รหัสพื้นผิวเป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมเชิงทอพอโลยี และเป็นตัวอย่างของรหัสรักษาเสถียรภาพ ซึ่งกำหนดไว้บน โครงตาข่ายสปินสองมิติ^{[ 1 ]}รหัสพื้นผิวประเภทแรกที่Alexei Kitaev นำเสนอ ในปี 1997 คือรหัสทอริกซึ่งได้ชื่อมาจากเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ ทำให้มีรูปร่างเหมือนทอรัสเงื่อนไขเหล่านี้ทำให้แบบจำลองมีความไม่แปรผันภายใต้การเลื่อน ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการศึกษาเชิงวิเคราะห์ รหัสทอริกเป็นแบบจำลองควอนตัมคู่ที่ง่ายที่สุดและได้รับการศึกษามากที่สุด^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของลำดับเชิงทอพอโลยี — ลำดับเชิงทอพอโลยี Z ₂ (ศึกษาครั้งแรกในบริบทของของเหลวสปินZ ₂ในปี 1991) ^{[ 3 ] [ 4 ]}รหัสทอริกยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นทฤษฎีเกจโครงตาข่ายZ ₂ในขีดจำกัดเฉพาะ^{[ 5 ]}

อย่างไรก็ตาม บนแพลตฟอร์มการคำนวณควอนตัมหลายแห่ง การสร้างโค้ดพื้นผิวในทางปฏิบัติจะง่ายกว่ามากหากสามารถฝังโค้ดลงบนระนาบ 2 มิติได้ สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดการออกแบบโค้ดพื้นผิวอีกประเภทหนึ่งที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบเปิด นั่นคือโค้ดระนาบ^{[ 6 ]}ณ ปี 2025 Google Quantum AIได้นำโค้ดระนาบระยะทาง 7 มาใช้กับโปรเซสเซอร์ควอนตัมตัวนำยิ่งยวดรุ่นใหม่ล่าสุดของพวกเขา คือโปรเซสเซอร์ Willowซึ่งแสดงให้เห็นอัตราข้อผิดพลาดทางกายภาพที่ต่ำกว่าเกณฑ์^{[ 7 ]}

รหัสพื้นผิวถูกกำหนดบนโครงตาข่ายสองมิติ ซึ่งโดยทั่วไปมักเลือกใช้โครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านล่างนี้ เราจะเริ่มต้นด้วยการอธิบายแนวคิดพื้นฐานด้วยรหัสทอริก ซึ่งโครงตาข่ายมีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ กล่าวคือ ขอบเขตด้านบนเชื่อมต่อกับด้านล่าง และขอบเขตด้านซ้ายเชื่อมต่อกับด้านขวา ในทางโทโพโลยี นี่เทียบเท่ากับการกำหนดโครงตาข่ายบนทอรัส

คิวบิตจะอยู่บนขอบ แต่ละด้าน ของแลตทิซ สำหรับ แลตทิซ ขนาดd × d ^จะมี ขอบแนวนอน d²และขอบแนวตั้ง d² ดังนั้นจึง^{มีคิว}บิตทั้งหมด2d² ตัว ดำเนินการ รักษาเสถียรภาพจะถูกกำหนดบนคิวบิตรอบจุดยอดvและระนาบ (หน้า) pของแลตทิซดังต่อไปนี้:

${\displaystyle A_{v}=\prod _{i\in v}X_{i},\,\,B_{p}=\prod _{i\in p}Z_{i}.}$

ในที่นี้หมายถึงขอบที่สัมผัสกับจุดยอดvและหมายถึงขอบที่ล้อมรอบแผ่นวงกลม ปริภูมิรหัสของรหัสทอริกคือปริภูมิย่อยที่ตัวรักษาเสถียรภาพทั้งหมดทำงานอย่างไม่มีนัยสำคัญ ดังนั้นสำหรับสถานะใดๆในปริภูมินี้ จึงเป็นจริงว่า ${\displaystyle i\in v}$${\displaystyle i\in p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle A_{v}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p.}$

