ในบริบทของทฤษฎีทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของการซึมผ่าน (percolation ) การเปลี่ยนแปลงของการซึมผ่านจะถูกกำหนดลักษณะโดยชุดของเลขชี้กำลังวิกฤตสากล ซึ่งอธิบาย คุณสมบัติแบบ แฟรกทัลของตัวกลางที่ซึมผ่านในระดับขนาดใหญ่และใกล้กับการเปลี่ยนแปลงมากพอ เลขชี้กำลังเหล่านี้เป็นสากลในแง่ที่ว่ามันขึ้นอยู่กับประเภทของแบบจำลอง การซึมผ่าน และมิติของพื้นที่เท่านั้น คาดว่าจะไม่ขึ้นอยู่กับรายละเอียดระดับจุลภาค เช่น โครงสร้างของแลตติส หรือไม่ว่าจะเป็นการซึมผ่านแบบไซต์หรือแบบพันธะ บทความนี้กล่าวถึงเลขชี้กำลังวิกฤตของการซึมผ่านแบบสุ่ม

ระบบการซึมผ่านมีพารามิเตอร์ที่ควบคุมการครอบครองตำแหน่งหรือพันธะในระบบ ที่ค่าวิกฤตค่าหนึ่งขนาดคลัสเตอร์เฉลี่ยจะเข้าสู่ค่าอนันต์ และการเปลี่ยนผ่านสู่การซึมผ่านจะเกิดขึ้น เมื่อเข้าใกล้ค่าวิกฤตปริมาณต่างๆ จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์หรือเข้าสู่ค่าคงที่ตามกฎกำลังในและเลขชี้กำลังของกฎกำลังนั้นคือเลขชี้กำลังวิกฤต ในขณะที่เลขชี้กำลังของกฎกำลังนั้นโดยทั่วไปจะเหมือนกันทั้งสองด้านของค่าวิกฤต แต่สัมประสิทธิ์หรือ "แอมพลิจูด" โดยทั่วไปจะแตกต่างกัน ทำให้เกิดอัตราส่วนแอมพลิจูดสากล ${\displaystyle p\,\!}$${\displaystyle p_{c}\,\!}$${\displaystyle p_{c}\,\!}$${\displaystyle |p-p_{c}|\,\!}$

ระบบทางเทอร์โมไดนามิกหรือระบบเชิงโครงสร้างที่อยู่ใกล้จุดวิกฤตหรือการเปลี่ยนเฟสแบบต่อเนื่องจะกลายเป็นระบบแฟรกทัลและพฤติกรรมของปริมาณหลายอย่างในสภาวะดังกล่าวจะถูกอธิบายโดยเลขชี้กำลังวิกฤต สากล ทฤษฎีการซึมผ่านเป็นแบบจำลองที่เรียบง่ายและพื้นฐานอย่างยิ่งในกลศาสตร์เชิงสถิติที่มีจุดวิกฤต และมีการทำงานมากมายในการค้นหาเลขชี้กำลังวิกฤตของทฤษฎีนี้ ทั้งในเชิงทฤษฎี (จำกัดเพียงสองมิติ) และเชิงตัวเลข

ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตมีอยู่สำหรับปริมาณที่สังเกตได้หลายอย่าง แต่ส่วนใหญ่เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์ของเลขชี้กำลัง (หรือมาตราส่วน) มีเพียงไม่กี่ค่าเท่านั้นที่เป็นอิสระ และการเลือกเลขชี้กำลังพื้นฐานขึ้นอยู่กับจุดมุ่งหมายของการศึกษาในขณะนั้น ตัวเลือกหนึ่งคือชุดที่ได้รับแรงบันดาลใจจากการกระจายขนาดของกลุ่ม อีกตัวเลือกหนึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากโครงสร้างของกลุ่มอนันต์ เลขชี้กำลังแก้ไขที่เรียกว่านั้นขยายชุดเหล่านี้ โดยอ้างอิงถึงลำดับที่สูงกว่าของการขยายอนุกรมอนันต์รอบจุดวิกฤต ${\displaystyle \{\sigma ,\,\tau \}\,\!}$${\displaystyle \{d_{\text{f}},\,\nu \}\,\!}$

