ในทฤษฎีเครือข่ายเครือข่ายหลายมิติ ซึ่งเป็น เครือข่ายหลายชั้นชนิดพิเศษคือเครือข่ายที่มีความสัมพันธ์หลายประเภท^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] ความพยายามที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ในการสร้างแบบจำลองระบบในโลกแห่งความเป็นจริงให้เป็นเครือข่ายหลายมิติ ได้ก่อให้เกิดข้อมูลเชิงลึก ที่มีค่าใน}สาขา การ ^{วิเคราะห์}เครือข่ายสังคม [ ^{3 ] [ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} เศรษฐศาสตร์ การขนส่งในเมืองและระหว่างประเทศ[ ^{13 ] [ 14 ] [ 15 ]}นิเวศวิทยา [ ^{16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}จิตวิทยา^{[ 20 ] [ 21 ]} การแพทย์ ชีววิทยา [ ^{22 ]}การพาณิชย์ ภูมิอากาศวิทยา ฟิสิกส์^{[ 23 ]}ประสาทวิทยาศาสตร์เชิงคำนวณ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}การจัดการการดำเนินงานและการเงิน

การสำรวจเครือข่ายที่ซับซ้อน อย่างรวดเร็ว ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาประสบปัญหาจากการขาดมาตรฐานการตั้งชื่อ เนื่องจากกลุ่มต่างๆ ใช้คำศัพท์ที่ทับซ้อนและขัดแย้งกัน^{[ 28 ] [ 29 ]}เพื่ออธิบายการกำหนดค่าเครือข่ายเฉพาะ (เช่น มัลติเพล็กซ์ หลายชั้น หลายระดับ หลายมิติ หลายความสัมพันธ์ เชื่อมต่อกัน) เพื่อใช้ประโยชน์จากข้อมูลชุดข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะทิศทางของการสื่อสารอย่างเต็มที่ ผู้เขียนบางคนพิจารณาเฉพาะเครือข่ายโดยตรงที่ไม่มีป้ายกำกับบนจุดยอด และแนะนำคำจำกัดความของมัลติกราฟ ที่มีป้ายกำกับขอบ ซึ่งสามารถครอบคลุมสถานการณ์หลายมิติได้มากมาย^{[ 30 ]}คำว่า "หลายมิติอย่างสมบูรณ์" ยังถูกใช้เพื่ออ้างถึงมัลติกราฟที่มีป้ายกำกับขอบแบบหลายส่วน^{[ 31 ]}เครือข่ายหลายมิติยังได้รับการกำหนดกรอบใหม่เมื่อเร็วๆ นี้ในฐานะตัวอย่างเฉพาะของเครือข่ายหลายชั้น^{[ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 32 ]}ในกรณีนี้ มีจำนวนเลเยอร์เท่ากับจำนวนมิติ และลิงก์ระหว่างโหนดภายในแต่ละเลเยอร์ก็คือลิงก์ทั้งหมดสำหรับมิติที่กำหนด

ในทฤษฎีเครือข่ายพื้นฐาน เครือข่ายจะถูกแทนด้วยกราฟซึ่งประกอบด้วยเซตของโหนดและลิงก์ระหว่างโหนด โดยทั่วไปจะแสดงเป็นทูเปิลของโหนดแม้ว่าการกำหนดรูปแบบพื้นฐานนี้จะมีประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์ระบบจำนวนมาก แต่เครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริงมักมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นในรูปแบบของความสัมพันธ์หลายประเภทระหว่างองค์ประกอบของระบบ การกำหนดรูปแบบในยุคแรกๆ ของแนวคิดนี้มาจากการประยุกต์ใช้ในสาขาการวิเคราะห์เครือข่ายสังคม (ดูเช่น^{[ 33 ]}และเอกสารเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ในเครือข่ายสังคม) ซึ่งรูปแบบการเชื่อมต่อทางสังคมหลายรูปแบบระหว่างผู้คนถูกแทนด้วยลิงก์หลายประเภท^{[ 34 ]}${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle u,v\in V}$

เพื่อรองรับการมีอยู่ของลิงก์มากกว่าหนึ่งประเภท เครือข่ายหลายมิติจะถูกแทนด้วยทริปเปิลโดยที่เป็นเซตของมิติ (หรือเลเยอร์) ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเป็นลิงก์ประเภทที่แตกต่างกัน และประกอบด้วยทริปเปิลที่มีและ^{[ 6 ]}${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (u,v,d)}$${\displaystyle u,v\in V}$${\displaystyle d\in D}$

โปรดทราบว่า เช่นเดียวกับ กราฟแบบมีทิศทางทั้งหมดลิงก์และนั้นแตกต่างกัน ${\displaystyle (u,v,d)}$${\displaystyle (v,u,d)}$

ตามธรรมเนียมแล้ว จำนวนลิงก์ระหว่างสองโหนดในมิติใดมิติหนึ่งจะมีค่าเป็น 0 หรือ 1 ในเครือข่ายหลายมิติ อย่างไรก็ตาม จำนวนลิงก์ทั้งหมดระหว่างสองโหนดในทุกมิติจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ0 ${\displaystyle |D|}$