สำหรับรหัสทอริก พื้นที่นี้มีสี่มิติ ดังนั้นจึงสามารถใช้เก็บข้อมูลควอนตัมได้ สอง คิวบิตสามารถพิสูจน์ได้โดยพิจารณาจำนวนตัวดำเนินการรักษาเสถียรภาพอิสระ: สำหรับ แลตทิซ d × dจะมี ตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอด d² ^ตัวและ ตัวรักษาเสถียรภาพแผ่น d² ^ตัวแต่ผลคูณของตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอดทั้งหมดคือI และผลคูณของตัวรักษาเสถียรภาพแผ่นทั้งหมดก็คือ I เช่น ^กันดังนั้นจึงมี ตัวรักษาเสถียรภาพ อิสระ 2d² − 2ตัว เหลือระดับความเป็นอิสระที่เท่ากับ 2 คิวบิต

โดยปกติแล้ว การเกิดข้อผิดพลาดจะทำให้สถานะเคลื่อนออกจากพื้นที่รหัส ส่งผลให้จุดยอดและแผ่นโลหะบางจุดไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อผิดพลาด Pauli ZบนคิวบิตiจะพลิกตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอดA _v สอง ตัว(จุดปลายของขอบi ) และข้อผิดพลาด Pauli Xบนคิวบิตi จะพลิกตัวรักษาเสถียรภาพแผ่นโลหะบางจุด B _pสองตัว(แผ่นโลหะบางจุดที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของขอบi ) ตำแหน่งของการละเมิดเหล่านี้คือซินโดรมของรหัส ซึ่งสามารถใช้สำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดได้ ${\displaystyle i\in v}$${\displaystyle i\in p}$

ลักษณะเฉพาะของรหัสเชิงทอพอโลยี เช่น รหัสพื้นผิว คือ การละเมิดของตัวรักษาเสถียรภาพสามารถตีความได้ว่าเป็นอนุภาคเสมือนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากรหัสอยู่ในสถานะที่อนุภาคเสมือนที่เรียกว่าe แอนยอนสามารถกล่าวได้ว่ามีอยู่บนจุดยอดv ในทำนอง เดียวกัน การละเมิดบางอย่างจะเกี่ยวข้องกับmแอนยอนบนระนาบpพื้นที่รหัสที่ไม่มีการละเมิดของตัวรักษาเสถียรภาพจะสอดคล้องกับสุญญากาศแอนยอน ข้อเท็จจริงข้างต้นที่ว่าผลคูณของตัวรักษาเสถียรภาพของจุดยอด (หรือระนาบ) ทั้งหมดคือIหมายความว่าจำนวนของe (หรือm ) แอนยอนบนรหัสทอริกจะเป็นเลขคู่เสมอ ${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle A_{v}|\phi \rangle =-|\phi \rangle }$${\displaystyle B_{p}}$

ข้อผิดพลาด Zของคิวบิตเดี่ยวสามารถเชื่อมโยงกับขอบได้ และสร้างคู่ของe- anyon ที่ปลายทั้งสองของขอบนั้น อย่างไรก็ตามe- anyon สองตัวที่ตำแหน่งเดียวกันจะทำลายล้างกันเอง ดังนั้น ข้อผิดพลาด Zจึงสามารถเคลื่อนย้ายe- anyon ไปตามขอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ ทำให้e- anyon สามารถเคลื่อนย้ายไปบนโครงข่ายได้ หากคู่ของ anyon เริ่มต้นมาพบกันและทำลายล้างกัน เส้นทางของพวกมันจะก่อตัวเป็นวงวน

• หากลูปนั้นมีโครงสร้างทางทอพอโลยีที่เรียบง่าย ก็สามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันของเพลเกตต์ ( ตัวสร้างเสถียรภาพ Z ) บนแลตทิซ ดังนั้นลูปจึงแสดงถึง เสถียรภาพ Zของรหัส และไม่มีผลกระทบต่อข้อมูลที่จัดเก็บไว้ การทำลายแอนยอนในกรณีนี้ จะแก้ไขข้อผิดพลาดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการสร้างและการส่งผ่านแอนยอนเหล่านั้น
• อย่างไรก็ตาม หากลูปนั้นมีโครงสร้างทางโทโพโลยีที่ไม่ธรรมดา มันก็จะแสดงถึงตัวดำเนินการตรรกะที่ไม่ธรรมดาเช่นกัน แม้ว่าการทำลายแอนยอนซ้ำจะคืนสถานะกลับสู่พื้นที่รหัส แต่มันก็ยังดำเนินการทางตรรกะกับข้อมูลที่จัดเก็บไว้ด้วย ดังนั้น ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดจึงไม่ได้ถูกแก้ไข แต่ถูกรวมเข้าด้วยกัน
  • บนทอรัส มีลูปอิสระสองลูปที่ไม่ธรรมดาในเชิงโทโพโลยี: ลูปหนึ่งวนในแนวนอนบนโครงข่ายรหัสทอรัส และอีกลูปหนึ่งวนในแนวตั้ง ลูปเหล่านี้สามารถระบุได้ด้วย ตัวดำเนินการ Zของคิวบิตเชิงตรรกะสองตัวที่เข้ารหัสในรหัสทอรัส

