ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เกรเดียนต์สี่มิติ (หรือ4-gradient ) คืออนาล็อกของเกรเดียนต์จากแคลคูลัสเวกเตอร์ใน รูป แบบ เวกเตอร์สี่มิติ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\บางส่วน }}}$${\displaystyle {\vec {\boldสัญลักษณ์ {\nabla }}}}$

ใน ทฤษฎีสั ม พัทธภาพพิเศษและกลศาสตร์ควอนตัมเกรเดียนต์สี่มิติถูกใช้เพื่อกำหนดคุณสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์และเทนเซอร์ สี่มิติทางฟิสิกส์ต่างๆ

บทความนี้ใช้ลาย เซ็นเมตริก(+ − − −)

SR และ GR เป็นคำย่อของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปตามลำดับ

${\displaystyle c}$แสดงถึงความเร็วแสงในสุญญากาศ

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\ชื่อผู้ดำเนินการ {diag} [1,-1,-1,-1]}$คือเมตริกปริภูมิเวลา แบบราบ ของทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษ

ในวิชาฟิสิกส์ มีวิธีการเขียนนิพจน์เวกเตอร์สี่มิติแบบอื่นได้อีก:

• สามารถใช้รูปแบบเวกเตอร์สี่มิติได้ซึ่งโดยทั่วไปจะกระชับกว่าและสามารถใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ (เช่น ผลคูณภายใน "จุด") โดยใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ตัวหนาเสมอเพื่อแสดงเวกเตอร์สี่มิติ และตัวพิมพ์เล็กตัวหนาเพื่อแสดงเวกเตอร์สามมิติ เช่นกฎของเวกเตอร์สามมิติส่วนใหญ่มีความคล้ายคลึงกันในคณิตศาสตร์เวกเตอร์สี่มิติ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• สามารถใช้รูปแบบการคำนวณแบบริชชีได้ซึ่งใช้สัญกรณ์ดัชนี เทนเซอร์ และมีประโยชน์สำหรับนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับเทนเซอร์ที่มีดัชนีมากกว่าหนึ่งตัวเช่น${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\บางส่วน ^{\mu }A^{\nu }-\บางส่วน ^{\nu }A^{\mu }}$

ดัชนีเทนเซอร์ภาษาละตินมีค่าอยู่ในช่วง{1, 2, 3}และแทนเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติเช่น ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

ดัชนีเทนเซอร์ของภาษากรีกมีค่าอยู่ในช่วง{0, 1, 2, 3}และแทนเวกเตอร์ 4 มิติเช่น ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

ในฟิสิกส์ SR โดยทั่วไปจะใช้การผสมผสานที่กระชับ เช่น โดยที่แทนส่วนประกอบเชิงเวลา และแทนส่วนประกอบเชิงพื้นที่ 3 ส่วน ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$${\displaystyle a^{0}}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

โดยทั่วไปแล้ว เทนเซอร์ใน SR จะเป็นเทนเซอร์ 4 มิติ ซึ่งมีดัชนีบนและดัชนีล่าง โดย 4 มิติหมายถึง 4 มิติ ซึ่งเท่ากับจำนวนค่าที่แต่ละดัชนีสามารถรับได้ ${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

การหดตัวของเทนเซอร์ที่ใช้ในเมตริก Minkowskiสามารถไปทางด้านใดด้านหนึ่งก็ได้ (ดูสัญกรณ์ของ Einstein ): ^{[ 1 ] : 56, 151–152, 158–161} $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

ส่วนประกอบโคแวเรียนต์เกรเดียนต์ 4 ตัวที่เขียนอย่างกระชับใน สัญ กรณ์เวกเตอร์สี่ตัวและแคลคูลัสริชชีมีดังนี้: ^{[ 2 ] [ 3 ] : 16} $${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

เครื่องหมายจุลภาคในส่วนสุดท้ายข้างต้นแสดงถึงการหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตำแหน่งที่4 ${\displaystyle {}_{,\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$

ส่วนประกอบคอนทราเวเรียนต์คือ: ^{[ 2 ] [ 3 ] : 16} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

