ในบริบทของทฤษฎีเครือข่ายเครือข่ายที่ซับซ้อนคือกราฟ (เครือข่าย) ที่มีคุณลักษณะ ทางโทโพโลยีที่ไม่ธรรมดาซึ่งเป็นคุณลักษณะที่ไม่เกิดขึ้นในเครือข่ายแบบง่าย เช่นแลตทิซหรือกราฟสุ่มแต่มักเกิดขึ้นในเครือข่ายที่แสดงถึงระบบจริง การศึกษาเครือข่ายที่ซับซ้อนเป็นสาขาการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ที่ใหม่และกำลังดำเนินอยู่^{[ 1 ] [ 2 ]} (ตั้งแต่ปี 2000) ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจส่วนใหญ่จากการค้นพบเชิงประจักษ์ของเครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริง เช่นเครือข่ายคอมพิวเตอร์เครือข่ายชีวภาพเครือข่ายเทคโนโลยีเครือข่ายสมอง^{[ 3 ] [ 4 ]}และเครือ ข่ายสังคม

เครือข่าย ทางสังคมชีวภาพและเทคโนโลยีส่วนใหญ่แสดงคุณลักษณะทางโทโพโลยีที่ไม่ธรรมดาอย่างมีนัยสำคัญ โดยมีรูปแบบการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบที่ไม่ใช่ทั้งแบบปกติหรือแบบสุ่มอย่างแท้จริง คุณลักษณะดังกล่าวรวมถึงหางที่หนักในการกระจายระดับสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มสูงความสัมพันธ์หรือการไม่สัมพันธ์กันระหว่างจุดยอดโครงสร้างชุมชนและโครงสร้างลำดับชั้นในกรณีของเครือข่ายแบบมีทิศทาง คุณลักษณะเหล่านี้ยังรวมถึงความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนโปรไฟล์ความสำคัญของกลุ่มสามกลุ่ม และคุณลักษณะอื่นๆ ในทางตรงกันข้าม แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเครือข่ายจำนวนมากที่ได้รับการศึกษาในอดีต เช่นแลตทิซและกราฟสุ่มไม่แสดงคุณลักษณะเหล่านี้ โครงสร้างที่ซับซ้อนที่สุดสามารถเกิดขึ้นได้จากเครือข่ายที่มีจำนวนปฏิสัมพันธ์ปานกลาง^{[ 5 ]}ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเนื้อหาข้อมูลสูงสุด ( เอนโทรปี ) ได้รับสำหรับความน่าจะเป็นปานกลาง

เครือข่ายที่ซับซ้อนสองประเภทที่รู้จักกันดีและได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ได้แก่เครือข่ายแบบไร้มาตราส่วน^{[ 6 ]}และเครือข่ายแบบโลกขนาดเล็ก [ ^{7 ] [ 8 ]}ซึ่งการค้นพบและคำจำกัดความถือเป็นกรณีศึกษาที่เป็นแบบอย่างในสาขานี้ ทั้งสองประเภทมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติเชิงโครงสร้างที่เฉพาะเจาะจง ได้แก่^การกระจายระดับกำลังแบบกฎกำลังสำหรับประเภทแรก และความยาวเส้นทางสั้นและการรวมกลุ่ม สูง สำหรับประเภทหลัง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการศึกษาเครือข่ายที่ซับซ้อนยังคงมีความสำคัญและได้รับความนิยมเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ แง่มุมอื่นๆ ของโครงสร้างเครือข่ายจึงได้รับความสนใจเช่นกัน

สาขานี้ยังคงพัฒนาอย่างรวดเร็ว และได้รวบรวมนักวิจัยจากหลายสาขา รวมถึงคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ระบบไฟฟ้า^{[ 9 ]}ชีววิทยาภูมิอากาศวิทยาการคอมพิวเตอร์สังคมวิทยาระบาดวิทยาและอื่นๆ^{[ 10 ]} แนวคิดและเครื่องมือจากวิทยาศาสตร์และ วิศวกรรมเครือข่ายได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์เครือข่ายควบคุมการเผาผลาญและพันธุกรรม การศึกษาเสถียรภาพและความแข็งแกร่งของระบบนิเวศ[ ^{11 ]}วิทยาศาสตร์ทางคลินิก^{[ 12 ] การสร้างแบบจำลองและการออกแบบเครือข่ายการ สื่อสาร}ที่ปรับขนาดได้ เช่น การสร้างและการแสดงภาพเครือข่ายไร้สายที่ซับซ้อน^{[ 13 ]}และประเด็นเชิงปฏิบัติอื่นๆ อีกมากมาย วิทยาศาสตร์เครือข่ายเป็นหัวข้อของการประชุมมากมายในหลากหลายสาขา และเป็นหัวข้อของหนังสือจำนวนมากทั้งสำหรับบุคคลทั่วไปและผู้เชี่ยวชาญ

