ในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันการฉายภาพคือการแปลงเชิงเส้น จากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังตัวมันเอง (เอนโดมอร์ฟิซึม ) โดยที่นั่นคือ เมื่อใดก็ตามที่ใช้สองครั้งกับเวกเตอร์ใดๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกับการใช้เพียงครั้งเดียว (กล่าวคือ เป็นตัวผกผัน ) มันจะไม่เปลี่ยนแปลงภาพ ของเวกเตอร์ ^{[ 1 ]}คำจำกัดความของ "การฉายภาพ" นี้เป็นการทำให้เป็นทางการและขยายแนวคิดของการฉายภาพกราฟิกเรายังสามารถพิจารณาผลของการฉายภาพบนวัตถุทางเรขาคณิตได้โดยการตรวจสอบผลของการฉายภาพบนจุดต่างๆในวัตถุ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P\circ P=P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

การฉายภาพบนปริภูมิเวกเตอร์คือตัวดำเนินการเชิงเส้นซึ่งมีคุณสมบัติว่า. ${\displaystyle V}$${\displaystyle P\โคลอน V\ถึง V}$${\displaystyle P^{2}=P}$

เมื่อปริภูมิมีผลคูณภายในและสมบูรณ์ กล่าว คือเมื่อเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต เราสามารถใช้แนวคิดเรื่องความเป็นตั้งฉากได้ การฉายภาพ บนปริภูมิฮิลเบิร์ตเรียกว่าการฉายภาพตั้งฉากถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกค่าการฉายภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ไม่ตั้งฉากเรียกว่าการฉายภาพเฉียง ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \ใน V}$

• เมทริกซ์จัตุรัส เรียกว่าเมทริกซ์ฉายภาพถ้ามันเท่ากับกำลังสองของมัน กล่าวคือ ถ้า[ ^{2 ] :หน้า 38} ${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P}$
• เมทริกซ์จัตุรัสเรียกว่าเมทริกซ์ฉายภาพเชิงตั้งฉากถ้าสำหรับเมทริกซ์จริงและสำหรับ เมทริกซ์ เชิงซ้อน ตามลำดับ โดยที่แทนทรานสโพสของและ แทน ทรานสโพสแอดจอยต์หรือ เฮอ ร์ มิเชียน ของ^{[ 2 ] : หน้า 223} ${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle P^{2}=P=P^{*}}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$
• เมทริกซ์การฉายภาพที่ไม่ใช่เมทริกซ์การฉายภาพเชิงตั้งฉาก เรียกว่าเมทริกซ์การฉายภาพเชิงเฉียง

ค่าไอเกนของเมทริกซ์การฉายภาพต้องเป็น 0 หรือ 1 เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แปลงจุดในปริภูมิสามมิติไปยังจุดนั้นคือการฉายภาพเชิงตั้งฉากลงบน ระนาบ xyฟังก์ชันนี้แสดงด้วยเมทริกซ์ ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,0)}$$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

การกระทำของเมทริกซ์นี้ต่อเวกเตอร์ ใดๆ คือ $${\displaystyle P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.}$$

เพื่อให้เห็นว่าเป็นการฉายภาพจริง ๆ กล่าวคือเราจึงคำนวณ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P=P^{2}}$$${\displaystyle P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

จากการสังเกตพบว่า การฉายภาพนั้นเป็นการฉายภาพแบบตั้งฉาก ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$

ตัวอย่างง่ายๆ ของการฉายภาพแบบไม่ตั้งฉาก (เฉียง) คือ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$$

จากการคูณเมทริกซ์ทำให้เห็นว่า เป็นการฉายภาพอย่างแท้จริง $${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$$${\displaystyle P}$

การฉายภาพจะเป็นแบบตั้งฉากก็ต่อเมื่อ เพราะเฉพาะในกรณีนั้นเท่านั้น${\displaystyle P}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P.}$

