ในทางคณิตศาสตร์ปริมาตรเป็นองค์ประกอบที่ใช้ในการหา ปริพันธ์ ของฟังก์ชันเทียบกับปริมาตรในระบบพิกัดต่างๆ เช่นพิกัดทรงกลมและพิกัดทรงกระบอกดังนั้น ปริมาตรเป็นองค์ประกอบในรูปแบบ โดยที่คือพิกัด ดังนั้นปริมาตรของเซตใดๆสามารถคำนวณได้โดย ตัวอย่างเช่น ในพิกัดทรงกลมและดังนั้น $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \operatorname {ปริมาตร} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

แนวคิดขององค์ประกอบปริมาตรไม่ได้จำกัดอยู่แค่สามมิติ ในสองมิติ มักเรียกกันว่าองค์ประกอบพื้นที่และในบริบทนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวภายใต้การเปลี่ยนพิกัด องค์ประกอบปริมาตรจะเปลี่ยนแปลงไปตามค่าสัมบูรณ์ของ ดีเทอร์มิแนนต์ของ เมทริกซ์จาโคเบียนของการแปลงพิกัด (ตามสูตรการเปลี่ยนตัวแปร ) ข้อเท็จจริงนี้ทำให้สามารถกำหนดองค์ประกอบปริมาตรเป็นเหมือน การวัดชนิดหนึ่งบน แมนิ โฟลด์ ได้ บน แมนิโฟลด์ ที่สามารถกำหนดทิศทางและหา อนุพันธ์ได้ องค์ประกอบปริมาตรมักเกิดขึ้นจากรูปแบบปริมาตร : รูปแบบเชิงอนุพันธ์ระดับสูงสุดบนแมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ องค์ประกอบปริมาตรมักเป็นค่าสัมบูรณ์ของรูปแบบปริมาตร (ที่กำหนดเฉพาะที่) ซึ่งกำหนดความหนาแน่น 1มิติ

ในปริภูมิยูคลิดองค์ประกอบปริมาตรกำหนดโดยผลคูณของอนุพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียน ในระบบพิกัดที่แตกต่างกันในรูปแบบ, , , องค์ประกอบปริมาตรจะเปลี่ยนแปลงไปตามจาโคเบียน (ดีเทอร์มิแนนต์) ของการเปลี่ยนพิกัด ตัวอย่างเช่น ในพิกัดทรงกลม (ตามธรรมเนียมทางคณิตศาสตร์) ดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนคือ ดังนั้น สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของข้อเท็จจริงที่ว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์แปลงรูปผ่านการดึงกลับ (pullback) ดังนี้ $${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$${\displaystyle F^{*}}$$${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

พิจารณาปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมิยุคลิดnมิติR ⁿที่เกิดจากการแผ่ขยายของเวกเตอร์ อิสระเชิงเส้น ในการหาปริมาตรของปริภูมิย่อยนั้น เป็นประโยชน์ที่จะทราบข้อเท็จจริงจากพีชคณิตเชิงเส้นที่ว่า ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากการแผ่ขยาย ของเวกเตอร์เหล่านั้น คือ รากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แกรมเมียนของเวกเตอร์เหล่านั้น: $${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

จุดp ใดๆ ในปริภูมิย่อยสามารถกำหนดพิกัดได้โดยที่ ณ จุดpถ้าเราสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานขนาดเล็กที่มีด้านยาวแล้วปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคือรากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แกรมเมียน ดังนั้น นี่จึงเป็นการนิยามรูปแบบปริมาตรในปริภูมิย่อยเชิงเส้น ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$$${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$

บนแมนิโฟลด์รีมันน์แบบมีทิศทาง ของมิติnองค์ประกอบปริมาตรคือรูปแบบปริมาตรที่เท่ากับคู่ฮอดจ์ของฟังก์ชันคงที่หน่วย: หรือเทียบเท่า องค์ประกอบปริมาตรคือเทนเซอร์เลวี-ซีวิทาอย่าง แม่นยำ ^{[ 1 ]}ในพิกัด โดยที่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเทนเซอร์เมตริกgที่เขียนในระบบพิกัด ${\displaystyle f(x)=1}$$${\displaystyle \omega =\star 1.}$$${\displaystyle \epsilon }$$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$${\displaystyle \det g}$