เมื่อพิจารณากราฟคู่ของแลตทิซ จะเห็นได้ว่าย่อหน้าข้างต้นใช้ได้กับ ข้อผิดพลาด Xและแมนยอนด้วยเช่นกัน โปรดทราบว่า ตัวดำเนินการ Z แนวนอน และ ตัวดำเนินการ X แนวตั้ง เป็นของคิวบิตเดียวกัน และในทางกลับกัน ซึ่งทำให้มั่นใจได้ถึงความสัมพันธ์การสลับ ที่ถูกต้อง ระหว่างตัวดำเนินการเชิงตรรกะ

พิจารณาแบบจำลองสัญญาณรบกวนซึ่งข้อผิดพลาดของบิตและเฟสเกิดขึ้นอย่างอิสระในแต่ละคิวบิต โดยมีความน่าจะเป็นp เท่ากัน เมื่อpต่ำ จะทำให้เกิดคู่ของแอนยอนที่กระจายตัวอย่างเบาบางซึ่งไม่ได้เคลื่อนที่ไปไกลจากจุดกำเนิด การแก้ไขสามารถทำได้โดยการระบุคู่ที่แอนยอนถูกสร้างขึ้น (จนถึงระดับความเท่าเทียมกัน) แล้วทำการทำลายล้างอีกครั้งเพื่อลบข้อผิดพลาด อย่างไรก็ตาม เมื่อpเพิ่มขึ้น จะมีความคลุมเครือมากขึ้นว่าแอนยอนจะจับคู่กันได้อย่างไรโดยไม่เสี่ยงต่อการก่อตัวของลูปที่ไม่เป็นไปตามหลักการทางโทโพโลยี สิ่งนี้ทำให้เกิดความน่าจะเป็นเกณฑ์ ซึ่งการแก้ไขข้อผิดพลาดจะประสบความสำเร็จเกือบแน่นอน จากการแมปไปยังแบบจำลอง Ising ของพันธะสุ่ม พบว่าความน่าจะเป็นวิกฤตนี้อยู่ที่ประมาณ 11% ^{[ 8 ]}

อาจพิจารณาโมเดลข้อผิดพลาดอื่นๆ และค้นหาเกณฑ์ ในทุกกรณีที่ศึกษามาจนถึงปัจจุบัน พบว่าโค้ดสามารถอิ่มตัวขอบเขตแฮชชิ่งได้ สำหรับโมเดลข้อผิดพลาดบางอย่าง เช่น ข้อผิดพลาดแบบมีอคติซึ่งข้อผิดพลาดบิตเกิดขึ้นบ่อยกว่าข้อผิดพลาดเฟสหรือในทางกลับกัน ต้องใช้แลตติสอื่นที่ไม่ใช่แลตติสสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อให้ได้เกณฑ์ที่เหมาะสมที่สุด^{[ 9 ] [ 10 ]}

ข้อผิดพลาดในการลบยังได้รับการศึกษาโดยใช้การแมปทางฟิสิกส์เชิงสถิติ Masayuki Ohzeki ประมาณค่าเกณฑ์ข้อผิดพลาดสำหรับรหัสพื้นผิวที่มีคิวบิตสูญหายโดยการวิเคราะห์แบบจำลองสปินกลาสที่เกี่ยวข้อง^{[ 11 ]}

เกณฑ์เหล่านี้เป็นขีดจำกัดบนและจะไม่มีประโยชน์เว้นแต่จะพบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพเพื่อให้บรรลุเกณฑ์เหล่านั้น อัลกอริทึมที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือ ^การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่มีน้ำหนักขั้นต่ำ [ ^{12 ]}เมื่อนำไปใช้กับแบบจำลองสัญญาณรบกวนที่มีข้อผิดพลาดบิตและพลิกอิสระ จะได้เกณฑ์ประมาณ 10.5% ซึ่งต่ำกว่าค่าสูงสุด 11% เพียงเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม การจับคู่จะไม่ได้ผลลัพธ์ที่ดีนักเมื่อมีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดบิตและเฟส เช่นเดียวกับสัญญาณรบกวนแบบดีโพลาไรซ์

