ในการคำนวณควอนตัมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในแบบจำลองวงจรควอนตัม เกตตรรกะควอนตัม (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าเกตควอนตัม ) คือวงจรควอนตัมพื้นฐานที่ทำงานบน คิวบิตจำนวนน้อยเกตตรรกะควอนตัมเป็นส่วนประกอบพื้นฐานของวงจรควอนตัม เช่นเดียวกับเกตตรรกะ แบบคลาสสิก ที่เป็นส่วนประกอบพื้นฐานของวงจรดิจิทัลทั่วไป

ตามหลักกลศาสตร์ควอนตัมระบบควอนตัมสามารถวิวัฒนาการได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง เท่านั้น คือ วิวัฒนาการแบบเอกภาพ ตามสมการชโรดิงเกอร์หรือถูกวัด (บางครั้งเรียกว่า "การสังเกต") เกตควอนตัมอธิบายการแปลงแบบเอกภาพเหล่านี้ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อระบบไม่ได้ถูกวัด คำว่า "เกตควอนตัม" ปรากฏในความสัมพันธ์กับโปรเซสเซอร์ควอนตัม และในบริบทนี้ เกตควอนตัมคือการดำเนินการเชิงตรรกะที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมใน ระดับนามธรรมของ ภาษาแอสเซมบลี (เช่นOpenQASM ) สามารถดำเนินการกับข้อมูลควอนตัม ( คิวบิตหรือสถานะควอนตัม ) ที่ประมวลผลได้ แม้ว่าเกตควอนตัมอาจเป็นอัลกอริทึมทั้งหมด (เช่นการแปลงฟูริเยร์ควอนตัม ) ก็ได้ – แต่สิ่งนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่ออัลกอริทึมดังกล่าวไม่มีการดำเนินการวัด เมื่อข้อมูลควอนตัมถูกวัด มันมักจะถูกแปลงเป็นบิตไบนารี จากนั้นจึงส่งไปยังคอมพิวเตอร์ปกติ ("คลาสสิก") โปรเซสเซอร์ควอนตัมทำหน้าที่เหมือนตัวประมวลผลร่วมสำหรับโปรเซสเซอร์ไบนารีคลาสสิกดังกล่าว

แตกต่างจากเกตตรรกะแบบคลาสสิกหลายๆ ตัว เกตตรรกะควอนตัมสามารถย้อนกลับได้ เป็นไปได้ที่จะทำการคำนวณแบบคลาสสิกโดยใช้เฉพาะเกตที่ย้อนกลับได้เท่านั้น ตัวอย่างเช่นเกต Toffoli ที่ย้อนกลับได้ สามารถใช้ในการสร้างฟังก์ชันบูลีน ทั้งหมดได้ ซึ่งมักจะต้องใช้บิตเสริม (ancilla bits ) เกต Toffoli มีสิ่งที่เทียบเท่าโดยตรงในควอนตัม แสดงให้เห็นว่าวงจรควอนตัมสามารถดำเนินการทุกอย่างที่วงจรคลาสสิกทำได้

เกตควอนตัมเป็นตัวดำเนินการเอกภาพและอธิบายได้ว่าเป็นเมทริกซ์เอกภาพที่สัมพันธ์กับฐาน ออร์ โทนอร์มอล บางอย่าง โดยปกติ จะใช้ ฐานการคำนวณซึ่งเว้นแต่จะเปรียบเทียบกับสิ่งอื่น ก็หมายความว่าสำหรับ ระบบควอนตัมระดับ d (เช่นคิวบิตรีจิสเตอร์ควอนตัมหรือคิวทริตและคิวดิต ) ^{[ 1 ] : 22–23} เวกเตอร์ฐานออร์โทนอร์มอลจะถูกติดป้ายกำกับหรือใช้สัญกรณ์ไบนารี ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

สัญลักษณ์ปัจจุบันสำหรับเกตควอนตัมได้รับการพัฒนาโดยผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัม หลายคน รวมถึง Adriano Barenco, Charles Bennett , Richard Cleve , David P. DiVincenzo , Norman Margolus , Peter Shor , Tycho Sleator, John A. Smolinและ Harald Weinfurter ^{[ 2 ]}โดยต่อยอดจากสัญลักษณ์ที่Richard Feynman นำเสนอ ในปี 1986 ^{[ 3 ]}

เกตตรรกะควอนตัมแสดงด้วยเมทริกซ์เอกภาพเกตที่ทำงานกับคิวบิต (รีจิสเตอร์ ) จะแสดงด้วยเมทริกซ์เอกภาพ และเซตของเกตทั้งหมดดังกล่าวที่มีการดำเนินการกลุ่มของการคูณเมทริกซ์^{[ a ]}คือกลุ่มเอกภาพ U(2n ⁾ [ ^{2 ] สถานะ}ควอนตัมที่เกตทำงานด้วยคือเวกเตอร์หน่วยใน มิติ เชิงซ้อนพร้อมด้วยนอร์มยุคลิดเชิงซ้อน ( นอร์ม 2 ) ^{[ 4 ] : ​​66 [ 5 ] : 56, 65} เวกเตอร์ฐาน (บางครั้งเรียกว่าสถานะเฉพาะ ) คือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หากสถานะของคิวบิตถูกวัดและสถานะควอนตัมคือการรวมเชิงเส้นของผลลัพธ์เหล่านี้ เกตควอนตัมที่พบบ่อยที่สุดทำงานบนปริภูมิเวกเตอร์ของคิวบิตหนึ่งหรือสองตัว เช่นเดียวกับเกตตรรกะคลาสสิก ทั่วไป ที่ทำงานบนบิต หนึ่งหรือสอง ตัว ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

แม้ว่าเกตตรรกะควอนตัมจะอยู่ในกลุ่มสมมาตรต่อเนื่อง แต่ ฮาร์ดแวร์จริงนั้นไม่แม่นยำและจึงมีความแม่นยำจำกัด การใช้งานเกตมักจะทำให้เกิดข้อผิดพลาด และความถูกต้องของสถานะควอนตัมจะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป หาก ใช้ การแก้ไขข้อผิดพลาดเกตที่ใช้งานได้จะถูกจำกัดให้เหลือเพียงเซตที่จำกัด^{[ 4 ] : บทที่ 10 [ 1 ] : บทที่ 14} ต่อมาในบทความนี้ เรื่องนี้จะถูกละเลย เนื่องจากจุดสนใจอยู่ที่คุณสมบัติของเกตควอนตัมในอุดมคติ

โดยทั่วไป สถานะควอนตัมจะถูกแทนด้วย "kets" ซึ่งมาจากสัญกรณ์ที่เรียกว่าbra– ket

เวกเตอร์แทนค่าคิวบิต เดี่ยว คือ

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}.}$

ในที่นี้และคือแอมพลิจูดความน่าจะเป็น เชิงซ้อน ของคิวบิต ค่าเหล่านี้กำหนดความน่าจะเป็นของการวัดค่า 0 หรือ 1 เมื่อทำการวัดสถานะของคิวบิต ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ในหัวข้อ การวัดด้านล่าง ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{1}}$

ค่าศูนย์แทนด้วยสัญลักษณ์ ket และค่าหนึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ket${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