ตามนิยามแล้ว การฉายภาพ (projection) นั้นเป็นแบบไม่เปลี่ยนแปลงสถานะ (idempotent ) (เช่น) ${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P}$

การฉายภาพแต่ละครั้งเป็นการแมปแบบเปิดไปยังภาพของมัน ซึ่งหมายความว่ามันจะแมปเซตเปิดแต่ละเซตในโดเมนไปยังเซตเปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยของภาพกล่าวคือ สำหรับเวกเตอร์ใดๆและลูกบอลใดๆ(ที่มีรัศมีเป็นบวก) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จะมีลูกบอล(ที่มีรัศมีเป็นบวก) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ซึ่งบรรจุอยู่ในภาพทั้งหมด ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle B_{\mathbf {x} }}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle B_{P\mathbf {x} }}$${\displaystyle P\mathbf {x} }$${\displaystyle P(B_{\mathbf {x} })}$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด และเป็นการฉายภาพบน สมมติ ว่าปริภูมิย่อยและเป็นภาพและเคอร์เนลของตามลำดับ แล้วจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$${\displaystyle W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

1. ${\displaystyle P}$คือตัวดำเนินการเอกลักษณ์ บน:${\displaystyle I}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .}$$
2. เรามีผลรวมโดยตรง เวกเตอร์ทุกตัวสามารถแยกส่วนได้อย่างไม่ซ้ำกัน โดยที่และและ โดยที่${\displaystyle W=U\oplus V}$${\displaystyle \mathbf {x} \in W}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =P\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(I-P\right)\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.}$

ภาพและเคอร์เนลของการฉายภาพเป็นส่วนเติมเต็มเช่นเดียวกับและตัวดำเนินการก็เป็นการฉายภาพเช่นกัน เนื่องจากภาพและเคอร์เนลของจะกลายเป็นเคอร์เนลและภาพของและในทางกลับกัน เรากล่าวว่าเป็นการฉายภาพตามไปยัง(เคอร์เนล/ภาพ) และเป็นการฉายภาพตามไป ยัง${\displaystyle P}$${\displaystyle Q=I-P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

ในปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์สเปกตรัมของการฉายภาพจะบรรจุอยู่ในโดยที่ ค่าลักษณะเฉพาะของการฉายภาพ จะมีเพียง 0 หรือ 1 เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าการฉายภาพเชิงตั้งฉากจะเป็น เมทริกซ์กึ่งบวกเสมอโดยทั่วไปแล้วปริภูมิลักษณะ เฉพาะที่สอดคล้องกัน จะเป็น (ตามลำดับ) เคอร์เนลและเรนจ์ของการฉายภาพ การแยกปริภูมิเวกเตอร์ออกเป็นผลรวมโดยตรงนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ ดังนั้น เมื่อกำหนดปริภูมิย่อยอาจมีหลายการฉายภาพที่มีเรนจ์ (หรือเคอร์เนล) เป็น ${\displaystyle \{0,1\}}$$${\displaystyle (\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

ถ้าการฉายภาพไม่ใช่การฉายภาพแบบธรรมดา มันจะมีพหุนามขั้นต่ำ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน และดังนั้นจึงสามารถทำให้เป็น แนวทแยง ได้${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}$${\displaystyle P}$

โดยทั่วไปแล้ว ผลคูณของโปรเจกชันจะไม่ใช่โปรเจกชัน แม้ว่าโปรเจกชันเหล่านั้นจะตั้งฉากกันก็ตาม ถ้าโปรเจกชันสองตัวสลับที่กันได้ ผลคูณของโปรเจกชันทั้งสองจะเป็นโปรเจกชัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จริง กล่าวคือ ผลคูณของโปรเจกชันสองตัวที่ไม่สลับที่กันได้ อาจจะเป็นหรือไม่เป็นโปรเจกชันก็ได้