สัญลักษณ์อื่นนอกเหนือจากคือและD (แม้ว่าอาจหมายถึงตัวดำเนินการดาล็องแบร์ ​​ก็ได้ ) ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป จำเป็นต้องใช้ เมตริกเทนเซอร์ ทั่วไปและอนุพันธ์ร่วมแปร เทนเซอร์ (อย่าสับสนกับเวกเตอร์ 3-เกรเดียนต์) ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

อนุพันธ์โคแวเรียนต์รวมผลกระทบของเกรเดียนต์ 4 ตัวบวกกับความโค้งของปริภูมิเวลาผ่านสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \partial _{\nu }}$${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

หลักการสมดุลที่แข็งแกร่งสามารถระบุได้ดังนี้: ^{[ 4 ] : 184}

"กฎทางฟิสิกส์ใดๆ ที่สามารถแสดงได้ด้วยสัญกรณ์เทนเซอร์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ จะมีรูปแบบเดียวกันในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเฉพาะที่ของปริภูมิเวลาโค้ง" เครื่องหมายจุลภาค (,) ที่แสดงการไล่ระดับ 4 ตัวในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ จะถูกเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายอัฒภาค (;) ที่แสดงอนุพันธ์ร่วมแปรในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป โดยใช้สัญลักษณ์คริสตอฟเฟล ในการเชื่อมต่อระหว่างทั้งสอง ซึ่งในฟิสิกส์สัมพัทธภาพเรียกว่า "กฎการเปลี่ยนจากจุลภาคเป็นอัฒภาค"

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าอยู่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (SR) ก็จะอยู่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

บนเทนเซอร์ (1,0) หรือเวกเตอร์ 4 มิติ จะเป็นดังนี้: ^{[ 4 ] : 136–139} $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

บนเทนเซอร์ (2,0) จะเป็นดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

การไล่ระดับ 4 มิติถูกนำไปใช้ในหลายวิธีในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (SR):

ตลอดทั้งบทความนี้ สูตรทั้งหมดถูกต้องสำหรับพิกัดมินคอฟสกีใน ปริภูมิเวลาแบบราบ ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ แต่จะต้องมีการปรับเปลี่ยนสำหรับพิกัดปริภูมิโค้งทั่วไปของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (GR)

ไดเวอร์เจนซ์เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่สร้างฟิลด์สเกลาร์แบบมีเครื่องหมาย ซึ่งให้ปริมาณของแหล่งกำเนิดของฟิลด์เวกเตอร์ณ แต่ละจุด โปรดสังเกตว่าในลายเซ็นเมตริกนี้ [+,−,−,−] เกรเดียนต์ 4 มิติมีส่วนประกอบเชิงพื้นที่ที่เป็นลบ มันจะถูกตัดออกเมื่อทำการคูณดอทแบบ 4 มิติ เนื่องจากเมตริกมินคอฟสกีเป็นแบบทแยงมุม[+1,−1,−1,−1]

ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของตำแหน่ง 4 ให้มิติของกาลอวกาศ : ${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของความหนาแน่นกระแส 4 ให้กฎการอนุรักษ์ – การอนุรักษ์ประจุ : ^{[ 1 ] : 103–107} $${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

นั่นหมายความว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นประจุเมื่อเทียบ กับเวลา จะต้องเท่ากับค่าเบี่ยงเบนเชิงพื้นที่ที่เป็นลบของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ประจุภายในกล่องไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามอำเภอใจ มันต้องเข้าและออกจากกล่องโดยผ่านกระแสไฟฟ้า นี่คือสมการความต่อเนื่อง

ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของฟลักซ์จำนวน 4 (ฝุ่น 4) ใช้ในการอนุรักษ์อนุภาค: ^{[ 4 ] : 90–110} ${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

นี่คือกฎการอนุรักษ์ความหนาแน่นของจำนวนอนุภาค โดยทั่วไปแล้วจะเป็นความหนาแน่นของจำนวนแบริออน

ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของศักย์แม่เหล็กไฟฟ้า 4 ถูกนำมาใช้ในเงื่อนไขเกจลอเรนซ์ : ^{[ 1 ] : 105–107} ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

