ในคณิตศาสตร์และสถิติหลายตัวแปรเมทริกซ์ศูนย์กลาง^{[ 1 ]}เป็น เมทริกซ์ สมมาตรและเอกลักษณ์ซึ่งเมื่อคูณกับเวกเตอร์จะมีผลเช่นเดียวกับการลบค่าเฉลี่ยของส่วนประกอบของเวกเตอร์ออกจากทุกส่วนประกอบของเวกเตอร์นั้น

เมทริกซ์ศูนย์กลางขนาดnถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ ขนาด n x n

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดnและเป็น เมทริกซ์ ขนาดn x n ที่ประกอบด้วยเลข 1 ทั้งหมด${\displaystyle I_{n}\,}$${\displaystyle J_{n}}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$,

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์คอลัมน์ขนาดn คุณสมบัติการจัดกึ่งกลางของเวก เตอร์คอลัมน์นั้น สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$${\displaystyle C_{n}\,}$

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีค่าเป็นหนึ่งทั้งหมดและเป็นค่าเฉลี่ยของส่วนประกอบของ ${\displaystyle J_{n,1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \,}$

${\displaystyle C_{n}\,}$เป็นเมทริกซ์สมมาตรบวกกึ่งกำหนด

${\displaystyle C_{n}\,}$เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ดังนั้นสำหรับเมื่อลบค่าเฉลี่ยออกแล้ว ค่าจะเป็นศูนย์ และการลบออกอีกครั้งจะไม่มีผลใดๆ ${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}}$${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle C_{n}\,}$เป็นเอกพจน์ผลของการแปลงนั้นไม่สามารถย้อนกลับได้ ${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$

${\displaystyle C_{n}\,}$มีค่าไอเกน 1 ที่มีความซ้ำซ้อนn  − 1 และค่าไอเกน 0 ที่มีความซ้ำซ้อน 1

${\displaystyle C_{n}\,}$มีปริภูมิว่างที่มีมิติ 1 ตามแนวเวกเตอร์ ${\displaystyle J_{n,1}}$

${\displaystyle C_{n}\,}$คือเมทริกซ์การฉายภาพเชิงตั้งฉากกล่าวคือเป็นการฉายภาพของ ไปยัง ปริภูมิ ย่อยมิติ ( n  − 1) ซึ่งตั้งฉากกับปริภูมิว่าง(ซึ่งเป็นปริภูมิย่อยของ เวกเตอร์ nมิติทั้งหมดที่มีผลรวมของส่วนประกอบเป็นศูนย์) ${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \,}$${\displaystyle J_{n,1}}$

ร่องรอยของ คือ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$

แม้ว่าการคูณด้วยเมทริกซ์ศูนย์กลางจะไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณในการลบค่าเฉลี่ยออกจากเวกเตอร์ แต่ก็เป็นเครื่องมือวิเคราะห์ที่สะดวก สามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่ในการลบค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์เดียวเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเวกเตอร์หลายตัวที่เก็บอยู่ในแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์ขนาดm x nด้วย ${\displaystyle X}$

การคูณทางซ้ายจะลบค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันออกจากแต่ละคอลัมน์ทั้งnคอลัมน์ ทำให้แต่ละคอลัมน์ของผลคูณมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ในทำนองเดียวกัน การคูณทางขวาจะลบค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันออกจากแต่ละแถวทั้งmแถว ทำให้แต่ละแถวของผลคูณมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ การคูณทั้งสองข้างจะสร้างเมทริกซ์ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ทั้งสองด้านซึ่งค่าเฉลี่ยของแถวและคอลัมน์เท่ากับศูนย์ ${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle C_{m}\,X}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle X\,C_{n}}$${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$

เมทริกซ์การจัดศูนย์กลางโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นวิธีที่กระชับในการแสดง เมท ริกซ์การกระจายของตัวอย่างข้อมูลโดยที่คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่างเมทริกซ์การจัดศูนย์กลางช่วยให้เราสามารถแสดงเมทริกซ์การกระจายได้อย่างกระชับยิ่งขึ้นดังนี้ ${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการแจกแจงพหุนามในกรณีพิเศษที่พารามิเตอร์ของการแจกแจงนั้นคือ, และ ${\displaystyle k=n}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$