แบบจำลองกราฟสุ่มเอนโทรปีสูงสุดเป็น แบบจำลอง กราฟสุ่มที่ใช้ในการศึกษาเครือข่ายที่ซับซ้อนภายใต้หลักการของเอนโทรปีสูงสุดภายใต้ชุดข้อจำกัดเชิงโครงสร้าง^{[ 1 ]}ซึ่งอาจเป็นระดับโลก ระดับการกระจาย หรือระดับท้องถิ่น

แบบจำลองกราฟสุ่มใดๆ (ที่ชุดค่าพารามิเตอร์คงที่) จะส่งผลให้เกิดการกระจายความน่าจะเป็นบนกราฟและกราฟที่มีเอนโทรปี สูงสุด ภายในกลุ่มการกระจายที่พิจารณาจะมีคุณสมบัติพิเศษคือเป็นแบบจำลองว่าง ที่ ไม่เอนเอียง สูงสุด สำหรับการอนุมานเครือข่าย^{[ 2 ]} (เช่นการอนุมานเครือข่ายทางชีววิทยา ) แต่ละแบบจำลองกำหนดตระกูลของการกระจายความน่าจะเป็นบนเซตของกราฟขนาด(สำหรับแต่ละสำหรับค่าจำกัดบางค่า) ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดยชุดของข้อจำกัดเกี่ยวกับค่าสังเกตที่กำหนดสำหรับแต่ละกราฟ(เช่นระดับ เฉลี่ยที่คาดหวังคง ที่การกระจายระดับในรูปแบบเฉพาะ หรือลำดับระดับ ที่เฉพาะเจาะจง ) ซึ่งบังคับใช้ในการกระจายกราฟควบคู่ไปกับการเพิ่มเอนโทรปีสูงสุดโดยวิธีตัวคูณลากรางจ์โปรดทราบว่าในบริบทนี้ "เอนโทรปีสูงสุด" ไม่ได้หมายถึงเอนโทรปีของกราฟเดียวแต่หมายถึงเอนโทรปีของกลุ่มกราฟสุ่มทั้งหมดที่มีความน่าจะเป็น ${\displaystyle n}$${\displaystyle n>n_{0}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}}$${\displaystyle G}$

แบบจำลองเครือข่ายสุ่มที่ศึกษากันโดยทั่วไปหลายแบบมีเอนโทรปีสูงสุด ตัวอย่างเช่นกราฟERและ(ซึ่งแต่ละแบบมีข้อจำกัดทั่วโลกหนึ่งข้อเกี่ยวกับจำนวนขอบ) รวมถึงแบบจำลองการกำหนดค่า (CM) ^{[ 3 ]}และแบบจำลองการกำหนดค่าแบบอ่อน (SCM) (ซึ่งแต่ละแบบมีข้อจำกัดเฉพาะที่ หนึ่งข้อสำหรับค่าระดับดีกรีของแต่ละโหนด) ในแบบจำลองสองคู่ที่กล่าวถึงข้างต้น ความแตกต่างที่สำคัญ^{[ 4 ] [ 5 ]}คือ ข้อจำกัดนั้นเป็นแบบคมชัด (กล่าวคือ เป็นไปตามทุกองค์ประกอบของชุดกราฟขนาด ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ในกลุ่ม) หรือแบบอ่อน (กล่าวคือ เป็นไปตามค่าเฉลี่ยทั่วทั้งกลุ่ม) กรณีแรก (คมชัด) สอดคล้องกับกลุ่มไมโครแคนอนิก [ ^{6 ] ซึ่ง}เป็นเงื่อนไขของเอนโทรปีสูงสุดที่ทำให้กราฟทั้งหมด เป็นไปตามเงื่อนไขด้วย ความน่าจะเป็นเท่ากัน กรณีหลัง (อ่อน) เป็นแบบแคนอ นิก ^{[ 7 ]}ซึ่งสร้างแบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอก ซ์โพเนนเชียล (ERGM) ${\displaystyle G(n,m)}$${\displaystyle G(n,p)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Q_{j}(G)=q_{j}\forall j}$