ถ้าการฉายภาพเชิงตั้งฉากสองแบบสลับที่ได้กัน ผลคูณของการฉายภาพเชิงตั้งฉากทั้งสองนั้นก็จะเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากเช่นกัน และถ้าผลคูณของการฉายภาพเชิงตั้งฉากสองแบบเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉาก การฉายภาพเชิงตั้งฉากทั้งสองนั้นก็จะสลับที่ได้กัน (โดยทั่วไปแล้ว เอนโดมอร์ฟิซึมแบบสมมาตรสองตัวจะสลับที่ได้กันก็ต่อเมื่อผลคูณของเอนโดมอร์ฟิซึมแบบสมมาตรสองตัวนั้น)

เมื่อปริภูมิเวกเตอร์มีผลคูณภายในและสมบูรณ์ (เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ) แนวคิดเรื่องความเป็นตั้งฉากสามารถนำมาใช้ได้การฉายภาพเชิงตั้งฉากคือการฉายภาพที่เรนจ์และเคอร์เนลเป็นปริภูมิย่อยเชิงตั้งฉากดังนั้น สำหรับทุกและใน, หรือเทียบเท่ากับ: ${\displaystyle W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

การฉายภาพจะตั้งฉากได้ก็ต่อเมื่อมันสมมาตรในตัวเอง เท่านั้น โดยใช้คุณสมบัติสมมาตรในตัวเองและเอกลักษณ์ของสำหรับทุก ๆและในเรามี, , และ โดยที่คือผลคูณภายในที่เกี่ยวข้องกับดังนั้นและเป็นการฉายภาพตั้งฉาก^{[ 3 ]}ทิศทางอื่น กล่าวคือ ถ้าตั้งฉากได้ แล้วมันจะสมมาตรในตัวเอง เป็นผลมาจากการบ่งชี้จากไปยัง สำหรับ ทุก ๆและในดังนั้น${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle P\mathbf {x} \in U}$${\displaystyle \mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V}$$${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\left(P-P^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I-P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =0}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf {y} \rangle }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P=P^{*}}$

การมีอยู่ของการฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยปิดเป็นผลมาจากทฤษฎีบทการฉายภาพของฮิลเบิร์ต

การฉายภาพเชิงตั้งฉากเป็นตัว ดำเนินการที่มีขอบเขตเนื่องจากสำหรับทุก ๆในปริภูมิเวกเตอร์ เรามีตามอสมการโคชี-ชวาร์ซว่า : ดังนั้น${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|^{2}=\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|}$$${\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|}$

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนหรือเชิงจริงที่มีมิติจำกัดสามารถใช้ผลคูณภายในมาตรฐาน แทน ได้ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

กรณีง่ายๆ เกิดขึ้นเมื่อการฉายภาพเชิงตั้งฉากอยู่บนเส้นตรง ถ้าเป็นเวกเตอร์หน่วยบนเส้นตรง การฉายภาพจะได้รับจากผลคูณภายนอก (ถ้าเป็นค่าเชิงซ้อน ทรานสโพสในสมการข้างต้นจะถูกแทนที่ด้วยทรานสโพสเฮอร์มิเชียน) ตัวดำเนินการนี้ทำให้uไม่เปลี่ยนแปลง และทำลายเวกเตอร์ทั้งหมดที่ตั้งฉากกับซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากบนเส้นตรงที่มี u อยู่จริง[ 4 ^{]วิธีง่ายๆ}ในการมองเห็นสิ่งนี้คือการพิจารณาเวกเตอร์ใดๆเป็นผลรวมของส่วนประกอบบนเส้นตรง (เช่น เวกเตอร์ที่ฉายภาพที่เรากำลังมองหา) และอีกส่วนประกอบหนึ่งที่ตั้งฉากกับมันเมื่อใช้การฉายภาพ เราจะได้ จากคุณสมบัติของผลคูณดอทของเวกเตอร์ขนานและตั้งฉาก ${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }}$$${\displaystyle P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatorname {sgn} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }\right)\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }}$$

