ความสัมพันธ์แบบจับคู่หรือการผสมแบบจับคู่คือความชอบของโหนดในเครือข่ายที่จะจับคู่กับโหนดอื่นที่มีลักษณะคล้ายคลึงกันในบางด้าน แม้ว่าการวัดความคล้ายคลึง ที่เฉพาะเจาะจง อาจแตกต่างกันไป นักทฤษฎีเครือข่ายมักจะตรวจสอบความสัมพันธ์แบบจับคู่ในแง่ของระดับ ของโหนด ^{[ 1 ]}การเพิ่มลักษณะนี้ลงในแบบจำลองเครือข่ายทำให้พฤติกรรมของเครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริงหลายๆ เครือข่ายมีความใกล้เคียงกันมาก ขึ้น

ความสัมพันธ์ระหว่างโหนดที่มีระดับใกล้เคียงกันมักพบได้ในรูปแบบการผสมผสานของเครือข่ายที่สังเกตได้หลายประเภท ตัวอย่างเช่น ในเครือข่ายสังคมโหนดมักจะเชื่อมต่อกับโหนดอื่นที่มีค่าระดับใกล้เคียงกัน แนวโน้มนี้เรียกว่าการผสมผสานแบบเข้าคู่กันหรือความสัมพันธ์แบบเข้าคู่กัน ในทางกลับกัน เครือข่ายทางเทคโนโลยีและชีวภาพมักแสดงการผสมผสานแบบไม่เข้าคู่กัน หรือความสัมพันธ์แบบไม่เข้าคู่กันเนื่องจากโหนดที่มีระดับสูงมักจะเชื่อมต่อกับโหนดที่มีระดับต่ำ^{[ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์แบบจัดกลุ่ม (Assortativity) มักถูกวัดในรูปของความสัมพันธ์ระหว่างโหนดสองโหนด อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการวัดความสัมพันธ์ดังกล่าว มาตรวัดที่โดดเด่นที่สุดสองอย่างคือสัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์แบบจัดกลุ่ม (Assortativity Coefficient)และการเชื่อมต่อของโหนดข้างเคียง (Neighbor Connectivity)ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์แบบแอสซอร์ติที ฟ คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สันของดีกรีระหว่างคู่ของโหนดที่เชื่อมโยงกัน^{[ 2 ]}ค่าบวกของแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างโหนดที่มีดีกรีใกล้เคียงกัน ในขณะที่ค่าลบแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างโหนดที่มีดีกรีต่างกัน โดยทั่วไปอยู่ระหว่างและเมื่อเครือข่ายจะมีรูปแบบการผสมแบบแอสซอร์ติทีฟที่สมบูรณ์แบบ เมื่อ เครือข่ายจะ ไม่มีความสัมพันธ์แบบ แอสซอร์ติทีฟ และเมื่อ เครือข่ายจะไม่มีความสัมพันธ์แบบแอสซอร์ติทีฟอย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r=-1}$

สำหรับเครือข่ายแบบไม่มีทิศทาง สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk\,{\bigl (}e_{jk}-q_{j}q_{k}{\bigr )}}{\sigma _{q}^{2}}}}$.

ในนิพจน์นี้ ดัชนีและแทนค่าที่เป็นไปได้ของดีกรีที่เหลือซึ่งกำหนดให้เป็นดีกรีของโหนดลบหนึ่ง (กล่าวคือ จำนวนขอบที่ออกจากโหนดอื่นที่ไม่ใช่ขอบที่กำลังพิจารณาอยู่) ${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

ปริมาณดังกล่าวคือความน่าจะเป็นที่ปลายของขอบที่เลือกแบบสุ่มจะเชื่อมต่อกับโหนดที่มีดีกรีเหลืออยู่เนื่องจากโหนดที่มีดีกรีสูงกว่าจะให้ปลายขอบในสัดส่วนที่มากกว่าจึงได้มาจากผลการกระจายของดีกรีดังนี้ ${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle q_{k}={\frac {(k+1)p_{k+1}}{\sum _{j}j\,p_{j}}}}$.