ในกรณีของเครือข่ายที่มีน้ำหนักไตรเพล็ตนี้จะขยายเป็นควอดรูเพล็ตโดยที่คือน้ำหนักบนลิงก์ระหว่างและใน มิติ${\displaystyle e=(u,v,d,w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle d}$

นอกจากนี้ ดังที่มักเป็นประโยชน์ในการวิเคราะห์เครือข่ายสังคม น้ำหนักของลิงก์อาจมีค่าเป็นบวกหรือลบ เครือข่ายที่มีเครื่องหมายดังกล่าวสามารถสะท้อนความสัมพันธ์เช่นมิตรภาพและความเป็นศัตรูในเครือข่ายสังคมได้ดียิ่งขึ้น^{[ 31 ]}หรืออีกทางหนึ่ง เครื่องหมายของลิงก์อาจถูกมองว่าเป็นมิติเอง^{[ 35 ]}เช่นโดยที่และแนวทางนี้มีคุณค่าเป็นพิเศษเมื่อพิจารณาเครือข่ายที่ไม่มีน้ำหนัก ${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}}$

แนวคิดเรื่องมิตินี้สามารถขยายได้หากจำเป็นต้องระบุคุณลักษณะในหลายมิติ ในกรณีนี้ ลิงก์จะเป็นn -tuple การกำหนดสูตรที่ขยายออกไปเช่นนี้ ซึ่งลิงก์อาจมีอยู่ในหลายมิติ ถือว่าไม่ธรรมดา แต่ได้ถูกนำมาใช้ในการศึกษาเครือข่ายแบบหลายมิติที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา^{[ 36 ]}${\displaystyle e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})}$

ในขณะที่เครือข่ายมิติเดียวมี เมทริกซ์ความประชิดสองมิติขนาดในเครือข่ายหลายมิติที่มีมิติ เมทริกซ์ความประชิดจะกลายเป็นเทนเซอร์ความประชิดหลายชั้น ซึ่งเป็นเมทริกซ์สี่มิติขนาด[ ^{3 ] โดย}ใช้สัญกรณ์ดัชนีเมทริกซ์ความประชิดสามารถระบุได้ด้วยเพื่อเข้ารหัสการเชื่อมต่อระหว่างโหนดและในขณะที่เทนเซอร์ความประชิดหลายชั้นจะระบุด้วยเพื่อเข้ารหัสการเชื่อมต่อระหว่างโหนดในชั้นและโหนดในชั้นเช่นเดียวกับในเมทริกซ์มิติเดียว ลิงก์แบบมีทิศทาง ลิงก์แบบมีเครื่องหมาย และน้ำหนัก ล้วนสามารถรองรับได้ง่ายโดยกรอบงานนี้ ${\displaystyle V\times V}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (V\times D)\times (V\times D)}$${\displaystyle A_{j}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta }$

ในกรณีของเครือข่ายมัลติเพล็กซ์ซึ่งเป็นเครือข่ายหลายชั้นประเภทพิเศษที่โหนดไม่สามารถเชื่อมต่อกับโหนดอื่นในชั้นอื่นได้ เมทริกซ์สามมิติขนาดที่มีรายการเพียงพอที่จะแสดงโครงสร้างของระบบ^{[ 8 ] [ 37 ]}โดยการเข้ารหัสการเชื่อมต่อระหว่างโหนดและในชั้น ${\displaystyle (V\times V)\times D}$${\displaystyle A_{ij}^{\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \alpha }$

ในเครือข่ายหลายมิติ เพื่อนบ้านของโหนดใดโหนดหนึ่งคือโหนดทั้งหมดที่เชื่อมต่อข้ามมิติ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

เส้นทางระหว่างโหนดสองโหนดในเครือข่ายหลายมิติสามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์r โดยที่รายการที่ th ในrคือจำนวนลิงก์ที่เดินทางในมิติที่ th ของ[ ^{38 ] เช่น}เดียวกับระดับการทับซ้อน ผลรวมขององค์ประกอบเหล่านี้สามารถใช้เป็นมาตรวัดความยาวเส้นทางโดยประมาณระหว่างโหนดสองโหนดได้ ${\displaystyle =(r_{1},\dots r_{|D|})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G}$

การมีอยู่ของชั้นหลายชั้น (หรือมิติ) ช่วยให้สามารถนำเสนอแนวคิดใหม่ของ เครือข่าย ของชั้น^{[ 3 ]}ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของเครือข่ายหลายชั้น ในความเป็นจริง ชั้นต่างๆ อาจเชื่อมต่อกันในลักษณะที่โครงสร้างของพวกมันสามารถอธิบายได้ด้วยเครือข่าย ดังแสดงในรูป

เครือข่ายของชั้นต่างๆ มักจะมีน้ำหนัก (และอาจมีทิศทาง) แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว น้ำหนักจะขึ้นอยู่กับการใช้งานที่สนใจ วิธีการที่ง่ายคือ สำหรับแต่ละคู่ของชั้น ให้รวมน้ำหนักทั้งหมดในการเชื่อมต่อระหว่างโหนดของชั้นเหล่านั้น เพื่อให้ได้น้ำหนักของขอบที่สามารถเข้ารหัสเป็นเมทริกซ์ได้เทนเซอร์ความประชิดอันดับ 2 ซึ่งแสดงถึงเครือข่ายของชั้นต่างๆ ในพื้นที่นั้นกำหนดโดย ${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{L\times L}}$

