แบบจำลองกราฟสุ่มตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล (ERGMs) เป็นชุดของแบบจำลองทางสถิติที่ใช้ในการศึกษาโครงสร้างและรูปแบบภายในเครือข่ายเช่น ในบริบททางสังคม องค์กร หรือวิทยาศาสตร์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}แบบจำลองเหล่านี้วิเคราะห์ว่าการเชื่อมต่อ ( ขอบ ) เกิดขึ้นระหว่างบุคคลหรือเอนทิตี ( โหนด ) ได้อย่างไร โดยการจำลองความน่าจะเป็นของคุณลักษณะของเครือข่าย เช่นการจัดกลุ่มหรือความเป็นศูนย์กลางในตัวอย่างที่หลากหลาย รวมถึงเครือข่ายความรู้ [ ^{4 ]}เครือข่ายองค์กร^{[ 5 ]}เครือข่ายเพื่อน ร่วมงาน ^{[ 6 ]} เครือข่าย สื่อสังคมออนไลน์เครือข่ายความร่วมมือทางวิทยาศาสตร์^{[ 7 ] และอื่นๆ ERGMs ซึ่ง}เป็นส่วนหนึ่งของตระกูลการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล ช่วยให้นักวิจัยเข้าใจและคาดการณ์พฤติกรรมของเครือข่ายในสาขาต่างๆ ตั้งแต่สังคมวิทยาไปจนถึงวิทยาศาสตร์ข้อมูล

มีตัวชี้วัดหลายอย่างที่ใช้อธิบายลักษณะโครงสร้างของเครือข่ายที่สังเกตได้ เช่น ความหนาแน่น ความเป็นศูนย์กลาง หรือความสัมพันธ์ [ ^{8 ] [ 9 ] อย่างไรก็ตาม}ตัวชี้วัดเหล่านี้อธิบายเครือข่ายที่สังเกตได้ ซึ่งเป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของเครือข่ายทางเลือกที่เป็นไปได้จำนวนมาก^{[ 10 ]}เครือข่ายทางเลือกชุดนี้อาจมีลักษณะโครงสร้างที่คล้ายคลึงกันหรือไม่คล้ายคลึงกัน เพื่อสนับสนุนการอนุมานทางสถิติเกี่ยวกับกระบวนการที่มีอิทธิพลต่อการก่อตัวของโครงสร้างเครือข่ายแบบจำลองทางสถิติควรพิจารณาชุดของเครือข่ายทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยถ่วงน้ำหนักตามความคล้ายคลึงกับเครือข่ายที่สังเกตได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากข้อมูลเครือข่ายมีความสัมพันธ์กันโดยเนื้อแท้ จึงละเมิดข้อสมมติฐานเรื่องความเป็นอิสระและการกระจายที่เหมือนกันของแบบจำลองทางสถิติมาตรฐาน เช่นการถดถอยเชิงเส้น^{[ 11 ] [ 2 ]}แบบจำลองทางสถิติทางเลือกควรสะท้อนถึงความไม่แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับการสังเกตที่กำหนด อนุญาตให้มีการอนุมานเกี่ยวกับความถี่สัมพัทธ์เกี่ยวกับโครงสร้างย่อยของเครือข่ายที่น่าสนใจทางทฤษฎี แยกแยะอิทธิพลของ กระบวนการ ที่ทำให้เกิดความสับสนแสดงโครงสร้างที่ซับซ้อนได้อย่างมีประสิทธิภาพ และเชื่อมโยงกระบวนการระดับท้องถิ่นกับคุณสมบัติระดับโลก^{[ 12 ]}การสุ่มแบบรักษาดีกรีเช่น เป็นวิธีเฉพาะที่เครือข่ายที่สังเกตได้สามารถพิจารณาได้ในแง่ของเครือข่ายทางเลือกหลายเครือข่าย

ตระกูลแบบจำลองเลขชี้กำลัง (Exponential family)เป็นตระกูลแบบจำลองที่ครอบคลุมข้อมูลหลายประเภท ไม่ใช่แค่เครือข่ายเท่านั้น แบบจำลอง ERGM (Exponential Resonance Model Model) เป็นแบบจำลองในตระกูลนี้ที่ใช้อธิบายเครือข่าย