นี่เทียบเท่ากับกฎการอนุรักษ์สำหรับศักยภาพ EM 4

ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของเทนเซอร์ 4D (2,0) ไร้ร่องรอยตามขวางที่แสดงถึงการแผ่รังสีแรงโน้มถ่วงในขีดจำกัดสนามอ่อน (กล่าวคือ แพร่กระจายอย่างอิสระในระยะไกลจากแหล่งกำเนิด) ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

เงื่อนไขตามขวางนั้น เทียบเท่ากับสมการอนุรักษ์สำหรับคลื่นความโน้มถ่วงที่แพร่กระจายอย่างอิสระ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของเทนเซอร์พลังงานความเครียด ในฐานะกระแสโนเธอร์ ที่อนุรักษ์ไว้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแปลกาลอวกาศให้กฎการอนุรักษ์สี่ข้อใน SR: ^{[ 4 ] : 101–106} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

การอนุรักษ์พลังงาน (ทิศทางเวลา) และการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น (3 ทิศทางเชิงพื้นที่ที่แยกจากกัน) $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

โดยทั่วไปมักเขียนในรูปแบบนี้: ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันว่าศูนย์ตัวเดียวนั้นแท้จริงแล้วคือศูนย์เวกเตอร์ 4 มิติ $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

เมื่อการอนุรักษ์เทนเซอร์พลังงานความเครียด( )${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$สำหรับของไหลสมบูรณ์ถูกรวมเข้ากับการอนุรักษ์ความหนาแน่นของจำนวนอนุภาค ( ) โดยทั้งสองใช้เกรเดียนต์ 4 มิติ เราสามารถอนุมานสมการออยเลอร์เชิงสัม พัทธภาพได้ ซึ่งในกลศาสตร์ของไหลและฟิสิกส์ดาราศาสตร์เป็นการขยายความของสมการออยเลอร์ที่คำนึงถึงผลกระทบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสมการเหล่านี้จะลดลงเหลือสมการออยเลอร์แบบคลาสสิกหากความเร็วในปริภูมิ 3 มิติของของไหลน้อยกว่าความเร็วแสงมาก ความดันน้อยกว่าความหนาแน่นของพลังงาน มาก และความหนาแน่นของพลังงานนั้นถูกครอบงำโดยความหนาแน่นของมวลนิ่ง ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

ในปริภูมิเวลาแบบราบเรียบและใช้พิกัดคาร์ทีเซียน หากนำสิ่งนี้มารวมกับสมมาตรของเทนเซอร์พลังงานความเครียด จะสามารถแสดงได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุม ( โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธภาพ ) ก็ได้รับการอนุรักษ์เช่นกัน โดยที่ศูนย์นี้เป็นศูนย์ของเทนเซอร์ (2,0) $${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

เมทริกซ์จาโคเบียนคือเมทริกซ์ ของ อนุพันธ์ย่อยอันดับแรกทั้งหมดของฟังก์ชันเวกเตอร์

เกรเดียนต์ 4 ตัวที่กระทำกับตำแหน่ง 4 ตำแหน่ง ทำให้ เมตริกพื้นที่มินคอฟสกี้ SR : ^{[ 3 ] : 16} ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$${\displaystyle X^{\nu }}$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

สำหรับเมตริกมินคอฟสกี ส่วนประกอบ ( ไม่ได้บวกกัน) โดยที่ส่วนประกอบที่ไม่ใช่แนวทแยงมุมทั้งหมดเป็นศูนย์ ${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$${\displaystyle \mu }$

สำหรับเมตริกมินคอฟสกีแบบคาร์ทีเซียน จะได้ค่าดังนี้ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

โดยทั่วไปแล้วคือค่า เดลต้าโครเนกเกอร์ 4 มิติ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

การแปลงลอเรนซ์เขียนในรูปแบบเทนเซอร์เป็น^{[ 4 ] : 69} และเนื่องจากเป็นเพียงค่าคงที่ ดังนั้น $${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

ดังนั้น ตามนิยามของเกรเดียนต์ 4 ระดับ $${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