เมื่อปรับโค้ดพื้นผิวให้เข้ากับเงื่อนไขขอบเขตแบบเปิด พฤติกรรมขอบเขตพิเศษจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการกำหนดโค้ดพื้นผิวในลักษณะเดียวกับข้างต้น แต่บนกราฟตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดn × n จุดยอดบางจุดบนขอบเขตจะมีดีกรี 3 แทนที่จะเป็น 4 (และจุดยอดมุมจะมีดีกรี 2) ดังนั้นจะมี ตัวรักษาเสถียรภาพ Xที่มีน้ำหนัก 3 (และน้ำหนัก 2) อยู่บ้าง

ลักษณะสำคัญที่สุดของขอบเขตแบบเปิดดังกล่าวคือ ข้อผิดพลาด Pauli Xไม่จำเป็นต้องพลิกตัวรักษาเสถียรภาพ plaquette สองตัวอีกต่อไป ขอบบนขอบเขตมี plaquette ที่อยู่ติดกันเพียงตัวเดียว ดังนั้น ข้อผิดพลาด Xบนคิวบิตที่เกี่ยวข้องจะพลิกเพียงตัวเดียวหรือในภาษาของ anyons จะสร้างหรือทำลาย manyon เพียงตัวเดียวเท่านั้นอาจกล่าวได้ว่าขอบเขตของรหัสประเภทนี้ (ที่รู้จักกันในชื่อขอบเขต เรียบ ) เป็นแหล่งกำเนิดและแหล่งรับสำหรับmanyons${\displaystyle B_{p}}$

ในโค้ดพื้นผิวที่มีขอบเขตเปิด นอกเหนือจากลูปที่แท้จริงแล้ว ยังต้องพิจารณาเส้นทางที่เริ่มต้นและสิ้นสุดที่ขอบเขต ซึ่งโดยปกติแล้วจะเฉพาะเจาะจงกับประเภทของแอนยอน ในตัวอย่างกราฟกริดn × n ของเรา แอนยอน mสามารถสร้างขึ้นได้ที่ตำแหน่งใดก็ได้บนขอบเขต เคลื่อนที่ข้ามกริด และถูกทำลายที่ตำแหน่งอื่นใดก็ได้บนขอบเขต อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีขอบเขตเพียงประเภทเดียว เส้นทางเหล่านี้ทั้งหมดจึงเป็นเส้นทางที่ไม่มีนัยสำคัญทางโทโพโลยี ตัวอย่างเช่น หากแอ นยอน m ถูกสร้างขึ้นที่ใดที่หนึ่งตรงกลางของขอบเขตด้านบน เคลื่อนที่ไปหนึ่งขั้นในแนวนอน จากนั้นถูกทำลายอีกครั้งโดยขอบเขตด้านบน เส้นทางของมันจะสอดคล้องกับตัวรักษาเสถียรภาพ X ที่ มีน้ำหนัก 3 ตัวใดตัวหนึ่งที่กล่าวถึงข้างต้น ในขณะเดียวกัน แอนยอน eสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะภายในขอบเขตเท่านั้น ดังนั้น ลูปของแอนยอน e ทั้งหมด จึงเป็นเส้นทางที่ไม่มีนัยสำคัญทางโทโพโลยีเช่นกัน สิ่งนี้บ่งชี้ว่ารหัสนี้ไม่ได้เข้ารหัสคิวบิตเชิงตรรกะใดๆ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการนับคิวบิตและตัวรักษาเสถียรภาพ: มี คิวบิต 2 n ( n − 1)ตัว (ขอบของแลตทิซ), ตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอดอิสระn ² − 1 ตัว และตัวรักษาเสถียรภาพแผ่นเพลเกตอิสระ ( n − 1 ) ^{2 ตัว} (เนื่องจากขอบเขต ผลคูณของตัวรักษาเสถียรภาพแผ่นเพลเกตทั้งหมดจึงไม่ใช่I อีกต่อไป และทั้งหมดเป็นอิสระ) และ2 n ( n − 1) − ( n ² − 1) − ( n − 1) ² = 0