สูตรนี้สามารถขยายไปสู่การฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยที่มีมิติ ใดๆ ก็ได้ ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิย่อยโดยสมมติว่าจำนวนเต็มและให้แทนเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นนั่นคือแล้วการฉายภาพจะกำหนดโดย: ^{[ 5 ]} ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle P_{A}=AA^{\mathsf {T}}}$$$${\displaystyle P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.}$$

เมทริกซ์คือไอโซเมตรีบางส่วนที่หายไปบนส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของและเป็นไอโซเมตรีที่ฝังตัวอยู่ ในปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน ดังนั้นช่วงของ จึงเป็น ปริภูมิสุดท้ายของนอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดว่าคือตัวดำเนินการเอกลักษณ์บน ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle U}$

เงื่อนไขความเป็นออร์โทนอร์มอลสามารถละทิ้งได้เช่นกัน ถ้า เป็น ฐาน (ไม่จำเป็นต้องเป็นออร์โทนอร์มอล) ที่มีและเป็นเมทริกซ์ที่มีเวกเตอร์เหล่านี้เป็นคอลัมน์ การฉายภาพจะเป็นดังนี้: ^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}.}$$

เมทริกซ์ยังคงฝังตัวอยู่ในปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน แต่ไม่ใช่ไอโซเมตรีโดยทั่วไปอีกต่อไป เมทริกซ์เป็น "ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน" ที่กู้คืนค่ามาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการ อันดับ -1 ไม่ใช่การฉายภาพหากหลังจากหารด้วยเราจะได้การฉายภาพไปยังปริภูมิย่อยที่เกิดจาก ${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},}$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle u}$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถมีเมทริกซ์บวกกำหนด ใดๆ ที่กำหนดผลคูณภายในได้และการฉายภาพจะกำหนดโดย จากนั้น ${\displaystyle D}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx}$${\displaystyle P_{A}}$${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}$$${\displaystyle P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}DA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}D.}$$

เมื่อปริภูมิช่วงของการฉายภาพถูกสร้างขึ้นโดยเฟรม (กล่าวคือ จำนวนตัวสร้างมากกว่ามิติของมัน) สูตรสำหรับการฉายภาพจะมีรูปแบบดังนี้: โดยที่หมายถึงผกผันเทียมของมัวร์-เพนโรสนี่เป็นเพียงหนึ่งในหลายวิธีในการสร้างตัวดำเนินการฉายภาพ ${\displaystyle P_{A}=AA^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$

ถ้าเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เอกฐานและ(กล่าวคือเป็น เมทริกซ์ ช่องว่างว่างของ) ^{[ 8 ]}ข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}B=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}A&O\\O&B^{\mathsf {T}}B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\[4pt]&=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$$

หากเงื่อนไขเชิงตั้งฉากได้รับการปรับปรุงให้เป็นแบบไม่เอกฐาน จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\\\left(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}W.}$$

สูตรทั้งหมดนี้ใช้ได้กับปริภูมิผลคูณภายในที่ซับซ้อนเช่นกัน โดยมีเงื่อนไขว่า ต้องใช้ การสลับตำแหน่งแบบสังยุคแทนการสลับตำแหน่ง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลรวมของโปรเจคเตอร์สามารถพบได้ใน Banerjee และ Roy (2014) ^{[ 9 ]}ดู Banerjee (2004) ^{[ 10 ]}สำหรับการประยุกต์ใช้ผลรวมของโปรเจคเตอร์ในตรีโกณมิติ ทรงกลม พื้นฐาน