${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$

โดยที่เมทริกซ์แคนอนิกมีส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ยกเว้นรายการที่สอดคล้องกับแถวและคอลัมน์ซึ่งเท่ากับหนึ่ง การใช้สัญกรณ์เทนเซอร์ทำให้สามารถได้เครือข่ายชั้น (แบบถ่วงน้ำหนัก) จากเทนเซอร์ความสัมพันธ์หลายชั้นเป็น^{[ 3 ]}${\displaystyle E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}}$

ในเครือข่ายหลายมิติที่ไม่เชื่อมต่อกัน ซึ่งไม่มีลิงก์ระหว่างชั้นระดับของโหนดจะแสดงด้วยเวกเตอร์ที่มีความยาวนี่คือวิธีอื่นในการแสดงจำนวนชั้นในเครือข่ายหลายชั้น อย่างไรก็ตาม สำหรับการคำนวณบางอย่าง อาจเป็นประโยชน์มากกว่าที่จะรวมจำนวนลิงก์ที่อยู่ติดกับโหนดในทุกมิติ^{[ 3 ] [ 39 ]}นี่คือระดับการทับซ้อน : ^{[ 4 ]}เช่นเดียวกับเครือข่ายมิติเดียว อาจแยกความแตกต่างระหว่างลิงก์ขาเข้าและลิงก์ขาออกได้ หากมีลิงก์ระหว่างชั้น คำจำกัดความข้างต้นจะต้องปรับให้เข้ากับลิงก์เหล่านั้น และระดับหลายชั้นจะกำหนดโดย ${\displaystyle |D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }}$

${\displaystyle k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }}$

โดยที่เทนเซอร์และมีส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากับ 1 ความไม่สม่ำเสมอในจำนวนการเชื่อมต่อของโหนดในเลเยอร์ต่างๆ สามารถนำมาพิจารณาได้ผ่านสัมประสิทธิ์การมีส่วนร่วม^{[ 4 ]}${\displaystyle U_{\alpha }^{\beta }}$${\displaystyle u^{j}}$

เมื่อขยายไปยังเครือข่ายหลายชั้นที่เชื่อมต่อกัน กล่าวคือ ระบบที่โหนดเชื่อมต่อกันข้ามชั้น แนวคิดเรื่องศูนย์กลางจะเข้าใจได้ดีขึ้นในแง่ของความหลากหลาย^{[ 10 ]}โหนดที่ไม่ใช่ศูนย์กลางในแต่ละชั้นอาจมีความสำคัญที่สุดสำหรับระบบหลายชั้นในบางสถานการณ์ ตัวอย่างเช่น กรณีที่สองชั้นเข้ารหัสเครือข่ายที่แตกต่างกันโดยมีโหนดร่วมกันเพียงโหนดเดียว เป็นไปได้มากว่าโหนดดังกล่าวจะมีคะแนนศูนย์กลางสูงสุด เนื่องจากเป็นผู้รับผิดชอบการไหลของข้อมูลข้ามชั้น

สำหรับเครือข่ายมิติเดียว ความสามารถในการกระจายเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถกำหนดได้ว่าเป็นคำตอบของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่กำหนดโดย โดยใช้แบบแผนการรวมของไอน์สไตน์เพื่อความเรียบง่าย ในที่นี้จะให้การวางนัยทั่วไปแบบหลายชั้นของความเป็นศูนย์กลางเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของโบนาชิชต่อโหนดต่อชั้น ความสามารถในการกระจายเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยรวมได้มาง่ายๆ โดยการรวมคะแนนข้ามชั้นเป็น^{[ 3 ] [ 10 ]}${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }=\lambda _{1}\Theta _{j\beta }}$${\displaystyle \Theta _{j\beta }=\lambda _{1}^{-1}M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }}$${\displaystyle \theta _{i}=\Theta _{i\alpha }u^{\alpha }}$

สำหรับคู่เทียบแบบมิติเดียวความสามารถในการปรับตัวของ Katz ได้มาจากการแก้สมการเทนเซอร์โดยที่เป็นค่าคงที่ที่เล็กกว่าค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุด และเป็นค่าคงที่อีกค่าหนึ่งซึ่งโดยทั่วไปเท่ากับ 1 ความสามารถในการปรับตัวของ Katz โดยรวมได้มาจากการบวกคะแนนในแต่ละชั้นเข้าด้วยกันเป็น^{[ 10 ]}${\displaystyle \Phi _{j\beta }=[(\delta -aM)^{-1}]_{j\beta }^{i\alpha }U_{i\alpha }}$${\displaystyle \Phi _{j\beta }=aM_{j\beta }^{i\alpha }\Phi _{i\alpha }+bu_{j\beta }}$${\displaystyle \delta _{j\beta }^{i\alpha }=\delta _{j}^{i}\delta _{\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \phi _{i}=\Phi _{i\alpha }u^{\alpha }}$