ผลคูณเทนเซอร์ (หรือผลคูณโครเนกเกอร์ ) ใช้สำหรับรวมสถานะควอนตัม สถานะรวมสำหรับรีจิสเตอร์คิวบิตคือผลคูณเทนเซอร์ของคิวบิตที่เป็นส่วนประกอบ ผลคูณเทนเซอร์แสดงด้วยสัญลักษณ์ ` tensor`${\displaystyle \otimes }$

เวกเตอร์แทนของคิวบิตสองตัวคือ: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle |\psi \rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}.}$

การกระทำของเกตต่อสถานะควอนตัมเฉพาะนั้นหาได้จากการคูณเวกเตอร์ซึ่งแทนสถานะนั้น ด้วยเมทริกซ์ที่แทนเกต ผลลัพธ์ที่ได้คือสถานะควอนตัมใหม่:${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle .}$

สมการชโรดิงเกอร์อธิบายว่าระบบควอนตัมที่ไม่สามารถสังเกตได้ นั้น วิวัฒนาการไปตามเวลาอย่างไร และเมื่อระบบอยู่ในสภาพแวดล้อมที่เสถียร ดังนั้นจึงมีแฮมิลโท เนียนคง ที่ คำตอบของสมการนี้คือ^{[ 1 ] : 24–25} หากเวลาคงที่เสมอ อาจละเว้นได้เพื่อความง่าย และวิธีที่สถานะควอนตัมวิวัฒนาการสามารถอธิบายได้เช่นเดียวกับในส่วนด้านบน ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle .}$${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }.}$${\displaystyle t}$${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle ,}$

กล่าวคือ เกตควอนตัมคือวิธีการที่ระบบควอนตัมซึ่งไม่สามารถสังเกตได้นั้นเปลี่ยนแปลงไปในช่วงเวลาที่กำหนด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เกตคือตัวดำเนินการวิวัฒนาการเวลา แบบเอกภาพ ที่กระทำต่อสถานะควอนตัมในช่วงเวลาที่กำหนด ${\displaystyle U}$

มีประตูอยู่ จำนวนนับ ไม่ถ้วนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบางส่วนได้รับการตั้งชื่อโดยผู้เขียนหลายคน^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}และด้านล่างนี้คือบางส่วนที่ใช้บ่อยที่สุดในเอกสาร

เกตเอกลักษณ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งโดยปกติจะเขียนแทนด้วยIและถูกกำหนดสำหรับคิวบิตเดี่ยวดังนี้

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

โดยที่Iเป็นฐานอิสระและไม่เปลี่ยนแปลงสถานะควอนตัม เกตเอกลักษณ์มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อใช้ในการอธิบายผลลัพธ์ของการดำเนินการเกตต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ หรือเมื่อกล่าวถึงวงจรหลายคิวบิต

เกตควอนตัม (จากบนลงล่าง): เกตเอกลักษณ์, เกต NOT, เกต Pauli Y, เกต Pauli Z

เกต Pauli คือ เมทริกซ์ Pauliสาม เมทริกซ์ และทำงานกับคิวบิตเดียว Pauli X , YและZเทียบเท่ากับการหมุนรอบ แกน x , yและzของทรงกลม Bloch ตามลำดับ ด้วยเรเดียน^{[ b ]}${\displaystyle (X,Y,Z)}$${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle \pi }$

เกต Pauli- Xเป็นเกตควอนตัมที่เทียบเท่ากับเกต NOTสำหรับคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก โดยสัมพันธ์กับฐานมาตรฐาน, ,ซึ่งแยกแยะ แกน zบนทรงกลม Blochบางครั้งเรียกว่าการพลิกบิต (bit-flip) เนื่องจากมันแปลงค่าจาก เป็นและจาก เป็น ในทำนอง เดียวกันเกต Pauli- Y แปลงค่า จาก เป็นและจาก เป็น เกต Pauli- Z ไม่เปลี่ยนแปลง สถานะฐานและแปลงค่าจากเป็นเนื่องจากลักษณะเช่นนี้ บางครั้งเกต Pauli- Zจึงเรียกว่าการพลิกเฟส (phase-flip) ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle i|1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle -i|0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle -|1\rangle }$

เมทริกซ์เหล่านี้มักแสดงในรูปแบบดังนี้

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์ Pauli เป็นเมทริกซ์ผกผันซึ่งหมายความว่ากำลังสองของเมทริกซ์ Pauli คือเมท ริกซ์เอกลักษณ์

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ของเปาลีก็มีคุณสมบัติการสลับที่แบบผกผัน ด้วย${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์ Pauli คือตัวดำเนินการหมุนซึ่งมักเขียนในรูป${\displaystyle \sigma _{j}}$${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

เกตควบคุมจะทำงานกับคิวบิต 2 ตัวขึ้นไป โดยที่คิวบิตหนึ่งตัวขึ้นไปทำหน้าที่เป็นตัวควบคุมสำหรับการดำเนินการบางอย่าง^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่นเกต NOT ควบคุม (หรือ CNOT หรือ CX) ทำงานกับคิวบิต 2 ตัว และดำเนินการ NOT กับคิวบิตตัวที่สองเฉพาะเมื่อคิวบิตตัวแรกเป็นและมิเช่นนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อเทียบกับฐาน, , , ,จะถูกแทนด้วย เมทริกซ์ เอกภาพ เฮอร์มิ เชียน : ${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

เกต CNOT (หรือเกต Pauli- X ที่ควบคุมได้ ) สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเกตที่แมปสถานะพื้นฐานโดยที่คือ การดำเนิน การ XOR${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$${\displaystyle \oplus }$

CNOT สามารถแสดงในฐานเปาลีได้ดังนี้:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

เนื่องจาก CNOT เป็นตัวดำเนินการเอกภาพแบบเฮอร์มิเชียน จึงมีคุณสมบัติที่ว่าและและเป็นแบบ ผกผัน${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}$

โดยทั่วไปแล้ว หากUเป็นเกตที่ทำงานกับคิวบิตเดี่ยวที่มีการแสดงผลในรูปแบบเมทริกซ์

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

ดังนั้นเกตควบคุม Uจึงเป็นเกตที่ทำงานกับคิวบิตสองตัวในลักษณะที่คิวบิตตัวแรกทำหน้าที่เป็นตัวควบคุม โดยจะแมปสถานะพื้นฐานดังต่อไปนี้

แผนภาพวงจรของเกต Pauli แบบควบคุม (จากซ้ายไปขวา): CNOT (หรือ X แบบควบคุม), Y แบบควบคุม และ Z แบบควบคุม

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

เมทริกซ์ที่แสดงถึงU ที่ถูกควบคุม คือ

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

เมื่อUเป็นหนึ่งในตัวดำเนินการ Pauli X , Y , Zบางครั้งจะใช้คำที่เกี่ยวข้องว่า "controlled- X ", "controlled- Y " หรือ "controlled- Z " ^{[ 4 ] : 177–185} บางครั้งจะย่อให้เหลือเพียง C X , C YและC Z

โดยทั่วไปเกตเอกภาพควอนตัมบิต เดี่ยวใดๆ สามารถแสดงได้เป็น โดยที่Hคือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและจากนั้นU ที่ถูกควบคุม คือ${\displaystyle U=e^{iH}}$${\displaystyle {\mbox{C}}U=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

