ในคณิตศาสตร์และกลศาสตร์คลาสสิกวงเล็บปัวซง (Poisson bracket)เป็นการดำเนินการทวิภาค ที่สำคัญ ในกลศาสตร์แฮมิลตัน (Hamiltonian mechanics ) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในสมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตัน (Hamilton's equations of motion) ที่ควบคุมวิวัฒนาการตามเวลาของระบบพลวัตแฮมิลตัน (Hamiltonian dynamical system ) วงเล็บปัวซงยังแยกแยะการแปลงพิกัดบางประเภทที่เรียกว่าการแปลงแบบแคนอนิก (canonical transformations ) ซึ่งแมประบบพิกัดแคนอนิกหนึ่งไปยังระบบพิกัดแคนอนิกอื่น ๆ "ระบบพิกัดแคนอนิก" ประกอบด้วยตัวแปรตำแหน่งและโมเมนตัมแบบแคนอนิก (ต่อไปนี้ใช้สัญลักษณ์และตามลำดับ) ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ของวงเล็บปัวซงแบบแคนอนิก ชุดของการแปลงแบบแคนอนิกที่เป็นไปได้นั้นมีความหลากหลายมาก ตัวอย่างเช่น มักเป็นไปได้ที่จะเลือกแฮมิลตันเองเป็นหนึ่งในพิกัดโมเมนตัมแบบแคนอนิกใหม่ ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t)}$

ในความหมายทั่วไป วงเล็บปัวซงใช้เพื่อกำหนดพีชคณิตปัวซงซึ่งพีชคณิตของฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์ปัวซงเป็นกรณีพิเศษ นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างทั่วไปอื่นๆ อีกด้วย เช่น ปรากฏในทฤษฎีพีชคณิตลีซึ่งพีชคณิตเทนเซอร์ของพีชคณิตลีสร้างพีชคณิตปัวซง รายละเอียดการสร้างพีชคณิตปัวซงมีอยู่ใน บทความเกี่ยวกับ พีชคณิตห่อหุ้มสากลการเปลี่ยนแปลงเชิงควอนตัมของพีชคณิตห่อหุ้มสากลนำไปสู่แนวคิดของกลุ่มควอนตัม

วัตถุทั้งหมดนี้ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสSiméon Denis Poissonเขาได้แนะนำวงเล็บ Poisson ในตำรากลศาสตร์ของเขาในปี ค.ศ. 1809 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

กำหนดให้ฟังก์ชัน fและgสองฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับปริภูมิเฟสและเวลา วงเล็บปัวซงของฟังก์ชันทั้งสองนี้จะเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่งที่ขึ้นอยู่กับปริภูมิเฟสและเวลาเช่นกัน กฎต่อไปนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันสามฟังก์ชันใดๆ ที่ขึ้นอยู่กับปริภูมิเฟสและเวลา: ${\displaystyle \{f,g\}}$${\displaystyle f,\,g,\,h}$

ภาวะการสลับที่กันไม่ได้

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

ความเป็นเส้นตรงสองเส้น

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},}$${\displaystyle \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

กฎของไลบ์นิซ

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

เอกลักษณ์ของจาโคบี

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

นอกจากนี้ หากฟังก์ชันมีค่าคงที่ตลอดช่วงเฟส (แต่อาจขึ้นอยู่กับเวลา) แล้วสำหรับค่าใดๆก็ตาม ${\displaystyle k}$${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$${\displaystyle f}$

ในพิกัดแคนอนิก (หรือที่เรียกว่าพิกัดดาร์บูซ์ ) บนปริภูมิเฟสเมื่อกำหนดฟังก์ชันสองฟังก์ชันและ[ ^{หมายเหตุ 1 ] วงเล็บ}ปัวซงจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

วงเล็บปัวซงของพิกัดแคนอนิกคือ โดยที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์ $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$

สมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตันมีนิพจน์ที่เทียบเท่ากันในรูปของวงเล็บปัวซง สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยตรงที่สุดในกรอบพิกัดที่ชัดเจน สมมติว่าเป็นฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์วิถีของคำตอบ จากนั้นจากกฎ ลูกโซ่ หลายตัวแปร${\displaystyle f(p,q,t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

นอกจากนี้ เราอาจถือว่าและเป็นคำตอบของสมการของแฮมิลตันได้ กล่าวคือ ${\displaystyle p=p(t)}$${\displaystyle q=q(t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}=\{q,{\mathcal {H}}\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=\{p,{\mathcal {H}}\}.\end{aligned}}}$$

แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น วิวัฒนาการของฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกสามารถแสดงได้ในรูปของ ตระกูล ซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมแบบพารามิเตอร์เดียว (เช่นการแปลงเชิง แคนอนิก การแปลง เชิงดิฟเฟอเรนเชียลที่รักษาพื้นที่) โดยที่เวลาเป็นพารามิเตอร์: การเคลื่อนที่แบบแฮมิลโทเนียนเป็นการแปลงเชิงแคนอนิกที่สร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียน นั่นคือ วงเล็บปัวซงจะถูกรักษาไว้ในนั้น ดังนั้นเวลาใดๆในคำตอบของสมการของแฮมิลตันจึง สามารถใช้เป็นพิกัดของวงเล็บได้วงเล็บปัวซงเป็นตัวแปรคงที่เชิงแคนอนิก ${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})p(0),}$$

เมื่อละทิ้งพิกัดแล้ว $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{{\mathcal {H}},\cdot \}\right)f.}$$

ตัวดำเนินการในส่วนการพาความร้อนของอนุพันธ์บางครั้งเรียกว่า ตัวดำเนินการลิววิลล์ (ดูทฤษฎีบทของลิววิลล์ (แฮมิลโทเนียน) ) ${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{{\mathcal {H}},\cdot \}}$

แนวคิดของวงเล็บปัวซงสามารถขยายไปสู่แนวคิดของเมทริกซ์ได้โดยการกำหนดเมทริกซ์ปัวซง

พิจารณาการแปลงแบบแคนอนิกต่อไปนี้: เมื่อกำหนดเมทริกซ์ปัวซงจะถูกกำหนดเป็น โดยที่คือเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติกภายใต้ข้อกำหนดเดียวกันกับที่ใช้ในการเรียงลำดับเซตของพิกัด จากนิยามนี้จึงสรุปได้ว่า:$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

เมทริกซ์ปัวซงมีคุณสมบัติที่ทราบกันดีดังต่อไปนี้:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

โดยที่เรียกว่าเมทริกซ์ลากรางจ์ และองค์ประกอบของเมทริกซ์นั้นสอดคล้องกับวงเล็บลากรางจ์เอกลักษณ์สุดท้ายสามารถเขียนได้ดังนี้: โปรดสังเกตว่าผลรวมในที่นี้เกี่ยวข้องกับพิกัดทั่วไปและโมเมนตัมทั่วไปด้วย ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$

ความไม่แปรเปลี่ยนของวงเล็บปัวซงสามารถแสดงได้ดังนี้: ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขซิมเพล็กติกโดยตรง: ^{[ 3 ]}${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$${\textstyle MJM^{T}=J}$

ระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้จะมีค่าคงที่ของการเคลื่อนที่นอกเหนือจากพลังงาน ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่เหล่านี้จะสลับตำแหน่งกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวซง สมมติว่าฟังก์ชันบางอย่างเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ นั่นหมายความว่าถ้าเป็นวิถีหรือคำตอบของสมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตันแล้ว ตามวิถีนั้น: โดยที่ขั้นตอนกลางเป็นไปตามการใช้สมการการเคลื่อนที่ดังที่กล่าวมาข้างต้น และเราสมมติว่าไม่ขึ้นอยู่กับเวลาโดยตรง สมการนี้เรียกว่าสมการของลีอูวิลล์เนื้อหาของทฤษฎีบทของลีอูวิลล์ คือวิวัฒนาการของเวลาของการวัดที่กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายจะได้รับจากสมการข้างต้น ${\displaystyle f(p,q)}$${\displaystyle p(t),q(t)}$$${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ถ้าวงเล็บปัวซงของและหายไป ( ) แล้วและจะกล่าวได้ว่าอยู่ในภาวะผกผันกันเพื่อให้ระบบแฮมิลโทเนียนสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ที่เป็นอิสระจะต้องอยู่ในภาวะผกผันกันซึ่งกันและกันโดยที่คือจำนวนองศาอิสระ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{f,g\}=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

นอกจากนี้ ตามทฤษฎีบทของปัวซงหากปริมาณสองปริมาณและ เป็น ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ที่ไม่ขึ้นกับเวลาโดยชัดแจ้ง ( ) วงเล็บปัวซงของปริมาณทั้งสองนั้นก็จะเป็นค่าคงที่ของการ เคลื่อนที่ที่ไม่ขึ้นกับเวลาเช่นกัน ซึ่งเป็นผลมาจากเอกลักษณ์ของจาโคบี (ดูส่วนด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของปัวซงไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์เสมอไป เนื่องจากจำนวนค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้มีจำกัด ( สำหรับระบบที่มีองศาอิสระ ) ดังนั้นผลลัพธ์อาจเป็นค่าที่ไม่สำคัญ (ค่าคงที่ หรือฟังก์ชันของและ) ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$${\displaystyle \{A,\,B\}}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกนั่นคือแมนิโฟลด์ที่มีฟอร์มเชิงซิมเพล็กติก : ฟอร์ม 2 มิติซึ่งเป็นทั้งฟอร์มปิด (กล่าวคืออนุพันธ์ภายนอกเป็นศูนย์) และไม่เสื่อมสภาพ ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาข้างต้นให้ เป็นและ ให้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$$${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