สำหรับเครือข่ายมิติเดียวอัลกอริทึม HITSได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยJon Kleinbergเพื่อจัดอันดับเว็บเพจ สมมติฐานพื้นฐานของอัลกอริทึมคือ เพจที่เกี่ยวข้องซึ่งเรียกว่าผู้มีอำนาจ จะถูกชี้โดยเว็บเพจพิเศษซึ่งเรียกว่าฮับ กลไกนี้สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้ด้วยสมการคู่สองสมการซึ่งลดลงเหลือปัญหาค่าลักษณะเฉพาะสองปัญหา เมื่อเครือข่ายไม่มีทิศทาง ความเป็นศูนย์กลางของผู้มีอำนาจและฮับจะเทียบเท่ากับความเป็นศูนย์กลางของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ คุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการรักษาไว้โดยการขยายตามธรรมชาติของสมการที่เสนอโดย Kleinberg ไปยังกรณีของเครือข่ายหลายชั้นที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งกำหนดโดย และโดยที่แสดงถึงตัวดำเนินการทรานสโพสและแสดงถึงความเป็นศูนย์กลางของฮับและผู้มีอำนาจตามลำดับ โดยการหดตัวของเทนเซอร์ฮับและผู้มีอำนาจ จะได้ความหลากหลายโดยรวมเป็นและตามลำดับ^{[ 10 ]}${\displaystyle (MM^{t})_{j\beta }^{i\alpha }\Gamma _{i\alpha }=\lambda _{1}\Gamma _{j\beta }}$${\displaystyle (M^{t}M)_{j\beta }^{i\alpha }\Upsilon _{i\alpha }=\lambda _{1}\Upsilon _{j\beta }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma _{i\alpha }}$${\displaystyle \Upsilon _{i\alpha }}$${\displaystyle \gamma _{i}=\Gamma _{i\alpha }u^{\alpha }}$${\displaystyle \upsilon _{i}=\Upsilon _{i\alpha }u^{\alpha }}$

PageRankซึ่งเดิมทีถูกนำมาใช้จัดอันดับเว็บเพจ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นมาตรวัดความสำคัญของเครือข่ายหลายชั้นที่เชื่อมต่อกันได้เช่นกัน

เป็นที่น่าสังเกตว่าPageRankสามารถมองได้ว่าเป็นคำตอบสภาวะคงที่ของกระบวนการมาร์คอฟ แบบพิเศษ บนสุดของเครือข่ายผู้เดินสุ่มจะสำรวจเครือข่ายตามเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ แบบพิเศษ และพลวัตของพวกเขานั้นถูกควบคุมโดยสมการหลัก ของการเดินสุ่ม สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าคำตอบของสมการนี้เทียบเท่ากับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะชั้นนำของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ

การเดินแบบสุ่มได้รับการกำหนดไว้ในกรณีของเครือข่ายหลายชั้นที่เชื่อมต่อกัน^{[ 15 ]}และมัลติกราฟที่มีสีขอบ (เรียกอีกอย่างว่าเครือข่ายมัลติเพล็กซ์) ^{[ 40 ]}สำหรับเครือข่ายหลายชั้นที่เชื่อมต่อกัน เทนเซอร์การเปลี่ยนผ่านที่ควบคุมพลวัตของผู้เดินแบบสุ่มภายในและระหว่างชั้นจะได้รับจาก โดยที่เป็นค่าคงที่ โดยทั่วไปตั้งไว้ที่ 0.85 คือจำนวนโหนด และคือจำนวนชั้นหรือมิติ ในที่นี้อาจเรียกว่าเทนเซอร์ของ Googleและคือเทนเซอร์อันดับ 4 ที่มีส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากับ 1 ${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }=rT_{j\beta }^{i\alpha }+{\frac {(1-r)}{NL}}u_{j\beta }^{i\alpha },}$${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle u_{j\beta }^{i\alpha }}$

เช่นเดียวกับ PageRank ซึ่งเป็นรูปแบบมิติเดียว ความสามารถในการปรับเปลี่ยนของ PageRank ประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนหนึ่งเข้ารหัสการเดินแบบสุ่มคลาสสิกด้วยอัตราและอีกส่วนหนึ่งเข้ารหัสการเคลื่อนย้ายข้ามโหนดและเลเยอร์ด้วยอัตรา ${\displaystyle r}$${\displaystyle 1-r}$

หากเราระบุด้วยเทนเซอร์ลักษณะเฉพาะของเทนเซอร์ Google ซึ่งแสดงถึงความน่าจะเป็นสถานะคงที่ในการค้นหาวอล์กเกอร์ในโหนดและเลเยอร์PageRank หลายเลเยอร์จะได้รับโดยการรวมเทนเซอร์ลักษณะเฉพาะเข้าด้วยกันในแต่ละเลเยอร์: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \Omega _{i\alpha }}$${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{i}=\Omega _{i\alpha }u^{\alpha }}$

