ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิ เวกเตอร์ซูเปอร์ (super vector space)คือปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับ ( graded vector space ) กล่าวคือปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีการแบ่งย่อยของปริภูมิย่อยระดับและระดับที่กำหนดให้ การศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์และการวางนัยทั่วไปของมันบางครั้งเรียกว่าพีชคณิตเชิงเส้นซูเปอร์ (super linear algebra ) วัตถุเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้หลักในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีโดยใช้เพื่ออธิบายลักษณะทางพีชคณิตต่างๆ ของสมมาตรยิ่งยวด (supersymmetry ) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

ปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์คือปริภูมิเวกเตอร์ระดับ - ที่มีการแยกส่วน^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

เวกเตอร์ที่เป็นสมาชิกของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ระหว่างกลุ่ม A และกลุ่ม B เรียกว่า เวกเตอร์ เอกพันธุ์ (homogeneous vector) ค่าพาริตีของสมาชิกเอกพันธุ์ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งแทนด้วยจะเป็นหรือขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกนั้นอยู่ในกลุ่ม A หรือกลุ่ม B ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}}$

เวกเตอร์ที่มีพาริตี เท่ากัน เรียกว่า เวกเตอร์ คู่และเวกเตอร์ที่มีพาริตีต่างกันเรียกว่า เวกเตอร์คี่ ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี บางครั้งองค์ประกอบคู่เรียกว่าองค์ประกอบโบสหรือโบซอนิกและองค์ประกอบคี่เรียกว่าองค์ประกอบเฟอร์มิหรือเฟอร์มิออนิก นิยามของปริภูมิเวกเตอร์ขนาดใหญ่ มักจะกำหนดโดยใช้เฉพาะองค์ประกอบเอกพันธุ์ แล้วจึงขยายไปยังองค์ประกอบไม่เอกพันธุ์โดยใช้ความเป็นเชิงเส้น ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

ถ้าเป็นปริภูมิที่มีมิติจำกัดและมิติของและคือและตามลำดับ แล้วกล่าวได้ว่า มีมิติปริภูมิซูเปอร์พิกัดมาตรฐาน ซึ่งแทนด้วยคือปริภูมิพิกัด ปกติ ที่ปริภูมิย่อยคู่ถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ฐานพิกัดแรก และปริภูมิย่อยคี่ถูก สร้าง ขึ้นโดยเวกเตอร์ฐานพิกัดสุดท้าย${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p|q}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{p|q}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{p+q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ปริภูมิย่อยเอกพันธุ์ของปริภูมิเวกเตอร์ขนาดใหญ่ คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเอกพันธุ์ ปริภูมิย่อยเอกพันธุ์เป็นปริภูมิเวกเตอร์ขนาดใหญ่ในตัวของมันเอง (โดยมีการจัดลำดับที่ชัดเจน)

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์ใดๆเราสามารถกำหนดปริภูมิที่มีการกลับด้านพาริตีได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์ที่มีการสลับตำแหน่งปริภูมิย่อยคู่และคี่ นั่นคือ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}}$

โฮโมมอร์ฟิซึม (homomorphism)ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ ของซูเปอร์เวกเตอร์สเปซ จากซูเปอร์เวกเตอร์สเปซหนึ่งไปยังอีกซูเปอร์เวกเตอร์สเปซหนึ่ง เป็นการ แปลงเชิงเส้นที่รักษาระดับ (grade-preserving linear transformation ) การแปลงเชิงเส้นระหว่างซูเปอร์เวกเตอร์สเปซจะรักษาระดับก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle f:V\ลูกศรขวา W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

นั่นคือ เป็นการแมปองค์ประกอบคู่ของไปยังองค์ประกอบคู่ของและองค์ประกอบคี่ของไปยังองค์ประกอบ คี่ของ ไอโซมอร์ฟิซึมของซูเปอร์เวกเตอร์สเปซคือ โฮโมมอร์ฟิซึม แบบหนึ่งต่อหนึ่งเซตของโฮโมมอร์ฟิซึมทั้งหมดจะถูกแทนด้วย^{[ 2 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V\ลูกศรขวา W}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

การแปลงเชิงเส้นทุกรูปแบบ ไม่จำเป็นต้องรักษาระดับขั้น จากปริภูมิเวกเตอร์ขนาดใหญ่หนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง สามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวมของการแปลงที่รักษาระดับขั้นและการแปลงที่กลับระดับขั้น กล่าวคือ การแปลงที่ทำให้ ${\displaystyle f:V\ลูกศรขวา W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

การประกาศว่าการแปลงที่รักษาระดับเป็นคู่และการแปลงที่กลับระดับเป็นคี่ทำให้พื้นที่ของการแปลงเชิงเส้นทั้งหมดจากไป ซึ่งแสดงและเรียกว่าภายในเป็นโครงสร้างของพื้นที่เวกเตอร์ซูเปอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง^{[ 3 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {หอม} (V,W)}$${\displaystyle \mathrm {หอม} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W)}$

การแปลงกลับระดับจากไปสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากไปยังปริภูมิที่มีการกลับพาริตีดังนั้น ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi W}$

${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W)}$

โครงสร้างทางพีชคณิตทั่วไปสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ธรรมดา มีสิ่งที่เทียบเคียงได้ในบริบทของปริภูมิเวกเตอร์ขั้นสูง