เครือข่ายเรียกว่าเครือข่ายไร้มาตราส่วน^{[ 6 ] [ 14 ]}หากการกระจายระดับของเครือข่าย กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่โหนดที่เลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจะมีจำนวนลิงก์ (ระดับ) ที่แน่นอน เป็นไปตามฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่ากฎกำลัง กฎกำลังบ่งชี้ว่าการกระจายระดับของเครือข่ายเหล่านี้ไม่มีมาตราส่วนลักษณะเฉพาะ ในทางตรงกันข้าม เครือข่ายที่มีมาตราส่วนที่กำหนดไว้อย่างดีเพียงมาตราเดียวจะคล้ายกับแลตทิซในแง่ที่ว่าทุกโหนดมีระดับ (โดยประมาณ) เท่ากัน ตัวอย่างของเครือข่ายที่มีมาตราส่วนเดียว ได้แก่กราฟสุ่ม Erdős–Rényi (ER)กราฟปกติแบบสุ่มแลตทิซปกติและไฮเปอร์คิวบ์โมเดลบางแบบของเครือข่ายที่กำลังเติบโตซึ่งสร้างการกระจายระดับที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน ได้แก่โมเดล Barabási–Albertและโมเดลความเหมาะสม ในเครือข่ายที่มีการกระจายดีกรีแบบไร้มาตราส่วน จุดยอดบางจุดจะมีดีกรีที่มากกว่าค่าเฉลี่ยหลายเท่าตัว จุดยอดเหล่านี้มักถูกเรียกว่า "ฮับ" แม้ว่าคำนี้จะทำให้เข้าใจผิดได้ เพราะตามนิยามแล้ว ไม่มีเกณฑ์ตายตัวใดๆ ที่จะถือว่าจุดยอดใดเป็นศูนย์กลาง หากมีเกณฑ์ดังกล่าว เครือข่ายก็จะไม่ใช่เครือข่ายไร้มาตราส่วน

ความสนใจในเครือข่ายไร้มาตราส่วน (scale-free networks) เริ่มขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1990 จากการรายงานการค้นพบการกระจายระดับดีกรีแบบกฎกำลัง (power-law degree distribution) ในเครือข่ายโลกแห่งความเป็นจริง เช่น เครือข่ายเวิลด์ไวด์เว็บเครือข่ายระบบอัตโนมัติ (Autonomous systems : ASs) เครือข่ายเราเตอร์อินเทอร์เน็ตบางเครือข่าย เครือข่ายปฏิสัมพันธ์ของโปรตีน เครือข่ายอีเมล เป็นต้น กฎกำลังส่วนใหญ่ที่รายงานมานั้นไม่เป็นจริงเมื่อถูกทดสอบด้วยการทดสอบทางสถิติอย่างเข้มงวด แต่แนวคิดทั่วไปของการกระจายระดับดีกรีแบบหางหนัก (heavy-tailed degree distributions) ซึ่งเครือข่ายเหล่านี้จำนวนมากแสดงให้เห็นอย่างแท้จริง (ก่อนที่จะเกิดผลกระทบจากขนาดจำกัด) นั้นแตกต่างอย่างมากจากสิ่งที่คาดหวังหากขอบ (edges) มีอยู่โดยอิสระและสุ่ม (เช่น หากเป็นไปตามการกระจายแบบปัวซง ) มีหลายวิธีในการสร้างเครือข่ายที่มีการกระจายระดับดีกรีแบบกฎกำลัง กระบวนการYuleเป็นกระบวนการสร้างแบบมาตรฐานสำหรับกฎกำลัง และเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่ปี 1925 อย่างไรก็ตาม มันเป็นที่รู้จักกันในชื่ออื่นๆ อีกมากมายเนื่องจากการคิดค้นใหม่บ่อยครั้ง เช่น หลักการ Gibrat โดยHerbert A. Simon , ผลกระทบของ Matthew , ข้อได้เปรียบสะสม และการยึดติดแบบเลือกปฏิบัติโดยBarabásiและ Albert สำหรับการกระจายระดับของกฎกำลัง เมื่อไม่นานมานี้กราฟเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกได้รับการเสนอให้เป็นอีกวิธีหนึ่งในการสร้างเครือข่ายไร้มาตราส่วน