บางครั้ง คำว่าการฉายภาพเฉียง (oblique projections)ถูกใช้เพื่ออ้างถึงการฉายภาพที่ไม่ตั้งฉาก การฉายภาพเหล่านี้ยังใช้เพื่อแสดงรูปทรงเชิงพื้นที่ในภาพวาดสองมิติ (ดูการฉายภาพเฉียง ) แม้ว่าจะไม่บ่อยเท่าการฉายภาพตั้งฉากก็ตาม ในขณะที่การคำนวณค่าที่ได้จากการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาต้องใช้การฉายภาพตั้งฉาก การคำนวณค่าที่ได้จากการถดถอยตัวแปรเครื่องมือ (instrumental variables regression)ต้องใช้การฉายภาพเฉียง

การฉายภาพถูกกำหนดโดยเคอร์เนลและเวกเตอร์ฐานที่ใช้ในการกำหนดช่วง (ซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของเคอร์เนล) เมื่อเวกเตอร์ฐานเหล่านี้ตั้งฉากกับเคอร์เนล การฉายภาพนั้นจะเป็นการฉายภาพตั้งฉาก เมื่อเวกเตอร์ฐานเหล่านี้ไม่ตั้งฉากกับเคอร์เนล การฉายภาพนั้นจะเป็นการฉายภาพเฉียง หรือเรียกง่ายๆ ว่าการฉายภาพ

ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยที่และสมมติว่าไม่ใช่ตัวดำเนินการศูนย์ ให้เวกเตอร์เป็นฐานสำหรับช่วงของและประกอบเวกเตอร์เหล่านี้ในเมทริกซ์แล้วมิฉะนั้นและเป็นตัวดำเนินการศูนย์ ช่วงและเคอร์เนลเป็นปริภูมิเสริมกัน ดังนั้นเคอร์เนลจึงมีมิติ ดังนั้นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเคอร์เนลจึง มีมิติ ให้เป็นฐานสำหรับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเคอร์เนลของการฉายภาพ และประกอบเวกเตอร์เหล่านี้ในเมทริกซ์แล้วการฉายภาพ(โดยมีเงื่อนไข) จะกำหนดโดย ${\displaystyle P\colon V\to V}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k\geq 1}$$${\displaystyle P=A\left(B^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}.}$$

นิพจน์นี้เป็นการขยายสูตรสำหรับการฉายภาพเชิงตั้งฉากที่ให้ไว้ข้างต้น^{[ 11 ] [ 12 ]}การพิสูจน์มาตรฐานของนิพจน์นี้มีดังต่อไปนี้ สำหรับเวกเตอร์ใดๆในปริภูมิเวกเตอร์เราสามารถแยกส่วนโดยที่เวกเตอร์อยู่ในภาพของและเวกเตอร์ดังนั้นและจากนั้นอยู่ในเคอร์เนลของซึ่งเป็นปริภูมิว่างของกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์อยู่ในปริภูมิคอลัมน์ของดังนั้นสำหรับเวกเตอร์มิติ บางตัว และเวกเตอร์เป็นไปตามเงื่อนไขโดยการสร้างของนำเงื่อนไขเหล่านี้มารวมกัน เราจะพบเวกเตอร์เพื่อให้ เนื่องจากเมทริกซ์และมีอันดับเต็มโดยการสร้างเมทริกซ์ - สามารถผกผันได้ ดังนั้นสมการ จึง ให้เวกเตอร์ด้วยวิธีนี้สำหรับเวกเตอร์ใดๆและดังนั้น ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} ).}$${\displaystyle P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}A}$${\displaystyle B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {w} =(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} .}$${\displaystyle P\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} =A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$${\displaystyle P=A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}}$

ในกรณีที่เป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉาก เราสามารถใช้และจะได้ว่าโดยใช้สูตรนี้ เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าโดยทั่วไป ถ้าปริมาณเวกเตอร์อยู่เหนือฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน เราจะใช้การสลับเปลี่ยนแบบเฮอร์มิเชียนและได้สูตร โปรดจำไว้ว่าเราสามารถแสดงผกผันแบบมัวร์-เพนโรสของเมทริกซ์ได้ด้วยเนื่องจากมีอันดับคอลัมน์เต็มดังนั้น ${\displaystyle P}$${\displaystyle A=B}$${\displaystyle P=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle P=P^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P=AA^{+}}$

