ในทางคณิตศาสตร์พัวซงซูเปอร์อัลเจบราคืออัลเจบราแบบเชื่อมโยงและมีเอกลักษณ์ ที่มี การจัดระดับซึ่งมีแผนที่ทวิเชิงเส้นตัวที่สอง ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\times A\to A}$.

ให้แทนค่าคู่หรือคี่ขององค์ประกอบเอกพันธุ์แล้ว วงเล็บจะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \forall x,y,z\in A}$

• ความไม่สมมาตรแบบไล่ระดับ: .${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x]}$
• เอกลักษณ์จาโคบีแบบมีระดับ: .${\displaystyle [x,[y,z]]=[[x,y],z]+(-1)^{|x||y|}[y,[x,z]]}$
• กฎของไลบ์นิซแบบแบ่งระดับ: .${\displaystyle [x,yz]=[x,y]z+(-1)^{|x||y|}y[x,z]}$

นี่เป็นหนึ่งในสองวิธีที่เป็นไปได้ในการ "ขยาย" พีชคณิตปัวซง วิธีนี้จะให้พลศาสตร์แบบคลาสสิกของสนามเฟอร์มิออนและอนุภาคสปิน 1/2 แบบคลาสสิก อีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดพีชคณิตแอนติแบร็กเก็ตหรือพีชคณิตเกอร์สเตนฮาเบอร์ซึ่งใช้ใน รูปแบบ BRSTและBatalin-Vilkoviskyความแตกต่างระหว่างสองวิธีนี้อยู่ที่การจัดระดับของแบร็กเก็ตลี ในพีชคณิตปัวซงแบบซูเปอร์ การจัดระดับของแบร็กเก็ตเป็นศูนย์:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

ในขณะที่ในพีชคณิตของเกอร์สเตนฮาเบอร์ วงเล็บจะลดระดับลงหนึ่งระดับ:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

• ถ้าเป็น พีชคณิตแบบ สลับที่ที่มีระดับชั้น ใดๆ แล้ว การกำหนดผลคูณใหม่ที่เรียกว่า ซูเปอร์คอมมิวเทเตอร์ โดยสำหรับ x, y บริสุทธิ์ที่มีระดับชั้นใดๆ จะเปลี่ยนเป็นซูเปอร์พีชคณิตปัวซง${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle [x,y]:=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$${\displaystyle A}$
• พีชคณิตของฟังก์ชันเรียบของแมนิโฟลด์เชิงซิม เพล็กติก คือซูเปอร์พีชคณิตปัวซง ถ้าเรากำหนดให้${\displaystyle C^{\infty }(P)}$${\displaystyle (P,\Omega )}$${\displaystyle A_{1}=0}$

• ซูเปอร์แมนิโฟลด์ปัวซง