พื้นที่คู่ ของพื้นที่เวกเตอร์ซูเปอร์สามารถถือได้ว่าเป็นพื้นที่เวกเตอร์ซูเปอร์โดยการใช้ฟังก์ชัน คู่ เป็นฟังก์ชันที่หายไปบนและฟังก์ชันคี่เป็นฟังก์ชันที่หายไปบน[ ^{4 ] หรือ}อีกนัยหนึ่ง เราสามารถกำหนดให้เป็นพื้นที่ของแผนที่เชิงเส้นจากไปยัง(ฟิลด์ฐานที่คิดว่าเป็นพื้นที่เวกเตอร์ซูเปอร์คู่บริสุทธิ์) โดยมีระดับชั้นที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

ผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์ขนาดใหญ่ถูกสร้างขึ้นเช่นเดียวกับในกรณีที่ไม่มีการจัดระดับ โดยมีการจัดระดับที่กำหนดโดย

${\displaystyle (V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},}$

${\displaystyle (V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.}$

เราสามารถสร้างผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ขนาดใหญ่ได้เช่นกัน ในที่นี้โครงสร้างการบวกจะเข้ามามีบทบาท ปริภูมิพื้นฐานเป็นเช่นเดียวกับในกรณีที่ไม่มีการจัดระดับ โดยมีการจัดระดับที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k},}$

โดยที่ดัชนีอยู่ใน. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีหนึ่งอย่าง ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_{1}\otimes W_{1}),}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0})}$

เช่นเดียวกับการที่เราสามารถขยายขอบเขตของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ไปสู่โมดูลเหนือวงแหวนสลับที่ได้เราก็สามารถขยายขอบเขตของปริภูมิเวกเตอร์ยิ่งยวดเหนือฟิลด์ไปสู่โมดูลยิ่งยวดเหนือพีชคณิต (หรือวงแหวน) สลับที่ได้ยิ่งยวดได้เช่นกัน

วิธีการสร้างทั่วไปเมื่อทำงานกับซูเปอร์เวกเตอร์สเปซคือการขยายฟิลด์ของสเกลาร์ไปเป็นพีชคณิตกราสส์มันน์แบบซูเปอร์คอมมิวเททีฟกำหนดให้ฟิลด์หนึ่งเป็น ให้${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]}$

แทนพีชคณิตกราสส์มันน์ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบคี่ที่สลับตำแหน่งกันได้ปริภูมิเวกเตอร์ซุปเปอร์ใดๆบนสามารถฝังอยู่ในโมดูลบน ได้โดยพิจารณาผลคูณเทนเซอร์ (แบบแบ่งระดับ) ${\displaystyle N}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.}$

หมวดหมู่ของซูเปอร์เวกเตอร์สเปซซึ่งแทนด้วยคือหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นซูเปอร์เวกเตอร์สเปซ (เหนือฟิลด์คงที่) และมอร์ฟิซึม ของหมวดหมู่นี้ เป็นการ แปลงเชิงเส้น คู่ (กล่าวคือ การแปลงที่รักษาระดับ) ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$

แนวทางเชิงหมวดหมู่สำหรับพีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง คือการกำหนดนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับวัตถุพีชคณิตธรรมดา (ที่ไม่มีระดับ) ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ ก่อน แล้วจึงถ่ายโอนสิ่งเหล่านี้ไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ขั้นสูงโดยตรง ซึ่งนำไปสู่การจัดการกับ "วัตถุขั้นสูง" เช่นพีชคณิตขั้นสูงพีชคณิตขั้นสูงของลีกลุ่มขั้นสูงฯลฯ ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันอย่างสมบูรณ์กับวัตถุที่ไม่มีระดับ

หมวดหมู่นี้เป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลโดยมีผลคูณเทนเซอร์ซูเปอร์เป็นผลคูณโมโนอิดัล และปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์คู่บริสุทธิ์เป็นวัตถุหน่วย ตัวดำเนินการถักเปียแบบผกผัน ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$

${\displaystyle \tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,}$

มอบให้โดย

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\oคูณ y)=(-1)^{|x||y|}y\oคูณ x}$

เมื่อพิจารณาองค์ประกอบเอกพันธุ์ จะกลายเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตร ไอโซมอร์ฟิซึมการสลับที่นี้เข้ารหัส "กฎของเครื่องหมาย" ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง โดยหลักแล้วหมายความว่าเครื่องหมายลบจะถูกนำมาใช้เมื่อใดก็ตามที่มีการสลับองค์ประกอบคี่สองตัว ไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับเครื่องหมายในบริบทของหมวดหมู่ตราบใดที่ใช้ตัวดำเนินการข้างต้นในทุกที่ที่เหมาะสม ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$นอกจากนี้ยังเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบปิดที่มีวัตถุภายใน Hom , , ซึ่งกำหนดโดยปริภูมิเวกเตอร์ซุปเปอร์ของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมด จาก ไป ยัง เซตปกติคือปริภูมิย่อยคู่ในนั้น: ${\displaystyle \mathbf {หอม} (V,W)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathrm {หอม} }$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเซตปิดหมายความว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันโดยกำหนดให้เป็นการจับคู่แบบทั่วถึงตามธรรมชาติ ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle -\otimes V}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W))}$

ซูเปอร์แอลเจบราเหนือสามารถอธิบายได้ว่าเป็นซูเปอร์เวกเตอร์สเปซที่มีแผนที่การคูณ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},}$

นั่นคือโฮโมมอร์ฟิซึมของพื้นที่เวกเตอร์ซูเปอร์ ซึ่งเทียบเท่ากับการเรียกร้อง^{[ 5 ]}

${\displaystyle |ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}}$

คุณสมบัติการสลับที่และการมีอยู่ของเอกลักษณ์สามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพการสลับที่ตามปกติ ดังนั้น ซูเปอร์อัลเจบราแบบ สลับที่ที่มีเอกลักษณ์เหนือจึงเป็นโมโนอิดในหมวดหมู่ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$