ในทางคณิตศาสตร์ พหุนามเฮอร์ไมต์ เป็นลำดับพหุนาม เชิงตั้งฉาก แบบคลาสสิ ก
พหุนามเหล่านี้เกิดขึ้นใน:
พหุนามแอร์ไมต์ได้รับการกำหนดโดยปิแอร์-ไซมอน ลาปลาซ ในปี พ.ศ. 2453 [ 1 ] [ 2 ] ปาฟนูตี เชบิเชฟ ในปี พ.ศ. 2492 [ 3 ] ชาร์ลส์ แอร์ไมต์ ผู้เขียนเกี่ยวกับพหุนามในปี พ.ศ. 2407 โดยอธิบายว่าเป็นพหุนามใหม่[ 4 ]
คำนิยาม เช่นเดียวกับ พหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิก อื่นๆพหุนามเฮอร์ไมต์สามารถกำหนดได้จากจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกันหลายวิธี โดยสังเกตตั้งแต่แรกว่ามีการกำหนดมาตรฐานที่ใช้กันทั่วไปอยู่สองวิธี วิธีที่สะดวกวิธีหนึ่งมีดังนี้:
พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นนั้น กำหนดโดยเขา n ( x ) = ( − 1 ) n อี x 2 2 ง n ง x n อี − x 2 2 , {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},} ในขณะที่"พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์" นั้นกำหนดโดยชม n ( x ) = ( − 1 ) n อี x 2 ง n ง x n อี − x 2 . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.} สมการเหล่านี้มีรูปแบบเป็นสูตรของโรดริเกส และสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า เขา n ( x ) = ( x − ง ง x ) n ⋅ 1 , ชม n ( x ) = ( 2 x − ง ง x ) n ⋅ 1. {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}
คำจำกัดความทั้งสองไม่เหมือนกันทุกประการ แต่ละคำจำกัดความเป็นการปรับขนาดของอีกคำจำกัดความหนึ่ง: ชม n ( x ) = 2 n 2 เขา n ( 2 x ) , เขา n ( x ) = 2 − n 2 ชม n ( x 2 ) . {\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad \operatorname {He} _{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}
นี่คือลำดับพหุนามเฮอร์ไมต์ที่มีค่าความแปรปรวนต่างกัน โปรดดูรายละเอียดเกี่ยวกับค่าความแปรปรวนด้าน ล่าง
สัญลักษณ์และคือสัญลักษณ์ที่ใช้ในเอกสารอ้างอิงมาตรฐาน[ 5 ] ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น สำหรับการแจกแจงปกติ ที่มีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นยังเรียกว่าพหุนามเฮอร์ไมต์แบบเอกภาค เพราะเป็นแบบเอก ภาค เขา {\displaystyle \operatorname {He} } ชม {\displaystyle H} เขา n {\displaystyle \operatorname {He} _{n}} ชม n {\displaystyle H_{n}} 1 2 π อี − x 2 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}
พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็น 11 ตัวแรกมีดังนี้:เขา 0 ( x ) = 1 , เขา 1 ( x ) = x , เขา 2 ( x ) = x 2 − 1 , เขา 3 ( x ) = x 3 − 3 x , เขา 4 ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 3 , เขา 5 ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 15 x , เขา 6 ( x ) = x 6 − 15 x 4 + 45 x 2 − 15 , เขา 7 ( x ) = x 7 − 21 x 5 + 105 x 3 − 105 x , เขา 8 ( x ) = x 8 − 28 x 6 + 210 x 4 − 420 x 2 + 105 , เขา 9 ( x ) = x 9 − 36 x 7 + 378 x 5 − 1260 x 3 + 945 x , เขา 10 ( x ) = x 10 − 45 x 8 + 630 x 6 − 3150 x 4 + 4725 x 2 − 945. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{0}(x)&=1,\\\operatorname {He} _{1}(x)&=x,\\\operatorname {He} _{2}(x)&=x^{2}-1,\\\operatorname {He} _{3}(x)&=x^{3}-3x,\\\operatorname {He} _{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\\operatorname {He} _{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\\operatorname {He} _{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\\operatorname {He} _{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\\operatorname {He} _{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\\operatorname {He} _{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\\operatorname {He} _{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}} พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์ 11 คนแรกมีดังนี้:ชม 0 ( x ) = 1 , ชม 1 ( x ) = 2 x , ชม 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 , ชม 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x , ชม 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 , ชม 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x , ชม 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 , ชม 7 ( x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x , ชม 8 ( x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 , ชม 9 ( x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x , ชม 10 ( x ) = 1024 x 10 − 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240. {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+ 3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}} ตารางอ้างอิงฉบับย่อ นักฟิสิกส์ นักความน่าจะเป็น เครื่องหมาย ชม n {\displaystyle H_{n}} เขา n {\displaystyle \operatorname {He} _{n}} สัมประสิทธิ์หัว 2 n {\displaystyle 2^{n}} 1 {\displaystyle 1} ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle (-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}} ( − 1 ) n e x 2 2 d n d x n e − x 2 2 {\displaystyle (-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} ตั้งฉากกับ e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} e − 1 2 x 2 {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}} ผลิตภัณฑ์ภายใน ∫ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 π d x = 2 n n ! δ m n {\displaystyle \int H_{m}(x)H_{n}(x){\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}dx=2^{n}n!\,\delta _{mn}} ∫ He m ( x ) He n ( x ) e − x 2 2 2 π d x = n ! δ n m {\displaystyle \int \operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,{\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\,dx=n!\,\delta _{nm}} ฟังก์ชันการสร้าง e 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! {\displaystyle e^{2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}} e x t − 1 2 t 2 = ∑ n = 0 ∞ He n ( x ) t n n ! {\displaystyle e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}} สูตรของโรดริเกส ( 2 x − d d x ) n ⋅ 1 {\displaystyle \left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1} ( x − d d x ) n ⋅ 1 {\displaystyle \left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1} ความสัมพันธ์เวียนเกิด H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)} He n + 1 ( x ) = x He n ( x ) − n He n − 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x)}
พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นหกตัวแรก
He n ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)} พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์หกคนแรก
H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)}
คุณสมบัติ พหุนามเฮอร์ไมต์ลำดับ ที่n คือพหุนามดีกรีn เวอร์ชันของนักความน่าจะเป็น He มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 ในขณะที่เวอร์ชันของนักฟิสิกส์H มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น2 n
สมมาตร จากสูตรของ Rodrigues ที่ให้ไว้ข้างต้น เราจะเห็นได้ว่าH ( x )He ( x )ฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่ โดยมี พาริตี เดียวกันกับn : H n ( − x ) = ( − 1 ) n H n ( x ) , He n ( − x ) = ( − 1 ) n He n ( x ) . {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}
ความตั้งฉาก H ( x ) He ( x ) n สำหรับ n = 0, 1, 2, 3,...ตั้งฉากกัน โดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันน้ำหนัก (การวัด ) หรือ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เรามี w ( x ) = e − x 2 2 ( for He ) {\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )} w ( x ) = e − x 2 ( for H ) , {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),} ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) w ( x ) d x = 0 for all m ≠ n . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}
นอกจากนี้ แล้ว เดลต้าโครเนกเกอร์ อยู่ ที่ไหน? ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},} ∫ − ∞ ∞ He m ( x ) He n ( x ) e − x 2 2 d x = 2 π n ! δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},} δ n m {\displaystyle \delta _{nm}}
ดังนั้นพหุนามความน่าจะเป็นจึงตั้งฉากกันเมื่อเทียบกับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นปกติมาตรฐาน
ความสมบูรณ์ พหุนามเฮอร์ไมต์ (ของนักความน่าจะเป็นหรือนักฟิสิกส์) เป็นฐานเชิงตั้งฉาก ของปริภูมิฮิลเบิร์ต ของฟังก์ชันที่สอดคล้อง กับเงื่อนไข ซึ่งผลคูณภายในกำหนดโดยปริพันธ์ ที่รวมฟังก์ชันน้ำหนักเกาส์เซียน w ( x ) ที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 w ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,} ⟨ f , g ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ w ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}
ฐานเชิงตั้งฉากสำหรับL 2 ( R , w ( x ) dx )ระบบเชิงตั้งฉาก ที่สมบูรณ์ ความสมบูรณ์ เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน 0 เป็นฟังก์ชันเดียวf ∈ L 2 ( R , w ( x ) dx )ทั้งหมด ในระบบ