ตามหลักการแล้วกราฟสุ่ม ประกอบด้วยเซตของโหนดและชุดของตัวแปรเชื่อมโยงซึ่งกำหนดดัชนีโดยคู่ของโหนดโดยที่ เป็นถ้าโหนดเชื่อมต่อกันด้วยเส้นขอบ และเป็น ถ้าไม่ใช่ คู่ของโหนดเรียกว่า ไดแอด และไดแอดจะเป็นเส้น ขอบถ้า${\displaystyle Y\in {\คณิตศาสตร์ {Y}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle Y_{ij}=1}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle Y_{ij}=0}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle Y_{ij}=1}$

ข้อสมมติฐานพื้นฐานของแบบจำลองเหล่านี้คือ โครงสร้างในกราฟที่สังเกตได้สามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์ของสถิติที่เพียงพอซึ่งเป็นฟังก์ชันของเครือข่ายที่สังเกตได้ และในบางกรณี คุณลักษณะของโหนด ด้วยวิธีนี้ จึงสามารถอธิบายความสัมพันธ์ทุกประเภทระหว่างตัวแปรที่ไม่ใช่คู่ได้: ${\displaystyle y}$${\displaystyle s(y)}$

${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}},\quad \forall y\in {\mathcal {Y}}}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์แบบจำลองที่เกี่ยวข้องกับและเป็นค่าคงที่สำหรับการปรับให้เป็นมาตรฐาน ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s(y)}$${\displaystyle c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))}$

แบบจำลองเหล่านี้แสดงถึงการกระจายความน่าจะเป็นบนเครือข่ายที่เป็นไปได้แต่ละเครือข่ายบนโหนด อย่างไรก็ตาม ขนาดของเซตของเครือข่ายที่เป็นไปได้สำหรับเครือข่ายแบบไม่มีทิศทาง (กราฟแบบง่าย) ที่มีขนาดเท่ากับเนื่องจากจำนวนเครือข่ายที่เป็นไปได้ในเซตมีจำนวนมากกว่าจำนวนพารามิเตอร์ที่สามารถจำกัดแบบจำลองได้มาก การกระจายความน่าจะเป็นในอุดมคติจึงเป็นการกระจายที่ทำให้เอนโทรปีของกิบส์มี ค่าสูงสุด ^{[ 13 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n(n-1)/2}}$

ให้เป็นเซตของโหนดสามโหนด และให้เป็นเซตของกราฟแบบไม่มีทิศทางและไม่มีวงวน ทั้งหมด บน คำ ว่า ไม่มีวงวนหมายความว่า สำหรับทุกค่าจะเป็นและ คำ ว่าไม่มีทิศทางหมายความว่า สำหรับทุกค่าจะเป็น ดังนั้น ในตัวอย่างนี้ จึงมีตัวแปรผูกมัดแบบไบนารีสามตัว ( ) และ กราฟที่แตกต่างกันสามกราฟ${\displaystyle V=\{1,2,3\}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {Y}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle Y_{ii}=0}$${\displaystyle i,j=1,2,3}$${\displaystyle Y_{ij}=Y_{ji}}$${\displaystyle Y_{12},Y_{13},Y_{23}}$${\displaystyle 2^{3}=8}$

กำหนดเวกเตอร์สถิติสองมิติโดย โดยที่คือจำนวนขอบในกราฟและคือจำนวนสามเหลี่ยมปิดใน สุดท้าย ให้เวกเตอร์พารามิเตอร์ถูกกำหนดโดยเพื่อให้ความน่าจะเป็นของกราฟทุกกราฟในตัวอย่างนี้คือ: ${\displaystyle s(y)=[s_{1}(y),s_{2}(y)]^{T}}$${\displaystyle s_{1}(y)=ขอบ(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle s_{2}(y)=สามเหลี่ยม(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\theta _{2})^{T}=(-\ln 2,\ln 3)^{T}}$${\displaystyle y\in {\คณิตศาสตร์ {Y}}}$