กลุ่มการแพร่กระจายจะกลายเป็นกลุ่มที่มีลักษณะคล้ายกันอย่างแม่นยำที่ความหนาแน่นเกณฑ์สำหรับมาตราส่วนความยาวที่ใหญ่พอสมควร ซึ่งนำไปสู่กฎกำลังเชิงอะซิมโทติกดังต่อไปนี้: ${\displaystyle p_{c}\,\!}$

มิติแฟรกทัล แสดงให้เห็นว่ามวลของกลุ่มกระจุกดาวอนันต์ที่กำลังก่อตัวขึ้นอยู่กับรัศมีหรือหน่วยวัดความยาวอื่นอย่างไรสำหรับขนาดโพรบขนาดใหญ่สัญลักษณ์อื่น ๆ ได้แก่ เลขชี้กำลังแม่เหล็ก และ มิติ ร่วม${\displaystyle d_{\text{f}}\,\!}$${\displaystyle M(L)\sim L^{d_{\text{f}}}\,\!}$${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$${\displaystyle L\to \infty \,\!}$${\displaystyle y_{h}=D-d_{f}\,\!}$${\displaystyle \Delta _{\sigma }=d-d_{f}\,\!}$

ค่าเลขชี้กำลังของฟิชเชอร์ (Fisher exponent) ใช้ในการกำหนดลักษณะการกระจายขนาดของกลุ่มคลัสเตอร์ซึ่งมักกำหนดจากการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ การจำลองนี้จะนับจำนวนคลัสเตอร์ที่มีขนาด (ปริมาตร) ที่กำหนด โดยหารด้วยปริมาตรทั้งหมด (จำนวนไซต์ในโครงตาข่าย) การกระจายนี้เป็นไปตามกฎกำลังที่จุดวิกฤต โดยมีค่าเข้า ใกล้ 0 ใน เชิงอะซิมโทติก${\displaystyle \tau \,\!}$${\displaystyle n_{s}\,\!}$${\displaystyle s\,\!}$${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }\,\!}$${\displaystyle s\to \infty \,\!}$

ความน่าจะเป็นที่สองไซต์ที่อยู่ห่างกันจะอยู่ในกลุ่มเดียวกันจะลดลงตามหรือสำหรับระยะทางที่มาก ซึ่งนำไปสู่มิติที่ผิดปกตินอกจากนี้ และ${\displaystyle {\vec {r}}\,\!}$${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-2(d-d_{\text{f}})}\,\!}$${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2-\eta )}\,\!}$${\displaystyle \eta \,\!}$${\displaystyle \delta =(d+2-\eta )/(d-2+\eta )}$${\displaystyle \eta =2-\gamma /\nu }$

เลขชี้กำลังเชื่อมโยงกับการแก้ไขชั้นนำของการปรับขนาดซึ่งปรากฏ เช่น ในการขยายอนุกรมอนันต์ของการกระจายขนาดคลัสเตอร์ สำหรับนอกจากนี้. ${\displaystyle \Omega \,\!}$${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }(1+{\text{const}}\times s^{-\Omega })\,\!}$${\displaystyle s\to \infty \,\!}$${\displaystyle \omega =\โอเมก้า /(\sigma \nu )=\โอเมก้า d_{f}}$

สำหรับปริมาณต่างๆ เช่น ขนาดคลัสเตอร์เฉลี่ยการแก้ไขจะถูกควบคุมโดยเลขชี้กำลัง^{[ 1 ]}${\displaystyle S\sim a_{0}|p-p_{c}|^{-\gamma }(1+a_{1}(p-p_{c})^{\Delta _{1}}+\ldots )}$${\displaystyle \Delta _{1}=\Omega \beta \delta =\omega \nu }$