คำศัพท์นี้หมายถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของดีกรีที่เหลืออยู่ที่ปลายทั้งสองข้างของขอบที่เลือกแบบสุ่ม ได้มาจากการตรวจสอบขอบทั้งหมดในเครือข่าย นับจำนวนครั้งที่คู่ของดีกรีที่เหลืออยู่ปรากฏขึ้น และปรับค่าการนับเหล่านี้ให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ ${\displaystyle e_{jk}}$${\displaystyle (j,k)}$

${\displaystyle \sum _{j,k}e_{jk}=1}$.

โดยโครงสร้างแล้ว ค่าขอบจะสร้างการกระจายตัวขึ้นมาใหม่${\displaystyle e_{jk}}$${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \sum _{j}e_{jk}=q_{k}}$.

จากนิยามเหล่านี้ นิพจน์ข้างต้นจึงเป็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สันของดีกรีที่เหลืออยู่ ณ จุดปลายของขอบอย่างแท้จริง

ในกราฟแบบมีทิศทาง ค่า in-assortativity ( ) และ out-assortativity ( ) วัดแนวโน้มของโหนดที่จะเชื่อมต่อกับโหนดอื่นที่มีดีกรีเข้าและออกที่คล้ายคลึงกันตามลำดับ^{[ 4 ]}ขยายความต่อไปอีก สามารถพิจารณา assortativity ได้สี่ประเภท (ดู^{[ 5 ]} ) โดยใช้สัญลักษณ์ของบทความนั้น สามารถกำหนดเมตริกได้สี่แบบ คือ, , , และให้, เป็นหนึ่งในคู่คำเข้า / ออก (เช่น ) ให้เป็นจำนวนขอบในเครือข่าย สมมติว่าเรากำหนดป้ายกำกับขอบของเครือข่าย เป็น เมื่อกำหนดขอบให้เป็นดีกรี - ของโหนดต้นทาง (เช่นหาง ) ของขอบ และเป็นดีกรี - ของโหนดปลายทาง (เช่นหัว ) ของขอบเราแสดงค่าเฉลี่ยด้วยเครื่องหมายขีด ดังนั้น, และคือค่าเฉลี่ยดีกรี - ของต้นทาง และดีกรี - ของปลายทาง ตามลำดับ โดยค่าเฉลี่ยจะคำนวณจากขอบของเครือข่าย สุดท้าย เรามี ${\displaystyle r({\text{in}},{\text{in}})}$${\displaystyle r({\text{out}},{\text{out}})}$${\displaystyle r({\text{in}},{\text{in}})}$${\displaystyle r({\text{in}},{\text{out}})}$${\displaystyle r({\text{out}},{\text{in}})}$${\displaystyle r({\text{out}},{\text{out}})}$${\displaystyle (\อัลฟา ,\เบต้า )}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )=({\text{out}},{\text{in}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1,\ldots ,E}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j_{i}^{\อัลฟา }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k_{i}^{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\bar {j^{\alpha }}}}$${\displaystyle {\bar {k^{\beta }}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle r(\alpha ,\beta )={\frac {\sum _{i}(j_{i}^{\alpha }-{\bar {j^{\alpha }}})(k_{i}^{\beta }-{\bar {k^{\beta }}})}{{\sqrt {\sum _{i}(j_{i}^{\alpha }-{\bar {j^{\alpha }}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}(k_{i}^{\beta }-{\bar {k^{\beta }}})^{2}}}}}.}$

อีกวิธีหนึ่งในการจับความสัมพันธ์ของระดับคือการตรวจสอบคุณสมบัติของหรือระดับเฉลี่ยของเพื่อนบ้านของโหนดที่มีระดับk ^{[ 6 ]}เทอมนี้ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการดังนี้: โดยที่คือ ความน่าจะเป็นแบบ มีเงื่อนไขที่ขอบของโหนดที่มีระดับkชี้ไปยังโหนดที่มีระดับk'หากฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้น เครือข่ายจะเป็นแบบสัมพันธ์กัน เนื่องจากแสดงให้เห็นว่าโหนดที่มีระดับสูงเชื่อมต่อกับโหนดที่มีระดับสูงโดยเฉลี่ย ในทางกลับกัน หากฟังก์ชันนี้ลดลง เครือข่ายจะเป็นแบบไม่สัมพันธ์กัน เนื่องจากโหนดที่มีระดับสูงมีแนวโน้มที่จะเชื่อมต่อกับโหนดที่มีระดับต่ำกว่า ${\displaystyle \langle k_{nn}\rangle }$${\displaystyle \langle k_{nn}\rangle =\sum _{k'}{k'P(k'|k)}}$${\displaystyle P(k'|k)}$