${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(-\ln 2\cdot edges(y)+\ln 3\cdot triangles(y))}{c(\theta )}}}$

เราสังเกตว่าในตัวอย่างนี้ มีคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของกราฟ เพียงสี่คลาส ได้แก่ กราฟที่มีขอบศูนย์ กราฟสามกราฟที่มีขอบหนึ่งเส้นพอดี กราฟสามกราฟที่มีขอบสองเส้นพอดี และกราฟที่มีขอบสามเส้น เนื่องจากกราฟไอโซมอร์ฟิซึมมีจำนวนขอบและจำนวนสามเหลี่ยมเท่ากัน ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นเท่ากันใน ERGM ตัวอย่างนี้ สำหรับตัวแทนของแต่ละคลาสไอโซมอร์ฟิซึม เราจะคำนวณเทอมก่อนซึ่งเป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของ(โดยมีค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน) ${\displaystyle y}$${\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot edges(y)+\ln 3\cdot triangles(y))}$${\displaystyle y}$${\displaystyle c(\theta )}$

ถ้าเป็นกราฟที่มีขอบเป็นศูนย์แล้วจะเป็นและดังนั้น ${\displaystyle y}$${\displaystyle edges(y)=0}$${\displaystyle triangles(y)=0}$

${\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 0+\ln 3\cdot 0)=\exp(0)=1.}$

ถ้าเป็นกราฟที่มีขอบเพียงเส้นเดียวแสดงว่าและดังนั้น ${\displaystyle y}$${\displaystyle edges(y)=1}$${\displaystyle triangles(y)=0}$

${\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 1+\ln 3\cdot 0)={\frac {\exp(0)}{\exp(\ln 2)}}={\frac {1}{2}}.}$

ถ้าเป็นกราฟที่มีขอบเพียงสองเส้นเท่านั้นแสดงว่าและดังนั้น ${\displaystyle y}$${\displaystyle edges(y)=2}$${\displaystyle triangles(y)=0}$

${\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 2+\ln 3\cdot 0)={\frac {\exp(0)}{\exp(\ln 2)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

ถ้าเป็นกราฟที่มีขอบสามเส้นพอดี แสดงว่าและดังนั้น ${\displaystyle y}$${\displaystyle edges(y)=3}$${\displaystyle triangles(y)=1}$

${\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 3+\ln 3\cdot 1)={\frac {\exp(\ln 3)}{\exp(\ln 2)^{3}}}={\frac {3}{8}}.}$

ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานคำนวณโดยการรวมผลลัพธ์จากกราฟทั้งแปดแบบเข้าด้วยกันซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle x(y)}$${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle c(\theta )=1+3\cdot {\frac {1}{2}}+3\cdot {\frac {1}{4}}+{\frac {3}{8}}={\frac {29}{8}}.}$

สุดท้ายนี้ ความน่าจะเป็นของกราฟทุกกราฟจะกำหนดโดยโดยชัดเจนแล้ว เราจะได้ว่ากราฟที่มีขอบศูนย์เส้นมีความน่าจะเป็น กราฟทุกกราฟที่มีขอบหนึ่งเส้นพอดีมีความน่าจะเป็น กราฟทุกกราฟที่มีขอบสองเส้นพอดีมีความน่าจะเป็นและกราฟที่มีขอบสามเส้นพอดีมีความน่าจะเป็นในตัวอย่างนี้ ${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {x(y)}{c(\theta )}}}$${\displaystyle {\frac {8}{29}}}$${\displaystyle {\frac {4}{29}}}$${\displaystyle {\frac {2}{29}}}$${\displaystyle {\frac {3}{29}}}$