ถ้าเป็นผลคูณภายในหรือ การดำเนินการ หดตัวที่กำหนดโดย แล้วความไม่เสื่อมสภาพเทียบเท่ากับการกล่าวว่าสำหรับทุกรูปแบบหนึ่งมิติจะมีสนามเวกเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันเพียง หนึ่งเดียว เช่นนั้นหรืออีกนัยหนึ่งแล้วถ้าเป็นฟังก์ชันเรียบบนสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนสามารถกำหนดได้เป็นเห็นได้ง่ายว่า ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X_{H}}$${\displaystyle \Omega _{dH}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

วงเล็บปัวซง บน( M , ω )คือการดำเนินการเชิงเส้นคู่บนฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งกำหนดโดย; วงเล็บปัวซงของฟังก์ชันสองฟังก์ชันบนMนั้นเป็นฟังก์ชันบนM เอง วงเล็บปัวซงเป็นแบบไม่สมมาตรเนื่องจาก: ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

นอกจากนี้,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\&=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f.\end{aligned}}}$$

1

ในที่นี้X _g fหมายถึงสนามเวกเตอร์X _g ที่ ใช้ กับฟังก์ชันfในฐานะอนุพันธ์ทิศทาง และ หมายถึง อนุพันธ์ลี (ซึ่งเทียบเท่ากันโดยสมบูรณ์) ของฟังก์ชันf${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$

ถ้าαเป็นวันฟอร์มใดๆ บนMเวกเตอร์ฟิลด์Ω _α จะสร้าง การไหล (อย่างน้อยในระดับท้องถิ่น) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตและสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$$${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

จะเป็นซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึม ( การแปลงเชิงแคนอนิก ) สำหรับทุกtเป็นฟังก์ชันของxก็ต่อเมื่อ; เมื่อเป็นจริงΩ _αเรียกว่าฟิลด์เวกเตอร์ซิมเพล็กติกเมื่อระลึกถึงเอกลักษณ์ของคาร์ตันและd ω = 0จะได้ว่าดังนั้นΩ _αเป็นฟิลด์เวกเตอร์ซิมเพล็กติกก็ต่อเมื่อ α เป็นรูปแบบปิดเนื่องจากดังนั้นฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนX _f ทุกตัวจึง เป็นฟิลด์เวกเตอร์ซิมเพล็กติก และการไหลของแฮมิลโทเนียนประกอบด้วยการแปลงเชิงแคนอนิก จาก(1)ข้างต้น ภายใต้การไหลของแฮมิลโทเนียน ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$${\displaystyle X_{\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{\mathcal {H}}f=\{f,{\mathcal {H}}\}.}$$

นี่เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในกลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งควบคุมวิวัฒนาการตามเวลาของฟังก์ชันที่กำหนดบนปริภูมิเฟส ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อf เป็น ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ของระบบ นอกจากนี้ ในพิกัดแคนอนิก (โดยที่และ) สมการของแฮมิลตันสำหรับวิวัฒนาการตามเวลาของระบบจะตามมาโดยตรงจากสูตรนี้ ${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}=0}$${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$

นอกจากนี้ ยังเป็นผลสืบเนื่องมาจาก(1)ว่าวงเล็บปัวซงเป็นการอนุมาน กล่าวคือ เป็นไปตามกฎผลคูณ ของไลบ์นิซ ใน รูปแบบที่ไม่สลับที่กัน

$${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},}$$และ$${\displaystyle \{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.}$$

2

วงเล็บปัวซงมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวงเล็บลีของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียน เนื่องจากอนุพันธ์ลีเป็นการอนุพันธ์ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

ดังนั้น ถ้าvและuเป็นซิมเพล็กติก โดยใช้เอกลักษณ์ของคาร์ตัน และข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นรูปแบบปิด ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega }$${\displaystyle \iota _{u}\omega }$$${\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}$$

ดังนั้น จึงสรุปได้ ว่า${\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}$

$${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.}$$

3

ดังนั้น วงเล็บปัวซงบนฟังก์ชันจึงสอดคล้องกับวงเล็บลีของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่เกี่ยวข้อง เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าวงเล็บลีของฟิลด์เวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกสองฟิลด์เป็นฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเชิงซิมเพล็กติกด้วย ในภาษาของพีชคณิตนามธรรม ฟิลด์ เวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกก่อตัวเป็นพีชคณิต ย่อย ของพีชคณิตลีของฟิลด์เวกเตอร์เรียบบนMและฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนก่อตัวเป็นอุดมคติ ของพีชคณิตย่อยนี้ ฟิลด์เวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกคือพีชคณิตลีของ กลุ่มลี (มิติอนันต์) ของ ซิ ม เพล็กโตมอร์ฟิซึมของM