${\displaystyle I-P}$นอกจากนี้ยังเป็นการฉายภาพเฉียงด้วย ค่าเอกลักษณ์ของและสามารถคำนวณได้โดยใช้ฐานเชิงตั้งฉากของให้ เป็นฐานเชิงตั้งฉากของและให้เป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของแทนค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ ด้วยค่าบวกด้วยเหตุนี้ ค่าเอกลักษณ์สำหรับคือ: ^{[ 13 ]} และค่าเอกลักษณ์สำหรับคือ ซึ่งหมายความว่าค่าเอกลักษณ์ที่ใหญ่ที่สุดของและมีค่าเท่ากัน ดังนั้นค่ามาตรฐานของเมทริกซ์ของการฉายภาพเฉียงจึงเท่ากัน อย่างไรก็ตามเลขเงื่อนไขเป็นไปตามความสัมพันธ์และจึงไม่จำเป็นต้องเท่ากัน ${\displaystyle P}$${\displaystyle I-P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q_{A}^{\perp }}$${\displaystyle Q_{A}}$${\displaystyle Q_{A}^{T}A(B^{T}A)^{-1}B^{T}Q_{A}^{\perp }}$${\displaystyle \gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle I-P}$$${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\1&k+1\leq i\leq n-k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle I-P}$${\displaystyle \kappa (I-P)={\frac {\sigma _{1}}{1}}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (P)}$

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์ (ในกรณีนี้คือระนาบ) ที่เกิดจากการรวมกันโดยเวกเตอร์ตั้งฉากให้เป็นเวกเตอร์ เราสามารถกำหนดการฉายภาพของไปยังได้เป็น โดย ที่ดัชนีที่ซ้ำกันจะถูกบวกเข้าด้วยกัน ( สัญกรณ์ผลรวมของไอน์สไตน์ ) เวกเตอร์สามารถเขียนได้เป็นผลรวมตั้งฉาก โดยที่บางครั้งจะใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยมีทฤษฎีบทในพีชคณิตเชิงเส้นที่กล่าวว่า นี่คือระยะทางที่สั้นที่สุด ( ระยะทางตั้งฉาก ) จากไปยังและมักใช้ในสาขาต่างๆ เช่น การเรียนรู้ ของ เครื่อง${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle V}$

การฉายภาพใดๆบนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเหนือฟิลด์จะเป็นเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เนื่องจากพหุนามขั้นต่ำ ของมันหารลงตัว ซึ่งแยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงมีฐานอยู่ซึ่งมีรูปแบบ ${\displaystyle P=P^{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x^{2}-x}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=I_{r}\oplus 0_{d-r}}$

โดยที่อันดับของคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดคือเมทริกซ์ศูนย์ขนาดและคือ ตัวดำเนินการ ผลรวมโดยตรงถ้าปริภูมิเวกเตอร์เป็นเชิงซ้อนและมีผลคูณภายในแล้วจะมี ฐาน ออร์โทนอร์มอลซึ่งเมทริกซ์ของPคือ^{[ 14 ]}${\displaystyle r}$${\displaystyle P}$${\displaystyle I_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0_{d-r}}$${\displaystyle d-r}$${\displaystyle \oplus }$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.}$

โดยที่. จำนวนเต็มและจำนวนจริงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน . ตัวประกอบสอดคล้องกับปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนสูงสุดที่ทำหน้าที่เป็นการ ฉายภาพ เชิงตั้งฉาก (ดังนั้นPเองจะเป็นเชิงตั้งฉากก็ต่อเมื่อ) และบล็อก สอดคล้องกับส่วนประกอบ เฉียง${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0}$${\displaystyle k,s,m}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle 2k+s+m=d}$${\displaystyle I_{m}\oplus 0_{s}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