เช่นเดียวกับสถิติเครือข่ายอื่นๆ ความหมายของสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มจะคลุมเครือในเครือข่ายหลายมิติ เนื่องจากความจริงที่ว่าสามสิ่งอาจปิดในมิติที่แตกต่างจากที่มันเริ่มต้น^{[ 4 ] [ 41 ] [ 42 ]}มีความพยายามหลายครั้งในการกำหนดสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มเฉพาะที่ แต่ความพยายามเหล่านี้ได้เน้นย้ำถึงความจริงที่ว่าแนวคิดจะต้องแตกต่างกันโดยพื้นฐานในมิติที่สูงกว่า: บางกลุ่มได้ใช้คำจำกัดความที่ไม่เป็นมาตรฐานเป็นพื้นฐานในการทำงานของพวกเขา^{[ 42 ]}ในขณะที่กลุ่มอื่นๆ ได้ทดลองกับคำจำกัดความที่แตกต่างกันของการเดินแบบสุ่มและวงจร 3 ในเครือข่ายหลายมิติ^{[ 4 ] [ 41 ]}

แม้ว่าโครงสร้างข้ามมิติจะได้รับการศึกษามาก่อนแล้ว^{[ 43 ] [ 44 ]}แต่ก็ไม่สามารถตรวจจับความสัมพันธ์ที่ละเอียดอ่อนกว่าที่พบในเครือข่ายบางเครือข่ายได้ การใช้คำจำกัดความของ "ชุมชน" ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในกรณีของเครือข่ายหลายมิติช่วยให้สามารถระบุชุมชนได้อย่างน่าเชื่อถือโดยไม่จำเป็นต้องให้โหนดติดต่อกันโดยตรง^{[ 3 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 45 ]} ตัวอย่างเช่น คนสองคนที่ไม่ได้สื่อสารกันโดยตรง แต่ยังคงเข้าชมเว็บไซต์เดียวกันหลายแห่ง ก็อาจเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับอัลกอริทึมประเภทนี้

^{Mucha et al. [ 8 ]}ได้เสนอการวางนัยทั่วไปของวิธีการเพิ่มโมดูลาริตี้สูงสุดที่รู้จักกันดี สำหรับการค้นพบชุมชน [8] วิธีการหลายความละเอียดนี้ถือว่ามีการแสดงเทนเซอร์สามมิติของการเชื่อมต่อเครือข่ายภายในเลเยอร์ เช่นเดียวกับมัลติกราฟที่มีสีขอบ และมีการแสดงเทนเซอร์สามมิติของการเชื่อมต่อเครือข่ายข้ามเลเยอร์ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ความละเอียดและน้ำหนักของการเชื่อมต่อระหว่างเลเยอร์ ในสัญกรณ์ที่กระชับยิ่งขึ้นโดยใช้สัญกรณ์เทนเซอร์ โมดูลาริตี้สามารถเขียนได้เป็น โดยที่คือเทนเซอร์ประชิดหลายเลเยอร์คือเทนเซอร์ที่เข้ารหัสแบบจำลองว่าง และค่าของส่วนประกอบของถูกกำหนดให้เป็น 1 เมื่อโหนดในเลเยอร์เป็นส่วนหนึ่งของชุมชนเฉพาะที่ติดป้ายกำกับด้วยดัชนีและ 0 เมื่อไม่ใช่^{[ 3 ]}${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }}$${\displaystyle B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle P_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle S_{a}^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$

การแยกตัวประกอบเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบได้รับการเสนอเพื่อแยกโครงสร้างกิจกรรมชุมชนของเครือข่ายตามเวลา^{[ 46 ]}เครือข่ายหลายชั้นแสดงด้วยเทนเซอร์สามมิติเช่น มัลติกราฟที่ระบายสีขอบ โดยที่ลำดับของชั้นเข้ารหัสลูกศรของเวลา การแยกตัวประกอบเทนเซอร์โดยใช้การแยกส่วน Kruskal จึงถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดแต่ละโหนดให้กับชุมชนในช่วงเวลา ${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$

ได้มีการเสนอวิธีการต่างๆ โดยอาศัยการอนุมานทางสถิติ ซึ่งเป็นการขยายแนวทางที่มีอยู่เดิม สำหรับเครือข่ายมิติเดียว แบบจำลองบล็อกสุ่มเป็นแบบจำลองการสร้างที่ใช้กันมากที่สุด ซึ่งได้รับการขยายให้เหมาะสมกับกรณีของเครือข่ายหลายชั้น^{[ 47 ] [ 48 ]}

สำหรับเครือข่ายมิติเดียว วิธีการที่มีหลักการ เช่นความยาวคำอธิบายขั้นต่ำสามารถใช้สำหรับการเลือกแบบจำลองในวิธีการตรวจจับชุมชนโดยอิงตามการไหลของข้อมูล^{[ 9 ]}

เนื่องจากเครือข่ายหลายชั้นมีความซับซ้อนมากกว่าเครือข่ายมิติเดียว จึงมีการวิจัยอย่างต่อเนื่องเพื่อลดความซับซ้อนของโครงสร้างของระบบดังกล่าวโดยใช้การลดมิติ บางประเภท ^{[ 22 ] [ 49 ]}

