ในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมวงจรควอนตัมเป็นแบบจำลองสำหรับการคำนวณควอนตัมคล้ายกับวงจรคลาสสิกโดยที่การคำนวณคือลำดับของเกตควอนตัมการวัดการกำหนดค่าเริ่มต้นของคิวบิตให้มีค่าที่ทราบ และอาจรวมถึงการกระทำอื่นๆ ชุดการกระทำขั้นต่ำที่วงจรต้องสามารถดำเนินการกับคิวบิตเพื่อให้สามารถคำนวณควอนตัมได้เรียกว่าเกณฑ์ของ DiVincenzo

วงจรถูกเขียนโดยให้แกนแนวนอนเป็นเวลา โดยเริ่มจากด้านซ้ายและสิ้นสุดที่ด้านขวา เส้นแนวนอนแทนคิวบิต เส้นคู่แทนบิต แบบคลาสสิ ก รายการที่เชื่อมต่อด้วยเส้นเหล่านี้คือการดำเนินการที่กระทำกับคิวบิต เช่น การวัดหรือเกต เส้นเหล่านี้กำหนดลำดับของเหตุการณ์ และโดยปกติจะไม่ใช่สายเคเบิลทางกายภาพ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

การแสดงภาพกราฟิกขององค์ประกอบวงจรควอนตัมอธิบายโดยใช้รูปแบบหนึ่งของสัญกรณ์กราฟิกของเพนโรสริชาร์ด ไฟน์แมนใช้สัญกรณ์วงจรควอนตัมเวอร์ชันแรกในปี 1986 ^{[ 5 ]}

วงจรลอจิกพื้นฐานส่วนใหญ่ของคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกนั้นไม่สามารถย้อนกลับได้ดังนั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับวงจร ANDเราไม่สามารถกู้คืนบิตอินพุตสองบิตจากบิตเอาต์พุตได้เสมอไป เช่น ถ้าบิตเอาต์พุตเป็น 0 เราไม่สามารถบอกได้จากบิตนี้ว่าบิตอินพุตเป็น 01 หรือ 10 หรือ 00

อย่างไรก็ตาม เกตแบบย้อนกลับได้ในคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกนั้นสร้างได้ง่ายสำหรับสตริงบิตที่มีความยาวใดๆ ก็ได้ ยิ่งไปกว่านั้น เกตเหล่านี้ยังมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ เนื่องจากเกตแบบย้อนกลับไม่ได้จะต้องเพิ่มเอนโทรปี ทางกายภาพเสมอ เกตแบบย้อนกลับได้คือฟังก์ชันแบบย้อนกลับได้บน ข้อมูล nบิตที่ส่งคืน ข้อมูล n บิต โดยที่ ข้อมูล nบิตคือสตริงของบิตx₁ , x₂ ..., xₙ ที่ มีความยาว n ของ ข้อมูล n คือปริภูมิ {0,1} ⁿซึ่งประกอบด้วยสตริงของ 0 และ 1 จำนวน ^{2n สตริง}

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น: เกตแบบย้อนกลับได้ nบิต คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงfจากเซต {0,1} ⁿของ ข้อมูล nบิต ไปยังตัวมันเอง ตัวอย่างของเกตแบบย้อนกลับได้fคือฟังก์ชันที่ใช้การเรียงสับเปลี่ยนคงที่กับอินพุตของมัน ด้วยเหตุผลทางวิศวกรรมเชิงปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วเราจะศึกษาเกตเฉพาะค่าn น้อยๆ เช่นn = 1, n = 2 หรือn = 3 เกตเหล่านี้สามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยตาราง

เกตตรรกะควอนตัมคือการแปลงแบบเอกภาพที่ผันกลับได้ บนคิวบิตอย่างน้อยหนึ่งตัว คิวบิตหลายตัวรวมกันเรียกว่ารีจิสเตอร์ควอนตัมในการกำหนดเกตควอนตัม เราจำเป็นต้องระบุการแทนที่ควอนตัมของ ข้อมูล nบิต ก่อน เวอร์ชันควอนตัมของ ปริภูมิ nบิตแบบคลาสสิก {0,1} ⁿคือปริภูมิฮิลเบิร์ต