เนื่องจากปริภูมิเชิงเส้น ของพหุนามเฮอร์ไมต์คือปริภูมิของพหุนามทั้งหมด จึงต้องแสดง (ในกรณีของนักฟิสิกส์) ว่าถ้าf สอดคล้องกับเงื่อนไข สำหรับทุกn ≥ 0 แล้วf = 0 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) x n e − x 2 d x = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}
วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้ในการทำเช่นนี้คือการตระหนักว่าฟังก์ชันทั้งหมด หายไปโดยสมบูรณ์ ข้อเท็จจริงที่ว่าF ( it ) = 0 สำหรับทุกค่าจริงt หมายความว่าการแปลงฟูริเยร์ ของf ( x ) e⁻ˣ² f จึงเป็น 0 เกือบ ทุกที่ รูปแบบต่างๆ ของการพิสูจน์ความสมบูรณ์ข้างต้นสามารถนำไปใช้กับน้ำหนักอื่นๆ ที่มีการลดลงแบบเอกซ์ponential ได้ เช่น กัน F ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e z x − x 2 d x = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ∫ f ( x ) x n e − x 2 d x = 0 {\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}
ในกรณีของ Hermite ยังสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ที่ชัดเจนซึ่งบ่งบอกถึงความสมบูรณ์ได้ (ดูหัวข้อเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของความสมบูรณ์ ด้านล่าง)
การกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันของข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามเฮอร์ไมต์เป็นฐานเชิงตั้งฉากสำหรับL 2 ( R , w ( x ) dx )ดู ด้านล่าง) และการกล่าวว่าฟังก์ชันเฮอร์ไมต์เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับL 2 ( R )
พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ สเติร์ม-ลิอูวิลล์ โดยที่λ เป็นค่าคงที่ เมื่อกำหนดเงื่อนไขขอบเขตว่าu ควรมีค่าจำกัดแบบพหุนามที่อนันต์ สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อλ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เท่านั้น และคำตอบจะมีค่าเฉพาะตัวคือ โดยที่แทนค่าคงที่ ( e − 1 2 x 2 u ′ ) ′ + λ e − 1 2 x 2 u = 0 , {\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,} u ( x ) = C 1 He λ ( x ) {\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)} C 1 {\displaystyle C_{1}}
เมื่อเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ใหม่ให้เป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ พหุนามเฮอร์ไมต์อาจเข้าใจได้ว่าเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะนี้เรียกว่าสมการเฮอร์ไมต์ แม้ว่าคำนี้จะถูกใช้กับสมการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ซึ่งมีคำตอบเฉพาะตัวในรูปของพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์ในรูปแบบโดยที่หมายถึงค่าคงที่ หลังจากกำหนดเงื่อนไขขอบเขตว่าu ควรมีค่าจำกัดแบบพหุนามที่อนันต์ L [ u ] = u ″ − x u ′ = − λ u , {\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,} He λ ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)} L [ u ] {\displaystyle L[u]} u ″ − 2 x u ′ = − 2 λ u . {\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.} u ( x ) = C 1 H λ ( x ) {\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)} C 1 {\displaystyle C_{1}}
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองข้างต้นนั้น แท้จริงแล้วคือการรวมเชิงเส้นของทั้งพหุนามเฮอร์ไมต์และฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องชนิดแรก ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์ คำตอบทั่วไปจะมีรูปแบบดังนี้ โดยที่และเป็นค่าคงที่เป็นพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์ (ชนิดแรก) และ เป็นฟังก์ชันเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์ (ชนิดที่สอง) ฟังก์ชันหลังนี้สามารถแสดงได้อย่างกระชับในรูป โดยที่ เป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องชนิดแรก พหุ นามเฮอร์ไมต์แบบดั้งเดิมยังสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องได้ ดังที่แสดงด้านล่าง u ″ − 2 x u ′ + 2 λ u = 0 , {\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,} u ( x ) = C 1 H λ ( x ) + C 2 h λ ( x ) , {\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),} C 1 {\displaystyle C_{1}} C 2 {\displaystyle C_{2}} H λ ( x ) {\displaystyle H_{\lambda }(x)} h λ ( x ) {\displaystyle h_{\lambda }(x)} h λ ( x ) = 1 F 1 ( − λ 2 ; 1 2 ; x 2 ) {\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})} 1 F 1 ( a ; b ; z ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}
ด้วย เงื่อนไขขอบเขต ทั่วไปมากขึ้นพหุนามเฮอร์ไมต์สามารถขยายให้ได้ฟังก์ชันวิเคราะห์ ทั่วไปมากขึ้นสำหรับค่า λ ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนนอกจากนี้ยังสามารถเขียนสูตรที่ชัดเจนของพหุนามเฮอร์ไมต์ในรูปของปริพันธ์ตามเส้นโค้ง ( Courant & Hilbert 1989 ) ได้อีกด้วย
ความสัมพันธ์เวียนเกิด ลำดับของพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นยังสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด โดยสัมประสิทธิ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์กันด้วยสูตรเวียนเกิดดังต่อไปนี้: และa = 1 , a = 0 , a = 1 He n + 1 ( x ) = x He n ( x ) − He n ′ ( x ) . {\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).} a n + 1 , k = { − ( k + 1 ) a n , k + 1 k = 0 , a n , k − 1 − ( k + 1 ) a n , k + 1 k > 0 , {\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}
สำหรับพหุนามของนักฟิสิกส์ สมมติว่า เรามี สัมประสิทธิ์แต่ละตัวที่สัมพันธ์กันด้วยสูตรเวียนเกิดดังต่อไปนี้: และa = 1 , a = 0 , a = 2 H n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x k , {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},} H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n ′ ( x ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).} a n + 1 , k = { − a n , k + 1 k = 0 , 2 a n , k − 1 − ( k + 1 ) a n , k + 1 k > 0 , {\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}
พหุนามเฮอร์ไมต์ประกอบเป็นลำดับแอปเปลล์ กล่าว คือ เป็นลำดับพหุนามที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ He n ′ ( x ) = n He n − 1 ( x ) , H n ′ ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}
ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบบูรณาการที่อนุมานและแสดงให้เห็นใน[ 6 ] He n + 1 ( x ) = ( n + 1 ) ∫ 0 x He n ( t ) d t − H e n ′ ( 0 ) , {\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}
H n + 1 ( x ) = 2 ( n + 1 ) ∫ 0 x H n ( t ) d t − H n ′ ( 0 ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}
ในทำนองเดียวกัน โดยการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ เอกลักษณ์ เงามืด เหล่านี้เป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเองและรวมอยู่ ในตัวแทนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ที่อธิบายไว้ด้านล่าง He n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k He k ( y ) = 2 − n 2 ∑ k = 0 n ( n k ) He n − k ( x 2 ) He k ( y 2 ) , H n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H k ( x ) ( 2 y ) n − k = 2 − n 2 ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) H n − k ( x 2 ) H k ( y 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}} He n ( x ) = e − D 2 2 x n , H n ( x ) = 2 n e − D 2 4 x n . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}
ดังนั้น สำหรับ อนุพันธ์ลำดับที่ m ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จึงเป็นจริง: He n ( m ) ( x ) = n ! ( n − m ) ! He n − m ( x ) = m ! ( n m ) He n − m ( x ) , H n ( m ) ( x ) = 2 m n ! ( n − m ) ! H n − m ( x ) = 2 m m ! ( n m ) H n − m ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}
ดังนั้น พหุนามเฮอร์ไมต์จึงสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ด้วยเช่นกัน He n + 1 ( x ) = x He n ( x ) − n He n − 1 ( x ) , H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}
ความสัมพันธ์สุดท้ายเหล่านี้ ร่วมกับพหุนามเริ่มต้นH ( x )H ( x )
ความไม่เท่าเทียมกันของ Turán คือ H n ( x ) 2 − H n − 1 ( x ) H n + 1 ( x ) = ( n − 1 ) ! ∑ i = 0 n − 1 2 n − i i ! H i ( x ) 2 > 0. {\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}
นอกจากนี้ทฤษฎีบทการคูณต่อ ไปนี้ ยังเป็นจริงอีกด้วย: H n ( γ x ) = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ γ n − 2 i ( γ 2 − 1 ) i ( n 2 i ) ( 2 i ) ! i ! H n − 2 i ( x ) , He n ( γ x ) = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ γ n − 2 i ( γ 2 − 1 ) i ( n 2 i ) ( 2 i ) ! i ! 2 − i He n − 2 i ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}
การแสดงออกอย่างชัดเจน พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์สามารถเขียนได้อย่างชัดเจนดังนี้ H n ( x ) = { n ! ∑ l = 0 n 2 ( − 1 ) n 2 − l ( 2 l ) ! ( n 2 − l ) ! ( 2 x ) 2 l for even n , n ! ∑ l = 0 n − 1 2 ( − 1 ) n − 1 2 − l ( 2 l + 1 ) ! ( n − 1 2 − l ) ! ( 2 x ) 2 l + 1 for odd n . {\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}
สมการทั้งสองนี้สามารถรวมเข้าเป็นสมการเดียวได้โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function ) : H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m . {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}
พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นHe มี สูตรที่คล้ายกัน ซึ่งสามารถหาได้จากพหุนามเหล่านี้โดยการแทนที่กำลังของ2x ด้วย กำลัง ที่สอดคล้องกันของ√2x 2 − n / 2 He n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! x n − 2 m 2 m . {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}
นิพจน์ผกผันแบบชัดเจน ส่วนกลับของนิพจน์ที่ชัดเจนข้างต้น นั่นคือ นิพจน์สำหรับเอกนามในรูปของพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นHe คือ x n = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ 1 2 m m ! ( n − 2 m ) ! He n − 2 m ( x ) . {\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}
นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับพหุนามเฮอร์ไมต์H ของนักฟิสิกส์นั้น ได้มาโดยตรงจากการปรับขนาดที่เหมาะสมดังนี้: [ 7 ] x n = n ! 2 n ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ 1 m ! ( n − 2 m ) ! H n − 2 m ( x ) . {\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}
ฟังก์ชันการสร้าง พหุนามเฮอร์ไมต์กำหนดโดยฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง e x t − 1 2 t 2 = ∑ n = 0 ∞ He n ( x ) t n n ! , e 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}
ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับค่าเชิงซ้อน ทั้งหมดของ x และt และสามารถหาได้โดยการเขียนการกระจายเทย์เลอร์ที่x ของฟังก์ชันทั้งหมดz → e − z 2 สูตรปริพันธ์ของโคชี เพื่อเขียนพหุนามเฮอร์ไมต์ดังนี้ H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = ( − 1 ) n e x 2 n ! 2 π i ∮ γ e − z 2 ( z − x ) n + 1 d z . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}
เมื่อนำสิ่งนี้ไปใช้ในการบวก เราสามารถประเมินปริพันธ์ที่เหลือโดยใช้แคลคูลัสของเศษเหลือ และได้ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่ต้องการ ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}
การสรุปโดยทั่วไปเล็กน้อยระบุว่า[ 8 ] e 2 x t − t 2 H k ( x − t ) = ∑ n = 0 ∞ H n + k ( x ) t n n ! {\displaystyle e^{2xt-t^{2}}H_{k}(x-t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n+k}(x)t^{n}}{n!}}}
ค่าที่คาดหวัง ถ้าX เป็นตัวแปรสุ่ม ที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 และค่าคาดหวัง เท่ากับ μ แล้ว E [ He n ( X ) ] = μ n . {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}
โมเมนต์ของค่าปกติมาตรฐาน (ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์) สามารถอ่านได้โดยตรงจากความสัมพันธ์สำหรับดัชนีคู่: โดยที่(2 n − 1)!! คือแฟกทอเรียลคู่ โปรดทราบว่านิพจน์ข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของการแสดงพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นในรูปของโมเมนต์: E [ X 2 n ] = ( − 1 ) n He 2 n ( 0 ) = ( 2 n − 1 ) ! ! , {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,} He n ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( x + i y ) n e − y 2 2 d y . {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}
การแสดงผลแบบอินทิกรัล จากภาพแสดงฟังก์ชันก่อกำเนิดข้างต้น เราจะเห็นว่าพหุนามเฮอร์ไมต์มีรูปแบบการแสดงในรูปของปริพันธ์ตามเส้นโค้ง เช่นเดียว กับเส้นโค้งที่ล้อมรอบจุดกำเนิด He n ( x ) = n ! 2 π i ∮ C e t x − t 2 2 t n + 1 d t , H n ( x ) = n ! 2 π i ∮ C e 2 t x − t 2 t n + 1 d t , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}
เมื่อใช้การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนเราจะได้e − x 2 = 1 π ∫ e − t 2 + 2 i x t d t {\displaystyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt} H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = ( − 2 i ) n e x 2 π ∫ t n e − t 2 + 2 i x t d t He n ( x ) = ( − i ) n e x 2 / 2 2 π ∫ t n e − t 2 / 2 + i x t d t . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {(-2i)^{n}e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int t^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\\\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {(-i)^{n}e^{x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\int t^{n}\,e^{-t^{2}/2+ixt}\,dt.\end{aligned}}}
คุณสมบัติอื่นๆ ตัวแยกแยะ จะแสดงเป็นไฮเปอร์แฟกทอเรียล : [ 9 ]
Disc ( H n ) = 2 3 2 n ( n − 1 ) ∏ j = 1 n j j Disc ( He n ) = ∏ j = 1 n j j {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (H_{n})&=2^{{\frac {3}{2}}n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j}\\\operatorname {Disc} (\operatorname {He} _{n})&=\prod _{j=1}^{n}j^{j}\end{aligned}}}
ทฤษฎีบทการบวกหรือทฤษฎีบทผลรวมระบุว่า[ 10 ] [ 11 ] : 8.958 ( ∑ k = 1 r a k 2 ) n 2 n ! H n ( ∑ k = 1 r a k x k ∑ k = 1 r a k 2 ) = ∑ m 1 + m 2 + … + m r = n , m i ≥ 0 ∏ k = 1 r { a k m k m k ! H m k ( x k ) } {\displaystyle {\frac {\left(\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}\right)^{\frac {n}{2}}}{n!}}H_{n}\left({\frac {\sum _{k=1}^{r}a_{k}x_{k}}{\sqrt {\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}}}}\right)=\sum _{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{r}=n,m_{i}\geq 0}\prod _{k=1}^{r}\left\{{\frac {a_{k}^{m_{k}}}{m_{k}!}}H_{m_{k}}\left(x_{k}\right)\right\}} a 1 : r {\displaystyle a_{1:r}}
ทฤษฎีบทการคูณระบุว่า[ 10 ] H n ( λ x ) = λ n ∑ ℓ = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − n ) 2 ℓ ℓ ! ( 1 − λ − 2 ) ℓ H n − 2 ℓ ( x ) {\displaystyle H_{n}\left(\lambda x\right)=\lambda ^{n}\sum _{\ell =0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {\left(-n\right)_{2\ell }}{\ell !}}(1-\lambda ^{-2})^{\ell }H_{n-2\ell }\left(x\right)} λ {\displaystyle \lambda }
สูตรเฟลด์ไฮม์[ 12 ] : สมการ 46 [ 12 ] : สมการ 52 1 a π ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 a H m ( x + y λ ) H n ( x + z μ ) d x = ( 1 − a λ 2 ) m 2 ( 1 − a μ 2 ) n 2 ∑ r = 0 min ( m , n ) r ! ( m r ) ( n r ) ( 2 a ( λ 2 − a ) ( μ 2 − a ) ) r H m − r ( y λ 2 − a ) H n − r ( z μ 2 − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a\pi }}}&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{a}}}H_{m}\left({\frac {x+y}{\lambda }}\right)H_{n}\left({\frac {x+z}{\mu }}\right)dx\\&=\left(1-{\frac {a}{\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}\left(1-{\frac {a}{\mu ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\min(m,n)}r!{\binom {m}{r}}{\binom {n}{r}}\left({\frac {2a}{\sqrt {\left(\lambda ^{2}-a\right)\left(\mu ^{2}-a\right)}}}\right)^{r}H_{m-r}\left({\frac {y}{\sqrt {\lambda ^{2}-a}}}\right)H_{n-r}\left({\frac {z}{\sqrt {\mu ^{2}-a}}}\right)\end{aligned}}} a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } 1 π ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 H m ( t sin θ + v cos θ ) H n ( t cos θ − v sin θ ) d t = ( − 1 ) n cos m θ sin n θ H m + n ( v ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}H_{m}(t\sin \theta +v\cos \theta )H_{n}(t\cos \theta -v\sin \theta )dt=(-1)^{n}\cos ^{m}\theta \sin ^{n}\theta H_{m+n}(v)}
อาการทางระบบ เมื่อn → ∞13 ]ซึ่ง การประมาณของสเตอร์ลิง สามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีกในขีดจำกัดเป็น การขยายนี้จำเป็นสำหรับการแก้ไขฟังก์ชันคลื่น ของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม เพื่อให้สอดคล้องกับการประมาณแบบคลาสสิกในขีดจำกัดของหลักการสอดคล้อง เทอม นี้สอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคคลาสสิกในบ่อศักย์ที่มีรูปร่าง ที่ตำแหน่งหากพลังงานรวมของมันคือนี่เป็นวิธีการทั่วไปในการวิเคราะห์แบบกึ่งคลาสสิก การประมาณแบบกึ่งคลาสสิกจะล้มเหลวใกล้ตำแหน่งที่อนุภาคคลาสสิกจะถูกเปลี่ยนทิศทาง นี่คือหายนะแบบพับ ซึ่ง ณ จุดนี้จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชัน Airy [ 14 ] e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ 2 n π Γ ( n + 1 2 ) cos ( x 2 n − n π 2 ) {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ 2 n π Γ ( n + 1 2 ) cos ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 = Γ ( n + 1 ) Γ ( n 2 + 1 ) cos ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ ( 2 n e ) n 2 2 cos ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.} ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 2 {\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}} V ( x ) = 1 2 x 2 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2}} x {\displaystyle x} n + 1 2 {\displaystyle n+{\frac {1}{2}}} ± 2 n + 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {2n+1}}}
ค่าประมาณที่ดีกว่า ซึ่งคำนึงถึงความแปรผันของความถี่ จะได้จากสูตรดังนี้ e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ ( 2 n e ) n 2 2 cos ( x 2 n + 1 − x 2 3 − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}