วิธีการที่เป็นที่นิยมวิธีหนึ่งนั้นอิงตามการคำนวณความแตกต่างของควอนตัม Jensen-Shannonระหว่างชั้นทุกคู่ ซึ่งจะถูกนำไปใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเมตริกเพื่อสร้างเมทริกซ์ระยะทางและจัดกลุ่มชั้นตามลำดับชั้น ชั้นต่างๆ จะถูกรวมเข้าด้วยกันตามลำดับชั้นที่ได้ และกระบวนการรวมจะหยุดลงเมื่อฟังก์ชันเป้าหมายซึ่งอิงตามเอนโทรปีของเครือข่ายมีค่าสูงสุดทั่วโลก วิธีการแบบโลภนี้จำเป็นเพราะปัญหาพื้นฐานจะต้องตรวจสอบกลุ่มชั้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีขนาดใดๆ ซึ่งต้องใช้ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จำนวนมหาศาล (ซึ่งกำหนดโดยเลขเบลล์และเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวนหน่วย) อย่างไรก็ตาม สำหรับระบบหลายชั้นที่มีจำนวนชั้นน้อย พบว่าวิธีนี้ทำงานได้อย่างเหมาะสมที่สุดในกรณีส่วนใหญ่^{[ 22 ]}

คำถามเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของระดับดีกรีในเครือข่ายมิติเดียวค่อนข้างตรงไปตรงมา: โหนดที่มีดีกรีคล้ายกันมีแนวโน้มที่จะเชื่อมต่อกันหรือไม่? ในเครือข่ายหลายมิติ ความหมายของคำถามนี้กลับไม่ชัดเจนนัก เมื่อเราอ้างถึงดีกรีของโหนด เราหมายถึงดีกรีในมิติเดียวหรือดีกรีที่รวมกันทั้งหมด? เมื่อเราต้องการตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างโหนด เรากำลังเปรียบเทียบโหนดเดียวกันในมิติต่างๆ หรือโหนดที่แตกต่างกันภายในมิติเดียวกัน หรือทั้งสองอย่าง? ^{[ 6 ]} ผลที่ตามมาของการเปลี่ยนแปลงในสถิติเหล่านี้ต่อคุณสมบัติเครือข่ายอื่นๆ คืออะไร? ในการศึกษาหนึ่ง พบว่าความสัมพันธ์แบบแอสซอร์ติวิตีทำให้ความทนทานในเครือข่ายแบบดูเพล็กซ์ลดลง^{[ 50 ]}

เมื่อกำหนดเส้นทางหลายมิติสองเส้นทางrและsเราจะกล่าวว่าr ครอบงำsก็ต่อเมื่อ: และโดยที่^{[ 38 ]}${\displaystyle \forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}}$${\displaystyle \exists i}$${\displaystyle r_{l}<s_{l}}$

ในบรรดาสถิติเครือข่ายอื่นๆ การวัดค่าความเป็นศูนย์กลางจำนวนมากอาศัยความสามารถในการประเมินเส้นทางที่สั้นที่สุดจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่ง การขยายการวิเคราะห์เหล่านี้ไปยังเครือข่ายหลายมิติจำเป็นต้องรวมการเชื่อมต่อเพิ่มเติมระหว่างโหนดเข้ากับอัลกอริธึมที่ใช้ในปัจจุบัน (เช่นของ Dijkstra ) แนวทางปัจจุบันรวมถึงการยุบการเชื่อมต่อหลายลิงก์ระหว่างโหนดในขั้นตอนการประมวลผลล่วงหน้าก่อนที่จะทำการค้นหาแบบกว้างก่อน (breadth-first search)ของเครือข่าย^{[ 28 ]}

วิธีหนึ่งในการประเมินระยะห่างระหว่างโหนดสองโหนดในเครือข่ายหลายมิติคือการเปรียบเทียบเส้นทางหลายมิติทั้งหมดระหว่างโหนดเหล่านั้น และเลือกเซตย่อยที่เรากำหนดให้เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดผ่านการครอบงำของเส้นทาง: ให้เป็นเซตของเส้นทางทั้งหมดระหว่างและดังนั้นระยะห่างระหว่างและคือเซตของเส้นทางที่โดยที่ครอบงำดังนั้นความยาวขององค์ประกอบในเซตของเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดสองโหนดจึงถูกกำหนดให้เป็นระยะห่างหลายมิติ^{[ 38 ]}${\displaystyle MP(u,v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P\subseteq MP}$${\displaystyle \forall p\in P,\nexists p'\in MP}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle p}$

ในเครือข่ายหลายมิติความเกี่ยวข้องของมิติที่กำหนด (หรือชุดของมิติ) ^{สำหรับ}โหนดหนึ่งสามารถประเมินได้จากอัตราส่วน: [ ^{39 ]}${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle {\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}}$