โดยสัญชาตญาณ โครงสร้างของความน่าจะเป็นของกราฟในตัวอย่าง ERGM นี้ สอดคล้องกับรูปแบบทั่วไปของ เครือข่าย สังคมหรือเครือข่ายอื่นๆพารามิเตอร์เชิงลบ ( ) ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนขอบหมายความว่า - โดยที่ปัจจัยอื่นๆ เท่ากัน - เครือข่ายที่มีขอบน้อยกว่าจะมีความน่าจะเป็นสูงกว่าเครือข่ายที่มีขอบมากกว่า ซึ่งสอดคล้องกับความเบาบางที่มักพบในเครือข่ายเชิงประจักษ์ กล่าวคือ จำนวนขอบเชิงประจักษ์มักจะเติบโตในอัตราที่ช้ากว่าจำนวนขอบสูงสุดที่เป็นไปได้ พารามิเตอร์เชิงบวก ( ) ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนสามเหลี่ยมปิดหมายความว่า - โดยที่ปัจจัยอื่นๆ เท่ากัน - เครือข่ายที่มีสามเหลี่ยมมากกว่าจะมีความน่าจะเป็นสูงกว่าเครือข่ายที่มีสามเหลี่ยมน้อยกว่า ซึ่งสอดคล้องกับแนวโน้มการปิดสามเหลี่ยมที่มักพบในเครือข่ายสังคมบางประเภท ลองเปรียบเทียบรูปแบบเหล่านี้กับความน่าจะเป็นของกราฟที่คำนวณไว้ข้างต้น การเพิ่มขอบทุกเส้นจะหารความน่าจะเป็นด้วยสอง อย่างไรก็ตาม เมื่อเปลี่ยนจากกราฟที่มีสองขอบไปเป็นกราฟที่มีสามขอบ จำนวนสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นหนึ่งรูป ซึ่งจะทำให้ความน่าจะเป็นเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าด้วย ${\displaystyle \theta _{1}=-\ln 2}$${\displaystyle \theta _{2}=\ln 3}$

เราสังเกตว่าการคำนวณความน่าจะเป็นของกราฟทั้งหมดอย่างชัดเจนนั้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีกราฟที่แตกต่างกันเพียงไม่กี่กราฟในตัวอย่างนี้เท่านั้น เนื่องจากจำนวนกราฟที่แตกต่างกันจะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังตามจำนวนตัวแปรผูกมัด ซึ่งจะเพิ่มขึ้นแบบกำลังสองตามจำนวนโหนด ดังนั้นการคำนวณค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานจึงทำได้ยากในเชิงการคำนวณ โดยทั่วไป แม้แต่สำหรับจำนวนโหนดปานกลางก็ตาม ด้วยเหตุนี้ ความเป็นไปได้ในการนำ ERGM มาใช้ในการวิเคราะห์เครือข่ายขนาดใหญ่จึงได้รับความสนใจเพิ่มมากขึ้น^{[ 14 ] [ 15 ]}

การสุ่มตัวอย่างที่แม่นยำจาก ERGM ที่กำหนดนั้นโดยทั่วไปแล้วไม่สามารถคำนวณได้ เนื่องจากการคำนวณค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานต้องใช้การรวมผลเหนือทั้งหมดการสุ่มตัวอย่างโดยประมาณที่มีประสิทธิภาพจาก ERGM สามารถทำได้ผ่านห่วงโซ่ Markovและถูกนำไปใช้ในวิธีการปัจจุบันเพื่อประมาณค่าที่คาดหวังและประมาณค่าพารามิเตอร์ ERGM ^{[ 16 ]}อย่างไม่เป็นทางการ เมื่อกำหนด ERGM บนชุดของกราฟที่มีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นเราจะเลือกกราฟเริ่มต้น(ซึ่งอาจถูกเลือกโดยพลการหรือแบบสุ่ม หรืออาจแสดงถึงเครือข่ายที่สังเกตได้) และกำหนดความน่าจะเป็นการเปลี่ยนผ่าน (หรือความน่าจะเป็นการกระโดด) โดยปริยาย ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ห่วงโซ่ Markov อยู่บนกราฟหลังจากขั้นตอนที่ โดยที่มันอยู่บนกราฟหลังจากขั้นตอนที่ความน่าจะเป็นการเปลี่ยนผ่านไม่ขึ้นอยู่กับกราฟในขั้นตอนก่อนหน้า ( ) ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่กำหนดของห่วงโซ่ Markovและไม่ขึ้นอยู่กับนั่นคือ ห่วงโซ่ Markov เป็นแบบเอกรูปตามเวลา เป้าหมายคือการกำหนดความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะเพื่อให้สำหรับทุกๆสถานะนั้น ${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}}$${\displaystyle y^{(0)}\in {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle \pi (y,y')=P(Y^{(t+1)}=y'|Y^{(t)}=y)}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle t+1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y^{(0)},\dots ,y^{(t-1)}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(Y^{(t)}=y)={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}},}$

