ในทางคณิตศาสตร์กำลังสองคือผลลัพธ์ของการคูณจำนวนหนึ่งด้วยตัวมันเอง คำกริยา "กำลังสอง" ใช้เพื่อแสดงถึงการดำเนินการนี้ การยกกำลังสองก็เหมือนกับการยกกำลัง  2และใช้เลขยกกำลัง 2 แทน เช่น กำลังสองของ 3 อาจเขียนได้เป็น 3² ^ซึ่งคือ 9 ในบางกรณีที่ไม่มีเลขยกกำลัง เช่น ในภาษาโปรแกรมหรือ ไฟล์ ข้อความธรรมดา อาจใช้ สัญลักษณ์x^2( caret ) หรือx**2แทนได้คำคุณศัพท์ที่สอดคล้องกับการยกกำลังสองคือกำลัง สองx²

กำลังสองของจำนวนเต็มอาจเรียกว่าจำนวนกำลังสองหรือกำลังสองสมบูรณ์ในพีชคณิตการดำเนินการยกกำลังสองมักถูกนำไปใช้กับพหุนามนิพจน์อื่นๆ หรือค่าในระบบค่าทางคณิตศาสตร์อื่น ^ๆนอกเหนือจากตัวเลข ตัวอย่างเช่น กำลังสองของพหุนามเชิงเส้นx + 1คือพหุนามกำลังสอง( x + 1) ^² = x² + 2x + 1

หนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญของการยกกำลังสอง ทั้งสำหรับจำนวนและระบบทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย คือ (สำหรับจำนวนx ทุกตัว ) กำลังสองของxจะเท่ากับกำลังสองของตัวผกผันการบวก ของ x คือ−x กล่าวคือ ฟังก์ชันกำลัง ^สองเป็นไปตามเอกลักษณ์x² = (−x ) ² ^ซึ่งสามารถแสดงได้อีกอย่างว่า ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชัน คู่

การดำเนินการยกกำลังสองกำหนดฟังก์ชันจริงที่เรียกว่าฟังก์ชันกำลังสองหรือฟังก์ชันยกกำลังสองโดเมนของฟังก์ชันนี้เส้นจำนวนจริงทั้งหมดและภาพคือเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

ฟังก์ชันกำลังสองรักษาระดับของจำนวนบวกไว้ กล่าวคือ จำนวนที่มากกว่าจะมีค่ากำลังสองที่มากกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกบนช่วง[0, +∞)สำหรับจำนวนลบ จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าจะมีค่ากำลังสองที่มากกว่า ดังนั้นกำลังสองจึงเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกที่ลดลงบนช่วง(−∞,0]ดังนั้นศูนย์จึง^เป็นค่าต่ำสุด (ทั่วโลก) ของฟังก์ชันกำลังสอง กำลังสอง^x² ของจำนวนxจะน้อยกว่าx (นั่นคือx² < x ) ก็ต่อเมื่อ0 < x < 1นั่นคือ ถ้าxอยู่ในช่วงเปิด(0,1)ซึ่งหมายความว่ากำลังสองของจำนวนเต็มจะไม่น้อยกว่าจำนวนเดิมxเลย

จำนวนจริงบวกทุก จำนวน เป็นกำลังสองของจำนวนสองจำนวนพอดี โดยจำนวนหนึ่งเป็นบวกอย่างแท้จริงและอีกจำนวนหนึ่งเป็นลบอย่างแท้จริง ส่วนศูนย์เป็นกำลังสองของจำนวนเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น คือตัวมันเอง ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถกำหนด ฟังก์ชัน รากที่สอง ได้ ซึ่งเชื่อมโยงจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบกับจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งกำลังสองของมันคือจำนวนเดิม

ไม่สามารถหาค่ารากที่สองของจำนวนลบได้ภายในระบบจำนวนจริงเนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวนมีค่าไม่เป็นลบ การที่จำนวนลบไม่มีรากที่สองในระบบจำนวนจริงนี้ สามารถนำมาใช้ขยายระบบจำนวนจริงไปสู่จำนวนเชิงซ้อนได้โดยการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับหน่วยจินตนาการiซึ่งเป็นหนึ่งในรากที่สองของ −1