ระยะ ทาง ขั้นต่ำหรือระยะทางทางเคมีหรือเลขชี้กำลังเส้นทางที่สั้นที่สุดอธิบายว่าระยะทางขั้นต่ำเฉลี่ยมีความสัมพันธ์กับระยะทางแบบยุคลิดอย่างไร กล่าวคือ โปรดทราบว่าการวัดค่าเฉลี่ย < > สำหรับค่าที่กำหนดนั้นเหมาะสมและใช้งานได้จริงมากกว่ากระดูกสันหลังที่ยืดหยุ่น^{[ 2 ]}มีมิติแฟรกทัลเดียวกันกับเส้นทางที่สั้นที่สุด ปริมาณที่เกี่ยวข้องคือมิติการแพร่กระจายซึ่งอธิบายการปรับขนาดของมวล M ของกลุ่มวิกฤตภายในระยะทางทางเคมีเป็นและเกี่ยวข้องกับมิติแฟรกทัลของกลุ่มโดยระยะทางทางเคมียังสามารถคิดได้ว่าเป็นเวลาในกระบวนการเติบโตของการระบาด และเรายังกำหนดโดยที่และคือเลขชี้กำลังไดนามิก [ ^{3 ] เรา}ยังเขียน ${\displaystyle d_{\คณิตศาสตร์ {นาที} }}$${\displaystyle \langle \ell \rangle }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \langle \ell \rangle \sim r^{d_{\mathrm {min} }}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle d_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle M\sim \ell ^{d_{\ell }}}$${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle d_{\ell }=d_{f}/d_{\mathrm {min} }}$${\displaystyle \nu _{t}}$${\displaystyle d_{\mathrm {min} }=\nu _{t}/\nu =z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \nu _{\parallel }=\nu _{t}}$

นอกจากนี้ ยังเกี่ยวข้องกับมิติขั้นต่ำคือการเติบโตพร้อมกันของกลุ่มคลัสเตอร์สองกลุ่มที่อยู่ใกล้เคียงกัน ความน่าจะเป็นที่คลัสเตอร์ทั้งสองจะรวมตัวกันพอดีในช่วงเวลาตามมาตราส่วน^{[ 4 ]}โดยมี^{[ 5 ]}${\displaystyle t}$${\displaystyle p(t)\sim t^{-\lambda }}$${\displaystyle \lambda =1+5/(4d_{\mathrm {min} })}$

มิติของแกนหลักซึ่งกำหนดเป็นเซตย่อยของไซต์คลัสเตอร์ที่นำกระแสเมื่อมีการใช้ความแตกต่างของแรงดันไฟฟ้าระหว่างสองไซต์ที่อยู่ห่างกัน คือ(หรือ) นอกจากนี้ยังกำหนด^{[ 6 ]}${\displaystyle d_{\text{b}}}$${\displaystyle d_{\text{BB}}}$${\displaystyle \xi =d-d_{\text{b}}}$

มิติแฟรกทัลของการเดินแบบสุ่มบนคลัสเตอร์การซึมผ่านเริ่มต้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นกำหนดโดย. ${\displaystyle d_{w}}$

มิติเชิงสเปกตรัม ที่จำนวนเฉลี่ยของไซต์ที่แตกต่างกันที่เยี่ยมชมในการเดินสุ่มแบบ kขั้น จะ แปรผัน ตาม${\displaystyle {\tilde {d}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\tilde {d}}}$

วิธีการเข้าใกล้จุดวิกฤตการซึมผ่านนั้นอยู่ภายใต้กฎกำลังอีกครั้ง ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับค่าประมาณเชิงอะซิมโทติก: ${\displaystyle p_{c}\,\!}$

