ในทางคณิตศาสตร์ฐานชอเดอร์หรือฐานนับได้นั้นคล้ายกับฐาน ปกติ (ฐาน ฮาเมล ) ของปริภูมิเวกเตอร์ความแตกต่างคือฐานฮาเมลใช้การรวมเชิงเส้น ที่เป็นผลรวมจำกัด ในขณะที่ฐานชอเดอร์อาจเป็นผลรวมอนันต์ ทำให้ฐานชอเดอร์เหมาะสมกว่าสำหรับการวิเคราะห์ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีมิติอนันต์รวมถึงปริภูมิบานาค

ฐาน Schauder ได้รับการอธิบายโดยJuliusz Schauderในปี พ.ศ. 2460 ^{[ 1 ] [ 2 ]}แม้ว่าฐานดังกล่าวจะได้รับการกล่าวถึงก่อนหน้านี้แล้วก็ตาม ตัวอย่างเช่นฐาน Haarได้รับการกำหนดในปี พ.ศ. 2452 และGeorg Faberได้กล่าวถึงฐานสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ในปี พ.ศ. 2453 ซึ่งบางครั้งเรียกว่าระบบ Faber– Schauder ^{[ 3 ]}

ให้Vแทนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โลยี เหนือฟิลด์ FฐานSchauderคือลำดับ { b _n } ขององค์ประกอบใน  Vโดยที่สำหรับทุกองค์ประกอบv ∈ Vจะมีลำดับ {α _n } ของสเกลาร์ใน  F ที่ไม่ซ้ำกันเพียงลำดับ เดียวเพื่อให้ การลู่เข้าของผลรวมอนันต์เป็นการลู่เข้าของทอพอโลยีโดยรอบ โดยปริยาย กล่าว คือแต่สามารถลดทอนให้เหลือเพียงการลู่เข้าแบบอ่อนในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (เช่นปริภูมิ Banach ) ^{[ 4 ]} ต่างจากฐาน Hamelองค์ประกอบของฐานจะต้องเรียงลำดับ เนื่องจากอนุกรมอาจไม่ลู่เข้า โดย ไม่มี เงื่อนไข$${\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}$$

โปรดทราบว่าผู้เขียนบางท่านนิยามฐานชอเดอร์ว่าเป็นฐานที่นับได้ (ดังที่กล่าวมาข้างต้น) ในขณะที่บางท่านใช้คำนี้รวมถึงฐานที่นับไม่ได้ด้วย ไม่ว่าในกรณีใด ผลรวมเองนั้นจะเป็นฐานที่นับได้เสมอ ฐานชอเดอร์ที่นับไม่ได้คือเซตที่มีลำดับเชิงเส้นไม่ใช่ลำดับแบบอนุกรม และผลรวมแต่ละอันจะได้รับลำดับของพจน์มาจากลำดับเชิงเส้นนี้ ฐานชอเดอร์ที่นับไม่ได้สามารถเกิดขึ้นได้ในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยก ได้จะมีฐานชอเดอร์ที่นับได้เท่านั้น แต่ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกไม่ได้อาจมีฐานชอเดอร์ที่นับไม่ได้

แม้ว่าคำจำกัดความข้างต้นจะไม่จำเป็นต้องมีพื้นที่บรรทัดฐาน แต่บรรทัดฐานนั้นจำเป็นอย่างยิ่งต่อการกล่าวถึงฐานของ Schauder อย่างมีประโยชน์แทบทุกอย่าง ผลลัพธ์ด้านล่างนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่ามีบรรทัดฐานอยู่แล้ว

ฐาน Schauder { b _n } _{n ≥ 0}เรียกว่าเป็นฐานมาตรฐาน เมื่อเวก เตอร์ ฐานทั้งหมดมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับ 1 ในปริภูมิ Banach  V

ลำดับ{ x _n } _{n ≥ 0}ในVเรียกว่าลำดับพื้นฐานถ้าลำดับนั้นเป็นฐานชอเดอร์ของปริภูมิเชิงเส้นปิด ของ V