ในเครือข่ายหลายมิติซึ่งมิติการเชื่อมต่อที่แตกต่างกันมีค่าในโลกแห่งความเป็นจริงที่แตกต่างกัน สถิติที่แสดงลักษณะการกระจายของลิงก์ไปยังคลาสต่างๆ จึงเป็นที่น่าสนใจ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาเมตริกสองตัวที่ประเมินสิ่งนี้ ได้แก่ การเชื่อมต่อมิติและการเชื่อมต่อมิติแบบไม่รวมขอบ เมตริกแรกคืออัตราส่วนของจำนวนลิงก์ทั้งหมดในมิติที่กำหนดต่อจำนวนลิงก์ทั้งหมดในทุกมิติ: เมตริกหลังจะประเมินจำนวนคู่ของโหนดที่เชื่อมต่อกันด้วยลิงก์ในมิติที่กำหนด: ^{[ 39 ]}${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}}$${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}}$

การเกิดเป็นช่วงๆเป็นปรากฏการณ์ที่รู้จักกันดีในเครือข่ายในโลกแห่งความเป็นจริงหลายแห่ง เช่น อีเมลหรือเครือข่ายการสื่อสารของมนุษย์อื่นๆ มิติเพิ่มเติมของการสื่อสารให้การแสดงภาพความเป็นจริงที่แม่นยำยิ่งขึ้นและอาจเน้นรูปแบบเหล่านี้หรือลดทอนลง ดังนั้น วิธีการตรวจจับพฤติกรรมแบบเป็นช่วงๆ ในเครือข่ายจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องรองรับเครือข่ายหลายมิติ^{[ 51 ]}

กระบวนการแพร่กระจายถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์เพื่อสำรวจระบบทางกายภาพ รวมถึงในสาขาวิชาอื่นๆ เช่น สังคมศาสตร์ ประสาทวิทยาศาสตร์ การขนส่งในเมืองและระหว่างประเทศ หรือการเงิน เมื่อเร็วๆ นี้ กระบวนการแพร่กระจายแบบง่ายและซับซ้อนมากขึ้นได้รับการขยายไปสู่เครือข่ายหลายชั้น^{[ 23 ] [ 52 ]}ผลลัพธ์หนึ่งที่พบได้ทั่วไปในการศึกษาหลายๆ ครั้งคือ การแพร่กระจายในเครือข่ายมัลติเพล็กซ์ ซึ่งเป็นระบบหลายชั้นชนิดพิเศษ แสดงให้เห็นสองระบอบ: 1) น้ำหนักของลิงก์ระหว่างชั้นที่เชื่อมต่อชั้นต่างๆ เข้าด้วยกันนั้นไม่สูงพอ และระบบมัลติเพล็กซ์จะทำงานเหมือนเครือข่ายที่ไม่เชื่อมต่อกันสองเครือข่าย (หรือมากกว่า) 2) น้ำหนักของลิงก์ระหว่างชั้นสูงพอที่ชั้นต่างๆ จะเชื่อมต่อกัน ทำให้เกิดปรากฏการณ์ทางกายภาพที่ไม่คาดคิด^{[ 23 ]}ได้มีการแสดงให้เห็นว่ามีการเปลี่ยนผ่านอย่างฉับพลันระหว่างสองระบอบนี้^{[ 53 ]}

ในความเป็นจริง ตัวบ่งชี้เครือข่ายทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับกระบวนการแพร่กระจายบางอย่าง ตั้งแต่การวัดค่าศูนย์กลางไปจนถึงการตรวจจับชุมชน ล้วนได้รับผลกระทบจากการเชื่อมโยงระหว่างชั้น ตัวอย่างเช่น ในกรณีของการตรวจจับชุมชน การเชื่อมโยงต่ำ (ซึ่งข้อมูลจากแต่ละชั้นแยกกันมีความสำคัญมากกว่าโครงสร้างโดยรวม) จะส่งเสริมคลัสเตอร์ภายในชั้น ในขณะที่การเชื่อมโยงสูง (ซึ่งข้อมูลจากทุกชั้นพร้อมกันมีความสำคัญมากกว่าแต่ละชั้นแยกกัน) จะส่งเสริมคลัสเตอร์ข้ามชั้น^{[ 8 ] [ 9 ]}

สำหรับเครือข่ายมิติเดียว เป็นไปได้ที่จะกำหนดการเดินแบบสุ่มบนระบบหลายชั้น อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาโครงสร้างหลายชั้นพื้นฐานแล้ว ผู้เดินแบบสุ่มไม่ได้จำกัดอยู่แค่การเคลื่อนที่จากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่งภายในชั้นเดียวกัน ( กระโดด ) แต่ยังได้รับอนุญาตให้เคลื่อนที่ข้ามชั้นได้ด้วย ( สลับ ) ^{[ 15 ]}

การเดินแบบสุ่มสามารถใช้เพื่อสำรวจระบบหลายชั้นโดยมีเป้าหมายสูงสุดในการคลี่คลายองค์กรระดับกลาง^{กล่าว}คือ เพื่อแบ่งระบบออกเป็นชุมชน [ ^{8 ] [ 9 ]}และเมื่อเร็ว ๆ นี้ได้ถูกนำมาใช้เพื่อทำความเข้าใจการนำทางของเครือข่ายหลายชั้นและความยืดหยุ่นต่อความล้มเหลวแบบสุ่มได้ดียิ่งขึ้น^{[ 15 ]}รวมถึงการสำรวจโทโพโลยีประเภทนี้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 54 ]}