ในการออกแบบโค้ดพื้นผิวแบบเปิดที่มีพื้นที่โค้ดที่ไม่ธรรมดา จำเป็นต้องใช้ขอบเขตอีกประเภทหนึ่ง นั่นคือขอบเขตหยาบซึ่งทำหน้าที่เป็นคู่ตรงข้ามของขอบเขตเรียบ ในการสร้างขอบเขตหยาบ เราเริ่มต้นจากขอบเขตเรียบและลบขอบ (คิวบิต) บนขอบเขตที่อยู่ติดกับเพลเกตต์เพียงอันเดียว แต่ยังคงเพลเกตต์เหล่านั้นไว้เป็น ตัวรักษาเสถียรภาพ Z ที่มีน้ำหนัก 3 ตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอดบนขอบเขตเดิมจะมีน้ำหนัก 1 และไม่สามารถสลับตำแหน่งกับตัวรักษาเสถียรภาพเพลเกตต์ที่แก้ไขแล้วได้อย่างถูกต้อง ดังนั้นตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอดเหล่านั้นจึงถูกลบออกไปด้วย ทำให้เหลือขอบที่ "ห้อย" อยู่บนแลตทิซ (จึงเป็นที่มาของชื่อ "หยาบ") ผลลัพธ์ที่ได้คือขอบเขตที่ทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดและจุดรับสำหรับแอนยอน

ทีนี้ลองพิจารณาโครงตาข่ายที่มีขอบบนและล่างเรียบ และขอบซ้ายและขวาขรุขระ โครงตาข่ายดังกล่าวจะกำหนดรหัสระนาบ (ที่ยังไม่ได้หมุน) การเคลื่อนที่ ของ แอ นยอนจากขอบบนไปยังขอบบนยังคงเป็นเส้นทางที่ไม่สำคัญทางโทโพโลยี แต่การเคลื่อนที่จากขอบบนไปยังขอบล่างจะไม่ใช่เส้นทางที่ไม่สำคัญทางโทโพโลยีอีกต่อไป เพราะแอนยอนไม่สามารถออกจากขอบซ้ายหรือขวาได้อีกต่อไป ในทำนองเดียวกัน เส้นทางที่ไม่สำคัญทางโทโพโลยีสำหรับ แอนยอน eตัว คือเส้นทางที่เคลื่อนที่จากขอบซ้ายไปยังขอบขวา หากโครงตาข่ายเดิมมีdแถวและd + 1 คอลัมน์ของจุดยอด (ก่อนที่จะลบตัวรักษาเสถียรภาพจุดยอดที่ขอบซ้ายและขวา) แล้วเส้นทางที่ไม่สำคัญทางโทโพโลยีทั้งสองประเภทจะมีระยะ ทางขั้นต่ำdซึ่งบ่งชี้ว่ารหัสเข้ารหัสคิวบิตเชิงตรรกะเดี่ยวที่มีระยะทางรหัสdจำนวนคิวบิตเชิงตรรกะสามารถตรวจสอบได้อีกครั้งโดยการนับตัวรักษาเสถียรภาพ: ( d ² + ( d − 1) ² ) − d ( d − 1) − d ( d − 1) = 1 (ตอนนี้ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดยอดทั้งหมดเป็นอิสระต่อกันด้วย เนื่องจาก "ขอบที่ห้อย" ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของตัวรักษาเสถียรภาพของจุดยอดเพียงจุดเดียว)

รหัสระนาบหมุน (Rotated Planar Code) ^เป็นรูปแบบหนึ่งของรหัสระนาบที่ลดจำนวนคิวบิตทางกายภาพลงเกือบครึ่งหนึ่งโดยไม่ส่งผลกระทบต่อระยะทางของรหัส รหัสระนาบหมุนที่มี ระยะทาง d จะมีคิวบิตทางกายภาพ d² ^ตัวเมื่อเทียบกับd² + ( d − 1) ^²สำหรับรหัสที่ไม่หมุน มุมทั้งสี่ของโครงข่ายรหัสระนาบที่ไม่หมุนจะถูกตัดออกตามแนวทแยงมุม ทำให้เกิดขอบเขตใหม่ โครงข่ายที่ได้ยังคงมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่หมุนไป 45° จึงเป็นที่มาของชื่อนี้