คุณสมบัติ "จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทุกจำนวนเป็นกำลังสอง" ได้ถูกขยายไปสู่แนวคิดของฟิลด์ปิดจริงซึ่งเป็นฟิลด์เรียงลำดับที่สมาชิกที่ไม่เป็นลบทุกตัวเป็นกำลังสอง และพหุนามดีกรีคี่ทุกตัวมีราก ฟิลด์ปิดจริงไม่สามารถแยกแยะออกจากฟิลด์ของจำนวนจริงได้ด้วยคุณสมบัติทางพีชคณิต: คุณสมบัติทุกอย่างของจำนวนจริงที่สามารถแสดงได้ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง (นั่นคือ แสดงด้วยสูตรที่ตัวแปรที่วัดด้วย ∀ หรือ ∃ แทนสมาชิก ไม่ใช่เซต) เป็นจริงสำหรับฟิลด์ปิดจริงทุกฟิลด์ และในทางกลับกัน คุณสมบัติทุกอย่างของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งที่เป็นจริงสำหรับฟิลด์ปิดจริงเฉพาะเจาะจง ก็เป็นจริงสำหรับจำนวนจริงด้วย

ฟังก์ชันกำลังสองมีประโยชน์หลักๆ หลายประการในเรขาคณิต

ชื่อของฟังก์ชันกำลังสองแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของมันในนิยามของ^{พื้นที่} :มันมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว   lเท่ากับl²พื้นที่ขึ้นอยู่กับขนาดในลักษณะกำลังสอง: พื้นที่ของรูปทรง ที่ใหญ่กว่า n  เท่า จะ มีค่ามากกว่า n² ^เท่า  ข้อเท็จจริงนี้ใช้ได้กับพื้นที่ในสามมิติเช่นเดียวกับในระนาบ: ตัวอย่างเช่น พื้นที่ผิวของทรงกลมเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของรัศมี ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ปรากฏให้เห็นทางกายภาพโดยกฎกำลังสองผกผันที่อธิบายว่าความแรงของแรงทางกายภาพ เช่น แรงโน้มถ่วง เปลี่ยนแปลงไปตามระยะทางอย่างไร

ฟังก์ชันกำลังสองมีความสัมพันธ์กับระยะทางผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัสและการขยายความของทฤษฎีบทนั้น คือกฎของ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ระยะทาง แบบยุคลิดไม่ใช่ฟังก์ชันเรียบ : กราฟสามมิติของระยะทางจากจุดคงที่ก่อตัวเป็นรูปกรวยโดยมีจุดที่ไม่เรียบอยู่ที่ปลายกรวย อย่างไรก็ตาม กำลังสองของระยะทาง (เขียนแทนด้วยd²หรือr² ) ซึ่งมีกราฟเป็นรูปพาราโบลา เป็น^{ฟังก์ชัน}เรียบและ วิเคราะห์^ได้

ผลคูณดอทของเวกเตอร์ยูคลิดกับตัวมันเองเท่ากับกำลังสองของความยาว: v ⋅ v = v² ^ซึ่งสามารถขยายไปสู่รูปแบบกำลังสองในปริภูมิเชิงเส้น ได้ โดยใช้ผลคูณภายในเทนเซอร์ความเฉื่อยในกลศาสตร์เป็นตัวอย่างหนึ่งของรูปแบบกำลังสอง มันแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์กำลังสองของโมเมนต์ความเฉื่อยกับขนาด ( ความยาว )

มีชุดตัวเลขพีทาโกเรียน อยู่มากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่ผลรวมของกำลังสองของสองจำนวนแรกเท่ากับกำลังสองของจำนวนที่สาม ชุดตัวเลขพีทาโกเรียนแต่ละชุดจะให้ความยาวด้านที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ฟังก์ชันกำลังสองนิยามได้ในฟิลด์หรือริง ใดๆ สมาชิกในภาพของฟังก์ชันนี้เรียกว่ากำลังสองและภาพผกผันของกำลังสองเรียกว่ารากที่สอง

แนวคิดเรื่องการยกกำลังสองมีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิลด์จำกัดZ / p Zที่เกิดจากจำนวนมอดูลั สของ จำนวน เฉพาะคี่ pสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ในฟิลด์นี้เรียกว่าเศษกำลังสองถ้ามันเป็นกำลังสองในZ / p Zและถ้าไม่ใช่ จะเรียกว่าเศษกำลังสองที่ไม่ใช่เศษ ศูนย์ถึงแม้จะเป็นกำลังสอง แต่ก็ไม่ถือว่าเป็นเศษกำลังสอง ฟิลด์จำกัดทุกฟิลด์ประเภทนี้มีเศษกำลังสองอยู่( p − 1)/2ตัว และมีเศษกำลังสองที่ไม่ใช่เศษอยู่( p − 1)/2 ตัว เศษกำลังสองเหล่านี้ก่อตัวเป็น กลุ่มภายใต้การคูณ คุณสมบัติของเศษกำลังสองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีจำนวน

โดยทั่วไปแล้ว ในวงแหวน ฟังก์ชันกำลังสองอาจมีคุณสมบัติที่แตกต่างกัน ซึ่งบางครั้งใช้ในการจำแนกประเภทของวงแหวน

ศูนย์อาจเป็นกำลังสองของสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัววงแหวนสลับที่ซึ่งกำลังสองของสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ไม่เคยเป็นศูนย์ เรียกว่าวงแหวนลดรูปโดยทั่วไปแล้ว ในวงแหวนสลับที่ อุดมคติรากคืออุดมคติ  Iซึ่งหมายความว่าแนวคิดทั้งสองนี้มีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ต ${\displaystyle x^{2}\in I}$${\displaystyle x\in I}$

สมาชิกของริงที่เท่ากับกำลังสองของตัวมันเองเรียกว่าตัวประกอบเอกลักษณ์ (idempotent ) ในริงใดๆ 0 และ 1 เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ไม่มีตัวประกอบเอกลักษณ์อื่นใดในฟิลด์ และโดยทั่วไปในโดเมนจำนวนเต็มอย่างไรก็ตาม วงแหวนของจำนวนเต็มมอดู ล nมีตัวประกอบเอกลักษณ์2k ^ตัว โดยที่ kคือจำนวนตัวประกอบเฉพาะ ที่แตกต่างกัน ของ  nวงแหวนสลับที่ซึ่งทุกองค์ประกอบเท่ากับกำลังสองของมัน (ทุกองค์ประกอบเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์) เรียกว่าวงแหวนบูลีนตัวอย่างจากวิทยาการคอมพิวเตอร์คือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นเลขฐานสองโดย ใช้การดำเนินการ AND ระดับบิตเป็นการดำเนินการคูณ และการดำเนินการ XOR ระดับบิตเป็นการดำเนินการบวก

ในริงที่มีลำดับสมบูรณ์ x² ^≥ 0สำหรับทุกxยิ่งไปกว่านั้นx² = 0 ^ก็ ต่อเมื่อ x = 0เท่านั้น

ในพีชคณิตแบบสลับที่ยิ่งยวดซึ่ง 2 สามารถผกผันได้ กำลังสองของ สมาชิก คี่ ใดๆ จะเท่ากับศูนย์

ถ้าAเป็นเซมิกรุปสลับที่ได้แล้ว จะได้ว่า

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.}$

ในภาษาของรูปแบบกำลังสองความเท่าเทียมกันนี้กล่าวว่าฟังก์ชันกำลังสองเป็น "รูปแบบที่อนุญาตให้ประกอบได้" อันที่จริง ฟังก์ชันกำลังสองเป็นพื้นฐานที่ใช้สร้างรูปแบบกำลังสองอื่นๆ ซึ่งอนุญาตให้ประกอบได้เช่นกัน กระบวนการนี้ได้รับการแนะนำโดยLE Dicksonเพื่อสร้างอ็อกโทเนียนจากควอเทอร์เนียนโดยการคูณสอง วิธีการคูณสองนี้ได้รับการกำหนดเป็นทางการโดยAA Albertซึ่งเริ่มต้นด้วยฟิลด์จำนวนจริง และฟังก์ชันกำลังสอง คูณสองเพื่อให้ได้ ฟิลด์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบกำลังสองx² + y² จากนั้นคูณสองอีกครั้งเพื่อให้ได้ควอเทอร์เนียน กระบวนการคูณสองเท่า ^นี้เรียกว่า การสร้าง ^แบบ Cayley–Dicksonและได้รับการขยายไปสู่การสร้างพีชคณิตมิติ 2n ^{เหนือ}ฟิลด์Fที่มีการผกผัน ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ฟังก์ชันกำลังสองz²คือ "บรรทัดฐาน" ของพีชคณิตการประกอบโดยที่ฟังก์ชันเอกลักษณ์ก่อให้เกิดการผกผันที่ไม่สำคัญเพื่อเริ่มต้นการสร้าง Cayley–Dickson ซึ่งนำไปสู่พีชคณิตการประกอบแบบไบคอมเพล็กซ์^ไบควอเทอร์เนียน และไบอ็อกโทเนียน ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ในจำนวนเชิงซ้อนฟังก์ชันกำลังสองเป็นตัวครอบคลุม สองเท่า ในแง่ที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนจะมีรากที่สองอยู่สองตัวพอดี ${\displaystyle z\to z^{2}}$

กำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า กำลัง สองสัมบูรณ์ค่าสัมบูรณ์กำลังสองหรือขนาดกำลังสอง^{[ 1 ]} เป็นผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนกับคู่สังยุคเชิงซ้อนและเท่ากับผลรวมของกำลังสองของส่วนจริงและส่วนจินตนาการของจำนวนเชิงซ้อน

กำลังสองสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนจะเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ กล่าวคือจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อจำนวนเชิงซ้อนนั้นเป็นศูนย์ การคำนวณกำลังสองสัมบูรณ์นั้นง่ายกว่าค่าสัมบูรณ์ (ไม่ต้องถอดรากที่สอง) และมีความเรียบเนียนเหมือนฟังก์ชันค่าจริงเนื่องจากคุณสมบัติทั้งสองนี้ กำลังสองสัมบูรณ์จึงมักเป็นที่นิยมมากกว่าค่าสัมบูรณ์สำหรับการคำนวณที่ชัดเจนและเมื่อเกี่ยวข้องกับวิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (เช่นการหาค่าเหมาะสมที่สุดหรือการอินทิเกรต )

สำหรับเวกเตอร์เชิงซ้อนผลคูณดอทสามารถกำหนดได้โดยใช้การสลับตำแหน่งเชิงสังยุคซึ่งนำไปสู่ค่ากำลังสองของนอร์ม

กำลังสองพบได้ทั่วไปในพีชคณิต โดยทั่วไปในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์ และในฟิสิกส์ ด้วยเช่นกัน ซึ่ง หน่วยหลาย หน่วย ถูกกำหนดโดยใช้กำลังสองและ กำลังสอง ผกผัน ดังตัวอย่างด้านล่าง

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเป็นวิธีการมาตรฐานที่ใช้กับระบบที่มีตัวแปรเกินจำนวนที่กำหนด

การยกกำลังสองใช้ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดค่าหรือตัวแปรสุ่ม ค่าเบี่ยงเบนของแต่ละค่า  xᵢจากค่าเฉลี่ย ของชุดค่าเรียกว่าผลต่าง ค่าเบี่ยงเบนเหล่านี้จะถูกยกกำลังสอง จาก _นั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขใหม่ (ซึ่งแต่ละค่าเป็นบวก) ค่าเฉลี่ยนี้คือความแปรปรวนและรากที่สองของความแปรปรวนคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$

• ลูกบาศก์ (พีชคณิต)
• ระยะทางแบบยูคลิด
• การยกกำลังโดยการยกกำลังสอง
• ปัญหาข้อที่สิบเจ็ดของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับการแสดงพหุนามบวกในรูปผลรวมของกำลังสองของฟังก์ชันตรรกยะ
• เมตริกเทนเซอร์
• วงแหวนพหุนาม
• Polynomial SOSคือการแสดงพหุนามที่ไม่เป็นลบในรูปผลรวมของกำลังสองของพหุนาม
• สมการกำลังสอง
• พหุนามไร้กำลังสอง
• ผลรวมของกำลังสอง (หน้าคำอธิบายความหมายพร้อมลิงก์ที่เกี่ยวข้องต่างๆ)

พีชคณิต(ต้องใช้ริงสลับที่ )

• เอกลักษณ์บราห์มาคุปตะ-ฟิโบนาชชีเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนในความหมายที่กล่าวถึงข้างต้น
• เอกลักษณ์แปดเหลี่ยมของเดเกนเกี่ยวข้องกับอ็อกโทเนียนในลักษณะเดียวกัน
• ผลต่างของกำลังสอง
• เอกลักษณ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับควอเทอร์เนียนในลักษณะเดียวกัน
• อัตลักษณ์ของลากรองจ์

อื่น

• ตัวตนของปาร์เซวัล
• เอกลักษณ์ตรีโกณมิติของพีทาโกเรียน

• ความเร่งความยาวต่อกำลังสองของเวลา
• ค่าคงที่การคู่ควบ (มีกำลังสองของประจุในตัวส่วน และอาจแสดงด้วยกำลังสองของระยะทางในตัวเศษ)
• ภาคตัดขวาง (ฟิสิกส์)ปริมาณที่มีมิติเป็นพื้นที่
• พลังงานจลน์ (ขึ้นอยู่กับความเร็วในรูปแบบกำลังสอง)
• พลังงานจำเพาะซึ่งเป็นปริมาณที่มีมิติเป็น (กำลังสองของความเร็ว)

• มาร์แชลล์, เมอร์เรย์ พหุนามบวกและผลรวมของกำลังสอง การสำรวจและเอกสารทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 146 สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอแลนด์ ปี 2008 xii+187 หน้าISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
• Rajwade, AR (1993). Squares . London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022 .