ในเครือข่ายแบบจัดกลุ่ม อาจมีโหนดที่ไม่จัดกลุ่ม และในทางกลับกัน จำเป็นต้องมีการวัดการจัดกลุ่มเฉพาะที่^{[ 7 ]}เพื่อระบุความผิดปกติดังกล่าวภายในเครือข่าย การจัดกลุ่มเฉพาะที่ถูกกำหนดให้เป็นการมีส่วนร่วมของแต่ละโหนดต่อการจัดกลุ่มของเครือข่าย การจัดกลุ่มเฉพาะที่ในเครือข่ายแบบไม่มีทิศทางถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \rho ={\frac {j\ \left(j+1\right)\left({\overline {k}}-\ {\mu }_{q}\right)}{2M{\sigma }_{q}^{2}}}}$

โดยที่คือดีกรีส่วนเกินของโหนดใดโหนดหนึ่ง และคือดีกรีส่วนเกินเฉลี่ยของโหนดเพื่อนบ้าน และ M คือจำนวนลิงก์ในเครือข่าย ${\displaystyle j}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

ตามลำดับ ความสัมพันธ์แบบท้องถิ่นสำหรับเครือข่ายแบบมีทิศทาง^{[ 4 ]}คือการมีส่วนร่วมของโหนดต่อความสัมพันธ์แบบมีทิศทางของเครือข่าย การมีส่วนร่วมของโหนดต่อความสัมพันธ์แบบมีทิศทางของเครือข่ายถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle r_{d}}$${\displaystyle {\rho }_{d}=\ {\frac {{j_{out}}^{2}\left({\overline {k}}_{in}-\ {\mu }_{q}^{in}\right)+\ {j_{in}}^{2}\left({\overline {k}}_{out}-\ {\mu }_{q}^{out}\right)}{2\ M{\sigma }_{q}^{in}{\sigma }_{q}^{out}}}}$

โดยที่คือดีกรีขาออกของโหนดที่กำลังพิจารณา และคือดีกรีขาเข้าคือดีกรีขาเข้าเฉลี่ยของโหนดเพื่อนบ้าน (ซึ่งโหนด} มีเส้นเชื่อมถึง) และคือดีกรีขาออกเฉลี่ยของโหนดเพื่อนบ้าน (ซึ่งโหนดมีเส้นเชื่อมจาก) , . ${\displaystyle j_{out}}$${\displaystyle j_{in}}$${\displaystyle {\overline {k}}_{in}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\overline {k}}_{out}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\sigma }_{q}^{in}\ \neq 0}$${\displaystyle \ {\ \sigma }_{q}^{out}\ \neq 0}$

โดยการรวมพจน์การปรับขนาดและเราจึงมั่นใจได้ว่าสมการสำหรับความสัมพันธ์แบบเฉพาะที่สำหรับเครือข่ายแบบมีทิศทางนั้นเป็นไปตาม เงื่อนไข ${\displaystyle {\sigma }_{q}^{in}}$${\displaystyle {\ \sigma }_{q}^{out}}$${\displaystyle r_{d}=\ \sum _{i=1}^{N}{{\rho }_{d}}}$

นอกจากนี้ ขึ้นอยู่กับว่าพิจารณาการกระจายของดีกรีขาเข้าหรือดีกรีขาออกหรือไม่ ก็สามารถกำหนดความสัมพันธ์ขาเข้าเฉพาะที่และความสัมพันธ์ขาออกเฉพาะที่ให้เป็นการวัดความสัมพันธ์เฉพาะที่ในเครือข่ายทิศทางได้^{[ 4 ]}