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}$

นี่คือปริภูมิของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนบน {0,1} ⁿ ตามนิยาม และโดยธรรมชาติแล้วเป็นปริภูมิผลคูณภายในหมายความว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ปริภูมินี้ยังสามารถพิจารณาได้ว่าประกอบด้วยการรวมเชิงเส้นหรือการซ้อนทับของสตริงบิตแบบคลาสสิก โปรดทราบว่า H เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนเชิงซ้อนที่มีมิติ 2 ⁿองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์นี้คือเวกเตอร์สถานะที่เป็นไปได้ของ รีจิสเตอร์ควอน ตัม n คิวบิต ${\displaystyle \ell ^{2}}$

ถ้าใช้สัญกรณ์ของ Dirac ket และ x , x , ..., x เป็นสตริงบิตแบบคลาสสิกแล้ว

${\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }$

เป็น รีจิสเตอร์ n-คิวบิตพิเศษที่สอดคล้องกับฟังก์ชันซึ่งแปลงสตริงบิตแบบคลาสสิกนี้ให้เป็น 1 และแปลงสตริงบิตอื่นๆ ทั้งหมดให้เป็น 0 รีจิสเตอร์ n- คิวบิต พิเศษ²ⁿ ตัวนี้ เรียกว่าสถานะฐานการคำนวณ รีจิสเตอร์ n- คิวบิต ทั้งหมดเป็นผลรวมเชิงเส้นเชิงซ้อนของสถานะฐานการคำนวณเหล่านี้

เกตตรรกะควอนตัมนั้นแตกต่างจากเกตตรรกะแบบคลาสสิกตรงที่สามารถย้อนกลับได้เสมอ จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันย้อนกลับชนิดพิเศษ นั่นคือ การ แมป แบบเอกภาพ (unitary mapping) ซึ่งก็คือการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิผลคูณภายใน เชิงซ้อน ที่รักษาผลคูณภายในแบบเฮอร์มิเชียน ไว้ เก ตควอนตัม nคิวบิต (ที่ย้อนกลับได้) คือการแมปแบบเอกภาพUจากปริภูมิ H ของ รีจิสเตอร์ nคิวบิตไปยังตัวมันเอง

โดยทั่วไป เราสนใจเฉพาะเกตสำหรับค่าn ขนาด เล็กเท่านั้น

เกตตรรกะคลาสสิกแบบ n บิต ที่ผันกลับได้จะก่อให้เกิด เกตควอนตัมแบบ nบิตที่ผันกลับได้ ดังนี้: เกตตรรกะแบบn บิตที่ผันกลับได้แต่ละตัว f จะสอดคล้องกับเกตควอนตัมW ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle W_{f}(|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle )=|f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\rangle .}$

โปรดทราบว่าW จะสลับลำดับสถานะฐานการคำนวณ

สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษคือเกต NOT ควบคุม (หรือเรียกว่า เกต CNOT ) W ซึ่งกำหนดขึ้นบนควอนตัมบิต 2 ตัว ตัวอย่างอื่นๆ ของเกตตรรกะควอนตัมที่ได้มาจากเกตแบบคลาสสิก ได้แก่เกต Toffoliและ เก ต Fredkin

อย่างไรก็ตาม โครงสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตของคิวบิตช่วยให้สามารถสร้างเกตควอนตัมได้หลายแบบ ซึ่งเกตแบบคลาสสิกไม่สามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น การเลื่อนเฟสสัมพัทธ์เป็นเกตคิวบิต 1 ตัวที่ได้จากการคูณด้วยตัวดำเนินการเลื่อนเฟส :

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}},}$

ดังนั้น

${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle \quad P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle .}$