เลขชี้กำลังอธิบายถึงการเบี่ยงเบนของความยาวสหสัมพันธ์เมื่อเข้าใกล้การเปลี่ยนผ่านแบบเพอร์โคเลชันกลุ่มอนันต์จะกลายเป็นเนื้อเดียวกันที่ระดับความยาวเกินกว่าความยาวสหสัมพันธ์ นอกจากนี้ยังเป็นตัววัดขอบเขตเชิงเส้นของกลุ่มจำกัดที่ใหญ่ที่สุด สัญลักษณ์อื่นๆ: เลขชี้กำลังความร้อนและมิติ ${\displaystyle \nu \,\!}$${\displaystyle \xi \,\!}$${\displaystyle \xi \sim |p-p_{c}|^{-\nu }\,\!}$${\displaystyle y_{t}=1/\nu }$${\displaystyle \Delta _{\epsilon }=d-1/\nu }$

เมื่อพ้นจุดวิกฤต จะมีเพียงคลัสเตอร์จำกัดจำนวนเท่านั้นจนถึงขนาดคลัสเตอร์ที่ใหญ่ที่สุด และการกระจายขนาดคลัสเตอร์จะถูกตัดออกอย่างราบรื่นด้วยฟังก์ชันที่ลดลงอย่างรวดเร็วเลขชี้กำลังแสดงถึงความแตกต่างของพารามิเตอร์การตัดออกจาก ความสัมพันธ์ แบบแฟรกทัลเราจะได้ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็น ${\displaystyle s_{\max }\,\!}$${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })\,\!}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle s_{\max }\sim |p-p_{c}|^{-1/\sigma }\,\!}$${\displaystyle s_{\max }\sim \xi ^{d_{\text{f}}}\,\!}$${\displaystyle \sigma =1/\nu d_{\text{f}}\,\!}$

ความหนาแน่นของกลุ่ม (จำนวนกลุ่มต่อไซต์) มีค่าต่อเนื่องที่จุดวิกฤต แต่ค่าอนุพันธ์อันดับสามจะมีค่าเข้าสู่อนันต์ตามที่กำหนดโดยเลขชี้กำลัง: โดยที่แทนค่าสัมประสิทธิ์เหนือและใต้จุดเปลี่ยนผ่าน ${\displaystyle n_{c}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n_{c}\sim A+B(p-p_{c})+C(p-p_{c})^{2}+D_{\pm }|p-p_{c}|^{2-\alpha }+\cdots }$${\displaystyle D_{\pm }}$

ความแข็งแกร่งหรือน้ำหนักของกลุ่มคลัสเตอร์ที่แพร่กระจายหรือคือความน่าจะเป็นที่ไซต์หนึ่งๆ เป็นส่วนหนึ่งของคลัสเตอร์อนันต์มีค่าเป็นศูนย์ต่ำกว่าจุดเปลี่ยนผ่านและไม่สามารถวิเคราะห์ได้ เหนือจุดเปลี่ยนผ่านเล็กน้อยจะกำหนดค่าเลขชี้กำลังทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ลำดับ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{\infty }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\sim (p-p_{c})^{\beta }\,\!}$${\displaystyle \beta \,\!}$${\displaystyle \ P}$

ความแตกต่างของขนาดคลัสเตอร์เฉลี่ย ทำให้เกิดเลขชี้กำลังขึ้น ${\displaystyle S=\sum _{s}s^{2}n_{s}/p_{c}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma }\,\!}$${\displaystyle \gamma \,\!}$

ค่าเลขชี้กำลังช่องว่าง Δ ถูกกำหนดให้เป็น Δ = 1/(β+γ) = 1/σ และแสดงถึง "ช่องว่าง" ในค่าเลขชี้กำลังวิกฤตจากช่วงเวลาหนึ่งไปยังอีกช่วงเวลา หนึ่ง สำหรับ${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle M_{n+1}}$${\displaystyle n>2}$

เลขชี้กำลังการนำไฟฟ้าอธิบายว่าการนำไฟฟ้าลดลงจนเป็นศูนย์ได้อย่างไรในส่วนผสมของตัวนำและฉนวนนอกจากนี้. ${\displaystyle t=\nu t'}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\sim (p-p_{c})^{t}\,\!}$${\displaystyle t'=\zeta }$