วิธีการประมาณค่าแบบ Plancherel –Rotach ซึ่งใช้กับพหุนาม Hermite จะคำนึงถึงระยะห่างที่ไม่สม่ำเสมอของศูนย์ที่อยู่ใกล้ขอบ[ 15 ] x = 2 n + 1 cos ( φ ) , 0 < ε ≤ φ ≤ π − ε , {\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = 2 n 2 + 1 4 n ! ( π n ) − 1 4 ( sin φ ) − 1 2 ⋅ ( sin ( 3 π 4 + ( n 2 + 1 4 ) ( sin 2 φ − 2 φ ) ) + O ( n − 1 ) ) . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}
การประมาณค่าที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับบริเวณโมโนโทนิกและบริเวณเปลี่ยนผ่าน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า แล้ว ในขณะที่สำหรับt ที่ ซับซ้อนและมีขอบเขต การประมาณค่าคือ โดยที่Ai คือฟังก์ชัน Airy ชนิดแรก x = 2 n + 1 cosh ( φ ) , 0 < ε ≤ φ ≤ ω < ∞ , {\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = 2 n 2 − 3 4 n ! ( π n ) − 1 4 ( sinh φ ) − 1 2 ⋅ e ( n 2 + 1 4 ) ( 2 φ − sinh 2 φ ) ( 1 + O ( n − 1 ) ) , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),} x = 2 n + 1 + t {\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = π 1 4 2 n 2 + 1 4 n ! n − 1 12 ( Ai ( 2 1 2 n 1 6 t ) + O ( n − 2 3 ) ) , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}
คุณค่าพิเศษ พหุ นามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์ที่ประเมินค่าที่อาร์กิวเมนต์ศูนย์H (0)จำนวนเฮอร์ไม ต์
H n ( 0 ) = { 0 for odd n , ( − 2 ) n 2 ( n − 1 ) ! ! for even n , {\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}} H (0) = −2( n − 1) H (0)H 2 n ( 0 ) = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! {\displaystyle H_{2n}(0)=(-2)^{n}(2n-1)!!}
ในแง่ของพหุนามเชิงความน่าจะเป็น สิ่งนี้แปลได้ดังนี้ He n ( 0 ) = { 0 for odd n , ( − 1 ) n 2 ( n − 1 ) ! ! for even n . {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}
ให้ เป็น เมทริกซ์สมมาตร จริงสูตรKibble–Slepian กล่าวว่าโดยที่คือผลรวม n เท่าของเมทริกซ์สมมาตรทั้งหมด ที่มีสมาชิก เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือร่องรอย ของและถูกกำหนดให้เป็น ซึ่งให้สูตรของ Mehler เมื่อM {\textstyle M} n × n {\textstyle n\times n} det ( I + M ) − 1 2 e x T M ( I + M ) − 1 x = ∑ K [ ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( M i j / 2 ) k i j k i j ! ] 2 − t r ( K ) H k 1 ( x 1 ) ⋯ H k n ( x n ) {\displaystyle \det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{x^{T}M(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\cdots H_{k_{n}}(x_{n})} ∑ K {\textstyle \sum _{K}} n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} n × n {\textstyle n\times n} t r ( K ) {\displaystyle tr(K)} K {\displaystyle K} k i {\textstyle k_{i}} k i i + ∑ j = 1 n k i j {\textstyle k_{ii}+\sum _{j=1}^{n}k_{ij}} M = [ 0 u u 0 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&u\\u&0\end{bmatrix}}}
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกึ่ง กำหนด แล้วกำหนดเราจะได้ดังนั้นกล่าวอีกนัยหนึ่งในรูปแบบที่ใกล้เคียงกับกลศาสตร์ควอนตัม ของ โบซอน ของตัวสั่นฮาร์มอนิก : [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] การพิสูจน์เชิงการจัดเรียง [ 19 ] [ 16 ] [ 20 ] [ 21 ] T {\textstyle T} M = − T ( I + T ) − 1 {\textstyle M=-T(I+T)^{-1}} M ( I + M ) − 1 = − T {\textstyle M(I+M)^{-1}=-T} e − x T T x = det ( I + T ) − 1 2 ∑ K [ ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( M i j / 2 ) k i j k i j ! ] 2 − t r ( K ) H k 1 ( x 1 ) … H k n ( x n ) {\displaystyle e^{-x^{T}Tx}=\det(I+T)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\dots H_{k_{n}}(x_{n})} π − n / 4 det ( I + M ) − 1 2 e − 1 2 x T ( I − M ) ( I + M ) − 1 x = ∑ K [ ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n M i j k i j / k i j ! ] [ ∏ 1 ≤ i ≤ n k i ! ] 1 / 2 2 − tr K ψ k 1 ( x 1 ) ⋯ ψ k n ( x n ) . {\displaystyle \pi ^{-n/4}\det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}(I-M)(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}M_{ij}^{k_{ij}}/k_{ij}!\right]\left[\prod _{1\leq i\leq n}k_{i}!\right]^{1/2}2^{-\operatorname {tr} K}\psi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)\cdots \psi _{k_{n}}\left(x_{n}\right).} ψ n ( x ) {\textstyle \psi _{n}(x)} n {\textstyle n} ψ n ( x ) := 1 2 n n ! ( 1 π ) 1 4 e − 1 2 x 2 H n ( x ) {\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {1}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)}
ศูนย์ ให้เป็นรากของตามลำดับจากมากไปน้อย ให้เป็นศูนย์ลำดับที่ ของฟังก์ชัน Airy ตามลำดับจากมากไปน้อย: โดยสมมาตรของเราจึงจำเป็นต้องพิจารณาเฉพาะครึ่งบวกของรากเท่านั้น x n , 1 > ⋯ > x n , n {\displaystyle x_{n,1}>\dots >x_{n,n}} H n {\displaystyle H_{n}} a m {\displaystyle a_{m}} m {\displaystyle m} Ai ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} 0 > a 1 > a 2 > ⋯ {\displaystyle 0>a_{1}>a_{2}>\cdots } H n {\displaystyle H_{n}}
เรามี[ 9 ] [ 9 ] ( 2 n + 1 ) 1 2 > x n , 1 > x n , 2 > ⋯ > x n , ⌊ n / 2 ⌋ > 0. {\displaystyle (2n+1)^{\frac {1}{2}}>x_{n,1}>x_{n,2}>\cdots >x_{n,\lfloor n/2\rfloor }>0.} m {\displaystyle m} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } x n , m = ( 2 n + 1 ) 1 2 + 2 − 1 3 ( 2 n + 1 ) − 1 6 a m + ϵ n , m , {\displaystyle x_{n,m}=(2n+1)^{\frac {1}{2}}+2^{-{\frac {1}{3}}}(2n+1)^{-{\frac {1}{6}}}a_{m}+\epsilon _{n,m},} ϵ n , m = O ( n − 5 6 ) {\displaystyle \epsilon _{n,m}=O\left(n^{-{\frac {5}{6}}}\right)} ϵ n , m < 0 {\displaystyle \epsilon _{n,m}<0}
ดูเพิ่มเติม[ 22 ] พหุนามลากู ร์
ให้เป็นฟังก์ชันการกระจายสะสม สำหรับรากของจากนั้นเราจะมีกฎครึ่งวงกลม [ 23 ] ความสัมพันธ์ ของStieltjes [ 24 ] [ 25 ] จริง และเชื่อมต่ออนุภาคแต่ละตัวกับจุดกำเนิดด้วยสปริง สิ่งนี้ยังเรียกว่าแบบจำลอง ไฟฟ้าสถิต ก๊าซคูลอมบ์ ของค่าลักษณะเฉพาะของกลุ่มเกาส์ เซียน F n ( t ) := 1 n # { i : x n , i ≤ t } {\displaystyle F_{n}(t):={\frac {1}{n}}\#\{i:x_{n,i}\leq t\}} H n {\displaystyle H_{n}} lim n → ∞ F n ( 2 n t ) = 2 π ∫ − 1 t 1 − s 2 d s t ∈ ( − 1 , + 1 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}({\sqrt {2n}}t)={\frac {2}{\pi }}\int _{-1}^{t}{\sqrt {1-s^{2}}}ds\quad t\in (-1,+1)} − x n , i + ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 x n , i − x n , j = 0 {\displaystyle -x_{n,i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}=0} n {\displaystyle n} i {\displaystyle i} − x n , i {\displaystyle -x_{n,i}} j {\displaystyle j} 1 x n , i − x n , j {\displaystyle {\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}} n {\displaystyle n} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
เนื่องจากค่าศูนย์ระบุพหุนามได้จนถึงระดับการปรับขนาด ความสัมพันธ์ของ Stieltjes จึงเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดลักษณะเฉพาะของพหุนาม Hermite ได้อย่างไม่ซ้ำกัน
ในทำนองเดียวกัน เรามี[ 26 ] ∑ i x n , i 2 = ∑ 1 ≤ i ≤ n n ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 ( x n , i − x n , j ) 2 x n , i = ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 x n , i − x n , j 2 n − 2 − x n , i 2 3 = ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 ( x n , i − x n , j ) 2 1 2 x n , i = ∑ 1 ≤ j ≤ n , i ≠ j 1 ( x n , i − x n , j ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i}x_{n,i}^{2}&=\sum _{1\leq i\leq n}^{n}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}\\{\frac {2n-2-x_{n,i}^{2}}{3}}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\{\frac {1}{2}}x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{3}}}\end{aligned}}}
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่นๆ
พหุนามลากูร์ พหุนามแอร์ไมต์สามารถแสดงได้ในรูปกรณีพิเศษของพหุนามลากูร์ : H 2 n ( x ) = ( − 4 ) n n ! L n ( − 1 2 ) ( x 2 ) = 4 n n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n − 1 2 n − k ) x 2 k k ! , H 2 n + 1 ( x ) = 2 ( − 4 ) n n ! x L n ( 1 2 ) ( x 2 ) = 2 ⋅ 4 n n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n + 1 2 n − k ) x 2 k + 1 k ! . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}
ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์สามารถแสดงได้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันทรงกระบอกพาราโบลิก : ในระนาบครึ่งขวา โดยที่U ( a , b , z ) คือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องของ Tricomi ในทำนองเดียวกัน โดย ที่F ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) คือ ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอ เมตริกแบบต่อเนื่องของ Kummer นอกจากนี้ยังมี[ 27 ] H n ( x ) = 2 n U ( − 1 2 n , 1 2 , x 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)} H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! n ! 1 F 1 ( − n , 1 2 ; x 2 ) , H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! n ! 2 x 1 F 1 ( − n , 3 2 ; x 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}} H e 2 n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! 1 F 1 ( − n , 1 2 ; x 2 2 ) , H e 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ! x 1 F 1 ( − n , 3 2 ; x 2 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {He} _{2n}(x)&=(-1)^{n}(2n-1)!!\;{}_{1}F_{1}\!\left(-n,{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{2}}\right),\\\mathrm {He} _{2n+1}(x)&=(-1)^{n}(2n+1)!!\;x\;{}_{1}F_{1}\!\left(-n,{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}} H n ( x ) = ( 2 x ) n 2 F 0 ( − 1 2 n , − 1 2 n + 1 2 − ; − 1 x 2 ) . {\displaystyle H_{n}\left(x\right)=(2x)^{n}{{}_{2}F_{0}}\left({-{\tfrac {1}{2}}n,-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}} \atop -};-{\frac {1}{x^{2}}}\right).}
ความสัมพันธ์จำกัด พหุนามเฮอร์ไมต์สามารถหาได้จากลิมิตของพหุนามอื่นๆ หลายชนิด[ 28 ]
ในฐานะลิมิตของพหุนามจาโคบี : ในฐานะลิมิตของพหุนามอัลตราสเฟริคัล: ในฐานะลิมิตของพหุนามลากูร์เรที่เกี่ยวข้อง:lim α → ∞ α − 1 2 n P n ( α , α ) ( α − 1 2 x ) = H n ( x ) 2 n n ! . {\displaystyle \lim _{\alpha \to \infty }\alpha ^{-{\frac {1}{2}}n}P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}\left(x\right)}{2^{n}n!}}.} lim λ → ∞ λ − 1 2 n C n ( λ ) ( λ − 1 2 x ) = H n ( x ) n ! . {\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\lambda ^{-{\frac {1}{2}}n}C_{n}^{(\lambda )}\left(\lambda ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}\left(x\right)}{n!}}.} lim α → ∞ ( 2 α ) 1 2 n L n ( α ) ( ( 2 α ) 1 2 x + α ) = ( − 1 ) n n ! H n ( x ) . {\displaystyle \lim _{\alpha \to \infty }\left({\frac {2}{\alpha }}\right)^{{\frac {1}{2}}n}L_{n}^{(\alpha )}\left((2\alpha )^{\frac {1}{2}}x+\alpha \right)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}H_{n}\left(x\right).}
การขยายพหุนามเฮอร์ไมต์ เช่นเดียวกับการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ ฟังก์ชันบางฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมอนันต์ของพหุนามเฮอร์ไมต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าแล้วจะมีการขยายในพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์[ 29 ] ∫ e − x 2 f ( x ) 2 d x < ∞ {\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }
เนื่องจากการเติบโตไม่เร็วเกินไป จึงมีการขยายตัวแบบเฮอร์ไมต์[ 30 ] f {\displaystyle f} f ( x ) = ∑ k E X ∼ N ( 0 , 1 ) [ f ( k ) ( X ) ] k ! He k ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k}{\frac {\mathbb {E} _{X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}[f^{(k)}(X)]}{k!}}\operatorname {He} _{k}(x)}
เมื่อกำหนดเช่นนั้นผลรวมย่อยของการขยาย Hermite ของลู่เข้าสู่บรรทัดฐานก็ต่อเมื่อ[ 31 ] การ f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} L p {\displaystyle L^{p}} 4 / 3 < p < 4 {\displaystyle 4/3<p<4} x n = n ! 2 n ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ 1 k ! ( n − 2 k ) ! H n − 2 k ( x ) = n ! ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ 1 k ! 2 k ( n − 2 k ) ! He n − 2 k ( x ) , n ∈ Z + . {\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,\operatorname {He} _{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.} e a x = e a 2 / 4 ∑ n ≥ 0 a n n ! 2 n H n ( x ) , a ∈ C , x ∈ R . {\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .} e − a 2 x 2 = ∑ n ≥ 0 ( − 1 ) n a 2 n n ! ( 1 + a 2 ) n + 1 / 2 2 2 n H 2 n ( x ) . {\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).} erf ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t = 1 2 π ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k k ! ( 2 k + 1 ) 2 3 k H 2 k + 1 ( x ) . {\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}~dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k+1}(x).} cosh ( a x ) = e a 2 / 2 ∑ m = 0 ∞ a 2 m ( 2 m ) ! H e 2 m ( x ) , sinh ( a x ) = e a 2 / 2 ∑ m = 0 ∞ a 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! H e 2 m + 1 ( x ) {\displaystyle \cosh(ax)=e^{a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {a^{2m}}{(2m)!}}\,\mathrm {He} _{2m}(x),\quad \sinh(ax)=e^{a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {a^{2m+1}}{(2m+1)!}}\,\mathrm {He} _{2m+1}(x)} cos ( a x ) = e − a 2 / 2 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m a 2 m ( 2 m ) ! H e 2 m ( x ) , sin ( a x ) = e − a 2 / 2 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m a 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! H e 2 m + 1 ( x ) {\displaystyle \cos(ax)=e^{-a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}a^{2m}}{(2m)!}}\,\mathrm {He} _{2m}(x),\quad \sin(ax)=e^{-a^{2}/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}a^{2m+1}}{(2m+1)!}}\,\mathrm {He} _{2m+1}(x)} δ = 1 2 π ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! ! He 2 k {\displaystyle \delta ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!!}}\operatorname {He} _{2k}} 1 x > 0 = 1 2 He 0 + 1 2 π ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! ! ( 2 k + 1 ) He 2 k + 1 {\displaystyle 1_{x>0}={\frac {1}{2}}\operatorname {He} _{0}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}\operatorname {He} _{2k+1}} He 3 ( x ) = x 3 − 3 x , x 3 = He 3 ( x ) + 3 He 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{3}(x)=x^{3}-3x,\quad x^{3}=\operatorname {He} _{3}(x)+3\operatorname {He} _{1}(x)}
การแสดงผลแบบตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นเป็นไปตามเอกลักษณ์[ 32 ] D แทนการอนุพันธ์เทียบกับx และเลขชี้กำลัง จะถูกตีความโดยการขยายเป็นอนุกรมกำลัง ไม่มีคำถามที่ละเอียดอ่อนเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมนี้เมื่อดำเนินการกับพหุนาม เนื่องจากพจน์ทั้งหมดหายไป ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัด He n ( x ) = e − D 2 2 x n , {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}
เนื่องจากสัมประสิทธิ์อนุกรมกำลังของเลขชี้กำลังเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว และอนุพันธ์อันดับสูงของเอกนามx n H
เนื่องจากนิพจน์อย่างเป็นทางการสำหรับการแปลงไวเออร์สตรัส W คือe D 2 ( √ 2 ) n He ( x / √ 2 คือ x n โดยพื้นฐานแล้ว การ แปลง ไวเออร์สตรัสจะเปลี่ยนอนุกรมของพหุนามเฮอร์ไมต์ให้เป็นอนุกรมแมคลาอริน ที่สอดคล้อง กัน
การมีอยู่ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม g ( D )He ( x ) = g ( D ) xn นั้น ลำดับ Appell เนื่องจากเป็นลำดับ Appell ดังนั้นจึงเป็นลำดับ Sheffer ด้วยเช่น กัน
การสรุปโดยทั่วไป
ความแปรปรวน 1 2 π e − x 2 2 , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}
เมื่อปรับขนาดแล้ว อาจกล่าวได้ว่าพหุนามเฮอร์ไมต์ทั่วไป [ 33 ] α โดยที่α เป็นจำนวนบวกใดๆ พหุนามเหล่านี้จะตั้งฉากกับการกระจายความน่าจะเป็นปกติซึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่นเป็น โดยกำหนดให้เป็น He n [ α ] ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)} 1 2 π α e − x 2 2 α . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.} He n [ α ] ( x ) = α n 2 He n ( x α ) = ( α 2 ) n 2 H n ( x 2 α ) = e − α D 2 2 ( x n ) . {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}
ทีนี้ ถ้าหาก ลำดับพหุนามที่มีพจน์ ที่ n คือ เรียกว่าการประกอบเชิงเงา ของลำดับพหุนามสองลำดับ สามารถแสดงได้ว่าสอดคล้องกับเอกลักษณ์ และ เอกลักษณ์สุดท้ายแสดงได้โดยการกล่าวว่าตระกูล ของลำดับพหุนามที่มีพารามิเตอร์นี้เรียกว่า ลำดับไขว้ (ดูส่วนด้านบนเกี่ยวกับลำดับ Appell และการแสดงแทนด้วยตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งนำไปสู่การพิสูจน์ที่ง่ายดาย) เอกลักษณ์ ประเภททวินาม นี้ สำหรับα = β = He n [ α ] ( x ) = ∑ k = 0 n h n , k [ α ] x k , {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},} ( He n [ α ] ∘ He [ β ] ) ( x ) ≡ ∑ k = 0 n h n , k [ α ] He k [ β ] ( x ) {\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,\operatorname {He} _{k}^{[\beta ]}(x)} ( He n [ α ] ∘ He [ β ] ) ( x ) = He n [ α + β ] ( x ) {\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)=\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)} He n [ α + β ] ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) He k [ α ] ( x ) He n − k [ β ] ( y ) . {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[\beta ]}(y).} 1 / 2 #ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำ ด้านบน )
เนื่องจากลำดับพหุนามก่อตัวเป็นกลุ่ม ภายใต้การดำเนินการประกอบแบบอัมบรัล เราจึงสามารถใช้สัญลักษณ์ แทน ลำดับที่ผกผันกับลำดับที่ใช้สัญลักษณ์เดียวกัน แต่ไม่มีเครื่องหมายลบ และเรียกพหุนามเฮอร์ไมต์ที่มีความแปรปรวนเป็นลบได้ สำหรับα > 0 สัมประสิทธิ์ของจะเป็นเพียงค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของ He n [ − α ] ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)} He n [ − α ] ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)} He n [ α ] ( x ) {\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}
สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นจากโมเมนต์ของการแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบปกติ : โมเมนต์ลำดับที่ n ของการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยμ และความแปรปรวนσ² X คือตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติที่กำหนดไว้ กรณีพิเศษของ เอกลักษณ์ E [ X n ] = He n [ − σ 2 ] ( μ ) , {\displaystyle E[X^{n}]=\operatorname {He} _{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),} ∑ k = 0 n ( n k ) He k [ α ] ( x ) He n − k [ − α ] ( y ) = He n [ 0 ] ( x + y ) = ( x + y ) n . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[-\alpha ]}(y)=\operatorname {He} _{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}
ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์
คำนิยาม เราสามารถกำหนดฟังก์ชันเฮอร์ไมต์ (มักเรียกว่าฟังก์ชันเฮอร์ไมต์-เกาส์เซียน) จากพหุนามของนักฟิสิกส์ ได้ดังนี้ ψ n ( x ) = ( 2 n n ! π ) − 1 2 e − x 2 2 H n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n n ! π ) − 1 2 e x 2 2 d n d x n e − x 2 . {\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.} 2 ( n + 1 ) ψ n + 1 ( x ) = ( x − d d x ) ψ n ( x ) . {\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}
เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้มีรากที่สองของฟังก์ชันน้ำหนัก และได้รับการปรับขนาดอย่างเหมาะสม จึงเป็น ฟังก์ชัน เชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal ) และเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของL 2 ( R ) ข้อเท็จจริงนี้เทียบเท่ากับข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับพหุนามเฮอร์ไมต์ (ดูด้านบน) ∫ − ∞ ∞ ψ n ( x ) ψ m ( x ) d x = δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}
ฟังก์ชัน Hermite มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน Whittaker ( Whittaker & Watson 1996 ) D ( z )ฟังก์ชันทรงกระบอกพาราโบลา อื่นๆ ด้วย D n ( z ) = ( n ! π ) 1 2 ψ n ( z 2 ) = ( − 1 ) n e z 2 4 d n d z n e − z 2 2 {\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}
ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ สมการนี้เทียบเท่ากับสมการชโรดิงเกอร์ สำหรับตัวสั่นฮาร์มอนิกในกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้นฟังก์ชันเหล่านี้จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunctions ) ψ n ″ ( x ) + ( 2 n + 1 − x 2 ) ψ n ( x ) = 0. {\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}
ฟังก์ชันของเฮอร์ไมต์: 0 (สีน้ำเงิน, เส้นทึบ), 1 (สีส้ม, เส้นประ), 2 (สีเขียว, เส้นจุดประ), 3 (สีแดง, เส้นจุด), 4 (สีม่วง, เส้นทึบ), และ 5 (สีน้ำตาล, เส้นประ) ψ 0 ( x ) = π − 1 4 e − 1 2 x 2 , ψ 1 ( x ) = 2 π − 1 4 x e − 1 2 x 2 , ψ 2 ( x ) = ( 2 π 1 4 ) − 1 ( 2 x 2 − 1 ) e − 1 2 x 2 , ψ 3 ( x ) = ( 3 π 1 4 ) − 1 ( 2 x 3 − 3 x ) e − 1 2 x 2 , ψ 4 ( x ) = ( 2 6 π 1 4 ) − 1 ( 4 x 4 − 12 x 2 + 3 ) e − 1 2 x 2 , ψ 5 ( x ) = ( 2 15 π 1 4 ) − 1 ( 4 x 5 − 20 x 3 + 15 x ) e − 1 2 x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}
ฟังก์ชันของเฮอร์ไมต์: 0 (สีน้ำเงิน, เส้นทึบ), 2 (สีส้ม, เส้นประ), 4 (สีเขียว, เส้นจุดประ) และ 50 (สีแดง, เส้นทึบ)
ความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด จากความสัมพันธ์เวียนเกิดของพหุนามเฮอร์ไมต์ ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์จึงเป็นไปตาม และ ψ n ′ ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) − n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)} x ψ n ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) + n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) . {\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}
การขยายความสัมพันธ์แรกไปยัง อนุพันธ์ลำดับที่ m ใดๆ สำหรับจำนวนเต็มบวก m ใดๆ จะนำไปสู่ ψ n ( m ) ( x ) = ∑ k = 0 m ( m k ) ( − 1 ) k 2 m − k 2 n ! ( n − m + k ) ! ψ n − m + k ( x ) He k ( x ) . {\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x)\operatorname {He} _{k}(x).}
สูตรนี้สามารถใช้ร่วมกับความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับHe ψ
สำหรับ x จริงฟังก์ชัน Hermite เป็นไปตามขอบเขตต่อไปนี้เนื่องจากHarald Cramér [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] | ψ n ( x ) | ≤ π − 1 4 . {\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}
ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์ψ ( x )ฟังก์ชันเฉพาะ ของการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง F เพื่อให้เห็นภาพนี้ ให้ใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดในเวอร์ชันของนักฟิสิกส์แล้วคูณด้วยe − 1 / 2 2 ดังนี้ e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 x 2 H n ( x ) t n n ! . {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}
การแปลงฟูริเยร์ของฝั่งซ้ายกำหนดโดย F { e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 } ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i x k e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 d x = e − 1 2 k 2 − 2 k i t + t 2 = ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 k 2 H n ( k ) ( − i t ) n n ! . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}
การแปลงฟูริเยร์ของฝั่งขวาแสดงได้ดังนี้ F { ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 x 2 H n ( x ) t n n ! } = ∑ n = 0 ∞ F { e − 1 2 x 2 H n ( x ) } t n n ! . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}
เมื่อเทียบกำลังของt ที่เหมือนกัน ในเวอร์ชันที่แปลงแล้วของด้านซ้ายและด้านขวา จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ F { e − 1 2 x 2 H n ( x ) } = ( − i ) n e − 1 2 k 2 H n ( k ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}
ฟังก์ชัน Hermite ψ ( x )L 2 ( R )ทำให้ตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์เป็นแนวทแยง [ 37 ] กล่าว 1 2 π ∫ e − i k x ψ n ( x ) d x = ( − i ) n ψ n ( k ) , 1 2 π ∫ e + i k x ψ n ( k ) d k = i n ψ n ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-ikx}\psi _{n}(x)dx=(-i)^{n}\psi _{n}(k),\quad {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{+ikx}\psi _{n}(k)dk=i^{n}\psi _{n}(x)}
ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์ ฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์ ของ ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์ลำดับที่ n เกี่ยวข้องกับพหุนามลากูร์ลำดับ ที่n พหุนามลากูร์ นำไปสู่ฟังก์ชันลากูร์ของออสซิลเลเตอร์ สำหรับจำนวนเต็มธรรมชาติn ทั้งหมด สามารถพิสูจน์ได้ว่า[ 38 ] ψ ∈ L 2 ( R , C ) ถูกกำหนดดังนี้ นี่เป็นผลลัพธ์พื้นฐานสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกควอนตัม ที่ค้นพบโดยฮิป โกรเนโวลด์ ในปี 1946 ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา[ 39 ] กลศาสตร์ควอนตัมในปริภูมิ เฟส L n ( x ) := ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k , {\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},} l n ( x ) := e − x 2 L n ( x ) . {\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).} W ψ n ( t , f ) = 2 ( − 1 ) n l n ( 4 π ( t 2 + f 2 ) ) , {\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=2\,(-1)^{n}\,l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},} W ψ ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ ψ ( t + τ 2 ) ψ ( t − τ 2 ) ∗ e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{\psi }(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,\psi \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}
นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์เพิ่มเติม ระหว่างพหุนามทั้งสองตระกูล อีกด้วย
อินทิกรัลการทับซ้อนบางส่วน สามารถแสดงได้[ 40 ] [ 41 ] k ≠ ℓ {\displaystyle k\neq \ell } ∫ x 1 x 2 ψ k ( x ) ψ ℓ ( x ) d x = 1 2 ( ℓ − k ) ( ψ k ′ ( x 2 ) ψ ℓ ( x 2 ) − ψ ℓ ′ ( x 2 ) ψ k ( x 2 ) − ψ k ′ ( x 1 ) ψ ℓ ( x 1 ) + ψ ℓ ′ ( x 1 ) ψ k ( x 1 ) ) . {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\psi _{k}(x)\psi _{\ell }(x)\,dx={\frac {1}{2(\ell -k)}}\left(\psi _{k}'(x_{2})\psi _{\ell }(x_{2})-\psi _{\ell }'(x_{2})\psi _{k}(x_{2})-\psi _{k}'(x_{1})\psi _{\ell }(x_{1})+\psi _{\ell }'(x_{1})\psi _{k}(x_{1})\right).}
การตีความเชิงการจัดเรียงของสัมประสิทธิ์ ในพหุนามเฮอร์ไมต์He ( x )x k n ตัว ออกเป็นk เซตเดี่ยว และ n − k / 2 เซตที่มีสมาชิก n ตัว โดยมี จุดตรึง k จุด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนการจับคู่ในกราฟสมบูรณ์ บน จุดยอด n จุด ที่เหลือ จุดยอด k จุดที่ยังไม่ได้จับคู่ (อันที่จริง พหุนามเฮอร์ไมต์คือพหุนามการจับคู่ ของกราฟเหล่านี้) ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์จะให้จำนวนการแบ่งทั้งหมดออกเป็นกลุ่มเดี่ยวและคู่ ซึ่งเรียกว่าหมายเลขโทรศัพท์