ฐาน Schauder สองฐาน { b _n } ในVและ { c _n } ในWกล่าวได้ว่าสมมูลกันถ้ามีค่าคงที่c > 0และC สองค่าอยู่ โดยที่สำหรับจำนวนธรรมชาติN ≥ 0 ทุกจำนวน และลำดับ {α _n } ของสเกลาร์ ทั้งหมด

${\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}$

ตระกูลเวกเตอร์ในVเรียกว่า ตระกูลเวกเตอร์สมบูรณ์ ( total)ถ้าปริภูมิเชิงเส้น ( linear span) ของตระกูลเวกเตอร์นั้น ( เซตของผลรวมเชิงเส้นจำกัด) มีความหนาแน่นในVถ้าVเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space ) ฐานเชิงตั้งฉาก (orthogonal basis ) คือเซตย่อยสมบูรณ์BของVซึ่งสมาชิกในBต้องไม่เป็นศูนย์และตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ นอกจากนี้ เมื่อสมาชิกแต่ละตัวในBมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับ 1 แล้วBจะเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal basis ) ของV

ให้ { b _n } เป็นฐานชอเดอร์ของปริภูมิบานาคVเหนือF  = Rหรือ  Cผลลัพธ์ที่แยบยลจากทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดคือ การแมปเชิงเส้น { P _n } ที่กำหนดโดย

${\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}$

มีขอบเขตสม่ำเสมอด้วยค่าคงที่ C บางค่า[ 5 ^{]เมื่อC} = 1ฐานจะเรียกว่า ฐาน โมโนโทนแผนที่ { P _n } คือ การ ฉาย ภาพฐาน

ให้ { b* _n } แทนฟังก์ชันพิกัดโดยที่b* _nกำหนดพิกัด α _nของvในการขยายข้างต้น ให้กับเวกเตอร์ v ทุกตัว ในV แต่ละ b* _nเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนV แท้จริงแล้ว สำหรับ เวก เตอร์ vทุกตัวในV

${\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}$

ฟังก์ชันนัลเหล่านี้ { b* _n } เรียกว่าฟังก์ชันนัลแบบไบออร์โธกอนอลที่เกี่ยวข้องกับฐาน { b _n } เมื่อฐาน { b _n } ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน ฟังก์ชันนัลพิกัด { b* _n } จะ มีค่ามาตรฐาน ≤ 2 Cในคู่ต่อเนื่องV ′ของ  V

เนื่องจากเวกเตอร์v ทุกตัว ในปริภูมิบานาคVที่มีฐานชอเดอร์เป็นลิมิตของP _n ( v ) โดยที่P _nมีอันดับจำกัดและมีขอบเขตสม่ำเสมอ ดังนั้นปริภูมิV ดังกล่าว จึงมี คุณสมบัติการประมาณ ค่า แบบมีขอบเขต

ปริภูมิ Banach ที่มีฐาน Schauder จำเป็นต้องแยกได้แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จริงปัญหาฐานคือคำถามที่ Banach ตั้งขึ้นว่าปริภูมิ Banach ที่แยกได้ทุกปริภูมิมีฐาน Schauder หรือไม่Per Enflo ตอบว่าไม่ โดย สร้าง ปริภูมิ Banach ที่สะท้อนและแยกได้ซึ่งไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการประมาณค่า ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิที่ไม่มีฐาน Schauder ^{[ 6 ]}การสร้างนี้ได้รับการทำให้ง่ายขึ้นและเป็นแบบทั่วไปมากขึ้นในช่วงหลายปีที่ผ่านมา ดูFabian et al. (2011 , Sec. 16.5) สำหรับการนำเสนอที่ทันสมัย