รูปแบบการจับคู่ของเครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริงที่หลากหลายได้รับการตรวจสอบแล้ว ในขณะที่แบบจำลองของเครือข่ายสังคมมักแสดงการผสมผสานการจับคู่ แบบจำลองของเครือข่ายเทคโนโลยีและชีวภาพกลับแสดงการจับคู่ที่ไม่ตรงกัน มีการเสนอแนะว่านี่เป็นเพราะเครือข่ายส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะวิวัฒนาการ เว้นแต่จะถูกจำกัดไว้เป็นอย่างอื่น ไปสู่สถานะเอนโทรปีสูงสุด ซึ่งโดยปกติแล้วจะเป็นการจับคู่ที่ไม่ตรงกัน^{[ 8 ]}

ตารางนี้ยังแสดงค่า r ที่คำนวณได้ทางคณิตศาสตร์สำหรับแบบจำลองเครือข่ายสองแบบด้วย:

1. กราฟสุ่มของErdősและRényi
2. รุ่น BA (รุ่น Barabási-Albert)

ในแบบจำลอง ER เนื่องจากขอบถูกวางแบบสุ่มโดยไม่คำนึงถึงระดับของจุดยอด จึงสรุปได้ว่า r = 0 ในกรณีที่กราฟมีขนาดใหญ่ แบบจำลอง BA แบบไร้มาตราส่วนก็มีคุณสมบัตินี้เช่นกัน สำหรับแบบจำลอง BA ในกรณีพิเศษของ m=1 (ซึ่งแต่ละโหนดขาเข้าจะเชื่อมต่อกับโหนดที่มีอยู่เพียงโหนดเดียวด้วยความน่าจะเป็นตามสัดส่วนของระดับ) เป็นที่ทราบกันดีว่าผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่าคือ เมื่อ(จำนวนจุดยอด) มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ r จะเข้าใกล้ 0 ในอัตราเดียวกับ^{[ 2 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle (\log ^{2}N)/N}$

คุณสมบัติของการจับคู่แบบเข้าพวก (assortativity) มีประโยชน์ในสาขาระบาดวิทยา เนื่องจากสามารถช่วยให้เข้าใจการแพร่กระจายของโรคหรือวิธีการรักษาได้ ตัวอย่างเช่น การลบส่วนหนึ่งของจุดยอดในเครือข่ายอาจสอดคล้องกับการรักษา การฉีดวัคซีน หรือการกักกันบุคคลหรือเซลล์ เนื่องจากเครือข่ายสังคมแสดงให้เห็นถึงการผสมผสานแบบเข้าพวก โรคที่มุ่งเป้าไปที่บุคคลที่มีระดับความสัมพันธ์สูงจึงมีแนวโน้มที่จะแพร่กระจายไปยังจุดยอดที่มีระดับความสัมพันธ์สูงอื่นๆ ในทางกลับกัน ภายในเครือข่ายเซลล์ ซึ่งเป็นเครือข่ายทางชีวภาพที่มีแนวโน้มที่จะไม่เข้าพวก (dissortative) กลยุทธ์การฉีดวัคซีนที่มุ่งเป้าไปที่จุดยอดที่มีระดับความสัมพันธ์สูงโดยเฉพาะ อาจทำลายเครือข่ายการระบาดได้อย่างรวดเร็ว

โครงสร้างพื้นฐานของเครือข่ายอาจทำให้การวัดเหล่านี้แสดงความไม่สอดคล้องกัน ซึ่งไม่ได้สะท้อนถึงการผสมผสานที่สอดคล้องกันหรือไม่สอดคล้องกันแต่อย่างใด ต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษเพื่อหลีกเลี่ยงความไม่สอดคล้องกันเชิงโครงสร้างนี้

• การผสมแบบจัดกลุ่ม
• การยึดติดแบบพิเศษ
• โฮโมฟิลี
• การตัดโครงสร้าง
• สัมประสิทธิ์ของกลุ่มคนรวย