แบบอย่าง	ประเภทข้อจำกัด	ตัวแปรข้อจำกัด	การกระจายความน่าจะเป็น
ห้องฉุกเฉิน${\displaystyle G(n,m)}$	เฉียบคม ระดับโลก	จำนวนขอบทั้งหมด${\displaystyle |E(G)|}$	${\displaystyle 1/{\binom {\binom {n}{2}}{m}};\ m=|E(G)|}$
ห้องฉุกเฉิน${\displaystyle G(n,p)}$	อ่อนโยน ทั่วโลก	จำนวนขอบทั้งหมดที่คาดไว้${\displaystyle |E(G)|}$	${\displaystyle p^{|E(G)|}(1-p)^{{\binom {n}{2}}-|E(G)|}}$
แบบจำลองการกำหนดค่า	คมกริบ ในท้องถิ่น	ระดับดีกรีของแต่ละจุดยอด${\displaystyle \{{\hat {k}__{j}\__{j=1}^{n}}$	${\displaystyle 1/\left\vert \Omega (\{{\hat {k}__{j}\__{j=1}^{n})\right\vert ;\Omega (\{k_{j}\__{j=1}^{n})=\{g\in {\mathcal {G}__{n}:k_{j}(g)={\hat {k}__{j}\forall j\}\subset {\mathcal {G}__{n}}$
แบบจำลองการกำหนดค่าแบบอ่อน	นุ่มนวล, ท้องถิ่น	ระดับดีกรีที่คาดหวังของแต่ละจุดยอด${\displaystyle \{{\hat {k}__{j}\__{j=1}^{n}}$	${\displaystyle Z^{-1}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right];\ -{\frac {\partial \ln Z}{\partial \psi _{j}}}={\hat {k}}_{j}}$

สมมติว่าเรากำลังสร้างแบบจำลองกราฟสุ่มที่ประกอบด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็นบนเซตของกราฟแบบง่ายที่มีจุดยอด ค่า เอนโทรปีของกิบส์ของกลุ่มนี้จะกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {P} (G)}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}__{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S[G]}$

${\displaystyle S[G]=-\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} (G)\log \mathbb {P} (G).}$

เราต้องการให้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรที่สังเกตได้(เช่น ค่าเฉลี่ยของดีกรี ค่าเฉลี่ยของการจัดกลุ่มหรือค่าเฉลี่ยของความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุด ) สามารถปรับแต่งได้ ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อจำกัดแบบ "อ่อน" ให้กับการกระจายของกราฟ: ${\displaystyle \{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}}$${\displaystyle \{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle \langle Q_{j}\rangle =\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} (G)Q_{j}(G)=q_{j},}$

โดยกำหนดข้อจำกัดด้วยป้ายกำกับ การประยุกต์ใช้วิธีตัวคูณลากรางจ์เพื่อกำหนดการกระจายที่เพิ่มค่าสูงสุดในขณะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน ส่งผลให้ได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle j=1,...,J}$${\displaystyle \mathbb {P} (G)}$${\displaystyle S[G]}$${\displaystyle \langle Q_{j}\rangle =q_{j}}$${\displaystyle \sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} (G)=1}$

${\displaystyle \mathbb {P} (G)={\frac {1}{Z}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{J}\psi _{j}Q_{j}(G)\right],}$

โดยที่เป็นค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน ( ฟังก์ชันการแบ่งส่วน ) และ เป็นพารามิเตอร์ (ตัวคูณลากรางจ์ ) ที่เชื่อมโยงกับค่าสังเกตของกราฟที่มีดัชนีที่สอดคล้องกัน ซึ่งสามารถปรับแต่งเพื่อให้ได้ตัวอย่างกราฟที่มีค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติเหล่านั้นตามที่ต้องการ ผลลัพธ์ที่ได้คือตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลและกลุ่มแคนอนิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะได้ERGM${\displaystyle Z}$${\displaystyle \{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}}$