การควบคุมสามารถขยายไปยังเกตที่มีจำนวนคิวบิตตามอำเภอใจ^{[ 2 ]}และฟังก์ชันในภาษาโปรแกรม^{[ 10 ]}ฟังก์ชันสามารถกำหนดเงื่อนไขตามสถานะซ้อนทับได้^{[ 11 ] [ 12 ]}

เกตยังสามารถควบคุมได้ด้วยตรรกะแบบคลาสสิก คอมพิวเตอร์ควอนตัมถูกควบคุมโดยคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกและทำหน้าที่เหมือนโคโปรเซสเซอร์ที่รับคำสั่งจากคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกเกี่ยวกับเกตที่จะดำเนินการกับคิวบิตใด^{[ 13 ] : 42–43 [ 14 ]}การควบคุมแบบคลาสสิกเป็นเพียงการรวมหรือการละเว้นเกตในลำดับคำสั่งสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัม^{[ 4 ] : 26–28 [ 1 ] : 87–88} การทำการวัดในส่วนกลางของวงจรควอนตัม แทนที่จะเป็นส่วนท้ายนั้น เป็นเรื่องยากและท้าทายทางเทคนิคเนื่องจากปัญหาเรื่องเวลาและการสูญเสียความสอดคล้องด้วยเหตุนี้ คอมพิวเตอร์ควอนตัมบางเครื่องจึงไม่รองรับคำสั่ง if แบบคลาสสิกเหล่านี้ ซึ่งข้อมูลควอนตัมจะถูกแปลงเป็นบิต จากนั้นจึงควบคุมการไหลของโปรแกรม^{[ 15 ] [ 16 ]}

การเปลี่ยนเฟสเป็นกลุ่มของเกตควอนตัมบิตเดี่ยวที่แมปสถานะพื้นฐานและความน่าจะเป็นของการวัดค่าหรือจะไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากใช้เกตนี้ อย่างไรก็ตาม มันจะปรับเปลี่ยนเฟสของสถานะควอนตัม ซึ่งเทียบเท่ากับการลากวงกลมแนวนอน (เส้นละติจูดคงที่) หรือการหมุนรอบแกน z บนทรงกลมบล็อกด้วยมุมเรเดียน เกตการเปลี่ยนเฟสแสดงด้วยเมทริกซ์: ${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

โดยที่คือการเปลี่ยนเฟสที่มีคาบ2πตัวอย่างที่พบได้ทั่วไป ได้แก่ เกต T ( ซึ่งในอดีตเรียกว่าเกต) เกตเฟส (หรือที่รู้จักกันในชื่อเกต S เขียนเป็นSแต่ บางครั้ง Sก็ใช้สำหรับเกต SWAP) และเกตPauli- Z${\displaystyle \varphi }$${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle \pi /8}$${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \varphi =\pi .}$

เกตเปลี่ยนเฟสมีความสัมพันธ์กันดังต่อไปนี้:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

โปรดทราบว่าเกตเฟสไม่ใช่เฮอร์มิเชียน (ยกเว้นทั้งหมด) เกตเหล่านี้แตกต่างจากเกตเฮอร์มิเชียนคู่ควบของพวกมัน: เกตคู่ควบ สองตัว (หรือเกตคู่ควบสลับตำแหน่ง ) และบางครั้งรวมอยู่ในชุดคำสั่ง^{[ 17 ] [ 18 ]}${\displaystyle P(\varphi )}$${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$${\displaystyle S^{\dagger }}$${\displaystyle T^{\dagger }}$

เกต Hadamard หรือ Walsh-Hadamard ซึ่งตั้งชื่อตามJacques Hadamard ( ภาษาฝรั่งเศส: [adamaʁ] ) และJoseph L. Walshทำงานกับคิวบิตเดี่ยว มันแมปสถานะพื้นฐานและ(มันสร้างสถานะซ้อนทับที่เท่ากันหากได้รับสถานะพื้นฐานการคำนวณ) สถานะทั้งสองและบางครั้งเขียน ว่า และตามลำดับ เกต Hadamard ทำการหมุนรอบแกนที่ทรงกลม Blochและดังนั้นจึงเป็น เกต ผกผันมันถูกแทนด้วยเมทริกซ์ Hadamard : ${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |-\rangle }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

ถ้าใช้เกต Hadamard แบบHermitian (ดังนั้น ) เพื่อทำการ เปลี่ยนฐานมันจะพลิกกลับและตัวอย่างเช่นและ${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$${\displaystyle HZH=X}$${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

เกตสลับ (swap gate) สลับคิวบิตสองตัว โดยเทียบกับฐาน, , , จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

เกตสลับสามารถแยกออกเป็นรูปแบบผลรวมได้:

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

เกต Toffoli ซึ่งตั้งชื่อตามTommaso Toffoliและเรียกอีกอย่างว่าเกต CCNOT หรือเกต Deutsch เป็นเกต 3 บิตที่เป็นสากลสำหรับการคำนวณแบบคลาสสิก แต่ไม่ใช่สำหรับการคำนวณแบบควอนตัม เกต Toffoli แบบควอนตัมเป็นเกตเดียวกันที่กำหนดสำหรับ 3 คิวบิต หากเราจำกัดตัวเองให้ยอมรับเฉพาะคิวบิตอินพุตที่เป็นและเท่านั้นหากบิตสองบิตแรกอยู่ในสถานะมันจะใช้ Pauli- X (หรือ NOT) กับบิตที่สาม มิฉะนั้นจะไม่ทำอะไรเลย นี่เป็นตัวอย่างของเกต CC-U (controlled-controlled Unitary) เนื่องจากเป็นอนาล็อกควอนตัมของเกตแบบคลาสสิก มันจึงถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยตารางความจริง เกต Toffoli เป็นสากลเมื่อรวมกับเกต Hadamard คิวบิตเดี่ยว^{[ 19 ]}${\displaystyle D(\pi /2)}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

เกต Toffoli เกี่ยวข้องกับ การดำเนินการ AND ( ) และXOR ( ) แบบคลาสสิก เนื่องจากทำการแมปสถานะในฐานการคำนวณ ${\displaystyle \land }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$

ประตู Toffoli สามารถแสดงได้โดยใช้เมทริกซ์ Pauliดังนี้

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

เซตของเกตควอนตัมสากลคือเซตของเกตใดๆ ที่การดำเนินการใดๆ ที่เป็นไปได้บนคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถลดทอนลงได้ กล่าวคือ การดำเนินการเอกภาพอื่นๆ สามารถแสดงได้เป็นลำดับเกตจำนวนจำกัดจากเซตนั้น ในทางเทคนิคแล้ว สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้หากเซตของเกตมีจำนวนน้อยกว่า เซต ที่นับไม่ได้เนื่องจากจำนวนเกตควอนตัมที่เป็นไปได้นั้นนับไม่ได้ ในขณะที่จำนวนลำดับจำนวนจำกัดจากเซตที่จำกัด นั้น นับได้ในการแก้ปัญหานี้ เราเพียงต้องการว่าการดำเนินการควอนตัมใดๆ สามารถประมาณได้ด้วยลำดับเกตจากเซตที่จำกัดนี้ ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับการดำเนินการเอกภาพบนจำนวนคิวบิตคงที่ทฤษฎีบท Solovay–Kitaevรับประกันว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ การตรวจสอบว่าเซตของเกตควอนตัมเป็นสากลหรือไม่สามารถทำได้โดยใช้วิธีการทฤษฎีกลุ่ม^{[ 20 ]} และ/หรือความสัมพันธ์กับ t-design เอกภาพ ( โดยประมาณ) ^{[ 21 ]} หาก สมมติฐานช่องว่างสเปกตรัมเป็นจริง นั่นหมายความว่าชุดเกตควอนตัมที่เลือกโดยทั่วไปจะมีประสิทธิภาพในระดับสากล