มีการกล่าวอ้างกันอย่างกว้างขวางว่าเอกลักษณ์ของ Jacobiสำหรับวงเล็บ Poisson เป็นผลมาจากเอกลักษณ์ที่สอดคล้องกันสำหรับวงเล็บ Lie ของฟิลด์เวกเตอร์ แต่สิ่งนี้เป็นจริงเฉพาะฟังก์ชันคงที่ในระดับท้องถิ่นเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์ของ Jacobi สำหรับวงเล็บ Poisson ก็เพียงพอที่จะแสดงว่า: โดยที่ตัวดำเนินการบนฟังก์ชันเรียบบนMถูกกำหนดโดยและวงเล็บทางด้านขวามือคือตัวสลับของตัวดำเนินการโดย(1)ตัวดำเนินการเท่ากับตัวดำเนินการX _gการพิสูจน์เอกลักษณ์ของ Jacobi เป็นผลมาจาก(3)เพราะว่าจนถึงปัจจัย -1 วงเล็บ Lie ของฟิลด์เวกเตอร์ก็คือตัวสลับของพวกมันในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ $${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$

พีชคณิตของฟังก์ชันเรียบบน M ร่วมกับวงเล็บปัวซงก่อให้เกิดพีชคณิตปัวซงเนื่องจากเป็นพีชคณิตลีภายใต้วงเล็บปัวซง ซึ่งยังสอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ(2) ด้วย เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าทุกแมนิโฟลด์เชิงซิม เพล็กติก เป็นแมนิโฟลด์ปัวซง นั่นคือแมนิโฟลด์ที่มีตัวดำเนินการ "วงเล็บปีกกา" บนฟังก์ชันเรียบ โดยที่ฟังก์ชันเรียบก่อให้เกิดพีชคณิตปัวซง อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกแมนิโฟลด์ปัวซงจะเกิดขึ้นในลักษณะนี้ เพราะแมนิโฟลด์ปัวซงอนุญาตให้เกิดความเสื่อม ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในกรณีเชิงซิมเพล็กติก

กำหนดให้ สนามเวกเตอร์ เรียบอยู่บนปริภูมิการกำหนดค่า ให้เป็นโมเมนตัมสังยุค ของสนาม เวกเตอร์นั้น การแมปโมเมนตัมสังยุคคือ แอนติโฮโมมอร์ฟิ ซึมของพีชคณิตลีจากวงเล็บลีไปยังวงเล็บปัวซง: ${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{X}}$$${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

ผลลัพธ์ที่สำคัญนี้ควรค่าแก่การพิสูจน์สั้นๆ เขียนสนามเวกเตอร์ที่จุดในปริภูมิการกำหนดค่าเป็น โดย ที่คือกรอบพิกัดท้องถิ่น โมเมนตัมคู่ควบของมีนิพจน์ เป็น โดยที่คือฟังก์ชันโมเมนตัมคู่ควบกับพิกัด จากนั้นจะได้ สำหรับจุดในปริภูมิเฟส ${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle (q,p)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

หลักการข้างต้นใช้ได้กับทุกกรณีและให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ${\displaystyle (q,p)}$

วงเล็บปัวซงจะเปลี่ยนรูปเป็นวงเล็บโมยาลเมื่อทำการควอนตัมนั่นคือ มันจะขยายไปสู่พีชคณิตลีที่แตกต่างออกไป นั่นคือพีชคณิตโมยาลหรือเทียบเท่าในปริภูมิฮิลเบิร์ต คือ ตัว สลับควอนตัมการหดตัวของกลุ่มวิกเนอร์-อินอนูของสิ่งเหล่านี้ (ขีดจำกัดแบบคลาสสิกħ → 0 ) จะให้พีชคณิตลีข้างต้น

เพื่อให้ชัดเจนและแม่นยำยิ่งขึ้นพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตไฮเซนเบิร์กคือพีชคณิตเวล์ (โดยมีเงื่อนไขว่าจุดศูนย์กลางคือหน่วย) ผลคูณโมยาลจึงเป็นกรณีพิเศษของผลคูณรูปดาวบนพีชคณิตของสัญลักษณ์ นิยามที่ชัดเจนของพีชคณิตของสัญลักษณ์และผลคูณรูปดาวมีอยู่ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต ห่อหุ้มสากล

• "วงเล็บปัวซง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein . "วงเล็บปัวซง" . MathWorld .