ความน่าจะเป็นที่จุดบนพื้นผิวหนึ่งๆ จะอยู่ในกลุ่มคลัสเตอร์ที่แพร่กระจายหรือคลัสเตอร์อนันต์คือ. ${\displaystyle p\geq p_{c}}$${\displaystyle P_{\mathrm {surf} }\sim (p-p_{c})^{\beta _{\mathrm {surf} }}\,\!}$

^{มิติแฟรก ทั}ลของพื้นผิวกำหนดโดย[ ^{7 ]}${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu }$

ความสัมพันธ์ที่ขนานและตั้งฉากกับการลดลงของพื้นผิวเป็นและ^{[ 8 ]}${\displaystyle g_{\parallel }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\parallel }}\,\!}$${\displaystyle g_{\perp }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\perp }}\,\!}$

ขนาดเฉลี่ยของกลุ่มจำกัดที่เชื่อมต่อกับไซต์บนพื้นผิวคือ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle \chi _{1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1}}}$

จำนวนเฉลี่ยของไซต์พื้นผิวที่เชื่อมต่อกับไซต์ในพื้นผิวคือ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle \chi _{1,1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1,1}}}$

${\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}$

${\displaystyle d_{\text{f}}=d-{\frac {\beta }{\nu }}\,\!}$

${\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}$

${\displaystyle \alpha =2-{\frac {\tau -1}{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \beta +\gamma ={\frac {1}{\sigma }}=\nu d_{f}\,\!}$

${\displaystyle \nu ={\frac {\tau -1}{\sigma d}}={\frac {2\beta +\gamma }{d}}\,\!}$

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{\tau -2}}\,\!}$

${\displaystyle \alpha =2-\nu d\,\!}$

${\displaystyle \beta =\nu (d-d_{\text{f}})\,\!}$

${\displaystyle \gamma =\nu (2d_{\text{f}}-d)\,\!}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\nu d_{\text{f}}}}\,\!}$

${\displaystyle d_{w}=d+{\frac {t-\beta }{\nu }}\,\!}$

${\displaystyle t'=d_{w}-d_{f}\,\!}$

${\displaystyle {\tilde {d}}=2d_{f}/d_{w}}$

${\displaystyle \eta _{\parallel }=2-d+2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle \eta _{\parallel }=2\eta _{\perp }-\eta \,}$^{[ 12 ]}

${\displaystyle \gamma _{1}=\nu (2-\eta _{\perp })\,\!}$^{[ 11 ]}

${\displaystyle \gamma _{1,1}=\nu (d-1-2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu )=\nu (1-\eta _{\parallel })\,\!}$^{[ 11 ] [ 13 ]}