ชุดเกตควอนตัมสากลบางชุดได้แก่:

• ตัวดำเนินการหมุนR _x ( θ ) , R _y ( θ ) , R _z ( θ ) , เกตเปลี่ยนเฟสP ( φ ) ^{[ c ]}และCNOTมักใช้เพื่อสร้างชุดเกตควอนตัมสากล^{[ 22 ] [ d ]}
• เซตคลิฟฟอร์ด {CNOT, H , S } + เกต Tเซตคลิฟฟอร์ดเพียงอย่างเดียวไม่ใช่เซตเกตควอนตัมสากล เนื่องจากสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพในแบบคลาสสิกตามทฤษฎีบทGottesman–Knill
• เกต Toffoli + เกต Hadamard ^{[ 19 ]}เกต Toffoli เพียงอย่างเดียวก็สร้างชุดเกตสากลสำหรับ วงจรตรรกะ พีชคณิตบูลีน แบบย้อนกลับได้ ซึ่งครอบคลุมการคำนวณแบบคลาสสิกทั้งหมด

ชุดเกตควอนตัมสากลแบบเกตเดี่ยวสามารถกำหนดสูตรได้โดยใช้เกต Deutsch สามคิวบิตแบบพารามิเตอร์[ ^{23 ] ซึ่ง}ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์David Deutschเป็นกรณีทั่วไปของCC-Uหรือ เกต ควบคุม-ควบคุม-เอกภาพและกำหนดเป็น ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

น่าเสียดายที่เกต Deutsch ที่ใช้งานได้ยังคงเข้าถึงได้ยาก เนื่องจากขาดโปรโตคอล มีข้อเสนอบางประการในการสร้างเกต Deutsch ด้วยปฏิสัมพันธ์ไดโพล-ไดโพลในอะตอมที่เป็นกลาง^{[ 24 ]}

เกตตรรกะสากลสำหรับการคำนวณแบบคลาสสิกที่ย้อนกลับได้ ซึ่งก็คือเกตทอฟโฟลี สามารถลดรูปไปเป็นเกตดอยช์ได้ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการทางตรรกะแบบคลาสสิกที่ย้อนกลับได้ทั้งหมดสามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ควอนตัมสากล ${\displaystyle D(\pi /2)}$

นอกจากนี้ยังมีเกตสองคิวบิตเดี่ยวที่เพียงพอสำหรับความเป็นสากล ในปี 1996 Adriano Barenco ได้แสดงให้เห็นว่าเกต Deutsch สามารถแยกส่วนได้โดยใช้เกตสองคิวบิตเดี่ยว ( เกต Barenco ) แต่ยากที่จะทำให้เกิดขึ้นจริงในทางทดลอง^{[ 1 ] : 93} คุณสมบัตินี้เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของวงจรควอนตัม เนื่องจากไม่มีเกตสองบิตแบบคลาสสิกใดที่ทั้งย้อนกลับได้และเป็นสากล^{[ 1 ] : 93} เกตสองคิวบิตที่เป็นสากลสามารถนำไปใช้เพื่อปรับปรุงวงจรย้อนกลับแบบคลาสสิกในไมโครโปรเซสเซอร์พลังงานต่ำที่รวดเร็วได้^{[ 1 ] : 93}

สมมติว่าเรามีเกตAและB สองตัว ที่ทำงานกับคิวบิตทั้งคู่ เมื่อวางB ต่อจาก Aในวงจรอนุกรม ผลของเกตทั้งสองสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเกตC ตัว เดียว${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=B\cdot A}$

โดยที่เป็นการคูณเมทริกซ์ เกต Cที่ได้จะมีมิติเท่ากับAและBลำดับที่เกตจะปรากฏในแผนภาพวงจรจะกลับกันเมื่อคูณเข้าด้วยกัน^{[ 4 ] : 17–18,22–23,62–64 [ 5 ] : 147–169} ${\displaystyle \cdot }$

ตัวอย่างเช่น การวางเกต Pauli X ไว้ หลังเกต Pauli Yซึ่งทั้งสองเกตทำงานกับคิวบิตเดียว สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเกตแบบรวมC ตัวเดียว :

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

โดยทั่วไปมักละเว้น สัญลักษณ์ผลิตภัณฑ์ ( )${\displaystyle \cdot }$

เลขชี้กำลังจริงทั้งหมด ของ เมทริกซ์เอกลักษณ์ก็เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์เช่นกัน และเกตควอนตัมทั้งหมดก็เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

เลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกเทียบเท่ากับลำดับของเกตที่ต่ออนุกรมกัน (เช่น)และเลขชี้กำลังจำนวนจริงเป็นการขยายความของวงจรอนุกรม ตัวอย่างเช่นและต่างก็เป็นเกตควอนตัมที่ถูกต้อง ${\displaystyle X^{3}=X\cdot X\cdot X}$${\displaystyle X^{\pi }}$${\displaystyle {\sqrt {X}}=X^{1/2}}$

${\displaystyle U^{0}=I}$สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์ใดๆเมทริกซ์เอกลักษณ์ ( ) ทำหน้าที่เหมือนNOP ^{[ 25 ] [ 26 ]}และสามารถแสดงเป็นสายเปลือยในวงจรควอนตัม หรือไม่แสดงเลยก็ได้ ${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$

เกตทั้งหมดเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นและโดยที่คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุคซึ่งหมายความว่าเลขชี้กำลังลบของเกตจะเป็นเมทริกซ์ผกผันเอกลักษณ์ของเลขชี้กำลังบวกของเกตนั้น:ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังลบของ เก ตเปลี่ยนเฟส บางตัว คือและ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle U^{-n}=(U^{n})^{\dagger }}$${\displaystyle T^{-1}=T^{\dagger }}$${\displaystyle T^{-2}=(T^{2})^{\dagger }=S^{\dagger }}$

โปรดทราบว่าสำหรับเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน และเนื่องจากความเป็นเอกภาพดังนั้นสำหรับเกตเฮอร์มิเชียนทั้งหมด เกตเหล่านี้จึงเป็นแบบผกผันตัวอย่างของเกตเฮอร์มิเชียน ได้แก่เกต Pauli , Hadamard , CNOT , SWAPและToffoliเมทริกซ์เอกภาพเฮอร์มิเชียนแต่ละตัวมีคุณสมบัติที่ว่า โดยที่${\displaystyle H^{\dagger }=H,}$${\displaystyle HH^{\dagger }=I,}$${\displaystyle H^{2}=I}$${\displaystyle H}$${\displaystyle e^{i\theta H}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )H}$${\displaystyle H=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}.}$