โดยไม่ขึ้นอยู่กับกราฟเริ่มต้นหากทำได้เช่นนี้ เราสามารถรันห่วงโซ่มาร์คอฟได้เป็นจำนวนขั้นตอนมาก ๆ แล้วจึงส่งคืนกราฟปัจจุบันเป็นตัวอย่างแบบสุ่มจาก ERGM ที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่จะส่งคืนกราฟหลังจากขั้นตอนการอัปเดตจำนวนจำกัดแต่มากพอสมควรนั้น จะประมาณได้เท่ากับความน่าจะเป็นที่กำหนดโดย ERGM ${\displaystyle y^{(0)}}$${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$

วิธีการปัจจุบันสำหรับการสุ่มตัวอย่างจาก ERGM ด้วยโซ่ Markov ^{[ 16 ]}มักจะกำหนดขั้นตอนการอัปเดตด้วยสองขั้นตอนย่อย: ขั้นแรก เลือกผู้สมัคร แบบสุ่ม ในบริเวณใกล้เคียงของกราฟปัจจุบันและขั้นที่สอง ยอมรับด้วยความน่าจะเป็นที่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนความน่าจะเป็นของกราฟปัจจุบันและผู้สมัคร(หากไม่ยอมรับผู้สมัคร โซ่ Markov จะยังคงอยู่บนกราฟปัจจุบัน) หากชุดของกราฟไม่มีข้อจำกัด (เช่น มีค่าใดๆ ก็ได้ในตัวแปรผูกมัดแบบไบนารี) วิธีการง่ายๆ สำหรับการเลือกผู้สมัครคือการเลือกตัวแปรผูกมัดหนึ่งตัวแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ และกำหนดผู้สมัครโดยการพลิกตัวแปรตัวเดียวนี้ (เช่น ตั้งค่า; ตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะมีค่าเดียวกันกับใน) วิธีทั่วไปในการกำหนดความน่าจะเป็นในการยอมรับคือการยอมรับด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ${\displaystyle y'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle y_{ij}}$${\displaystyle y'_{ij}=1-y_{ij}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle P(Y=y'|Y=y'\vee Y=y)={\frac {P(Y=y')}{P(Y=y')+P(Y=y)}},}$

โดยที่ความน่าจะเป็นของกราฟถูกกำหนดโดย ERGM ที่สำคัญคือ ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานจะหักล้างกันไปในส่วนนี้ ทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการยอมรับได้อย่างมีประสิทธิภาพ ${\displaystyle c(\theta )}$