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (ลำดับA000085 OEIS ) การตีความเชิงการจัดเรียงนี้สามารถเชื่อมโยงกับพหุนามเบลล์ เลขชี้กำลังที่สมบูรณ์ได้ โดย ที่x = 0 สำหรับทุกi > 2 He n ( x ) = B n ( x , − 1 , 0 , … , 0 ) , {\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}
ตัวเลขเหล่านี้อาจแสดงเป็นค่าพิเศษของพหุนามเฮอร์ไมต์ได้เช่นกัน: [ 42 ] T ( n ) = He n ( i ) i n . {\displaystyle T(n)={\frac {\operatorname {He} _{n}(i)}{i^{n}}}.}
ความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์ สูตรChristoffel–Darboux สำหรับพหุนาม Hermite มีดังนี้ ∑ k = 0 n H k ( x ) H k ( y ) k ! 2 k = 1 n ! 2 n + 1 H n ( y ) H n + 1 ( x ) − H n ( x ) H n + 1 ( y ) x − y . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}
นอกจากนี้เอกลักษณ์ความสมบูรณ์ ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชัน Hermite ข้างต้นยังใช้ได้ในความหมายของการแจกแจง : โดยที่δ คือฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac , ψn δ ( x − y ) แทนการวัด Lebesgue บนเส้นตรงy = x R2 ที่ ∑ n = 0 ∞ ψ n ( x ) ψ n ( y ) = δ ( x − y ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}
เอกลักษณ์การกระจายตัวนี้เป็นไปตามWiener (1958) โดยการใช้u → 1สูตรของ Mehler ซึ่งใช้ได้เมื่อ−1 < u < 1 ซึ่ง มักจะระบุในรูปแบบที่เทียบเท่ากับเคอร์เนลที่แยกได้[ 43 ] [ 44 ] E ( x , y ; u ) := ∑ n = 0 ∞ u n ψ n ( x ) ψ n ( y ) = 1 π ( 1 − u 2 ) exp ( − 1 − u 1 + u ( x + y ) 2 4 − 1 + u 1 − u ( x − y ) 2 4 ) , {\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),} ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) H n ( y ) n ! ( u 2 ) n = 1 1 − u 2 e 2 u 1 + u x y − u 2 1 − u 2 ( x − y ) 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}
ฟังก์ชัน( x , y ) → E ( x , y ; u ) คือความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบเกาส์เซียนสองตัวแปรบนR 2 u ใกล้เคียงกับ 1 จะกระจุกตัวอยู่รอบเส้นตรงy = x f g ∑ n = 0 ∞ u n ⟨ f , ψ n ⟩ ⟨ ψ n , g ⟩ = ∬ E ( x , y ; u ) f ( x ) g ( y ) ¯ d x d y → ∫ f ( x ) g ( x ) ¯ d x = ⟨ f , g ⟩ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }
ผลลัพธ์ที่ได้คือf สามารถแสดงในรูปฟังก์ชัน Hermite เป็นผลรวมของเวกเตอร์หลายชุดในL 2 ( R )f = ∑ n = 0 ∞ ⟨ f , ψ n ⟩ ψ n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}
เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันข้างต้นสำหรับE ( x , y ; u )แปลงฟูริเยร์ ของฟังก์ชันเกาส์เซียน ซ้ำๆ ดังนี้: ρ π e − ρ 2 x 2 4 = ∫ e i s x − s 2 ρ 2 d s for ρ > 0. {\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}
พหุนามเฮอร์ไมต์จึงแสดงได้ดังนี้ H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( 1 2 π ∫ e i s x − s 2 4 d s ) = ( − 1 ) n e x 2 1 2 π ∫ ( i s ) n e i s x − s 2 4 d s . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}
ด้วยการแสดงแทนH ( x )H ( y )E ( x , y ; u ) = ∑ n = 0 ∞ u n 2 n n ! π H n ( x ) H n ( y ) e − x 2 + y 2 2 = e x 2 + y 2 2 4 π π ∬ ( ∑ n = 0 ∞ 1 2 n n ! ( − u s t ) n ) e i s x + i t y − s 2 4 − t 2 4 d s d t = e x 2 + y 2 2 4 π π ∬ e − u s t 2 e i s x + i t y − s 2 4 − t 2 4 d s d t , {\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}} s = σ + τ 2 , t = σ − τ 2 . {\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}
ดูเพิ่มเติม
หมายเหตุ ↑ ลาปลาซ (1811) "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultats des การสังเกต" [บันทึกเกี่ยวกับปริพันธ์ที่แน่นอนและการประยุกต์กับความน่าจะเป็น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการค้นหาค่าเฉลี่ยที่ต้องเลือกจากผลลัพธ์ของการสังเกต] Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France (ในภาษาฝรั่งเศส) 11 : 297– 347. ↑ ลาปลาซ, ป.-ส. (1812), Théorie analytique des probabilités [ ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงวิเคราะห์ ] ฉบับที่ 2 , หน้า 194–203 Œuvres complètes VII ↑ เชบีเชฟ, พี. (1860) "Sur le développement des fonctions à une seule ตัวแปร" [เกี่ยวกับการพัฒนาฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยว] Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (เป็นภาษาฝรั่งเศส) 1 : 193– 200. Œuvres I , 501–508↑ เฮอร์ไมต์, ซี. (1864) "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [เกี่ยวกับการพัฒนาใหม่ในซีรีส์ฟังก์ชัน] ซีอาร์ อคาด. วิทยาศาสตร์ ปารีส (เป็นภาษาฝรั่งเศส) 58 : 93– 100, 266– 273. Œuvres II , 293–308.↑ ทอม เอช. คูร์นวินเดอร์, โรเดอริก เอสซี หว่อง และโรเอลอฟ โคเอค และคณะ ( 2010 ) และอับราโมวิทซ์ แอนด์ สเต กุน ↑ ฮูร์ตาโด เบนาบิเดส, มิเกล อังเกล. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [เทซิส เด เมสเตรีย]. มหาวิทยาลัยเซอร์จิโอ อาร์โบเลดา. ^ "18. พหุนามเชิงตั้งฉาก, พหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิก, ผลรวม" . ห้องสมุดดิจิทัลของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ . สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ . สืบค้นเมื่อ 30 มกราคม 2015 . ^ (เรนวิลล์ 1971), หน้า 198 ^ a b c "DLMF: §18.16 Zeros ‣ Classical Orthogonal Polynomials ‣ Chapter 18 Orthogonal Polynomials" . dlmf.nist.gov . สืบค้นเมื่อ 2025-07-12 . ^ a b "DLMF: §18.18 ผลรวม ‣ พหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิก ‣ บทที่ 18 พหุนามเชิงตั้งฉาก" . dlmf.nist.gov . สืบค้นเมื่อ 2025-03-18 . ^ Gradshteĭn, IS; Zwillinger, Daniel (2015). ตารางอินทิกรัล อนุกรม และผลคูณ (ฉบับที่ 8). อัมสเตอร์ดัม; บอสตัน: Elsevier, Academic Press เป็นสำนักพิมพ์ในเครือ Elsevier. ISBN 978-0-12-384933-5 อรรถ เป็นข เฟล ด์ ไฮม์, เออร์วิน. "การพัฒนาชุด de polynômes d'Hermite และ de Laguerrea l'aide des การเปลี่ยนแปลงของ Gauss et de Hankel" การดำเนินการของ Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen 435 (1940) ส่วนที่1 , II , III ↑ อับ ราโมวิทซ์ และสเตกุน 1983 , p. 508–510, 13.6.38 และ 13.5.16^ Berry, MV (1976-01-01). "คลื่นและทฤษฎีบทของทอม" . ความก้าวหน้าทางฟิสิกส์ . 25 (1): 1– 26. Bibcode : 1976AdPhy..25....1B . doi : 10.1080/00018737600101342 . ISSN 0001-8732 . ^ Szegő 1975 , หน้า 201^ a b Louck, J. D (1981-09-01). "การขยายสูตร Kibble-Slepian สำหรับพหุนาม Hermite โดยใช้วิธีตัวดำเนินการโบซอน" . Advances in Applied Mathematics . 2 (3): 239– 249. doi : 10.1016/0196-8858(81)90005-1 . ISSN 0196-8858 . ^ Kibble, WF (มิถุนายน 1945). "การขยายทฤษฎีบทของ Mehler เกี่ยวกับพหุนาม Hermite" . การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ . 41 (1): 12– 15. Bibcode : 1945PCPS...41...12K . doi : 10.1017/S0305004100022313 . ISSN 1469-8064 . ^ Slepian, David (พฤศจิกายน 1972). "เกี่ยวกับกำลัง Kronecker สมมาตรของเมทริกซ์และการขยายสูตรของ Mehler สำหรับพหุนาม Hermite" . SIAM Journal on Mathematical Analysis . 3 (4): 606– 616. doi : 10.1137/0503060 . ISSN 0036-1410 . ^ Foata, Dominique (1981-09-01). "เอกลักษณ์พหุนาม Hermite บางประการและการจัดกลุ่มของพวกมัน" . ความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์ประยุกต์ . 2 (3): 250– 259. doi : 10.1016/0196-8858(81)90006-3 . ISSN 0196-8858 . ^ Ismail, Mourad EH; Zhang, Ruiming (กันยายน 2016). "สูตร Kibble–Slepian และฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับพหุนาม 2 มิติ" . Advances in Applied Mathematics . 80 : 70– 92. arXiv : 1508.01816 . doi : 10.1016/j.aam.2016.05.003 . ISSN 0196-8858 . ^ Ismail , Mourad EH; Zhang, Ruiming (2017-04-01). "บทวิจารณ์พหุนามเชิงตั้งฉากหลายตัวแปร" วารสาร สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอียิปต์ 25 (2): 91– 110. doi : 10.1016/j.joems.2016.11.001 . ISSN 1110-256X . ^ ( Szegő 1975 , ส่วนที่ 6.21. อสมการสำหรับศูนย์ของพหุนามคลาสสิก) ^ Gawronski, Wolfgang (1987-07-01). "เกี่ยวกับการกระจายเชิงอะซิมโทติกของศูนย์ของพหุนาม Hermite, Laguerre และ Jonquière" . วารสารทฤษฎีการประมาณค่า . 50 (3): 214– 231. doi : 10.1016/0021-9045(87)90020-7 . ISSN 0021-9045 . ^ Marcellán, F.; Martínez-Finkelshtein, A.; Martínez-González, P. (2007-10-15). "แบบจำลองไฟฟ้าสถิตสำหรับศูนย์ของพหุนาม: ปัญหาเก่า ปัญหาใหม่ และปัญหาที่ยังเปิดอยู่" วารสาร คณิตศาสตร์เชิงคำนวณและประยุกต์ รายงานการประชุมเพื่อเป็นเกียรติแก่ ดร. นิโค เทมเม เนื่องในโอกาสวันเกิดครบรอบ 65 ปี 207 (2): 258– 272. arXiv : math/0512293 . doi : 10.1016/j.cam.2006.10.020 . hdl : 10016/5921 . ISSN 0377-0427 . ^ ( Szegő 1975 , ส่วนที่ 6.7. การตีความทางไฟฟ้าสถิตของศูนย์ของพหุนามคลาสสิก) ^ Alıcı , H.; Taşeli, H. (2015). "การรวมความสัมพันธ์ประเภท Stieltjes-Calogero สำหรับศูนย์ของพหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิก" วิธี การทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ประยุกต์ 38 (14): 3118– 3129. Bibcode : 2015MMAS...38.3118A . doi : 10.1002/mma.3285 . hdl : 11511/35468 . ISSN 1099-1476 . ^ สมการ DLMF 18.5.13 ^ DLMF §18.7(iii) ความสัมพันธ์ของขีดจำกัด ^ "บทเรียน MATHEMATICA ตอนที่ 2.5: การขยายอนุกรมเฮอร์ไมต์" . www.cfm.brown.edu . สืบค้นเมื่อ 2023-12-24 . ^ Davis, Tom P. (2024-02-01). "นิพจน์ทั่วไปสำหรับการขยาย Hermite พร้อมการประยุกต์ใช้" The Mathematics Enthusiast . 