เลขชี้กำลังของเกตเป็นผลคูณของระยะเวลาที่ตัวดำเนินการวิวัฒนาการเวลาถูกนำไปใช้กับสถานะควอนตัม เช่น ในคอมพิวเตอร์ควอนตัมแบบคิวบิตสปินเกตสามารถสร้างขึ้นได้ผ่านปฏิสัมพันธ์แลกเปลี่ยนบนสปินของอิเล็กตรอน สองตัว เป็นเวลาครึ่งหนึ่งของระยะเวลาของปฏิสัมพันธ์แลกเปลี่ยนเต็มรูปแบบ^{[ 27 ]}${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {SWAP} }}}$

ผลคูณเทนเซอร์ (หรือผลคูณโครเนกเกอร์ ) ของเกตควอนตัมสองตัวคือเกตที่เท่ากับเกตทั้งสองตัวที่ขนานกัน^{[ 4 ] : 71–75 [ 5 ] : 148}

ถ้าเราต่อวงจรเกต Pauli- Yกับเกต Pauli- X แบบขนาน ดังแสดงในภาพจะสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

เกต Pauli- Xและเกต Pauli- Y ต่างก็ ทำงานกับคิวบิตตัวเดียว ส่วนเกตที่ได้นั้นจะทำงานกับคิวบิตสองตัว ${\displaystyle C}$

บางครั้งสัญลักษณ์ผลคูณเทนเซอร์จะถูกละเว้น และจะใช้ดัชนีแทนตัวดำเนินการ^{[ 27 ]}

เกตนี้คือเกต Hadamard ( )ที่ใช้แบบขนานกับคิวบิต 2 ตัว สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

"เกต Hadamard แบบขนานสองคิวบิต" นี้ เมื่อนำไปใช้กับเวกเตอร์ศูนย์สองคิวบิต ( )${\displaystyle |00\rangle }$ตัวอย่างเช่น จะ สร้างสถานะค วอนตัมที่มีความน่าจะเป็นเท่ากันในการสังเกตผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งสี่แบบ ได้แก่, , ,และเราสามารถเขียนการดำเนินการนี้ได้ดังนี้: ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

ในที่นี้ แอมพลิจูดสำหรับแต่ละสถานะที่วัดได้คือ1/2 ความน่าจะเป็นที่จะสังเกตเห็นสถานะใดๆ คือกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของแอมพลิจู ดของสถานะที่วัดได้ ซึ่งในตัวอย่างข้างต้นหมายความว่ามีโอกาสหนึ่งในสี่ที่เราจะสังเกตเห็นกรณีใดกรณีหนึ่งจากสี่กรณี ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ใน ส่วนการวัด

${\displaystyle H_{2}}$ทำการแปลงฮาดามาร์ดบนคิวบิตสองตัว ในทำนองเดียวกัน เกตนี้ทำการแปลงฮาดามาร์ดบนรีจิสเตอร์ของคิวบิต ${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{i=0}^{n-1}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$${\displaystyle n}$

เมื่อนำไปใช้กับรีจิสเตอร์ของคิวบิตที่เริ่มต้นด้วยค่า 0 ทั้งหมดการแปลงฮาดามาร์ดจะทำให้รีจิสเตอร์ควอนตัมเข้าสู่สถานะซ้อนทับ โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะถูกวัดในสถานะใดๆ ก็ตามที่เป็นไปได้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

สถานะนี้เป็นการซ้อนทับแบบสม่ำเสมอและถูกสร้างขึ้นเป็นขั้นตอนแรกในอัลกอริธึมการค้นหาบางอย่าง เช่น ในการขยายแอมพลิจูดและการประมาณค่าเฟส

การวัดสถานะนี้ส่งผลให้ได้ตัวเลขสุ่มระหว่างและ^{[ e ]}ความสุ่มของตัวเลขขึ้นอยู่กับความแม่นยำ ของเกตตรรกะ หากไม่ได้วัด ตัวเลข นี้ จะเป็นสถานะควอนตัมที่มี แอมพลิจูดความน่าจะเป็นเท่ากันสำหรับแต่ละสถานะที่เป็นไปได้ ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$

การแปลง Hadamard กระทำต่อรีจิสเตอร์ที่มีคิวบิตในลักษณะดังต่อไปนี้: ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle n}$${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

หากมองคิวบิตสองตัวขึ้นไปเป็นสถานะควอนตัมเดียว สถานะรวมนี้จะเท่ากับผลคูณเทนเซอร์ของคิวบิตที่เป็นส่วนประกอบ สถานะใดๆ ที่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณเทนเซอร์จากระบบย่อยที่เป็นส่วนประกอบเรียกว่าสถานะแยกส่วนได้ในทางกลับกันสถานะพันกันคือสถานะใดๆ ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบเทนเซอร์ได้ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือสถานะพันกันไม่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณเทนเซอร์ของสถานะคิวบิตที่เป็นส่วนประกอบต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษเมื่อใช้เกตกับคิวบิตที่เป็นส่วนประกอบที่ประกอบเป็นสถานะพันกัน

ถ้าเรามีชุด คิวบิต Nตัวที่พันกัน และต้องการใช้เกตควอนตัมกับ คิวบิต M < Nตัวในชุดนั้น เราจะต้องขยายเกตให้รองรับ คิวบิต Nตัว การประยุกต์ใช้ดังกล่าวสามารถทำได้โดยการรวมเกตเข้ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยที่ผลคูณเทนเซอร์ของทั้งสองจะกลายเป็นเกตที่ทำงานกับ คิวบิต Nตัว เมทริกซ์เอกลักษณ์( )${\displaystyle I}$เป็นตัวแทนของเกตที่แมปทุกสถานะไปยังตัวมันเอง (กล่าวคือ ไม่ทำอะไรเลย) ในแผนภาพวงจร เกตหรือเมทริกซ์เอกลักษณ์มักจะปรากฏเป็นเพียงสายไฟเปลือย

ตัวอย่างเช่น เกต Hadamard ( )${\displaystyle H}$ทำงานกับคิวบิตเดียว แต่ถ้าเราป้อนคิวบิตแรกจากสองคิวบิตที่ประกอบกันเป็นสถานะ Bell ที่พันกัน เราจะไม่สามารถเขียนการดำเนินการนั้นได้ง่ายๆ เราจำเป็นต้องขยายเกต Hadamard ด้วยเกตเอกลักษณ์เพื่อให้เราสามารถทำงานกับสถานะควอนตัมที่ครอบคลุมสองคิวบิต ได้${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

ตอนนี้ เกตนี้สามารถนำไปใช้กับสถานะสองคิวบิตใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นคิวบิตที่พันกันหรือไม่ก็ตาม เกตนี้จะปล่อยให้คิวบิตที่สองไม่เปลี่ยนแปลง และใช้การแปลงฮาดามาร์ดกับคิวบิตแรก หากนำไปใช้กับสถานะเบลล์ในตัวอย่างของเรา เราอาจเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