${\displaystyle \gamma +\nu =2\gamma _{1}-\gamma _{1,1}\,\!}$^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle x_{1}=\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle d}$	${\displaystyle 1}$[ 14 ]	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6-\varepsilon }$[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [หมายเหตุ 1 ]	${\displaystyle 6+}$
${\displaystyle \alpha }$	1	–2/3	-0.625(3) -0.64(4) [ 20 ]	-0.756(40) -0.75(2) [ 20 ]	-0.870(1) [ 20 ]	${\displaystyle -1+{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {443}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	-1
${\displaystyle \beta }$	0	0.14(3) [ 21 ] 5/36	0.39(2) [ 22 ] 0.4181(8) 0.41(1) [ 23 ] 0.405(25), [ 24 ] 0.4273 [ 19 ] 0.4053(5) [ 25 ] 0.429(4) [ 20 ]	0.52(3) [ 22 ] 0.639(20) [ 26 ] 0.657(9) 0.6590 [ 19 ] 0.658(1) [ 20 ]	0.66(5) [ 22 ] 0.835(5) [ 26 ] 0.830(10) 0.8457 [ 19 ] 0.8454(2) [ 20 ]	${\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {61}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	1
${\displaystyle \gamma }$	1	43/18	1.6 [ 23 ] 1.80(5) [ 22 ] 1.66(7) [ 27 ] 1.793(3) 1.805(20) [ 26 ] 1.8357 [ 19 ] 1.819(3) [ 25 ] 1.78(3) [ 20 ]	1.6(1) [ 22 ] 1.48(8) [ 27 ] 1.422(16) 1.4500 [ 19 ] 1.435(15) [ 26 ] 1.430(6) [ 20 ]	1.3(1) [ 22 ] 1.18(7) [ 27 ] 1.185(5) [ 26 ] 1.1817 [ 19 ] 1.1792(7) [ 20 ]	${\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{7}}+{\frac {565}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	1
${\displaystyle \delta }$	${\displaystyle \infty }$	91/5, 18 [ 28 ]	5.29(6) [ 29 ] * 5.3 [ 28 ] 5.16(4) [ 20 ]	3.9 [ 28 ] 3.198(6) [ 30 ] 3.175(8) [ 20 ]	3.0 [ 28 ] 2.3952(12) [ 20 ]	${\displaystyle 2+{\frac {2}{7}}\varepsilon +{\frac {565}{2\cdot 3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	2
${\displaystyle \eta }$	1	5/24	-0.046(8) [ 29 ] -0.059(9) [ 31 ] -0.07(5) [ 26 ] -0.0470 [ 19 ] −0.03(1) [ 20 ] −0.0431⁢(14) [ 32 ]	-0.12(4) [ 26 ] -0.0944(28) [ 30 ] -0.0929(9) [ 33 ] -0.0954 [ 19 ] -0.084(4) [ 20 ]	-0.075(20) [ 26 ] -0.0565 [ 19 ] −0.0547(10) [ 20 ]	${\displaystyle -{\frac {\varepsilon }{21}}-{\frac {206}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	0
${\displaystyle \nu }$	1	1.33(5) [ 34 ] 4/3	0.8(1), [ 23 ] 0.80(5), [ 34 ] 0.872(7) [ 26 ] 0.875(1) [ 29 ] 0.8765(18) [ 35 ] 0.8960 [ 19 ] 0.8764(12) [ 36 ] 0.8751(11) [ 37 ] 0.8762(12) [ 38 ] 0.8774(13) [ 39 ] 0.88(2) [ 20 ] 0.8762(7) [ 40 ]	0.6782(50) [ 26 ] 0.689(10) [ 30 ] 0.6920 [ 19 ] 0.693 [ 41 ] 0.6852(28) [ 39 ] 0.6845(23) [ 42 ] 0.6845(6) [ 43 ] 0.686(2) [ 20 ] 0.6842(16) [ 40 ]	0.51(5) [ 44 ] 0.569(5) อ้างอิงใน[ 39 ] 0.571(3) [ 26 ] 0.5746 [ 19 ] 0.5723(18) [ 39 ] 0.5737(33) [ 42 ] 0.5757(7) [ 43 ] 0.5739(1) [ 20 ] 0.5720(43) [ 40 ]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {5}{84}}\varepsilon +{\frac {589}{2^{2}3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	1/2
${\displaystyle \sigma }$	1	36/91	0.42(6) [ 45 ] 0.445(10) [ 29 ] 0.4522(8) [ 30 ] 0.4524(6) [ 38 ] 0.4419 [ 19 ] 0.452(7) [ 20 ]	0.476(5) 0.4742 [ 19 ] 0.4789(14) [ 20 ]	0.496(4) 0.4933 [ 19 ] 0.49396(13) [ 20 ]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{98}}\varepsilon ^{2}}$	1/2