ทฤษฎีบทที่อ้างถึงMazur ^{[ 7 ]}ยืนยันว่าปริภูมิ Banach มิติอนันต์ทุกปริภูมิVประกอบด้วยลำดับพื้นฐาน กล่าวคือมีปริภูมิย่อยมิติอนันต์ของVที่มีฐาน Schauder

ฐาน เวกเตอร์หน่วยมาตรฐานของc ₀และของℓ ^pสำหรับ 1 ≤ p  < ∞ คือฐาน Schauder แบบโมโนโทน ในฐานเวกเตอร์หน่วย { b _n } นี้ เวกเตอร์b _nในV = c ₀หรือในV = ℓ ^pคือลำดับสเกลาร์[ b _{n , j} ] _jโดยที่พิกัดb _{n, j} ทั้งหมด เป็น 0 ยกเว้นพิกัดที่n :

${\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}$

โดยที่ δ _{n, j}คือเดลต้าโครเนกเกอร์ ปริภูมิ ℓ ^∞ไม่สามารถแยกได้ ดังนั้นจึงไม่มีฐานชอเดอร์

ฐานออร์โทนอร์มอลทุก ฐาน ในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้เป็น ฐานชอเดอร์ ฐานออร์โทนอร์มอลที่นับได้ทุกฐานเทียบเท่ากับฐานเวกเตอร์หน่วยมาตรฐานใน ℓ ²

พื้นฐาน Auerbachทุกรายการในพื้นที่ Banach ที่แยกได้นั้นเป็นพื้นฐานของ Schauder

ระบบHaarเป็นตัวอย่างของฐานสำหรับL ^p ([0, 1])เมื่อ 1 ≤ p  < ∞ ^{[ 2 ]}เมื่อ1 < p  < ∞อีกตัวอย่างหนึ่งคือระบบตรีโกณมิติที่กำหนดไว้ด้านล่าง ปริภูมิ Banach C ([0, 1]) ของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [0, 1] ที่มีบรรทัดฐานสูงสุดยอมรับฐาน Schauder ระบบ Faber–Schauderเป็นฐาน Schauder แบบโมโนโทนที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดสำหรับ  C ([0, 1]) ^{[ 3 ] [ 8 ]}

มีการค้นพบฐานหลายฐานสำหรับปริภูมิคลาสสิกก่อนที่หนังสือของ Banach จะปรากฏ ( Banach (1932) ) แต่บางกรณีก็ยังคงเปิดอยู่เป็นเวลานาน ตัวอย่างเช่น คำถามที่ว่าพีชคณิตดิสก์A ( D ) มีฐาน Schauder หรือไม่ยังคงเปิดอยู่เป็นเวลากว่าสี่สิบปี จนกระทั่ง Bočkarev แสดงให้เห็นในปี 1974 ว่ามีฐานที่สร้างจากระบบ Franklinอยู่ใน  A ( D ) ^{[ 9 ]}นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบ Franklin แบบคาบ^{[ 10 ]}เป็นฐานสำหรับปริภูมิ Banach A _rที่สมมาตรกับA ( D ) ^{[ 11 ]}

พื้นที่A _r นี้ ประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องเชิงซ้อนทั้งหมดบนวงกลมหน่วยTซึ่งฟังก์ชันสังยุคของฟังก์ชัน เหล่านั้น ก็ต่อเนื่องเช่นกัน ระบบแฟรงคลินเป็นฐานชอเดอร์อีกฐานหนึ่งสำหรับC ([0, 1]) ^{[ 12 ]}และเป็นฐานชอเดอร์ในL ^p ([0, 1]) เมื่อ1 ≤ p < ∞ [ ^{13 ] ระบบ}ที่ได้มาจากระบบแฟรงคลินให้ฐานในพื้นที่C ¹ ([0, 1] ² ) ของ ฟังก์ชัน ที่หาอนุพันธ์ได้บนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย [ ^{14 ] การ}มีอยู่ของฐานชอเดอร์ในC ¹ ([0, 1] ² ) เป็นคำถามจากหนังสือของบานาค^{[ 15 ]}