ความซับซ้อน ของเวลาในการคูณเมท ริกซ์ สองตัวอย่างน้อยที่สุดคือ[ ^{28 ] หาก}ใช้เครื่องจักรแบบคลาสสิก เนื่องจากขนาดของเกตที่ดำเนินการกับคิวบิตคือหมายความว่าเวลาสำหรับการจำลองขั้นตอนในวงจรควอนตัม (โดยการคูณเกต) ที่ดำเนินการกับสถานะพันกันทั่วไปคือด้วยเหตุนี้จึงเชื่อกันว่า การจำลองระบบควอนตัมพันกันขนาดใหญ่โดยใช้คอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกนั้น ทำได้ยาก อย่างไรก็ตาม ชุดย่อยของ เกต เช่นเกตคลิฟฟอร์ดหรือกรณีง่ายๆ ของวงจรที่ใช้เฉพาะฟังก์ชันบูลีนแบบคลาสสิก (เช่น การรวมกันของX , CNOT , Toffoli ) สามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพบนคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \Omega (n^{2}\log n)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$${\displaystyle \Omega ({2^{q}}^{2}\log({2^{q}}))}$

เวกเตอร์สถานะของรีจิสเตอร์ควอนตัมที่มีคิวบิตประกอบด้วยค่าเชิงซ้อน การจัดเก็บ ค่าแอม พลิจูดความน่าจะเป็นเป็นรายการของค่าทศนิยมนั้นทำได้ยากสำหรับค่าขนาดใหญ่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

เนื่องจากเกตตรรกะควอนตัมทั้งหมด สามารถย้อน กลับได้ดังนั้นการประกอบเกตหลายตัวเข้าด้วยกันจึงสามารถย้อนกลับได้เช่นกัน ผลคูณและผลคูณเทนเซอร์ (เช่น การรวมกัน แบบอนุกรมและแบบขนาน ) ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ทั้งหมด ก็เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างตัวผกผันของอัลกอริทึมและฟังก์ชันทั้งหมดได้ ตราบใดที่พวกมันประกอบด้วยเกตเท่านั้น

การเริ่มต้น การวัด การรับส่งข้อมูลและการเสื่อมสภาพของ ควอนตัมโดยธรรมชาติ เป็นผลข้างเคียงในคอมพิวเตอร์ควอนตัม อย่างไรก็ตาม เกตนั้นเป็นฟังก์ชันล้วนๆและเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วและเครื่องหมายกริช ( )หมายถึงเมทริกซ์สลับเปลี่ยนเชิงสัง ยุค เรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนแอดจอยต์ ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$${\displaystyle \dagger }$

ถ้าฟังก์ชันเป็นผลคูณของเกต เราสามารถสร้าง อินเวอร์สเอกภาพ (unitary inverse) ของฟังก์ชันนั้น ได้:${\displaystyle F}$${\displaystyle m}$${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$${\displaystyle F^{\dagger }}$

เพราะเรามี หลังจากนำไปประยุกต์ใช้ซ้ำหลายครั้งแล้ว ${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชันประกอบด้วยเกตสองตัวและต่อขนานกัน ก็จะ ได้ ว่าและ${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G=A\otimes B}$${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$

เกตที่เป็นตัวผกผันเอกภาพของตัวเองเรียกว่า ตัวดำเนินการ เฮอร์มิเชียนหรือตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองเกตพื้นฐานบางตัว เช่น เกตฮาดามาร์ด ( H ) และเกตเปาลี ( I , X , Y , Z ) เป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน ในขณะที่เกตอื่นๆ เช่น เกต เปลี่ยนเฟส ( S , T , P , CPhase ) โดยทั่วไปไม่ใช่ตัวดำเนินการเฮอร์ มิเชียน

ตัวอย่างเช่น อัลกอริทึมสำหรับการบวกสามารถใช้สำหรับการลบได้ หากมันถูก "ดำเนินการย้อนกลับ" ในฐานะตัวผกผันเอกภาพการแปลงฟูริเยร์ควอนตัมผกผันคือตัวผกผันเอกภาพ ตัวผกผันเอกภาพยังสามารถใช้สำหรับการคำนวณย้อนกลับได้^อีก ด้วย ภาษาโปรแกรมสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัม เช่นQ#ของMicrosoft [ ^{10 ]} QCLของBernhard Ömer ^{[ 13 ] : 61 และ} Qiskit ของ IBM [ 29 ^]มีการผกผันฟังก์ชันเป็นแนวคิดการเขียนโปรแกรม

การวัด (บางครั้งเรียกว่าการสังเกต ) นั้นไม่สามารถย้อนกลับได้ ดังนั้นจึงไม่ใช่เกตควอนตัม เพราะมันกำหนดสถานะควอนตัมที่สังเกตได้ให้กับค่าเดียว การวัดจะนำสถานะควอนตัมและฉายภาพไปยังเวกเตอร์ฐานตัว ใดตัวหนึ่ง โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ (ในนอร์ม 2 ^{[ 4 ] : 66 [ 5 ] : 56, 65} ) ตามเวกเตอร์ฐานนั้น^{[ 1 ] : 15–17 [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}สิ่งนี้เรียกว่ากฎของบอร์นและปรากฏ^{[ e ]}เป็นการ ดำเนินการ แบบสุ่มที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากมันกำหนดสถานะควอนตัมให้เท่ากับเวกเตอร์ฐานที่แสดงถึงสถานะที่วัดได้โดยใช้ความน่าจะเป็น ณ ขณะที่ทำการวัด สถานะจะ " ยุบตัว " ไปสู่ค่าเดียวที่แน่นอนซึ่งวัดได้ เหตุใดและอย่างไร หรือแม้กระทั่งว่า^{[ 33 ] [ 34 ]}สถานะควอนตัมจะยุบตัวลงเมื่อทำการวัด เรียกว่าปัญหาการวัด

ความน่าจะเป็นของการวัดค่าด้วยแอมพลิจูดความ น่าจะ เป็น คือโดยที่คือค่าสัมบูรณ์${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1\geq |\phi |^{2}\geq 0}$${\displaystyle |\cdot |}$

การวัดคิวบิตเดี่ยว ซึ่งสถานะควอนตัมแสดงด้วยเวกเตอร์จะได้ผลลัพธ์เป็นด้วยความน่าจะเป็นและ ผลลัพธ์ เป็นด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |a|^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |b|^{2}}$

ตัวอย่างเช่น การวัดคิวบิตด้วยสถานะควอนตัมจะให้ผลลัพธ์เป็น หรือ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน${\displaystyle {\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