อีกครั้ง เราจะพิจารณา การคำนวณแบบคลาสสิก ที่ย้อนกลับได้ ก่อน ในเชิงแนวคิดแล้ว ไม่มีอะไรแตกต่างกันระหว่าง วงจร nบิตที่ย้อนกลับได้กับ เกตตรรกะ nบิตที่ย้อนกลับได้: ทั้งสองอย่างเป็นเพียงฟังก์ชันที่ผกผันได้บนพื้นที่ของ ข้อมูล nบิต อย่างไรก็ตาม ดังที่กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้า ด้วยเหตุผลทางวิศวกรรม เราต้องการเกตที่ย้อนกลับได้แบบง่ายๆ จำนวนน้อย ที่สามารถนำมาประกอบกันเพื่อสร้างวงจรที่ย้อนกลับได้ใดๆ ก็ได้

เพื่ออธิบายกระบวนการประกอบนี้ สมมติว่าเรามีเกตแบบย้อนกลับได้nบิตfและเกตแบบย้อนกลับได้ mบิตgการนำเกตทั้งสองมารวมกันหมายถึงการสร้างวงจรใหม่โดยการเชื่อมต่อเอาต์พุตk ตัวของ fเข้ากับ อินพุต kตัวของgดังแสดงในรูปด้านล่าง ในรูปนั้นn = 5, k = 3 และm = 7 วงจรที่ได้นั้นก็สามารถย้อนกลับได้เช่นกันและทำงานกับ บิต จำนวน n + m − kบิต

เราจะเรียกแผนผังนี้ว่าการประกอบแบบคลาสสิก (แนวคิดนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความทางเทคนิคในบทความบุกเบิกของ Kitaev ที่อ้างถึงด้านล่าง) ในการประกอบเครื่องจักรที่ย้อนกลับได้เหล่านี้ สิ่งสำคัญคือต้องแน่ใจว่าเครื่องจักรขั้นกลางนั้นก็ย้อนกลับได้เช่นกัน เงื่อนไขนี้รับประกันว่า "ขยะ" ขั้นกลางจะไม่ถูกสร้างขึ้น (ผลทางกายภาพสุทธิคือการเพิ่มเอนโทรปี ซึ่งเป็นหนึ่งในแรงจูงใจในการดำเนินการนี้)

โปรดทราบว่าเส้นแนวนอนแต่ละเส้นในภาพด้านบนแสดงถึง 0 หรือ 1 ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเหล่านี้ เนื่องจากการคำนวณควอนตัมสามารถย้อนกลับได้ ในแต่ละ 'ขั้นตอน' จำนวนเส้นจะต้องเท่ากับจำนวนเส้นอินพุต นอกจากนี้ การรวมกันของอินพุตแต่ละชุดจะต้องถูกแมปไปยังการรวมกันเพียงชุดเดียวในแต่ละ 'ขั้นตอน' ซึ่งหมายความว่าการรวมกันระดับกลางแต่ละชุดในวงจรควอนตัมเป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งของอินพุต^{[ 6 ]}

ขณะนี้สามารถแสดงได้ว่าเกต Toffoliเป็นเกตสากล ซึ่งหมายความว่า เมื่อกำหนดวงจร คลาสสิก n บิตแบบย้อนกลับได้ h ใดๆ เราสามารถสร้างการประกอบแบบคลาสสิกของเกต Toffoli ในลักษณะข้างต้นเพื่อสร้างวงจร ( n + m ) บิตfได้ดังนี้

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},\underbrace {0,\dots ,0} )=(y_{1},\ldots ,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} )}$

โดยที่มี อินพุตศูนย์ที่ค้ำยันไม่ครบจำนวน mตัว และ

${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})=h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

โปรดสังเกตว่าผลลัพธ์จะมีสตริงของ เลขศูนย์ mตัวเป็น บิต เสริม เสมอ ไม่มีการสร้าง "ข้อมูลขยะ" ใดๆ ดังนั้นการคำนวณนี้จึงเป็นการคำนวณที่ไม่ก่อให้เกิดเอนโทรปีในเชิงกายภาพ ประเด็นนี้ได้รับการอธิบายอย่างละเอียดในบทความของ Kitaev