ให้ { x _n } เป็นลำดับของฟังก์ชันในกรณีจำนวนจริง

${\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}$

หรือในกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น

${\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}$

ลำดับ { x _n } เรียกว่าระบบตรีโกณมิติมันเป็นฐานชอเดอร์สำหรับปริภูมิL ^p ([0, 2 π ])สำหรับp ใดๆ ที่1 < p < ∞สำหรับp  = 2 นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทรีซ-ฟิชเชอร์และสำหรับp  ≠ 2 มันเป็นผลสืบเนื่องมาจากขอบเขตบนปริภูมิL ^p ([0, 2 π ]) ของการแปลงฮิลเบิร์ตบนวงกลมจากขอบเขตนี้จึงสรุปได้ว่าการฉายภาพP _Nที่กำหนดโดย

${\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}$

มีขอบเขตสม่ำเสมอบนL ^p ([0, 2 π ]) เมื่อ1 < p < ∞ตระกูลของแผนที่ { P _N } นี้มีความต่อเนื่องเท่ากันและมีแนวโน้มไปยังเอกลักษณ์บนเซตย่อยหนาแน่นที่ประกอบด้วยพหุนามตรีโกณมิติเป็นผลให้P _N fมีแนวโน้มไปยังfใน นอร์ม L ^pสำหรับทุกf ∈ L ^p ([0, 2 π ])กล่าวอีกนัยหนึ่ง { x _n } เป็นฐาน Schauder ของL ^p ([0, 2 π ]) ^{[ 16 ]}

อย่างไรก็ตาม เซต { x _n } ไม่ใช่ฐานชอเดอร์สำหรับL ¹ ([0, 2 π ]) ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันในL ¹ที่อนุกรมฟูริเยร์ไม่ลู่เข้าใน นอร์ม L ¹หรือเทียบเท่ากับการฉายภาพP _Nไม่ถูกจำกัดอย่างสม่ำเสมอใน นอร์ม L ¹นอกจากนี้ เซต { x _n } ไม่ใช่ฐานชอเดอร์สำหรับC ([0, 2 π ])

พื้นที่K (ℓ ² ) ของตัวดำเนินการกระชับบนพื้นที่ฮิลเบิร์ต ℓ ²มีฐาน Schauder สำหรับทุกx , yใน ℓ ²ให้x ⊗ yแทน ตัว ดำเนินการอันดับหนึ่งv ∈ ℓ ² → < v , x > yถ้า{ e _n } _{n ≥ 1}เป็นฐานออร์โทนอร์มอลมาตรฐานของ ℓ ²ฐานสำหรับK (ℓ ² ) จะได้รับจากลำดับ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}$

สำหรับทุกnลำดับที่ประกอบด้วย เวก เตอร์ n ²ตัวแรกในฐานนี้เป็นการเรียงลำดับที่เหมาะสมของตระกูล { e _j ⊗ e _k } สำหรับ1 ≤ j , k ≤ n

ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้สามารถสรุปได้โดยทั่วไป: ปริภูมิ Banach Xที่มีฐานมีคุณสมบัติการประมาณค่าดังนั้นปริภูมิK ( X ) ของตัวดำเนินการกระชับบนXจึงสมมาตรแบบไอโซเมตริก^{[ 18 ]}กับผลคูณเทนเซอร์แบบฉีด

${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}$

ถ้าXเป็นปริภูมิ Banach ที่มีฐาน Schauder { e _n } _{n ≥ 1}โดยที่ฟังก์ชันไบออร์โธกอนอลเป็นฐานของปริภูมิคู่ขนาน กล่าวคือ ปริภูมิ Banach ที่มีฐานที่หดตัวลงปริภูมิK ( X ) จะมีฐานที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการอันดับหนึ่งe * _j ⊗ e _k  : v → e * _j ( v ) e _kโดยมีการเรียงลำดับเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้^{[ 17 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ใช้ได้กับ ปริภูมิ Banach สะท้อนกลับX ทุก ปริภูมิ ที่มีฐาน Schauder