ในเชิงแนวคิด รหัสพื้นผิวสามารถเข้ารหัสคิวบิตเชิงตรรกะที่มีระยะรหัสdได้ ตราบใดที่มันมีขอบเขตสี่ด้านที่มีประเภทสลับกัน (เรียบหรือขรุขระ) และระยะห่างระหว่างขอบเขตตรงข้าม (เช่น ขอบเขตประเภทเดียวกัน) ตามขอบของโครงตาข่าย ( ระยะแมนฮัตตันสำหรับโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส) มีค่าอย่างน้อยdเงื่อนไขนี้ใช้ได้กับโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่หมุนแล้ว เมื่อขอบเขตทั้งสี่นี้ตรงกับด้านทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่หมุนแล้ว ตัวอย่างเช่น ขอบเขตด้านตะวันออกเฉียงเหนือและตะวันตกเฉียงใต้ อาจเป็นขอบเขตเรียบ ในขณะที่ขอบเขตด้านตะวันตกเฉียงเหนือและตะวันออกเฉียงใต้เป็นขอบเขตขรุขระ ขอบเขตเรียบและขรุขระในแนวทแยงมี ตัวรักษาเสถียรภาพ XและZ ที่มีน้ำหนัก 2 ตามลำดับ

การอธิบายรายละเอียดของโครงสร้างรหัสระนาบหมุนจะทำได้ง่ายขึ้นโดยการหมุนระบบพิกัดไป 45° ในการวางแนวนี้ คิว ^บิตd²จะอยู่บนจุดยอดของ โครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาด d × dและ ตัวรักษาเสถียรภาพ ZและXจะอยู่บนแผ่นของโครงตาข่ายที่หมุนนี้ โดยทั้งสองประเภทจะเรียงตัวเป็นแบบตารางหมากรุก นอกจากนี้ ยัง มีตัวรักษาเสถียรภาพ Z (หรือX ) ที่มีน้ำหนัก 2 อยู่บนขอบด้านซ้ายและด้านขวา (หรือด้านบนและด้านล่าง ) ของโครงตาข่าย โดยมีตัวรักษาเสถียรภาพที่ขอบหนึ่งตัวบนขอบสลับกันทุกๆ ขอบ จำนวนตัวรักษาเสถียรภาพทั้งหมดคือ( d − 1) ^² + 4( d − 1) / 2 = d² ⁻ 1

เมื่อเปรียบเทียบกับรหัสระนาบที่ไม่หมุนซึ่งมีจำนวนคิวบิตทางกายภาพเท่ากัน รหัสระนาบที่หมุนแล้วสามารถเพิ่มระยะทางรหัสdได้ประมาณ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$เท่า อย่างไรก็ตาม ยังมีวิธีการอีกมากมายที่แอนยอนสามารถเคลื่อนที่จากขอบเขตหนึ่งไปยังขอบเขตตรงข้ามได้ในdขั้นตอน ส่งผลให้มีกลไกข้อผิดพลาดน้ำหนักต่ำสุดจำนวนมากขึ้น สิ่งนี้อาจทำให้อัตราข้อผิดพลาดเชิงตรรกะของรหัสที่หมุนแล้วสูงกว่ารหัสที่ไม่หมุนซึ่งมีจำนวนคิวบิตเท่ากัน แม้ว่าระยะทางรหัสจะมากขึ้นก็ตาม ไม่ว่าอย่างไรก็ตาม รหัสระนาบที่หมุนแล้วยังคงมีประสิทธิภาพในระบอบข้อผิดพลาดต่ำซึ่งอัตราข้อผิดพลาดทางกายภาพต่ำกว่าเกณฑ์อย่างมีนัยสำคัญ^{[ 13 ]}