21 ( 1– 2): 71– 87. doi : 10.54870/1551-3440.1618 . ISSN 1551-3440 . ^ Askey, Richard; Wainger, Stephen (1965). "ค่าเฉลี่ยของการลู่เข้าของการขยายในอนุกรม Laguerre และ Hermite" . American Journal of Mathematics . 87 (3): 695– 708. doi : 10.2307/2373069 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2373069 . ^ Rota, Gian-Carlo; Doubilet, P. (1975). แคลคูลัสตัวดำเนินการจำกัด . นิวยอร์ก: Academic Press. หน้า 44. ISBN 9780125966504 ^ โรมัน, สตีเวน (1984), แคลคูลัสเงามืด , คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์, เล่มที่ 111 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1), สำนักพิมพ์วิชาการ, หน้า 87–93 , ISBN 978-0-12-594380-2 ↑ แอร์เดลี และคณะ 2498 หน้า 207.^ เซเก อ 1975 ^ Indritz, Jack (1961), "อสมการสำหรับพหุนาม Hermite", Proceedings of the American Mathematical Society , 12 (6): 981– 983, doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2 , MR 0132852 ^ ในกรณีนี้ เราใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะ คือ (− i ) n การแก้เอกลักษณ์ที่ตามมาจะใช้เพื่อกำหนดกำลัง รวมถึงกำลังเศษส่วนของการแปลงฟูริเยร์ กล่าวคือ การขยาย การแปลงฟูริเยร์เศษส่วน ซึ่งในทางปฏิบัติคือเคอร์เนลของเมห์เลอ ร์ ^ Folland, GB (1989), การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในปริภูมิเฟส , วารสารคณิตศาสตร์ศึกษา, เล่มที่ 122, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, ISBN 978-0-691-08528-9 ^ Groenewold, HJ (1946). "ว่าด้วยหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมเบื้องต้น". Physica . 12 (7): 405– 460. Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 . ^ Mawby, Clement (2024). "การทดสอบมาโครเรียลลิสม์ในระบบตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่อง". arXiv : 2402.16537 [ quant-ph ]. ^ Moriconi, Marco (2007). "Nodes of Wavefunctions". arXiv : quant-ph/0702260 . ↑ แบนเดอเรียร์, ซีริล; Bousquet-Mélou, มีเรล ; เดนิส, อแลง; ฟลาโจเลต, ฟิลิปป์ ; การ์ดี, ดาเนียล; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "การสร้างฟังก์ชันสำหรับการสร้างต้นไม้", Discrete Mathematics , 246 ( 1– 3): 29– 55, arXiv : math/0411250 , doi : 10.1016/S0012-365X(01)00250-3 , MR 1884885 , S2CID 14804110 ↑ Mehler, FG (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" [เกี่ยวกับการพัฒนาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวตามอำเภอใจตามฟังก์ชัน Laplace ที่มีลำดับสูงกว่า], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ในภาษาเยอรมัน) (66): 161– 176, ISSN 0075-4102 , อีแรม 066.1720cj ↑ แอร์เดลี และคณะ 2498 หน้า 194, 10.13 (22)
เอกสารอ้างอิง Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , บรรณาธิการ (1983) [มิถุนายน 1964]. "บทที่ 22" . คู่มือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พร้อมสูตร กราฟ และตารางทางคณิตศาสตร์ ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Courant, Richard ; Hilbert, David (1989) [1953], วิธีการทางฟิสิกส์คณิตศาสตร์ เล่ม 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4 แอร์เดลี, อาเธอร์ ; แมกนัส, วิลเฮล์ม ; โอเบอร์เฮททิงเกอร์, ฟริตซ์; Tricomi, Francesco G. (1955), ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติขั้นสูง (PDF) , ฉบับที่ II, แมคกรอ-ฮิล, ISBN 978-0-07-019546-2 ต้นฉบับ (PDF) เมื่อวันที่ 14 กรกฎาคม 2554 เรียกดูเมื่อวันที่ 17 กรกฎาคม 2557 Fedoryuk, MV (2001) [1994], "ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ EMS Press Koornwinder, Tom H. ; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "พหุนามเชิงตั้งฉาก" , ในOlver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (บรรณาธิการ), คู่มือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ของ NIST ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Laplace, PS (1810), "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des Observation", Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347 Oeuvres complètes 12, หน้า 357-412 , ฉบับแปลภาษาอังกฤษ เก็บถาวร เมื่อ 2016-03-04 ที่Wayback Machine เรนวิลล์, เอิร์ล เดวิด (1971). พิธีการพิเศษ . บรองซ์, นิวยอร์ก: บริษัท เชลซีพับบ์. ISBN 978-0-8284-0258-3 Shohat, JA; Hille, Einar; Walsh, Joseph L. (1940), บรรณานุกรมเกี่ยวกับพหุนามเชิงตั้งฉาก , วารสารของสภาวิจัยแห่งชาติ, วอชิงตัน ดี.ซี.: สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติ Suetin, PK (2001) [1994], "พหุนามเฮอร์ไมต์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ EMS Press Szegő, Gábor (1975) [1939], พหุนามเชิงตั้งฉาก , สำนักพิมพ์ Colloquium, เล่มที่ 23 (ฉบับที่ 4), สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, ISBN 978-0-8218-1023-1 Temme, Nico (1996), ฟังก์ชันพิเศษ: บทนำสู่ฟังก์ชันคลาสสิกของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , นิวยอร์ก: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3 Wiener, Norbert (1958) [1933], The Fourier Integral and Certain of its Applications (ฉบับปรับปรุง), นิวยอร์ก: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9 Whittaker, ET ; Watson, GN (1996) [1927], A Course of Modern Analysis ISBN 978-0-521-58807-2
ลิงก์ภายนอก
ระหว่างประเทศ ระดับชาติ อื่น
![{\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd28acebdaa110fabe3992f687f29423254a55c)
![{\displaystyle L[u]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9c063b9635642e2c719ab2f27e1b4fc735d1bd)
![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae3345cdf2af4a3826ccb89378f671208f49ac8)
![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad2cfac9cdbe1d385068379514a28d358f873ec)
![{\displaystyle \det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{x^{T}M(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\cdots H_{k_{n}}(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaeb33853fafcb50a72e8a553a4b558b99f87ceb)
![{\displaystyle e^{-x^{T}Tx}=\det(I+T)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\dots H_{k_{n}}(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd5472e40711558c8c5cdc0229c2c96f347f16b)
![{\displaystyle \pi ^{-n/4}\det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}(IM)(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}M_{ij}^{k_{ij}}/k_{ij}!\right]\left[\prod _{1\leq i\leq n}k_{i}!\right]^{1/2}2^{-\operatorname {tr} K}\psi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)\cdots \psi _{k_{n}}\left(x_{n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f1bcaaebf416639ec8f392d0b16275e0ea9d56)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k}{\frac {\mathbb {E} _{X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}[f^{(k)}(X)]}{k!}}\operatorname {He} _{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5725867b9e1efad8fd9c6de7c5090379d163d580)
![{\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b29e769febd727352d02297c96cb0ae6cc72b72)
![{\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9731ce63d4f1cf393173e15c2c525ae833a73201)
![{\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9cdbc9a6dcf24db0287a28198b2ebe34ea5f48)
![{\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,\operatorname {He} _{k}^{[\beta ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e325c0dfe062b77f2bd1d8c648c91b97cda5b55)
![{\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)=\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafaaac77f78300c33bedcf52fbe90f5229400c3)
![{\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{nk}^{[\beta ]}(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb8d0485ea81b5c969ff81efdda57216b9ce3ba)
![{\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749cfead9c7df544c59d147303f1f65077b570b9)
![{\displaystyle E[X^{n}]=\operatorname {He} _{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b852404b638422b5ac8176bc9ed1957ddffc9e)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{nk}^{[-\alpha ]}(y)=\operatorname {He} _{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a7a2a94381d3a8f05e41bc2ea837a137fe9986)
สื่อที่เกี่ยวข้องกับพหุนามเฮอร์ไมต์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์