เมื่อปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน เป็น ปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน (ไม่จำเป็นต้องมีมิติจำกัด) จะต้องพิจารณาคำถามเชิงวิเคราะห์ ซึ่งไม่เกี่ยวข้องในกรณีมิติจำกัด สมมติว่าตอนนี้เป็นปริภูมิบานาค ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ผลลัพธ์ทางพีชคณิตหลายอย่างที่กล่าวถึงข้างต้นยังคงใช้ได้ในบริบทนี้ การแยกส่วนผลรวมโดยตรงของออกเป็นปริภูมิย่อยที่เสริมกันยังคงระบุการฉายภาพ และในทางกลับกัน ถ้าเป็นผลรวมโดยตรงแล้วตัวดำเนินการที่กำหนดโดยยังคงเป็นการฉายภาพที่มีช่วงและเคอร์เนลนอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดว่า ในทางกลับกัน ถ้าเป็นการฉายภาพบนนั่นคือแล้วสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า กล่าวอีกนัยหนึ่งก็เป็นการฉายภาพเช่นกัน ความสัมพันธ์บ่งชี้ว่าและเป็นผลรวมโดยตรง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=U\oplus V}$${\displaystyle P(u+v)=u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle (1-P)^{2}=(1-P)}$${\displaystyle 1-P}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle 1=P+(1-P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)}$

อย่างไรก็ตาม ในทางตรงกันข้ามกับกรณีมิติจำกัด การฉายภาพไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องเสมอไป หากปริภูมิย่อยของไม่ปิดในโทโพโลยีของนอร์ม การฉายภาพไปยังจะไม่ต่อเนื่อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิสัยของการฉายภาพที่ต่อเนื่องจะต้องเป็นปริภูมิย่อยปิด ยิ่งไปกว่านั้น เคอร์เนลของการฉายภาพที่ต่อเนื่อง (อันที่จริง ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องโดยทั่วไป) จะปิด ดังนั้นการฉายภาพที่ต่อเนื่องจะให้การแยกส่วนของ ออก เป็น ปริภูมิย่อยปิดสองปริภูมิที่เสริมกัน: ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)}$

บทกลับก็เป็นจริงเช่นกัน โดยมีข้อสมมติเพิ่มเติม สมมติว่าเป็นปริภูมิย่อยปิดของถ้ามีปริภูมิย่อยปิดอยู่ซึ่งX = U ⊕ Vแล้วการฉายภาพที่มีพิสัยและเคอร์เนลจะต่อเนื่อง ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทกราฟปิดสมมติว่าx _n → xและPx _n → yจำเป็นต้องแสดงว่าเนื่องจากเป็นปริภูมิปิดและ{ Px _n } ⊂ Uดังนั้นyอยู่ใน นั่นคือPy = yนอกจากนี้x _n − Px _n = ( I − P ) x _n → x − yเนื่องจากเป็นปริภูมิปิดและ{( I − P ) x _n } ⊂ Vเราจึงมีนั่นคือซึ่งพิสูจน์ข้อกล่าวอ้าง ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Px=y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x-y\in V}$${\displaystyle P(x-y)=Px-Py=Px-y=0}$

ข้อโต้แย้งข้างต้นใช้สมมติฐานที่ว่าทั้งและเป็นปริภูมิปิด โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดปริภูมิย่อยปิดอาจไม่จำเป็นต้องมีปริภูมิย่อยปิดที่เติมเต็มแม้ว่าสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตจะสามารถทำได้เสมอโดยการหาปริภูมิเติมเต็มเชิงตั้งฉากสำหรับปริภูมิบานาค ปริภูมิย่อยหนึ่งมิติจะมีปริภูมิย่อยเติมเต็มที่เป็นปริภูมิปิดเสมอ นี่เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคให้เป็นปริภูมิเชิงเส้นที่แผ่ ขยายจาก ตามทฤษฎีบท ฮาห์น-บานาค จะมีฟังก์ชันเชิงเส้น ที่มีขอบเขต เช่นนั้นφ ( u ) = 1ตัวดำเนินการ เป็นไปตามเงื่อนไข นั่นคือ เป็นการ ฉายภาพ การมีขอบเขตของบ่งบอกถึงความต่อเนื่องของและดังนั้น จึง เป็นปริภูมิย่อยเติมเต็มที่เป็น ปริภูมิ ปิดของ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P(x)=\varphi (x)u}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)}$${\displaystyle U}$