ได้มีการพิจารณา วิธีการคำนวณควอนตัมบนข้อมูลเชิงตรรกะที่จัดเก็บไว้ภายในรหัสพื้นผิว โดยคุณสมบัติของรหัสช่วยให้ทนต่อความผิดพลาดได้ แสดงให้เห็นว่าการขยายพื้นที่ของตัวรักษาเสถียรภาพโดยใช้ 'ช่องว่าง' จุดยอด หรือแผ่นเล็กๆ ที่ไม่ได้บังคับใช้ตัวรักษาเสถียรภาพ จะช่วยให้สามารถเข้ารหัสคิวบิตจำนวนมากเข้าไปในรหัสได้ อย่างไรก็ตาม ชุดเกต เอกภาพสากล ไม่สามารถนำไปใช้ได้อย่างทนต่อความผิดพลาดโดยใช้การดำเนินการเอกภาพ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้เทคนิคเพิ่มเติมเพื่อให้บรรลุการคำนวณควอนตัม ตัวอย่างเช่น การคำนวณควอนตัมสากลสามารถทำได้โดยการเตรียมสถานะวิเศษผ่านสตับควอนตัมที่เข้ารหัสเรียกว่า tidBits ซึ่งใช้ในการเทเลพอร์ตเกตเพิ่มเติมที่จำเป็นเมื่อถูกแทนที่เป็นคิวบิต นอกจากนี้ การเตรียมสถานะวิเศษจะต้องทนต่อความผิดพลาด ซึ่งสามารถทำได้โดยการกลั่นสถานะวิเศษบนสถานะวิเศษที่มีสัญญาณรบกวน ได้ มีการค้นพบวิธีการคำนวณควอนตัมแบบอิงการ วัดโดยอาศัยหลักการนี้ ซึ่งมีเกณฑ์ความผิดพลาดสูงสุดเท่าที่ทราบสำหรับสถาปัตยกรรมสองมิติ^{[ 14 ] [ 15 ]}

เนื่องจากตัวดำเนินการรักษาเสถียรภาพของโค้ดพื้นผิวเป็นแบบกึ่งเฉพาะที่ ซึ่งทำงานเฉพาะกับสปินที่อยู่ใกล้กันบนโครงตาข่ายสองมิติ จึงไม่ใช่เรื่องที่ไม่สมจริงที่จะกำหนดแฮมิลโทเนียนต่อไปนี้

${\displaystyle H_{\rm {TC}}=-J_{e}\sum _{v}A_{v}-J_{m}\sum _{p}B_{p},\,\,\,J_{e},J_{m}>0.}$

พื้นที่สถานะพื้นฐานของแฮมิลโทเนียนนี้คือพื้นที่เสถียรภาพของโค้ด สถานะกระตุ้นสอดคล้องกับสถานะของแอนยอน โดยมีพลังงานเป็นสัดส่วนกับจำนวนของแอนยอน ดังนั้นข้อผิดพลาดเฉพาะที่จึงถูกระงับด้วยพลังงานจากช่องว่าง ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีเสถียรภาพต่อการรบกวนเฉพาะที่^{[ 16 ]}อย่างไรก็ตาม ผลกระทบแบบไดนามิกของการรบกวนดังกล่าวยังคงสามารถก่อให้เกิดปัญหาสำหรับโค้ดได้^{[ 17 ] [ 18 ]}

ช่องว่างนี้ยังทำให้รหัสมีความยืดหยุ่นต่อข้อผิดพลาดจากความร้อนในระดับหนึ่ง ทำให้สามารถแก้ไขได้เกือบแน่นอนในช่วงเวลาวิกฤตหนึ่ง ซึ่งเวลานี้จะเพิ่มขึ้นตามแต่เนื่องจากการเพิ่มขึ้นตามอำเภอใจของค่าสัมประสิทธิ์นี้เป็นไปไม่ได้ การป้องกันที่ได้รับจากแฮมิลโทเนียนจึงยังมีข้อจำกัดอยู่ ${\displaystyle J}$

มักมีการพิจารณาวิธีการสร้างรหัสพื้นผิวให้เป็นหน่วยความจำควอนตัมที่แก้ไขตัวเองได้อย่างสมบูรณ์ การแก้ไขตัวเองหมายความว่าแฮมิลโทเนียนจะระงับข้อผิดพลาดอย่างเป็นธรรมชาติไปเรื่อยๆ ซึ่งนำไปสู่อายุการใช้งานที่ลู่เข้าสู่ขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก พบว่าสิ่งนี้เป็นไปได้ในรหัสทอริกเฉพาะในกรณีที่มีปฏิสัมพันธ์ระยะไกลระหว่างแอนยอน^{[ 19 ] [ 20 ]}มีการเสนอแนวทางสำหรับการสร้างสิ่งเหล่านี้ในห้องปฏิบัติการ^{[ 21 ]}แนวทางอื่นคือการขยายแบบจำลองไปสู่มิติที่สูงขึ้น โดยการแก้ไขตัวเองเป็นไปได้ใน 4 มิติด้วยปฏิสัมพันธ์แบบกึ่งโลคอลเท่านั้น^{[ 22 ]}

