิธีการรวมองค์ประกอบที่ระยะอนันต์
• พีชคณิตปริภูมิเวลา — พีชคณิตที่ใช้สำหรับปริภูมิ Minkowski มิติ (1+3)
• พีชคณิตของปริภูมิทางกายภาพ — พีชคณิตที่ใช้สำหรับปริภูมิยูคลิด 3 มิติ
• พีชคณิตเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล — พีชคณิตเรขาคณิตสำหรับการแปลงเชิงคอนฟอร์มัล