ตัวอย่างง่ายๆ ขององค์ประกอบปริมาตรสามารถสำรวจได้โดยการพิจารณาพื้นผิวสองมิติที่ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิดnมิติองค์ประกอบปริมาตรดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าองค์ประกอบพื้นที่พิจารณาเซตย่อยและฟังก์ชันการแมป ที่กำหนดพื้นผิวที่ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิด ในสองมิติ ปริมาตรก็คือพื้นที่ และองค์ประกอบปริมาตรให้วิธีการกำหนดพื้นที่ของส่วนต่างๆ ของพื้นผิว ดังนั้น องค์ประกอบปริมาตรคือการแสดงออกในรูปแบบ ที่ช่วยให้สามารถคำนวณพื้นที่ของเซตBที่อยู่บนพื้นผิวได้โดยการคำนวณอินทิกรัล ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$$

ในที่นี้เราจะพบองค์ประกอบปริมาตรบนพื้นผิวที่กำหนดพื้นที่ในความหมายปกติเมทริกซ์จาโคเบียนของการแมป มีดัชนีiตั้งแต่ 1 ถึงnและjตั้งแต่ 1 ถึง 2 เมตริก แบบยุคลิด ใน ปริภูมิ nมิติเหนี่ยวนำเมตริกบนเซตUโดยมีองค์ประกอบเมทริกซ์ $${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$$${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$$

ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกกำหนดโดย $${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}$$

สำหรับพื้นผิวปกติ ค่าดีเทอร์มิแนนต์นี้จะไม่เป็นศูนย์ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมทริกซ์จาโคเบียนมีอันดับ 2

ต่อไปนี้ให้พิจารณาการเปลี่ยนพิกัดบนUซึ่งกำหนดโดยการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล (diffeomorphism) โดยที่พิกัดอยู่ในรูปของโดยเมทริกซ์จาโคเบียนของการแปลงนี้กำหนดโดย $${\displaystyle f\colon U\to U,}$$${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$$${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$$

ในพิกัดใหม่ เรามี และดังนั้นเมตริกจะแปลงเป็น โดย ที่คือเมตริกแบบพูลแบ็กใน ระบบพิกัด vดีเทอร์มิแนนต์คือ $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$$$${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$$${\displaystyle {\tilde {g}}}$$${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$$

จากโครงสร้างข้างต้น จึงควรเข้าใจได้ไม่ยากว่าเหตุใดองค์ประกอบปริมาตรจึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนพิกัดที่รักษาทิศทางไว้

ในสองมิติ ปริมาตรก็คือพื้นที่นั่นเอง พื้นที่ของเซตย่อยหาได้จากปริพันธ์ ${\displaystyle B\subset U}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ไม่ว่าจะเป็นระบบพิกัดใดก็ตาม ปริมาตรจะมีรูปแบบการแสดงออกเหมือนกัน กล่าวคือ การแสดงออกของปริมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด

โปรดทราบว่าในการนำเสนอข้างต้นไม่มีอะไรที่เฉพาะเจาะจงกับสองมิติเลย หลักการข้างต้นสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับมิติใดๆ ก็ได้โดยง่าย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาทรงกลมที่มีรัศมีr ^และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในR³สามารถกำหนดพารามิเตอร์โดยใช้พิกัดทรงกลมด้วยแผนที่ จากนั้น และองค์ประกอบพื้นที่คือ $${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$$$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$$

• ระบบพิกัดทรงกระบอก § องค์ประกอบเส้นและปริมาตร
• ระบบพิกัดทรงกลม § การอินทิเกรตและการหาอนุพันธ์ในพิกัดทรงกลม
• ปริมาตรอินทิกรัล
• อินทิกรัลพื้นผิว
• อินทิกรัลเส้น
• องค์ประกอบเส้น