เป็นไปได้ที่จะกำหนดรหัสที่คล้ายกันโดยใช้สปินมิติสูงกว่า เหล่านี้คือแบบจำลองควอนตัมคู่^{[ 23 ]}และแบบจำลองสตริงเน็ต^{[ 24 ]}ซึ่งช่วยให้พฤติกรรมของแอนยอนมีความหลากหลายมากขึ้น และอาจใช้สำหรับการคำนวณควอนตัมขั้นสูงและข้อเสนอการแก้ไขข้อผิดพลาด^{[ 25 ]}สิ่งเหล่านี้ไม่เพียงแต่รวมถึงแบบจำลองที่มีแอนยอนแบบอาเบเลียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงแบบจำลองที่มีสถิติแบบไม่อาเบเลียนด้วย^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

การสาธิตที่ชัดเจนที่สุดของคุณสมบัติของรหัสทอริกคือวิธีการที่ใช้สถานะเป็นพื้นฐาน แทนที่จะพยายามสร้างแฮมิลโทเนียน วิธีการเหล่านี้เพียงแค่เตรียมรหัสในพื้นที่ของตัวรักษาเสถียรภาพ การใช้เทคนิคนี้ การทดลองต่างๆ สามารถสาธิตการสร้าง การขนส่ง และสถิติของแอนยอน^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}และการวัดเอนโทรปีของการพันกันทางทอพอโลยี [ ^{31 ] การ}ทดลองล่าสุดยังสามารถสาธิตคุณสมบัติการแก้ไขข้อผิดพลาดของรหัสได้อีกด้วย^{[ 32 ] [ 31 ]}

สำหรับการสร้างรหัสทอริกและการวางนัยทั่วไปด้วยแฮมิลโทเนียน ได้มีการพัฒนาอย่างมากโดยใช้จุดเชื่อมต่อโจเซฟสัน ทฤษฎี เกี่ยว กับวิธีการนำแฮมิลโทเนียนไปใช้ได้รับการพัฒนาสำหรับรหัสโทโพโลยีหลายประเภท^{[ 33 ]}นอกจากนี้ยังได้ทำการทดลองเพื่อสร้างแฮมิลโทเนียนของรหัสทอริกสำหรับแลตทิซขนาดเล็ก และสาธิตหน่วยความจำควอนตัมที่ได้รับจากสถานะพื้นฐานที่เสื่อมสภาพ^{[ 34 ]}

งานทางทฤษฎีและการทดลองอื่นๆ ที่มุ่งสู่การสร้างนั้นขึ้นอยู่กับอะตอมเย็น ชุดเครื่องมือของวิธีการที่อาจใช้ในการสร้างรหัสโทโพโลยีด้วยโครงตาข่ายแสงได้รับการสำรวจแล้ว ^{[ 35 ]}เช่นเดียวกับการทดลองเกี่ยวกับตัวอย่างขั้นต่ำของลำดับโทโพโลยี^{[ 36 ]}ตัวอย่างขั้นต่ำของรหัสทอริกดังกล่าวได้รับการสร้างขึ้นในเชิงทดลองภายในแผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แยกตัว^{[ 37 ]}ความคืบหน้ายังเกิดขึ้นในการจำลองแบบจำลองทอริกด้วยอะตอม Rydbergซึ่งสามารถสาธิตแฮมิลโทเนียนและผลกระทบของสัญญาณรบกวนแบบกระจายได้^{[ 38 ] [ 39 ]}การทดลองในอาร์เรย์อะตอม Rydberg ยังประสบความสำเร็จในการสร้างรหัสทอริกด้วยเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบในสองมิติโดยการขนส่งอาร์เรย์ของอะตอมที่พันกันอย่างสอดคล้องกัน^{[ 40 ]}

ณ ปี 2025 Google Quantum AIได้นำรหัสระนาบหมุนมาใช้กับระยะห่างรหัสสูงสุด 7 บนโปรเซสเซอร์ควอนตัมตัวนำยิ่งยวดรุ่นใหม่ล่าสุด Willow ซึ่งแสดงให้เห็นปัจจัยการลดข้อผิดพลาดเชิงตรรกะΛที่มากกว่า 2 เล็กน้อยเมื่อระยะห่างรหัสเพิ่มขึ้น 2 ซึ่งบ่งชี้ถึงพฤติกรรมที่ต่ำกว่าเกณฑ์^{[ 7 ]}

• https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html