• แบบจำลองคุณลักษณะนักแสดงแบบอัตโนมัติ

• Byshkin, M.; Stivala, A.; Mira, A.; Krause, R.; Robins, G.; Lomi, A. (2016). "พารามิเตอร์เสริม MCMC สำหรับแบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอกซ์โปเนนเชียล" วารสารฟิสิกส์สถิติ 165 : 740– 754. doi : 10.1007 /s10955-016-1509-4 (ไม่ใช้งาน 3 กรกฎาคม 2025){{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)
• Borisenko, A.; Byshkin, M.; Lomi, A. (2019). "อัลกอริทึมง่ายๆ สำหรับการอนุมานแบบมอนเตคาร์โลที่ปรับขนาดได้" arXiv : 1901.00533 [ stat.CO ]
• Caimo, A.; Friel, N (2011). "การอนุมานแบบเบย์เซียนสำหรับแบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอกซ์โปเนน เชียล" เครือข่ายสังคม33 : 41– 55. arXiv : 1007.5192 . doi : 10.1016/j.socnet.2010.09.004 .
• แอร์ดอส ป.; เรนยี, เอ. (1959) "บนกราฟสุ่ม" สิ่งตีพิมพ์ Mathematicae Debrecen . 6 ( 3– 4): 290– 297. ดอย : 10.5486/PMD.1959.6.3-4.12 .
• Fienberg, SE; Wasserman, S. (1981). "การอภิปรายเกี่ยวกับตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับกราฟทิศทางโดย Holland และ Leinhardt" วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 76 ( 373): 54– 57. doi : 10.1080/01621459.1981.10477600 .
• Frank, O.; Strauss, D (1986). "กราฟมาร์คอฟ". วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 81 ( 395): 832– 842. doi : 10.2307/2289017 . JSTOR  2289017 .
• Handcock, MS; Hunter, DR; Butts, CT; Goodreau, SM; Morris, M. (2008). "statnet: เครื่องมือซอฟต์แวร์สำหรับการนำเสนอ การแสดงภาพ การวิเคราะห์ และการจำลองข้อมูลเครือข่าย"วารสารซอฟต์แวร์สถิติ 24 ( 1): 1– 11. doi : 10.18637/jss.v024.i01 . PMC  2447931 . PMID  18618019 .
• แฮร์ริส, เจนีน เค (2014). บทนำสู่การสร้างแบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอกซ์โปเนน เชีย ลISBN 978-1-4522-2080-2. OCLC  870698788 .
• Hunter, DR; Goodreau, SM; Handcock, MS (2008). "ความเหมาะสมของแบบจำลองเครือข่ายสังคม". วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 103 (481): 248– 258. Bibcode : 2008JASA..103..248H . CiteSeerX 10.1.1.206.396 . doi : 10.1198/016214507000000446 . 
• Hunter , D. R; Handcock, MS (2006). "การอนุมานในแบบจำลองตระกูลเลขชี้กำลังโค้งสำหรับเครือข่าย" วารสารสถิติเชิงคำนวณและกราฟิก15 (3): 565– 583. CiteSeerX  10.1.1.205.9670 . doi : 10.1198/106186006X133069 .
• Hunter, DR; Handcock, MS; Butts, CT; Goodreau, SM; Morris, M. (2008). "ergm: แพ็กเกจสำหรับปรับแบบจำลองตระกูลเลขชี้กำลัง จำลอง และวินิจฉัยเครือข่าย"วารสารซอฟต์แวร์สถิติ 24 ( 3): 1– 29. doi : 10.18637/jss.v024.i03 . PMC  2743438 . PMID  19756229 .
• Jin, IH; Liang, F. (2012). "การปรับแบบจำลองเครือข่ายสังคมโดยใช้อัลกอริทึม MCMC การประมาณแบบสุ่มตัดทอนที่แปรผัน" วารสารสถิติเชิงคำนวณและกราฟิก 22 ( 4): 927– 952. doi : 10.1080/10618600.2012.680851 .
• Koskinen, JH; Robins, GL; Pattison, PE (2010). "การวิเคราะห์แบบจำลองกราฟสุ่มเอกซ์โพเนนเชียล (p-star) ที่มีข้อมูลหายไปโดยใช้การเพิ่มข้อมูลแบบเบย์เซียน" ระเบียบวิธีทางสถิติ7 (3): 366– 384. doi : 10.1016/j.stamet.2009.09.007 .