ในทางกลับกัน พื้นที่B (ℓ ² ) ไม่มีฐาน เนื่องจากไม่สามารถแยกได้ ยิ่งไปกว่านั้น B (ℓ ² ) ไม่มีคุณสมบัติการประมาณค่า^{[ 19 ]}

ฐานชอเดอร์ { b _n } เรียกว่าไม่มีเงื่อนไขถ้าเมื่อใดก็ตามที่อนุกรมลู่เข้า มันจะลู่เข้า โดยไม่มีเงื่อนไขสำหรับฐานชอเดอร์ { b _n } สิ่งนี้เทียบเท่ากับการมีอยู่ของค่าคงที่Cเช่นนั้น ${\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}$

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกตัว สัมประสิทธิ์สเกลาร์ {α _k } ทุกตัว และเครื่องหมายε _k = ±1 ทุกตัว คุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขเป็นคุณสมบัติที่สำคัญ เนื่องจากช่วยให้เราไม่ต้องคำนึงถึงลำดับของการบวก ฐาน Schauder จะสมมาตรก็ต่อเมื่อไม่ขึ้นกับเงื่อนไขและสมมูลกันอย่างสม่ำเสมอกับการเรียงสับเปลี่ยน ทั้งหมด กล่าวคือ มีค่าคงที่C อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกตัว การเรียงสับเปลี่ยน π ทุกตัวของเซต{0, 1, ..., n } สัมประสิทธิ์สเกลาร์ {α _k } ทุกตัว และเครื่องหมาย {ε _k } ทุกตัว

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}$

ฐานมาตรฐานของ ปริภูมิของ ลำดับc ₀และ ℓ ^pสำหรับ 1 ≤ p  < ∞ รวมถึงฐานเชิงตั้งฉากปกติทุกฐานในปริภูมิฮิลเบิร์ต ล้วนเป็นฐานที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไข และฐานเหล่านี้ยังเป็นฐานสมมาตรอีกด้วย

ระบบตรีโกณมิติไม่ใช่ฐานแบบไม่มีเงื่อนไขในL ^pยกเว้นกรณีที่p  = 2

ระบบ Haar เป็นฐานที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขในL ^pสำหรับ 1 < p  < ∞ ใดๆ พื้นที่L ¹ ([0, 1]) ไม่มีฐานที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไข^{[ 20 ]}

คำถามตามธรรมชาติคือว่าปริภูมิ Banach มิติอนันต์ทุกปริภูมิมีปริภูมิย่อยมิติอนันต์ที่มีฐานแบบไม่มีเงื่อนไขหรือไม่ ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขในเชิงลบโดยTimothy GowersและBernard Maureyในปี 1992 ^{[ 21 ]}

ฐาน { e _n } _{n ≥0}ของปริภูมิบานาคXจะสมบูรณ์อย่างมีขอบเขตก็ต่อเมื่อสำหรับทุกลำดับ { a _n } _{n ≥0}ของสเกลาร์ที่ผลรวมย่อย

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}$

ถ้า มีขอบเขตในXลำดับ { V _n } จะลู่เข้าในXฐานเวกเตอร์หน่วยสำหรับ ℓ ^p , 1 ≤ p < ∞นั้นสมบูรณ์อย่างมีขอบเขต อย่างไรก็ตาม ฐานเวกเตอร์หน่วยนั้นไม่สมบูรณ์อย่างมีขอบเขตในc ₀อันที่จริง ถ้าa _n  = 1 สำหรับทุกnแล้ว

${\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}$

สำหรับทุกnแต่ลำดับ { V _n } ไม่ลู่เข้าในc ₀เนื่องจาก || V _{n +1} − V _n || = 1 สำหรับ  ทุก n