${\displaystyle \tau }$	2	187/91	2.186(2) [ 31 ] 2.1888 [ 19 ] 2.189(2) [ 29 ] 2.190(2) [ 33 ] 2.189(1) [ 46 ] 2.18906(8) [ 30 ] 2.18909(5) [ 38 ] 2.1892(1) [ 47 ] 2.1938(12) [ 20 ]	2.26 [ 28 ] 2.313(3) [ 48 ] 2.3127(6) [ 30 ] 2.313(2) [ 33 ] 2.3124 [ 19 ] 2.3142(5) [ 47 ] 2.3150(8) [ 20 ]	2.33 [ 28 ] 2.412(4) [ 48 ] 2.4171 [ 19 ] 2.419(1) [ 47 ] 2.4175(2) [ 20 ]	${\displaystyle {\frac {5}{2}}-{\frac {\varepsilon }{14}}+{\frac {313}{2^{3}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	5/2
${\displaystyle d_{\text{f}}}$	1	91/48	2.523(4) [ 29 ] * 2.530(4) [ 31 ] * 2.5230(1) [ 35 ] 2.5226(1) [ 49 ] 2.52293(10) [ 38 ]	3.12(2), [ 44 ] 3.05(5), 3.003 [ 41 ] 3.0472(14) [ 30 ] 3.046(7) [ 48 ] 3.046(5) [ 33 ] 3.0479 [ 19 ] 3.0437(11) [ 47 ] 3.0446(7) [ 42 ]	3.54(4) 3.69(2) [ 44 ] 3.528 [ 19 ] 3.524(2) [ 47 ] 3.5260(14) [ 42 ]	${\displaystyle 4-{\frac {10}{21}}\varepsilon +{\frac {103}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}}$	4
${\displaystyle \Omega }$		0.70(2) [ 33 ] 0.77(4) [ 50 ] 0.77(2) [ 51 ] 72/91 [ 52 ] [ 53 ] 0.44(9) [ 1 ]	0.50(9) [ 26 ] 0.64(2) [ 29 ] 0.73(8) [ 31 ] 0.65(2) [ 54 ] 0.60(8) [ 33 ] 0.77(3) [ 47 ] 0.64(5) [ 35 ]	0.31(5) [ 26 ] 0.5(1) [ 33 ] 0.37(4) [ 30 ] 0.4008 [ 19 ]	0.27(7) [ 26 ] 0.2034 [ 19 ] 0.210(2) [ 20 ]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{4}}-{\frac {283}{2^{2}3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}}$
${\displaystyle \omega }$		3/2 [ 52 ]	1.26(23) [ 26 ] 1.6334 [ 19 ] 1.62(13) [ 35 ] 1.61(5) [ 29 ]	0.94(15) [ 26 ] 1.2198 [ 19 ] 1.13(10) [ 30 ] 1.0(2) [ 55 ]	0.96(26) [ 26 ] 0.7178 [ 19 ]	${\displaystyle \varepsilon -{\frac {671}{2\cdot 3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}}$[ 56 ] [ 19 ]	0
${\displaystyle t'=t/\nu }$		0.9479 [ 57 ] 0.995(1) [ 58 ] 0.977(8)) [ 59 ] 0.9825(8) [ 4 ]	2.276(12) [ 60 ] 2.26(4) [ 61 ] 2.305(15) [ 62 ] 2.283(3) [ 55 ]				3
${\displaystyle d_{w}}$		2.8784(8) [ 4 ]
${\displaystyle d_{s}}$		4/3 [ 57 ] 1.327(1) [ 58 ] 1.3100(11) [ 4 ]	1.32(6) [ 63 ]
${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }}$		2/3 [ 64 ] [ 65 ]	1.04(5) [ 10 ] 1.030(6) [ 66 ] 1.0246(4) [ 67 ]	1.32(7) [ 68 ]	1.65(3) [ 68 ]	${\displaystyle 2-{\frac {5}{21}}\varepsilon }$[ 68 ]	2 [ 68 ]
${\displaystyle \beta _{\mathrm {surf} }/\nu =x_{1}}$		1/3 [ 64 ]	0.98(2) [ 69 ] 0.970(6) [ 66 ] 0.975(4) [ 70 ] 0.9754(4) [ 67 ] 0.974(2) [ 71 ]	1.64(2) [ 71 ]	2.408(5) [ 71 ]	3
${\displaystyle \eta _{\parallel }}$(เล่นเซิร์ฟ)		2/3 [ 64 ]	1.02(12) [ 68 ] 1.08(10) [ 10 ]	1.37(13) [ 68 ]	1.7(6) [ 68 ]
${\displaystyle d_{\text{b}}}$		1.60(5) [ 2 ] 1.64(1) [ 72 ] 1.647(4) [ 3 ] 1.6432(8) [ 4 ] 1.6434(2) [ 73 ] 1.64336(10) [ 74 ] 1.64333316328711...* [ 6 ]	1.8, 1.77(7) [ 2 ] 1.855(15) [ 75 ]	1.95(5) [ 76 ] 1.9844(11) [ 42 ]	2.00(5) [ 76 ] 2.0226(27) [ 42 ]		2
${\displaystyle d_{\text{min}}=z}$		1.132(2) [ 77 ] 1.130(3) [ 78 ] 1.1307(4) [ 3 ] 1.1303(8) [ 79 ] 1.1306(3) [ 4 ] 1.130 77(2) [ 80 ]	1.35(5) [ 2 ] 1.34(1) [ 78 ] 1.374(6) [ 66 ] 1.3756(6) [ 80 ] 1.3756(3) [ 36 ] 1.3755(3) [ 38 ]	1.607(5) [ 48 ] 1.6042(5) [ 42 ]	1.812(6) [ 48 ] 1.8137(16) [ 42 ]		2
${\displaystyle \lambda =\mu +1}$		2.1055(10) [ 81 ] 2.1056(3) [ 5 ] 2.1045(10) [ 82 ] 2.105 [ 83 ]