สถานะควอนตัมที่ครอบคลุมnคิวบิต สามารถเขียนได้ในรูปเวกเตอร์ใน มิติ เชิงซ้อน : .เนื่องจากผลคูณเทนเซอร์ของnคิวบิต เป็นเวกเตอร์ในมิติ ด้วยวิธีนี้รีจิสเตอร์ของnคิวบิต สามารถวัดได้เป็นสถานะที่แตกต่างกัน คล้ายกับที่รีจิสเตอร์ของn บิตแบบคลาสสิกสามารถเก็บสถานะที่แตกต่างกันได้ แต่แตกต่างจากบิตของคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก สถานะควอนตัมสามารถมีแอมพลิจูดความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ในหลายค่าที่วัดได้พร้อมกัน ซึ่งเรียกว่าการซ้อนทับ (superposition ) ${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle |\Psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2^{n}}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ทั้งหมดจะต้องเท่ากับเสมอ1. ^{[ f ]}อีกวิธีหนึ่งที่จะกล่าวเช่นนี้คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ขยายความทั่วไปไปสู่​​มีว่าสถานะควอนตัมทั้งหมดที่มีnคิวบิตต้องสอดคล้องกับ^{[ g ]}โดยที่คือแอมพลิจูดความน่าจะเป็นสำหรับสถานะที่วัดได้การตีความทางเรขาคณิตของสิ่งนี้คือพื้นที่ค่า ที่เป็นไปได้ ของสถานะควอนตัมที่มีnคิวบิต คือพื้นผิวของทรงกลมหน่วยในและการแปลงเอกภาพ (เช่น เกตตรรกะควอนตัม) ที่ใช้กับมันคือการหมุนบนทรงกลม การหมุนที่เกตดำเนินการก่อให้เกิดกลุ่มสมมาตรU(2n ⁾การ วัดจึงเป็นการฉายภาพความน่าจะเป็นของจุดบนพื้นผิวของทรงกลม เชิงซ้อนนี้ลงบนเวกเตอร์ฐานที่ครอบคลุมพื้นที่ (และติดป้ายกำกับผลลัพธ์) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\textstyle 1=\sum _{x=0}^{2^{n}-1}|a_{x}|^{2},}$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$

ในหลายกรณี พื้นที่นั้นจะถูกแทนด้วยพื้นที่ฮิลเบิร์ต (Hilbert space) แทนที่จะเป็นพื้นที่เชิงซ้อนมิติใดมิติ หนึ่ง โดยเฉพาะ จำนวนมิติ (ที่กำหนดโดยเวกเตอร์ฐาน และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จากการวัด) มักจะถูกบ่งบอกโดยตัวดำเนินการ ตัวอย่างเช่น เป็นพื้นที่สถานะ ที่จำเป็น สำหรับการแก้ปัญหาในอัลกอริทึมของโกรเวอร์โกรเวอร์เรียกชุดเวกเตอร์ฐานทั่วไปนี้ว่า "ฐานข้อมูล " ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2^{n}}$

การเลือกเวกเตอร์ฐานที่จะใช้วัดสถานะควอนตัมจะมีผลต่อผลลัพธ์ของการวัด^{[ 1 ] : 30–35 [ 4 ] : 22, 84–85, 185–188 [ 35 ]}ดู รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับ การเปลี่ยนฐานและเอนโทรปีของ Von Neumannในบทความนี้ เราใช้ฐานการคำนวณ เสมอ ซึ่งหมายความว่าเราได้กำหนดป้ายกำกับเวกเตอร์ฐานของรีจิสเตอร์n -qubit หรือใช้การแสดงแทนแบบไบนารี${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle }$${\displaystyle |0_{10}\rangle =|0\dots 00_{2}\rangle ,|1_{10}\rangle =|0\dots 01_{2}\rangle ,|2_{10}\rangle =|0\dots 10_{2}\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle =|111\dots 1_{2}\rangle }$

ในกลศาสตร์ควอนตัมเวกเตอร์ฐานประกอบกันเป็นฐานตั้งฉากปกติ (orthonormal basis )

ตัวอย่างหนึ่งของการใช้ฐานการวัดทางเลือกคือในรหัสลับ BB84

หากสถานะควอนตัม สองสถานะ (เช่นคิวบิตหรือรีจิสเตอร์ ) เกิดการพัวพันกัน (หมายความว่าสถานะรวมของทั้งสองสถานะไม่สามารถแสดงได้ในรูปผลคูณเทนเซอร์ ) การวัดรีจิสเตอร์หนึ่งจะส่งผลกระทบหรือเปิดเผยสถานะของรีจิสเตอร์อีกตัวหนึ่งโดยการยุบตัวของสถานะนั้นบางส่วนหรือทั้งหมด ผลกระทบนี้สามารถนำไปใช้ในการคำนวณได้ และถูกนำไปใช้ในอัลกอริทึมหลายอย่าง

การรวมกันของ Hadamard-CNOT มีผลต่อสถานะศูนย์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

สถานะที่เกิดขึ้นนี้คือสถานะเบลล์ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลคูณเทนเซอร์ของคิวบิตสองตัว ไม่มีคำตอบสำหรับ ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

เพราะตัวอย่างเช่นw จะต้องมี ค่า ทั้งไม่เป็นศูนย์และเป็นศูนย์ในกรณีของxwและyw

สถานะควอนตัมครอบคลุมคิวบิตทั้งสองตัว นี่เรียกว่าการพัวพัน (entanglement ) การวัดคิวบิตตัวใดตัวหนึ่งจากสองตัวที่ประกอบกันเป็นสถานะเบลล์นี้ จะส่งผลให้คิวบิตอีกตัวหนึ่งต้องมีค่าเดียวกันตามหลักตรรกะ กล่าวคือทั้งสองตัวต้องมีค่าเหมือนกัน ไม่ว่าจะเป็นสถานะหรือสถานะหากเราวัดคิวบิตตัวใดตัวหนึ่งได้ค่าเป็น ตัวอย่างเช่นคิวบิตอีกตัวหนึ่งก็ต้องมีค่าเป็น เช่นกันเพราะสถานะรวม ของทั้งสองตัวกลายเป็น การวัดคิวบิตตัวใดตัวหนึ่งจะทำให้สถานะควอนตั มทั้งหมดที่ครอบคลุมคิวบิตทั้งสองตัวนั้น ยุบ ตัว ลง${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

สถานะGHZเป็นสถานะควอนตัมพันกันที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งครอบคลุมคิวบิตสามตัวขึ้นไป

การกำหนดค่าประเภทนี้เกิดขึ้นทันทีในระยะทางใดๆ และได้รับการยืนยันจากการทดลองโดย QUESSในปี 2018 สำหรับระยะทางสูงสุดถึง 1200 กิโลเมตร^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}ปรากฏการณ์ที่ดูเหมือนจะเกิดขึ้นทันทีเมื่อเทียบกับเวลาที่ใช้ในการเดินทางข้ามระยะทางที่แยกคิวบิตด้วยความเร็วแสงเรียกว่าปรากฏการณ์ EPRและเป็นคำถามที่ยังเปิดอยู่ในฟิสิกส์ว่าจะแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างไร เดิมทีปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยการละทิ้งสมมติฐานของความเป็นจริงเฉพาะที่แต่ ก็มี การตีความ อื่นๆ เกิดขึ้นเช่นกัน สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูการทดลองทดสอบของเบลล์ทฤษฎีบทการสื่อสารไม่ได้ พิสูจน์ว่าปรากฏการณ์นี้ไม่สามารถใช้สำหรับการสื่อสาร ข้อมูลคลาสสิกที่เร็วกว่าแสงได้

พิจารณารีจิสเตอร์ A ที่มี คิวบิต nตัวซึ่งเริ่มต้นด้วยค่าและป้อนค่าผ่าน เก ตHadamard แบบขนานรีจิสเตอร์ A จะเข้าสู่สถานะที่มีความน่าจะเป็นเท่ากันของ เมื่อวัดค่า ให้เป็น ในสถานะใดๆ ก็ตามที่เป็นไปได้พิจารณารีจิสเตอร์ B ตัวที่สอง ซึ่งมี คิวบิต nตัวที่เริ่มต้นด้วยค่า เช่นกันและทำการCNOTคิวบิตของรีจิสเตอร์ B กับคิวบิตในรีจิสเตอร์ A แบบจับคู่กัน โดยที่สำหรับแต่ละpคิวบิตและ จะก่อให้ เกิดสถานะ${\displaystyle |0\rangle }$${\textstyle H^{\otimes n}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