เอกลักษณ์นี้เป็นพื้นฐาน ส่วนประกอบของการแปลงเกรเดียนต์ 4 มิติเป็นไปตามผกผันของส่วนประกอบของเวกเตอร์ 4 มิติ ดังนั้นเกรเดียนต์ 4 มิติจึงเป็นรูปแบบหนึ่งมิติ "ต้นแบบ"

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของความเร็ว 4 มิติ กับเกรเดียนต์ 4 มิติจะให้ผลรวมอนุพันธ์เทียบกับเวลาที่เหมาะสม : ^{[ 1 ] : 58–59} ${\displaystyle U^{\mu }}$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นค่าคงที่สเกลาร์ของลอเรนซ์แสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์รวมเทียบกับเวลาที่แท้จริงก็เป็นค่าคงที่สเกลาร์ของลอเรนซ์เช่นกัน ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่นความเร็ว 4 มิติ คืออนุพันธ์ของตำแหน่ง 4 มิติเทียบกับเวลาที่แท้จริง: หรือ ${\displaystyle U^{\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือความเร่ง 4 มิติ คืออนุพันธ์เทียบกับเวลาที่แท้จริงของความเร็ว 4 มิติ : ${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle U^{\mu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

หรือ $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า ฟาราเดย์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในปริภูมิเวลาของระบบทางกายภาพ^{[ 1 ] : 101–128 [ 5 ] : 314 [ 3 ] : 17–18 [ 6 ] : 29–30 [ 7 ] : 4} ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

เมื่อใช้เกรเดียนต์ 4 มิติเพื่อสร้างเทนเซอร์แบบแอนติสมมาตร จะได้ว่า: โดยที่: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้า 4 มิติ อย่าสับสนกับความเร่ง 4 มิติ${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• ศักย์ไฟฟ้าสเกลาร์คือ${\displaystyle \phi }$
• ศักย์ เวกเตอร์ แม่เหล็ก3 มิติคือ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

โดยการใช้เกรเดียนต์ 4 มิติอีกครั้ง และกำหนดความหนาแน่นกระแส 4 มิติเราสามารถหาอนุพันธ์ของสมการแม็กซ์เวลล์ ในรูปแบบเทนเซอร์ได้ โดย ที่บรรทัดที่สองคือรูปแบบหนึ่งของเอกลักษณ์เบียนคี ( เอกลักษณ์จาโคบี ) ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

เวกเตอร์คลื่นคือเวกเตอร์ที่ช่วยอธิบายคลื่นเช่นเดียวกับเวกเตอร์อื่นๆ เวกเตอร์คลื่นมีทั้งขนาดและทิศทางซึ่งทั้งสองอย่างมีความสำคัญ: ขนาดของมันคือเลขคลื่นหรือเลขคลื่นเชิงมุมของคลื่น (แปรผกผันกับความยาวคลื่น ) และทิศทางของมันโดยปกติคือทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น

เวกเตอร์คลื่น 4 มิติ คือเกรเดียนต์ 4 มิติของเฟสลบ(หรือเกรเดียนต์ 4 มิติเชิงลบของเฟส) ของคลื่นในปริภูมิ Minkowski: ^{[ 6 ] : 387} ${\displaystyle K^{\mu }}$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

สิ่งนี้เทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับนิยามของเฟสของคลื่น (หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งคลื่นระนาบ ): $${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

โดยที่ 4-ตำแหน่งคือความถี่เชิงมุมเวลาคือเวกเตอร์คลื่นในปริภูมิ 3 มิติ และคือเฟสคงที่แบบสเกลาร์ของลอเรนซ์ ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$ โดยตั้งสมมติฐานว่าคลื่นระนาบและไม่ใช่ฟังก์ชันโดยตรงของ หรือ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

รูปแบบที่ชัดเจนของคลื่นระนาบ SR สามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 7 ] : 9} ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$โดยที่เป็นแอมพลิจูด (ซึ่งอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน ) ${\displaystyle A_{n}}$

คลื่นทั่วไปคือการซ้อนทับกันของคลื่นระนาบหลายลูก: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