พื้นที่Xที่มีฐานที่สมบูรณ์อย่างมีขอบเขต { e _n } _{n ≥0}นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับพื้นที่คู่ขนาน กล่าวคือ พื้นที่X นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกับพื้นที่คู่ขนานของช่วงเชิงเส้นปิดในพื้นที่คู่ขนานX ′ของฟังก์ชันไบออร์โธโกนอลที่เกี่ยวข้องกับฐาน { e _n } ^{[ 22 ]}

ฐาน { e _n } _{n ≥0}ของXจะหดตัวลงก็ต่อเมื่อสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตf ทุกตัว บนXลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นลบ

${\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}$

มีแนวโน้มเข้าสู่ 0 เมื่อn → ∞โดยที่F _nคือปริภูมิเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐานe _mสำหรับm ≥ nฐานเวกเตอร์หน่วยสำหรับ ℓ ^p , 1 < p < ∞ หรือสำหรับc ₀นั้นกำลังหดตัว แต่จะไม่หดตัวใน ℓ ¹ :ถ้าfเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบน ℓ ¹ที่กำหนดโดย

${\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}$

ดังนั้นφ _n ≥ f ( e _n ) = 1สำหรับ ทุกn

ฐาน[ e _n ] _{n ≥ 0}ของXจะหดตัวลงก็ต่อเมื่อฟังก์ชันไบออร์โธโกนอล[ e * _n ] _{n ≥ 0}สร้างฐานของX ′ คู่ ^{[ 23 ]}

โรเบิร์ต ซี. เจมส์ได้กำหนดลักษณะการสะท้อนกลับในปริภูมิบานาคที่มีฐาน: ปริภูมิXที่มีฐานชอเดอร์จะเป็นแบบสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อฐานนั้นทั้งหดตัวและสมบูรณ์อย่างมีขอบเขต^{[ 24 ]}เจมส์ยังพิสูจน์อีกว่าปริภูมิที่มีฐานแบบไม่มีเงื่อนไขจะไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อมันมีปริภูมิย่อยที่สมมาตรกับ^c 0 _หรือ ℓ ¹ [ ^{25 ]}

ฐานฮาเมล (Hamel basis)คือเซตย่อยBของปริภูมิเวกเตอร์Vโดยที่ทุกองค์ประกอบ v ∈ V สามารถเขียนได้ในรูป ได้อย่างไม่ซ้ำกัน

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}$

โดยที่α _b ∈ Fและมีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าเซต

${\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}$

มีค่าจำกัด คุณสมบัตินี้ทำให้ฐาน Hamel ไม่เหมาะสมสำหรับปริภูมิ Banach ที่มีมิติอนันต์ เนื่องจากฐาน Hamel สำหรับปริภูมิ Banach ที่มีมิติอนันต์จะต้องนับไม่ได้ (ปริภูมิย่อยที่มีมิติจำกัดทุกปริภูมิของปริภูมิ Banach ที่มีมิติอนันต์X มี ภายในว่างเปล่าและไม่มีความหนาแน่นที่ใดในXจากนั้นจึงเป็นไปตามทฤษฎีบทหมวดหมู่ Baireว่าการรวมกันที่นับได้ของฐานของปริภูมิย่อยที่มีมิติจำกัดเหล่านี้ไม่สามารถใช้เป็นฐานได้^{[ 26 ]} )

• ฐานมาร์คูเชวิช
• อนุกรมฟูริเยร์ทั่วไป
• พหุนามเชิงตั้งฉาก
• เวฟเล็ตฮาร์
• ปริภูมิบานาค

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจาก Countable basis บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License

• Kufner, Alois (2013), ปริภูมิฟังก์ชัน , ชุด De Gruyter ในการวิเคราะห์เชิงไม่เชิงเส้นและการประยุกต์ใช้, เล่มที่ 14, ปราก: สำนักพิมพ์ Academia แห่งสถาบันวิทยาศาสตร์เชโกสโลวาเกีย, de Gruyter