ในกรอบแนวคิดมาตรฐานข้างต้น มีการกำหนดข้อจำกัดสำหรับปริมาณเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างแม้ว่าโดยเฉลี่ยแล้วคุณสมบัติเหล่านี้จะมีค่าที่สามารถระบุได้โดยการตั้งค่าที่เหมาะสมของแต่แต่ละกรณีเฉพาะอาจมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอาจไม่พึงประสงค์ ดังนั้น เราอาจกำหนดเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่ามาก นั่นคือ กราฟทุกกราฟที่มีความน่าจะเป็นไม่เป็นศูนย์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้อย่างแน่นอน ภายใต้ข้อจำกัดที่ "เฉียบคม" เหล่านี้ การกระจายเอนโทรปีสูงสุดจะถูกกำหนดขึ้น เราจะยกตัวอย่างด้วยแบบจำลอง Erdős– Rényi ${\displaystyle \langle Q_{j}\rangle }$${\displaystyle \{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Q_{j}(G)\neq q_{j}}$${\displaystyle Q_{j}(G)=q_{j}}$${\displaystyle G(n,m)}$

ข้อจำกัดที่ชัดเจนในคือจำนวนขอบ คง ที่^{[ 8 ]}นั่นคือสำหรับกราฟทั้งหมดที่ดึงมาจากกลุ่ม (ที่สร้างขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่แสดงด้วย) ซึ่งจำกัดพื้นที่ตัวอย่างจาก(กราฟทั้งหมดบนจุดยอด) ไปยังเซตย่อยนี่เป็นการเปรียบเทียบโดยตรงกับกลุ่มไมโครแคนอนิกในกลศาสตร์สถิติ แบบคลาสสิก ซึ่งระบบถูกจำกัดไว้ที่แมนิโฟลด์บาง ๆ ในพื้นที่เฟส ของสถานะทั้งหมดที่ มีค่า พลังงานเฉพาะ${\displaystyle G(n,m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle |\operatorname {E} (G)|=m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} _{n,m}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}}$

เมื่อเราจำกัดปริภูมิของตัวอย่างไว้ที่เราจะไม่มีข้อจำกัดภายนอกใดๆ (นอกเหนือจากการทำให้เป็นมาตรฐาน) ที่ต้องปฏิบัติตาม ดังนั้นเราจะเลือกเพื่อเพิ่มค่าสูงสุดโดยไม่ต้องใช้ตัวคูณลากรางจ์ เป็นที่ทราบกันดีว่าการแจกแจงที่เพิ่มเอนโทรปีสูงสุดในกรณีที่ไม่มีข้อจำกัดภายนอกคือการแจกแจงแบบเอกรูปเหนือปริภูมิของตัวอย่าง (ดูการแจกแจงความน่าจะเป็นเอนโทรปีสูงสุด ) จากนั้นเราจะได้: ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n,m}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{n,m}(G)}$${\displaystyle S[G]}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{n,m}(G)={\frac {1}{|{\mathcal {G}}_{n,m}|}}={\binom {\binom {n}{2}}{m}}^{-1},}$

โดยนิพจน์สุดท้ายในรูปสัมประสิทธิ์ทวินามคือจำนวนวิธีในการวางขอบระหว่างขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดและ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนสมาชิกของ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n,m}}$

กลุ่มเอนโทรปีสูงสุดที่หลากหลายได้รับการศึกษาบนการวางนัยทั่วไปของกราฟแบบง่าย ตัวอย่างเช่น กลุ่มของคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล^{[ 9 ]}และกราฟสุ่มแบบถ่วงน้ำหนักที่มีลำดับดีกรีที่คาดหวังไว้ ^{[ 10 ]}

• หลักการของเอนโทรปีสูงสุด
• การกระจายความน่าจะเป็นของเอนโทรปีสูงสุด
• วิธีตัวคูณลากรางจ์
• แบบจำลองว่าง
• กราฟสุ่ม
• แบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอกซ์โปเนนเชียล
• กลุ่มแคนอนิก
• กลุ่มไมโครแคนอนิก