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันใดๆf (ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงหรือไม่) สามารถจำลองได้ด้วยวงจรเกต Toffoli เห็นได้ชัดว่า หากการแมปไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ในบางจุดของการจำลอง (เช่น ในขั้นตอนสุดท้าย) จะต้องมีการสร้าง "ข้อมูลขยะ" ขึ้นมา

สำหรับวงจรควอนตัม สามารถกำหนดองค์ประกอบของเกตคิวบิตที่คล้ายคลึงกันได้ กล่าวคือ เมื่อเชื่อมโยงกับชุดประกอบแบบคลาสสิก ใดๆ ดังที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถสร้างวงจรควอนตัมแบบย้อนกลับได้ โดยแทนที่fด้วย เกต nคิวบิตUและแทนที่gด้วย เกต mคิวบิตWดูภาพประกอบด้านล่าง:

ข้อเท็จจริงที่ว่าการเชื่อมต่อเกตในลักษณะนี้ทำให้เกิดการแมปแบบเอกภาพบนปริภูมิ คิวบิต n + m − kนั้นตรวจสอบได้ง่าย ในคอมพิวเตอร์ควอนตัมจริง การเชื่อมต่อทางกายภาพระหว่างเกตเป็นความท้าทายทางวิศวกรรมที่สำคัญ เนื่องจากเป็นหนึ่งในจุดที่อาจเกิด การเสื่อมสภาพ ของควอนตัมได้

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทความเป็นสากลสำหรับชุดเกตที่รู้จักกันดีบางชุด ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทความเป็นสากลดังกล่าวมีอยู่สำหรับคู่ที่ประกอบด้วยเกตเฟสคิวบิตเดี่ยวU ที่กล่าวถึงข้างต้น (สำหรับค่า θ ที่เหมาะสม) ร่วมกับเกต CNOT สองคิวบิต W อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทความเป็นสากลสำหรับกรณีควอนตัมนั้นอ่อนกว่าสำหรับกรณีคลาสสิกเล็กน้อย โดยยืนยันเพียงว่า วงจร nคิวบิตแบบย้อนกลับได้ใดๆ สามารถประมาณได้ดีอย่างไม่จำกัดโดยวงจรที่ประกอบขึ้นจากเกตพื้นฐานสองตัวนี้ โปรดทราบว่ามี เกตเฟสคิวบิตเดี่ยวที่เป็นไปได้ นับไม่ถ้วนหนึ่งตัวสำหรับทุกมุม θ ที่เป็นไปได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงทั้งหมดได้ด้วยวงจรจำกัดที่สร้างจาก { U , W }

จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้แสดงให้เห็นว่าวงจรควอนตัมถูกนำมาใช้ในการคำนวณอย่างไร เนื่องจากปัญหาเชิงตัวเลขที่สำคัญหลายอย่างลดทอนลงเหลือเพียงการคำนวณการแปลงเอกภาพUบนปริภูมิที่มีมิติจำกัด ( การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องอัน โด่งดัง เป็นตัวอย่างสำคัญ) เราอาจคาดหวังว่าวงจรควอนตัมบางวงจรสามารถออกแบบมาเพื่อดำเนินการแปลงUได้ ในหลักการแล้ว เราเพียงแค่ต้องเตรียม สถานะ nคิวบิต ψ เป็นการซ้อนทับที่เหมาะสมของสถานะฐานการคำนวณสำหรับอินพุตและวัดเอาต์พุตU ψ น่าเสียดายที่มีปัญหาอยู่สองประการดังนี้:

• เราไม่สามารถวัดเฟสของ ψ ที่สถานะฐานการคำนวณใดๆ ได้ ดังนั้นจึงไม่มีวิธีใดที่จะอ่านคำตอบที่สมบูรณ์ได้ นี่เป็นธรรมชาติของการวัดในกลศาสตร์ควอนตัม
• ไม่มีวิธีใดที่จะเตรียมสถานะอินพุต ψ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