การฉายภาพ (ทั้งแบบตั้งฉากและแบบอื่นๆ) มีบทบาทสำคัญในอัลกอริธึมสำหรับปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นบางประเภท:

• การแยกส่วน QR (ดูการแปลง Householderและการแยกส่วน Gram–Schmidt )
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์
• การลดรูปให้อยู่ใน รูปแบบ เฮสเซนเบิร์ก (ขั้นตอนแรกในอัลกอริธึมการหาค่าลักษณะเฉพาะ หลายๆ แบบ )
• การถดถอยเชิงเส้น
• องค์ประกอบเชิงฉายของพีชคณิตเมทริกซ์ถูกนำมาใช้ในการสร้างกลุ่ม K บางกลุ่มในทฤษฎีตัวดำเนินการ K

ดังที่กล่าวมาข้างต้น การฉายภาพเป็นกรณีพิเศษของตัวผกผันเอกลักษณ์ ในทางวิเคราะห์ การฉายภาพเชิงตั้งฉากเป็นการวางนัยทั่วไปแบบไม่สลับที่ของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ตัวผกผันเอกลักษณ์ถูกใช้ในการจำแนกประเภท เช่นพีชคณิตกึ่งง่ายในขณะที่ทฤษฎีการวัดเริ่มต้นด้วยการพิจารณาฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตที่วัดได้ดังนั้น ดังที่คาดเดาได้ การฉายภาพจึงพบได้บ่อยมากในบริบทของพีชคณิตตัวดำเนินการโดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตฟอนนอยมันน์ถูกสร้างขึ้นโดยแลตทิซ ที่สมบูรณ์ ของการฉายภาพ

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดแผนที่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานเราสามารถขอให้แผนที่นี้เป็นไอโซเมตรีบนส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเคอร์เนลได้ในทำนองเดียวกัน กล่าวคือต้องเป็นไอโซเมตรี (เปรียบเทียบกับไอโซเมตรีบางส่วน ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องเป็นแบบทั่วถึงกรณีของการฉายภาพเชิงตั้งฉากคือเมื่อWเป็นปริภูมิย่อยของVในเรขาคณิตแบบรีมันน์สิ่งนี้ถูกนำไปใช้ในนิยามของการแทรกแบบรีมันน์ ${\displaystyle T\colon V\to W,}$${\displaystyle (\ker T)^{\perp }\to W}$

• เมทริกซ์จัดศูนย์กลางซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของเมทริกซ์การฉายภาพ
• อัลกอริทึมการฉายภาพของ Dykstraเพื่อคำนวณการฉายภาพลงบนจุดตัดของเซต
• ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง
• การวิเคราะห์สเปกตรัมกำลังสองน้อยที่สุด
• การตั้งฉาก
• คุณสมบัติของร่องรอย

• วิดีโอการบรรยายเรื่องเมทริกซ์การฉายภาพในวิชาพีชคณิตเชิงเส้นของ MITบน YouTubeจาก MIT OpenCourseWare
• พีชคณิตเชิงเส้น 15d: การแปลงเชิงฉายภาพ (Projection Transformation)บน YouTubeโดย Pavel Grinfeld
• บทช่วยสอนเกี่ยวกับการฉายภาพเชิงเรขาคณิตบนระนาบ – บทช่วยสอนที่เข้าใจง่ายซึ่งอธิบายถึงประเภทต่างๆ ของการฉายภาพเชิงเรขาคณิตบนระนาบ