• Morris, M.; Handcock, MS; Hunter, DR (2008). "การกำหนดแบบจำลองกราฟสุ่มตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล: เงื่อนไขและแง่มุมการคำนวณ"วารสารซอฟต์แวร์สถิติ 24 ( 4): 1548– 7660. doi : 10.18637/jss.v024.i04 . PMC  2481518 . PMID  18650964 .
• Rinaldo, A.; Fienberg, SE; Zhou, Y. (2009). "เกี่ยวกับเรขาคณิตของตระกูลสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลแบบไม่ต่อเนื่องพร้อมการประยุกต์ใช้กับแบบจำลองกราฟสุ่มเอกซ์โพเนนเชียล" วารสารอิเล็กทรอนิกส์สถิติ 3 : 446– 484. arXiv : 0901.0026 . doi : 10.1214 /08-EJS350 .
• Robins, G.; Snijders, T.; Wang, P.; Handcock, M.; Pattison, P (2007). "การพัฒนาล่าสุดในแบบจำลองกราฟสุ่มเอกซ์โพเนนเชียล (p*) สำหรับเครือข่ายสังคม" (PDF)เครือข่ายสังคม29 (2): 192– 215. doi : 10.1016/j.socnet.2006.08.003 . hdl : 11370/abee7276-394e-4051-a180-7b2ff57d42f5 .
• Schweinberger, Michael (2011). "ความไม่เสถียร ความไว และความเสื่อมของตระกูลเลขชี้กำลังแบบไม่ต่อเนื่อง" วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 106 ( 496 ) : 1361– 1370. doi : 10.1198/jasa.2011.tm10747 . PMC 3405854 . PMID 22844170 .  
• Schweinberger, Michael; Handcock, Mark (2015). "การพึ่งพาในระดับท้องถิ่นในแบบจำลองกราฟสุ่ม: ลักษณะเฉพาะ คุณสมบัติ และการอนุมานทางสถิติ"วารสารของราชสมาคมสถิติ ซีรีส์ B 77 ( 3): 647– 676. doi : 10.1111/rssb.12081 . PMC  4637985 . PMID  26560142 .
• Schweinberger, Michael; Stewart, Jonathan (2020). "ผลลัพธ์ความเข้มข้นและความสอดคล้องสำหรับแบบจำลองตระกูลเลขชี้กำลังแบบแคนอนิกและแบบโค้งของกราฟสุ่ม" The Annals of Statistics . 48 (1): 374– 396. arXiv : 1702.01812 . doi : 10.1214/19-AOS1810 .
• Snijders, TAB (2002). "การประมาณค่าแบบมอนเตคาร์โลของลูกโซ่ Markov สำหรับแบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอกซ์โปเนนเชียล" (PDF)วารสารโครงสร้างทางสังคม3 .
• Snijders, TAB; Pattison, PE; Robins, GL; Handcock, MS (2006). "ข้อกำหนดใหม่สำหรับแบบจำลองกราฟสุ่มแบบเอกซ์โปเนนเชียล" ระเบียบวิธีทางสังคมวิทยา 36 : 99– 153. CiteSeerX 10.1.1.62.7975  . doi : 10.1111 /j.1467-9531.2006.00176.x .
• Strauss, D; Ikeda, M (1990). "การประมาณค่าความน่าจะเป็นเทียมสำหรับเครือข่ายสังคม"วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน5 (409): 204– 212. doi : 10.2307/2289546 . JSTOR  2289546 .
• ฟาน ดุยน์, แมสซาชูเซตส์; สไนจ์เดอร์ส, TAB; ซิจลสตรา บีเอช (2004) "p2: โมเดลเอฟเฟกต์แบบสุ่มพร้อมตัวแปรร่วมสำหรับกราฟกำกับ" สถิติ เนียร์แลนดิก้า . 58 (2): 234– 254. ดอย : 10.1046/j.0039-0402.2003.00258.x .
• van Duijn, MAJ; Gile, KJ ; Handcock, MS (2009). "กรอบสำหรับการเปรียบเทียบการประมาณค่าความน่าจะเป็นเทียมสูงสุดและการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของแบบจำลองกราฟสุ่มตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล"เครือข่ายสังคม31 ( 1): 52– 62. doi : 10.1016/j.socnet.2008.10.003 . PMC  3500576. PMID  23170041 .
• Zappa, P.; Lomi, A. (2015). "การวิเคราะห์เครือข่ายหลายระดับในองค์กร: แบบจำลองและการทดสอบเชิงประจักษ์" วิธี การวิจัยองค์กร18 (3): 542– 569. doi : 10.1177/1094428115579225 .