ถ้าเราวัดคิวบิตในรีจิสเตอร์ A ในตอนนี้ จะพบว่ารีจิสเตอร์ B มีค่าเดียวกันกับ A แต่ถ้าเราใช้เกตตรรกะควอนตัมFกับ A แล้ววัดค่าอีกครั้ง จะได้ว่า โดยที่คือตัวผกผันเอกภาพของF${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$${\displaystyle F^{\dagger }}$

เนื่องจากลักษณะการทำงานของตัวผกผันเอกภาพของเกตตัวอย่างเช่น สมมติว่าแล้ว${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$

ความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงไม่ว่าการวัดจะดำเนินการในลำดับใด (บนรีจิสเตอร์ A หรือ B) โดยสมมติว่าFทำงานเสร็จสมบูรณ์แล้ว การวัดยังสามารถสลับกันแบบสุ่มและพร้อมกันได้ทีละคิวบิต เนื่องจาก1 การกำหนดค่าการวัดของคิวบิตหนึ่งจะจำกัดพื้นที่ค่าที่เป็นไปได้จากคิวบิตที่พันกันอื่นๆ

แม้ว่าความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง แต่ความน่าจะเป็นในการวัดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อาจเปลี่ยนแปลงไปอันเป็นผลมาจากการใช้Fซึ่งอาจเป็นเจตนาในอัลกอริธึมการค้นหาควอนตัม

ผลของการแบ่งปันค่าผ่านการพันกันนี้ใช้ในอัลกอริทึมของ Shor การประมาณเฟสและการนับควอนตัมการใช้การแปลงฟูริเยร์เพื่อขยายแอมพลิจูดความน่าจะเป็นของสถานะคำตอบสำหรับปัญหา บางอย่าง เป็นวิธีการทั่วไปที่เรียกว่า " การตกปลาฟูริเยร์ " ^{[ 39 ]}

ฟังก์ชันและรูทีนที่ใช้เฉพาะเกตสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเมทริกซ์เช่นเดียวกับเกตขนาดเล็กกว่า เมทริกซ์ที่แสดงถึงฟังก์ชันควอนตัมที่กระทำต่อคิวบิตจะมีขนาดตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่กระทำต่อ "คิวไบต์" ( รีจิสเตอร์ของ 8 คิวบิต) จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบ ${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$${\displaystyle 2^{8}\times 2^{8}=256\times 256}$

การแปลงแบบเอกภาพที่ไม่ได้อยู่ในเซตของเกตที่มีอยู่ตามธรรมชาติในคอมพิวเตอร์ควอนตัม (เกตดั้งเดิม) สามารถสังเคราะห์หรือประมาณได้โดยการรวมเกตดั้งเดิมที่มีอยู่เข้าด้วยกันในวงจรวิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ที่เข้ารหัสการแปลงแบบเอกภาพออกเป็นผลคูณของผลคูณเทนเซอร์ (เช่น วงจร อนุกรมและขนาน ) ของเกตดั้งเดิมที่มีอยู่กลุ่มU(2 ^q )เป็นกลุ่มสมมาตรสำหรับเกตที่กระทำกับคิวบิต^{[ 2 ]}การแยกตัวประกอบจึงเป็นปัญหาของการค้นหาเส้นทางใน U(2 ^q ) จากเซตตัวสร้างของเกตดั้งเดิมทฤษฎีบท Solovay–Kitaevแสดงให้เห็นว่าเมื่อมีเซตของเกตดั้งเดิมที่เพียงพอ จะมีค่าประมาณที่มีประสิทธิภาพสำหรับเกตใดๆ สำหรับกรณีทั่วไปที่มีจำนวนคิวบิตมาก วิธีการโดยตรงนี้ในการสังเคราะห์วงจรทำได้ยาก^{[ 40 ] [ 41 ]}สิ่งนี้จำกัดขนาดของฟังก์ชันที่สามารถแยกตัวประกอบแบบใช้กำลังทั้งหมดเป็นเกตควอนตัมแบบดั้งเดิมได้ โดยทั่วไปแล้วโปรแกรมควอนตัมจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันควอนตัมที่ค่อนข้างเล็กและเรียบง่าย คล้ายกับการเขียนโปรแกรมแบบคลาสสิกทั่วไป ${\displaystyle q}$

เนื่องจาก ลักษณะ เอกภาพ ของเกต ฟังก์ชันทั้งหมดจะต้องสามารถย้อนกลับได้และเป็นการ แมปแบบ หนึ่งต่อหนึ่งจากอินพุตไปยังเอาต์พุตเสมอ จะต้องมีฟังก์ชันอยู่เสมอที่ทำให้ฟังก์ชันที่ไม่สามารถย้อนกลับได้สามารถทำให้ย้อนกลับได้โดยการเพิ่มคิวบิตเสริมเข้าไปในอินพุตหรือเอาต์พุต หรือทั้งสองอย่าง หลังจากที่ฟังก์ชันทำงานเสร็จสมบูรณ์แล้ว คิวบิตเสริมสามารถยกเลิกการคำนวณหรือปล่อยไว้โดยไม่แตะต้อง การวัดหรือการยุบสถานะควอนตัมของคิวบิตเสริม (เช่น โดยการกำหนดค่าเริ่มต้นใหม่ หรือโดยการลดความสอดคล้อง โดยธรรมชาติ ) ที่ยังไม่ได้ยกเลิกการคำนวณอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาด^{[ 42 ] [ 43 ]}เนื่องจากสถานะของพวกมันอาจพันกันกับคิวบิตที่ยังคงใช้ในการคำนวณอยู่ ${\displaystyle F^{-1}}$${\displaystyle F^{-1}(F(|\psi \rangle ))=|\psi \rangle }$

การดำเนินการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ในเชิงตรรกะ เช่น การบวกโมดูลัส^ของรีจิสเตอร์ควอนตัมบิตสองตัว^aและb ^{สามารถ}ทำให้ย้อนกลับได้ในเชิงตรรกะโดยการเพิ่มข้อมูลลงในเอาต์พุต เพื่อให้สามารถคำนวณอินพุตจากเอาต์พุตได้ (กล่าวคือ มีฟังก์ชันอยู่)ในตัวอย่างของเรา สามารถทำได้โดยการส่งต่อรีจิสเตอร์อินพุตตัวใดตัวหนึ่งไปยังเอาต์พุต: จากนั้นสามารถใช้เอาต์พุตเพื่อคำนวณอินพุตได้ (กล่าวคือ เมื่อกำหนดเอาต์พุตและเราสามารถหาอินพุตได้อย่างง่ายดาย; กำหนดให้ และ)และฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(a,b)=a+b{\pmod {2^{n}}}}$${\displaystyle F^{-1}}$${\displaystyle F(|a\rangle \otimes |b\rangle )=|a+b{\pmod {2^{n}}}\rangle \otimes |a\rangle }$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a+b)-a=b}$