ในกรณีของระบบหลายชั้นที่เชื่อมต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะเคลื่อนที่จากโหนดในชั้นหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่งในชั้นถัดไปสามารถเข้ารหัสลงในเทนเซอร์การเปลี่ยนสถานะอันดับ 4 ได้และการเดินแบบเวลาไม่ต่อเนื่องสามารถอธิบายได้ด้วยสมการหลัก ${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

${\displaystyle p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)}$

โดยที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะพบวอล์กเกอร์ในโหนดในเลเยอร์ณเวลา^{[ 3 ] [ 15 ]}${\displaystyle p_{i\alpha }(t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$

มีการเดินหลายประเภทที่สามารถเข้ารหัสลงในเทนเซอร์การเปลี่ยนผ่านได้ขึ้นอยู่กับว่าผู้เดินได้รับอนุญาตให้กระโดดและสลับอย่างไร ตัวอย่างเช่น ผู้เดินอาจกระโดดหรือสลับในขั้นตอนเวลาเดียวโดยไม่แยกแยะระหว่างลิงก์ระหว่างชั้นและภายในชั้น ( การเดินสุ่มแบบคลาสสิก ) หรืออาจเลือกที่จะอยู่ในชั้นปัจจุบันแล้วกระโดด หรือสลับชั้นแล้วกระโดดไปยังโหนดอื่นในขั้นตอนเวลาเดียวกัน ( การเดินสุ่มทางกายภาพ ) กฎที่ซับซ้อนกว่าซึ่งสอดคล้องกับปัญหาเฉพาะที่ต้องแก้ไขสามารถพบได้ในเอกสาร^{[ 23 ]}ในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะหาคำตอบที่คงที่ของสมการหลักโดยวิธีวิเคราะห์^{[ 15 ] [ 54 ]}${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

ปัญหาของการแพร่กระจายแบบคลาสสิกในเครือข่ายที่ซับซ้อนคือการทำความเข้าใจว่าปริมาณจะไหลผ่านระบบอย่างไร และต้องใช้เวลานานเท่าใดจึงจะถึงสถานะคงที่ การแพร่กระจายแบบคลาสสิกในเครือข่ายมัลติเพล็กซ์ได้รับการศึกษาเมื่อเร็ว ๆ นี้โดยการแนะนำแนวคิดของเมทริกซ์เหนือความประชิด [ ^{55 ]ซึ่ง} ต่อมาได้รับการยอมรับว่าเป็นการ แบนราบพิเศษของเทนเซอร์ความประชิดแบบหลายชั้น^{[ 3 ]}ในสัญกรณ์เทนเซอร์ สมการการแพร่กระจายบนสุดของระบบหลายชั้นทั่วไปสามารถเขียนได้อย่างกระชับดังนี้

${\displaystyle {\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)}$

โดยที่คือปริมาณของปริมาณที่แพร่กระจาย ณ เวลาในโหนดในชั้นเทนเซอร์อันดับ 4 ที่ควบคุมสมการนี้คือเทนเซอร์ลาปลาเซียน ซึ่งเป็นการขยายเมทริกซ์ลาปลาเซียนเชิงผสมของเครือข่ายมิติเดียว เป็นที่น่าสังเกตว่าในสัญกรณ์ที่ไม่ใช่เทนเซอร์ สมการจะมีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่า ${\displaystyle X_{i\alpha }(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$

คุณสมบัติหลายประการของกระบวนการแพร่กระจายนี้สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ในแง่ของค่าไอเกนที่เล็กที่สุดอันดับสองของเทนเซอร์ลาปลาเซียน เป็นที่น่าสนใจว่าการแพร่กระจายในระบบมัลติเพล็กซ์สามารถเร็วกว่าการแพร่กระจายในแต่ละชั้นแยกกัน หรือในการรวมกันของชั้นต่างๆ โดยมีเงื่อนไขว่าคุณสมบัติสเปกตรัมบางประการเป็นไปตามที่กำหนด^{[ 55 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ การแพร่กระจายของข้อมูล (หรือโรค) ผ่านระบบหลายชั้นเป็นหัวข้อของการวิจัยอย่างเข้มข้น^{[ 56 ] [ 1 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}

มีการแนะนำโปรแกรมซอฟต์แวร์หลายโปรแกรมที่เน้นการวิเคราะห์และการแสดงภาพเครือข่ายหลายชั้น โซลูชันที่เป็นที่นิยมบางส่วน ได้แก่multinet (C++ / Python / R), MuxViz (R), Pymnet (Python) โดยแต่ละซอฟต์แวร์มักจะเชี่ยวชาญในฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่แตกต่างกัน^{[ 60 ]}อย่างไรก็ตาม ซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่ในปัจจุบันประสบปัญหา เช่น การประมวลผลเครือข่ายหลายชั้นขนาดใหญ่มาก ในขณะที่ความสามารถในการทำงานร่วมกันระหว่างซอฟต์แวร์ก็จำเป็นต้องได้รับการปรับปรุงเช่นกัน