เครือข่ายบางเครือข่ายที่มีการกระจายระดับกำลัง (และโครงสร้างประเภทอื่น ๆ ที่เฉพาะเจาะจง) สามารถต้านทานการลบจุดยอดแบบสุ่มได้สูง กล่าวคือ จุดยอดส่วนใหญ่ยังคงเชื่อมต่อกันเป็นส่วนประกอบขนาดใหญ่ เครือข่ายดังกล่าวอาจมีความอ่อนไหวต่อการโจมตีแบบเจาะจงที่มุ่งเป้าไปที่การทำลายเครือข่ายอย่างรวดเร็ว เมื่อกราฟเป็นแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ ยกเว้นการกระจายระดับ จุดยอดที่สำคัญเหล่านี้คือจุดยอดที่มีระดับสูงสุด และจึงมีส่วนเกี่ยวข้องกับการแพร่กระจายของโรค (ทั้งธรรมชาติและที่มนุษย์สร้างขึ้น) ในเครือข่ายสังคมและการสื่อสาร และในการแพร่กระจายของกระแสความนิยม (ซึ่งทั้งสองอย่างนี้จำลองโดยกระบวนการแพร่กระจายหรือ การแตกแขนง ) ในขณะที่กราฟสุ่ม (ER) มีระยะทางเฉลี่ยของลำดับ log N ^{[ 7 ]}ระหว่างโหนด โดยที่ N คือจำนวนโหนด กราฟแบบไร้มาตราส่วนสามารถมีระยะทาง log log N ได้

เครือข่ายเรียกว่าเครือข่ายโลกขนาดเล็ก^{[ 7 ]}โดยเปรียบเทียบกับปรากฏการณ์โลกขนาดเล็ก (ที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อการแยกหกขั้น ) สมมติฐานโลกขนาดเล็ก ซึ่งได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยนักเขียนชาวฮังการีFrigyes Karinthyในปี 1929 และได้รับการทดสอบเชิงทดลองโดยStanley Milgram (1967) คือแนวคิดที่ว่าคนสองคนที่สุ่มเลือกจะเชื่อมต่อกันด้วยการแยกเพียงหกขั้น กล่าวคือ เส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟการเชื่อมต่อทางสังคมที่สอดคล้องกันจะไม่ใหญ่กว่าหกมากนัก ในปี 1998 Duncan J. WattsและSteven Strogatzได้ตีพิมพ์แบบจำลองเครือข่ายโลกขนาดเล็กแบบแรก ซึ่งผ่านพารามิเตอร์เดียวจะแทรกสอดอย่างราบรื่นระหว่างกราฟแบบสุ่มและแลตทิซ^{[ 7 ]}แบบจำลองของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าด้วยการเพิ่มลิงก์ระยะไกลเพียงเล็กน้อย กราฟปกติซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสัดส่วนกับขนาดของเครือข่าย สามารถแปลงเป็น "โลกขนาดเล็ก" ซึ่งจำนวนขอบเฉลี่ยระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ มีขนาดเล็กมาก (ในทางคณิตศาสตร์ ควรเพิ่มขึ้นตามลอการิทึมของขนาดของเครือข่าย) ในขณะที่สัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มยังคงมีขนาดใหญ่ เป็นที่ทราบกันดีว่ากราฟนามธรรมหลากหลายประเภทแสดงคุณสมบัติโลกขนาดเล็ก เช่น กราฟสุ่มและเครือข่ายไร้มาตราส่วน นอกจากนี้ เครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริง เช่น เครือข่ายเวิลด์ไวด์เว็บและเครือข่ายเมตาบอลิซึมก็แสดงคุณสมบัตินี้เช่นกัน

ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับเครือข่าย มีความกำกวมบางอย่างเกี่ยวกับคำว่า "โลกขนาดเล็ก" นอกเหนือจากการอ้างถึงขนาดของเส้นผ่านศูนย์กลางของเครือข่ายแล้ว ยังสามารถอ้างถึงการเกิดขึ้นร่วมกันของเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็กและค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่ม ที่สูงได้ อีกด้วย ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มเป็นตัวชี้วัดที่แสดงถึงความหนาแน่นของรูปสามเหลี่ยมในเครือข่าย ตัวอย่างเช่น กราฟสุ่มแบบเบาบางจะมีค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มที่น้อยมาก ในขณะที่เครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริงมักจะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่มากกว่าอย่างมีนัยสำคัญ นักวิทยาศาสตร์ชี้ให้เห็นถึงความแตกต่างนี้ว่าเป็นการบ่งชี้ว่าขอบมีความสัมพันธ์กันในเครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริง มีการพัฒนาแนวทางเพื่อสร้างแบบจำลองเครือข่ายที่แสดงความสัมพันธ์สูง ในขณะที่ยังคงรักษาการกระจายระดับที่ต้องการและคุณสมบัติของโลกขนาดเล็ก แนวทางเหล่านี้สามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองของเล่นที่สามารถแก้ไขได้ทางวิเคราะห์สำหรับการวิจัยเกี่ยวกับระบบเหล่านี้^{[ 15 ]}

เครือข่ายจริงจำนวนมากฝังตัวอยู่ในพื้นที่ ตัวอย่างเช่น เครือข่ายการขนส่งและโครงสร้างพื้นฐานอื่นๆ เครือข่ายสมอง^{[ 3 ] [ 4 ]}มีการพัฒนารูปแบบเครือข่ายเชิงพื้นที่หลายแบบ^{[ 16 ]}

• BS Manoj, Abhishek Chakraborty และ Rahul Singh, เครือข่ายที่ซับซ้อน: มุมมองด้านเครือข่ายและการประมวลผลสัญญาณ , Pearson, นิวยอร์ก, สหรัฐอเมริกา, กุมภาพันธ์ 2018. ISBN 978-0-13-478699-5
• SN Dorogovtsev และ JFF Mendes, วิวัฒนาการของเครือข่าย: จากเครือข่ายชีวภาพสู่อินเทอร์เน็ตและ WWW , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 2003, ISBN 0-19-851590-1
• Duncan J. Watts, Six Degrees: The Science of a Connected Age , WW Norton & Company, 2003, ISBN 0-393-04142-5
• Duncan J. Watts, Small Worlds: The Dynamics of Networks between Order and Randomness , Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11704-7
• Albert-László Barabási, Linked: How Everything is Connected to Everything Else , 2004, ISBN 0-452-28439-2
• Alain Barrat, Marc Barthelemy, Alessandro Vespignani, กระบวนการพลวัตบนเครือข่ายที่ซับซ้อน , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2008, ISBN 978-0-521-87950-7
• Stefan Bornholdt (บรรณาธิการ) และ Heinz Georg Schuster (บรรณาธิการ), คู่มือเกี่ยวกับกราฟและเครือข่าย: จากจีโนมสู่อินเทอร์เน็ต , 2003, ISBN 3-527-40336-1
• Guido Caldarelli, เครือข่ายไร้มาตราส่วน (Scale-Free Networks) , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 2007, ISBN 978-0-19-921151-7
• Guido Caldarelli, Michele Catanzaro, เครือข่าย: บทนำสั้นมากสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 2012, ISBN 978-0-19-958807-7
• อี. เอสตราดา, "โครงสร้างของเครือข่ายที่ซับซ้อน: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้", สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 2011, ISBN 978-0-199-59175-6
• มาร์ค นิวแมน, เครือข่าย: บทนำ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 2010, ISBN 978-0-19-920665-0
• Mark Newman, Albert-LászlóBarabási และ Duncan J. Watts, The Structure and Dynamics of Networks , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, Princeton, 2006, ISBN 978-0-691-11357-9
• R. Pastor-Satorras และ A. Vespignani, วิวัฒนาการและโครงสร้างของอินเทอร์เน็ต: แนวทางฟิสิกส์เชิงสถิติ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2004, ISBN 0-521-82698-5
• ที. ลูอิส, วิทยาศาสตร์เครือข่าย, ไวลีย์ 2009,
• Niloy Ganguly (บรรณาธิการ), Andreas Deutsch (บรรณาธิการ) และ Animesh Mukherjee (บรรณาธิการ), Dynamics On and Of Complex Networks Applications to Biology, Computer Science, and the Social Sciences , 2009, ISBN 978-0-8176-4750-6
• Vito Latora, Vincenzo Nicosia, Giovanni Russo, เครือข่ายที่ซับซ้อน: หลักการ วิธีการ และการประยุกต์ใช้สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2017, ISBN 978-1-107-10318-4