โดยใช้เกรเดียนต์ 4 ตัวอีกครั้ง ซึ่ง เป็นเวอร์ชันเกรเดียนต์ 4 ตัวของคลื่นระนาบค่าเชิงซ้อน$${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ แม่เหล็กไฟฟ้า และทฤษฎีคลื่น ตัวดำเนินการดาล็องแบร์ ​​หรือที่เรียกว่าตัวดำเนินการดาล็องแบร์หรือตัวดำเนินการคลื่น คือตัวดำเนินการลาปลาสของปริภูมิมิงโกวสกี ตัวดำเนินการนี้ตั้งชื่อตามฌอง เลอ รอนด์ ดาล็องแบร์ ​​นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส

กำลังสองของ คือ ลาปลาเซียน 4 ซึ่งเรียกว่าตัวดำเนินการดาล็องแบร์ ​​: ^{[ 5 ] : 300 [ 3 ] : 17‒18 [ 6 ] : 41 [ 7 ] : 4} ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

เนื่องจากเป็นผลคูณดอทของเวกเตอร์ 4 มิติสองตัว ปริมาณดาล็องแบร์จึงเป็นสเกลาร์ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์

บางครั้ง ในลักษณะเดียวกับการเขียนสัญลักษณ์แบบ 3 มิติ สัญลักษณ์และจะถูกใช้แทนการไล่ระดับสีแบบ 4 มิติ และแบบดาล็องแบร์ ​​ตามลำดับ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว สัญลักษณ์จะสงวนไว้สำหรับแบบดาล็องแบร์ ${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box ^{2}}$${\displaystyle \Box }$

ตัวอย่างบางส่วนของการใช้การไล่ระดับสี 4 ระดับในแบบ d'Alembertian มีดังต่อไปนี้:

ใน สมการคลื่นควอนตัมสัมพัทธภาพของ ไคลน์-กอร์ดอนสำหรับอนุภาคสปิน 0 (เช่นฮิกส์โบซอน ): $${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

ในสมการคลื่นสำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า (โดยใช้เกจลอเรนซ์ ): ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• ในสภาวะสุญญากาศ:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• โดยใช้ แหล่ง จ่ายกระแส 4 กระแสโดยไม่รวมผลกระทบจากการหมุน:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• โดยใช้ แหล่งกำเนิด ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์รวมถึงผลกระทบของสปิน:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

ที่ไหน:

• ศักย์ไฟฟ้า 4 มิติของแม่เหล็กไฟฟ้า คือ ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• 4. ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า คือ ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าแม่เหล็กไฟฟ้า${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• เมทริกซ์แกมมา ของ Dirac ให้ผลกระทบของสปิน${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

ในสมการคลื่นของคลื่นความโน้มถ่วง (โดยใช้เกจลอเรนซ์ ที่คล้ายกัน ) ^{[ 6 ] : 274–322} โดยที่คือเทนเซอร์ 2 มิติแบบไร้ร่องรอยตามขวางที่แสดงถึงการแผ่รังสีความโน้มถ่วงในขีดจำกัดสนามอ่อน (เช่น แพร่กระจายอย่างอิสระไกลจากแหล่งกำเนิด) ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

เงื่อนไขเพิ่มเติมมีดังนี้: ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• เป็นเพียงมิติเชิงพื้นที่:$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• ไร้ร่องรอย:$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• แนวขวาง:$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

ใน ฟังก์ชันกรีนแบบ 4 มิติ: โดยที่ฟังก์ชันเดลต้า แบบ 4 มิติ คือ: $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$$${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเกาส์หรือทฤษฎีบทของออสโตรกราดสกี เป็นผลลัพธ์ที่เชื่อมโยงการไหล (นั่นคือฟลักซ์ ) ของสนามเวกเตอร์ผ่านพื้นผิวกับพฤติกรรมของสนามเวกเตอร์ภายในพื้นผิว กล่าวคือ ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กล่าวว่า ฟลักซ์ ขาออก ของสนามเวกเตอร์ผ่านพื้นผิวปิดเท่ากับปริพันธ์ปริมาตรของไดเวอร์เจนซ์เหนือบริเวณภายในพื้นผิว โดยสัญชาตญาณแล้ว มันกล่าวว่าผลรวมของแหล่งกำเนิดทั้งหมดลบด้วยผลรวมของจุดดูดทั้งหมดจะให้ผลรวมการไหลสุทธิออกจากบริเวณนั้นในแคลคูลัสเวกเตอร์ และโดยทั่วไปในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีบทของสโตกส์ (หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทสโตกส์แบบทั่วไป) เป็นข้อความเกี่ยวกับการอินทิเกรตของรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์ ซึ่งทั้งทำให้ง่ายขึ้นและขยายความทฤษฎีบทหลายอย่างจากแคลคูลัสเวกเตอร์

