ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ฟิลด์เวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกคือฟิลด์ที่การไหลของมันรักษาโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกไว้ กล่าวคือ ถ้าเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกที่มีแมนิโฟลด์เรียบและโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติก ฟิลด์เวกเตอร์ ในพีชคณิตลีของฟิลด์เวกเตอร์เรียบบนจะเป็นเชิงซิมเพล็กติกก็ต่อเมื่อการไหล ของมัน รักษาโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกไว้ กล่าวอีกนัยหนึ่งอนุพันธ์ลีของฟิลด์เวกเตอร์ต้องเป็นศูนย์ ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$[ ^{1 ]​}

นิยามทางเลือกคือฟิลด์เวกเตอร์เป็นซิมเพล็กติกหากผลคูณภายในกับฟอร์มซิมเพล็กติกปิด^{[ 1 ]} (ผลคูณภายในให้แผนที่จากฟิลด์เวกเตอร์ไปยังฟอร์ม 1 ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเนื่องจากฟอร์ม 2 ซิมเพล็กติกไม่เสื่อมสภาพ) ความเท่าเทียมกันของนิยามเป็นผลมาจากการปิดของฟอร์มซิมเพล็กติกและสูตร วิเศษของคาร์ตันสำหรับอนุพันธ์ลีในแง่ของอนุพันธ์ภายนอก

ถ้าผลคูณภายในของสนามเวกเตอร์กับฟอร์มเชิงซิมเพล็กติกเป็นฟอร์มที่แน่นอน (และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟอร์มปิด) แล้ว จะเรียกว่าสนามเวกเตอร์แฮมิลโท เนียน ถ้ากลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรม กลุ่มแรก ของแมนิโฟลด์เป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น ฟอร์มปิดทั้งหมดจะเป็นฟอร์มที่แน่นอน ดังนั้นสนามเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกทั้งหมดจึงเป็นแฮมิลโทเนียน กล่าวคือ อุปสรรคที่ทำให้สนามเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกไม่เป็นแฮมิลโทเนียนนั้นอยู่ที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สนามเวกเตอร์เชิงซิ ม เพล็กติกบนแมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย จะเป็นแฮมิลโทเนียน${\displaystyle H^{1}(M)}$${\displaystyle H^{1}(M)}$

วงเล็บLieของสนามเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกสองสนามเป็นแฮมิลโทเนียน ดังนั้นทั้งกลุ่มของสนามเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกและกลุ่มของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนต่างก็ก่อให้เกิดพีชคณิต Lie

• สนามเวกเตอร์ซิมเพล็กติกบนnLab