นี่ไม่ได้หมายความว่าวงจรควอนตัมสำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องจะไม่ถูกนำไปใช้เป็นขั้นตอนกลางในวงจรควอนตัมอื่นๆ แต่การใช้งานจะมีความละเอียดอ่อนกว่า ในความเป็นจริง การคำนวณควอนตัมเป็นการคำนวณเชิงความน่าจะเป็น

ต่อไปนี้เราจะนำเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับวิธีที่วงจรควอนตัมสามารถจำลอง การคำนวณแบบคลาสสิกที่ มีความน่าจะเป็นได้พิจารณา วงจร r-คิวบิตUที่มีปริภูมิรีจิสเตอร์H U จึงเป็นแผนที่เอกภาพ (unitary map )

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (r)}\rightarrow H_{\operatorname {QB} (r)}.}$

เพื่อเชื่อมโยงวงจรนี้เข้ากับการแมปแบบคลาสสิกบนสตริงบิต เราจึงกำหนด

• รีจิสเตอร์อินพุตX = {0,1} ^mที่มี บิต m (แบบคลาสสิก)
• รีจิสเตอร์เอาต์พุตY = {0,1} ⁿของnบิต (แบบคลาสสิก)

เนื้อหาx = x , ..., x ของรีจิสเตอร์อินพุตแบบคลาสสิกจะถูกนำมาใช้เพื่อเริ่มต้นรีจิสเตอร์คิวบิตด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง โดยในอุดมคติแล้ว ควรทำโดยใช้สถานะฐานการคำนวณ

${\displaystyle |{\vec {x}},0\rangle =|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},\underbrace {0,\dots ,0} \rangle ,}$

โดยที่มี อินพุตศูนย์ที่ถูกค้ำยันไม่ครบจำนวน r - mตัว อย่างไรก็ตาม การเริ่มต้นที่สมบูรณ์แบบเช่นนี้เป็นไปไม่ได้เลย ดังนั้น เรามาสมมติว่าการเริ่มต้นเป็นสถานะผสมที่กำหนดโดยตัวดำเนินการความหนาแน่นS บางตัว ซึ่งอยู่ใกล้กับอินพุตในอุดมคติในเมตริกที่เหมาะสมบางอย่าง เช่น

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |}\right)\leq \delta .}$

ในทำนองเดียวกัน พื้นที่รีจิสเตอร์เอาต์พุตมีความสัมพันธ์กับรีจิสเตอร์คิวบิตโดย ตัวแปรสังเกตได้ที่มีค่าเป็นY Aโปรดทราบว่าตัวแปรสังเกตได้ในกลศาสตร์ควอนตัมมักถูกกำหนดในรูปของการวัดค่าแบบฉายภาพบนRหากตัวแปรเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง การวัดค่าแบบฉายภาพจะลดลงเหลือตระกูล {E } ที่มีดัชนีเป็นพารามิเตอร์ λ บางตัวซึ่งครอบคลุมเซตที่นับได้ ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสังเกตได้ที่มีค่าเป็น Yสามารถเชื่อมโยงกับตระกูลของการฉายภาพแบบตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ {E } ที่มีดัชนีเป็นองค์ประกอบของYโดยที่

${\displaystyle I=\sum _{y\in Y}\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} _{y}.}$

เมื่อกำหนดสถานะผสมSแล้ว จะมีการวัดความน่าจะเป็นบนY ที่สอดคล้องกันโดย

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{y}).}$

ฟังก์ชันF : X → Yจะถูกคำนวณโดยวงจร U : H → H โดยมีความคลาดเคลื่อนไม่เกิน ε ก็ต่อเมื่อสำหรับสตริงบิตx ทั้งหมด ที่มีความยาวm

${\displaystyle \left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle =\left\langle \operatorname {E} _{F(x)}U(|{\vec {x}},0\rangle ){\big |}U(|{\vec {x}},0\rangle )\right\rangle \geq 1-\epsilon .}$

ตอนนี้

${\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)-\left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle \right|\leq \operatorname {Tr} ({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |})\|U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U\|\leq \delta }$