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$ หรือ ที่ไหน $${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$เป็นฟิลด์เวกเตอร์ 4 มิติที่กำหนดไว้ใน${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$คือค่าไดเวอร์เจนซ์ 4 ของ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$เป็นส่วนประกอบของทิศทางตาม${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$เป็นบริเวณที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย 4 มิติของปริภูมิเวลา Minkowski
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$คือขอบเขต 3 มิติของมันที่มีองค์ประกอบปริมาตร 3 มิติของตัวเอง${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$คือเส้นปกติที่ชี้ออกด้านนอก
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$คือองค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์ 4 มิติ

สมการแฮมิลตัน-จาโคบี (HJE) เป็นสูตรหนึ่งในกลศาสตร์คลาสสิก เทียบเท่ากับสูตรอื่นๆ เช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันกลศาสตร์ลากรางจ์และกลศาสตร์แฮมิลตัน สมการแฮมิลตัน-จาโคบีมีประโยชน์อย่างยิ่งในการระบุปริมาณอนุรักษ์สำหรับระบบกลศาสตร์ ซึ่งอาจเป็นไปได้แม้ว่าปัญหาทางกลศาสตร์นั้นจะไม่สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์ก็ตาม นอกจากนี้ HJE ยังเป็นสูตรเดียวของกลศาสตร์ที่สามารถแสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคในรูปของคลื่นได้ ในแง่นี้ HJE ได้บรรลุเป้าหมายที่นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีตั้งไว้มานาน (อย่างน้อยก็ย้อนไปถึงโยฮันน์ เบอร์นูลลีในศตวรรษที่ 18) คือการค้นหาความคล้ายคลึงกันระหว่างการแพร่กระจายของแสงและการเคลื่อนที่ของอนุภาค

โมเมนตัมสัมพัทธภาพทั่วไปของอนุภาคสามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 1 ] : 93–96} โดยที่และ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

นี่คือโมเมนตัมรวม 4 มิติของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว นั่นคือ อนุภาคทดสอบในสนามโดยใช้ กฎ การเชื่อมต่อขั้นต่ำประกอบด้วยโมเมนตัมที่แท้จริงของอนุภาคบวกกับโมเมนตัมที่เกิดจากการปฏิสัมพันธ์กับศักย์เวกเตอร์ 4 มิติของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าผ่าน ประจุของอนุภาค${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle q}$

สมการแฮมิลตัน-จาโคบี เชิงสั ม พัทธภาพได้มาจากการกำหนดให้โมเมนตัมรวมเท่ากับเกรเดียนต์ 4 ลบของแอคชั่น${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

องค์ประกอบด้านเวลาให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

องค์ประกอบเชิงพื้นที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

แฮมิลโทเนียนอยู่ ที่ไหน${\displaystyle H}$

อันที่จริงแล้ว สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์คลื่น 4 มิติที่เท่ากับเกรเดียนต์ 4 มิติเชิงลบของเฟสจากด้านบน ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

เพื่อให้ได้ HJE ขั้นแรกต้องใช้กฎสเกลาร์คงที่ของลอเรนซ์กับโมเมนตัม 4 มิติ: $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

แต่จาก กฎ การเชื่อมโยงขั้นต่ำ : $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

ดังนั้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

การแยกวิเคราะห์ออกเป็นองค์ประกอบด้านเวลาและพื้นที่: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายคือสมการแฮมิลตัน-จาโคบีเชิงสัมพัทธภาพ

เกรเดียนต์ 4 มิติมีความเกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ควอนตัม

ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม 4 มิติ และเกรเดียนต์ 4 มิติทำให้เกิดความสัมพันธ์ควอนตัมของชโรดิงเกอร์ [ ^{7 ] : 3–5} ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

องค์ประกอบด้านเวลาให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

องค์ประกอบเชิงพื้นที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

จริงๆ แล้วขั้นตอนนี้สามารถประกอบด้วยสองขั้นตอนแยกกันได้

แรก: ^{[ 1 ] : 82–84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$ซึ่งเป็นเวอร์ชัน 4 เวกเตอร์แบบเต็มของ:

ความสัมพันธ์ของพลังค์-ไอน์สไตน์ (องค์ประกอบเชิงเวลา)${\displaystyle E=\hbar \omega }$

ความสัมพันธ์ของคลื่นสสารเดอ บรอยล์ (องค์ประกอบเชิงพื้นที่)${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

ลำดับที่สอง: ^{[ 5 ] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$ซึ่งก็คือสมการคลื่นแบบ 4 เกรเดียนต์สำหรับคลื่นระนาบค่าเชิงซ้อน นั่นเอง

องค์ประกอบด้านเวลาให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

องค์ประกอบเชิงพื้นที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม (ฟิสิกส์ควอนตัม) ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกคือความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างปริมาณคู่สังยุคแบบแคนอนิก (ปริมาณที่สัมพันธ์กันตามคำนิยาม โดยที่ปริมาณหนึ่งเป็นผลการแปลงฟูริเยร์ของอีกปริมาณหนึ่ง)

• ตาม: ^{[ 7 ] : 4} $${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• เมื่อพิจารณาส่วนประกอบเชิงพื้นที่แล้ว$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• เนื่องจาก,${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• เนื่องจาก,${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$$${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• และการกำหนดหมายเลขดัชนีใหม่จะให้กฎการสลับตำแหน่งควอนตัมตามปกติ:$${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

4-gradient เป็นส่วนประกอบในสมการคลื่นสัมพัทธภาพหลายสมการ: ^{[ 5 ] : 300–309 [ 3 ] : 25, 30–31, 55–69}

ในสมการคลื่นควอนตัมสัมพัทธภาพของ Klein–Gordonสำหรับอนุภาคสปิน 0 (เช่นฮิกส์โบซอน ): ^{[ 7 ] : 5} $${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

ในสมการคลื่นควอนตัมสัมพัทธภาพของ Diracสำหรับอนุภาคสปิน 1/2 (เช่นอิเล็กตรอน ): ^{[ 7 ] : 130} $${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

เมทริกซ์แกมมาของ Diracอยู่ที่ไหนและฟังก์ชันคลื่นสัมพัทธภาพคืออะไร ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$เป็นสเกลาร์ลอเรนซ์สำหรับสมการไคลน์-กอร์ดอน และเป็นสปินเนอร์สำหรับสมการดิแรก

เป็นเรื่องดีที่เมทริกซ์แกมมาเองอ้างอิงกลับไปยังแง่มุมพื้นฐานของ SR ซึ่งก็คือเมตริกมินคอฟสกี: ^{[ 7 ] : 130} $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

การอนุรักษ์ความหนาแน่นกระแสความน่าจะเป็น 4 ประการเป็นผลมาจากสมการความต่อเนื่อง: ^{[ 7 ] : 6} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

ความหนาแน่นกระแสความน่าจะเป็น 4มีการแสดงออกที่แปรผันตามสัมพัทธภาพ: ^{[ 7 ] : 6} $${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

ความหนาแน่นกระแสประจุ 4คือประจุ ( q ) คูณด้วยความหนาแน่นกระแสความน่าจะเป็น 4: ^{[ 7 ] : 8} $${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

สมการคลื่นสัมพัทธภาพใช้เวกเตอร์ 4 มิติเพื่อให้เป็นแบบโคแวเรียนต์^{[ 3 ] [ 7 ]}

เริ่มต้นด้วยเวกเตอร์ SR 4 มาตรฐาน: ^{[ 1 ]}

• ตำแหน่งที่ 4${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• ความเร็ว 4 ระดับ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• โมเมนตัม 4${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• เวกเตอร์คลื่น 4 ตัว${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-gradient${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$