ดังนั้น

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)\geq 1-\epsilon -\delta .}$

ทฤษฎีบท . ถ้า ε + δ < 1/2 แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็น

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{y}U)}$

สามารถใช้การสุ่มตัวอย่าง แบบเสียงข้างมาก บนY เพื่อกำหนด F ( x ) ด้วยความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดที่น้อยมาก สำหรับขนาดตัวอย่างที่ใหญ่เพียงพอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสุ่มตัวอย่างอิสระk ครั้งจากความน่าจะเป็น Pr บน Yและเลือกค่าที่ตัวอย่างมากกว่าครึ่งเห็นพ้องกัน ความน่าจะเป็นที่ค่าF ( x ) จะถูกสุ่มมากกว่าk /2 ครั้งนั้นอย่างน้อยที่สุด

${\displaystyle 1-e^{-2\gamma ^{2}k},}$

โดยที่ γ = 1/2 - ε - δ

ซึ่งได้มาจากการใช้ขอบเขตของเชอร์นอฟ (Chernoff bound )

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับวงจรควอนตัม

• สัญกรณ์ดัชนีนามธรรม
• แผนภาพโมเมนตัมเชิงมุม (กลศาสตร์ควอนตัม)
• ความซับซ้อนของวงจรและBQP
• สถานะผลคูณเมทริกซ์ใช้สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
• รีจิสเตอร์ควอนตัม
• เครือข่ายสปิน
• แผนภาพการติดตาม

• Biham, Eli ; Brassard, Gilles ; Kenigsberg, Dan; Mor, Tal (2004), "การคำนวณควอนตัมโดยปราศจากการพัวพัน", Theoretical Computer Science , 320 (1): 15– 33, arXiv : quant-ph/0306182 , doi : 10.1016/j.tcs.2004.03.041 , MR  2060181 , S2CID  295103.
• Freedman, Michael H. ; Kitaev, Alexei ; Larsen, Michael J. ; Wang, Zhenghan (2003), "การคำนวณควอนตัมเชิงทอพอโลยี", Bulletin of the American Mathematical Society , 40 (1): 31– 38, arXiv : quant-ph/0101025 , doi : 10.1090/S0273-0979-02-00964-3 , MR  1943131.
• Hirvensalo, Mika (2001), การคำนวณควอนตัม , ชุดการคำนวณทางธรรมชาติ, เบอร์ลิน: Springer-Verlag, ISBN 3-540-66783-0, MR  1931238.
• Kitaev, A. Yu. (1997), "การคำนวณควอนตัม: อัลกอริทึมและการแก้ไขข้อผิดพลาด", Uspekhi Mat. Nauk (ในภาษารัสเซีย), 52 (6(318)): 53– 112, Bibcode : 1997RuMaS..52.1191K , doi : 10.1070/RM1997v052n06ABEH002155 , MR  1611329 , S2CID  250816585.
• นีลเซ่น, ไมเคิล เอ. ; ชวง, ไอแซค แอล. (2000), การคำนวณควอนตัมและสารสนเทศควอนตัม , เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 0-521-63235-8, MR  1796805.

• Q-circuit (เก็บถาวรเมื่อ 2019-03-23 ​​ที่Wayback Machine)เป็นแพ็กเกจมาโครสำหรับวาดแผนภาพวงจรควอนตัมใน LaTeX
• โปรแกรมจำลองวงจรควอนตัม (Davy Wybiral) ( qcsimulator.github.ioบนGitHub ) เป็นโปรแกรมแก้ไขและจำลองแผนภาพวงจรควอนตัมบนเว็บเบราว์เซอร์
• Quantum Computing Playground ( Quantum-Computing-PlaygroundบนGitHub ) คือสภาพแวดล้อมการเขียนสคริปต์ควอนตัมบนเว็บเบราว์เซอร์
• Quirk - Quantum Circuit Toy ( QuirkบนGitHub ) โปรแกรมแก้ไขและจำลองแผนภาพวงจรควอนตัมบนเว็บเบราว์เซอร์