• สำหรับซึ่งตรงตามความต้องการใกล้เคียง^{[ 6 ]}${\displaystyle d=2}$${\displaystyle d_{\mathrm {b} }=2-(z^{2}-1)/12}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\sqrt {3}}z/4+\sin(2\pi z/3)=0}$${\displaystyle z=2.3}$

ในการซึมผ่านแบบป้องกัน พันธะจะถูกลบออกทีละพันธะจากคลัสเตอร์ที่ซึมผ่านเท่านั้น คลัสเตอร์ที่แยกตัวจะไม่ถูกแก้ไขอีกต่อไป ความสัมพันธ์การปรับขนาด: , , , โดยที่ปริมาณที่มีเครื่องหมายไพรม์บ่งชี้ถึงการซึมผ่านแบบป้องกัน^{[ 25 ]}${\displaystyle \beta '=\beta /(1+\beta )}$${\displaystyle \gamma '=\gamma /(1+\beta )}$${\displaystyle \nu '=\nu /(1+\beta )}$${\displaystyle \tau '=\tau }$

${\displaystyle d}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6-\varepsilon }$	${\displaystyle 6+}$
${\displaystyle \beta '}$		5/41 [ 25 ]	0.288 71(15) [ 25 ]
${\displaystyle \gamma '}$		86/41 [ 25 ]	1.3066(19) [ 25 ]
${\displaystyle \tau '}$		187/91 [ 25 ]	2.1659(21) [ 25 ]

การซึมผ่านแบบมีทิศทาง ( Directed percolationหรือ DP) หมายถึงการซึมผ่านที่ของเหลวสามารถไหลได้เพียงทิศทางเดียวตามแนวพันธะ เช่น ไหลลงด้านล่างเท่านั้นบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมที่หมุนไป 45 องศา ระบบนี้เรียกว่า "DP มิติ 1 + 1" โดยที่สองมิตินั้นหมายถึงพื้นที่และเวลา

${\displaystyle \nu _{\perp }}$และคือเลขชี้กำลังความยาวสหสัมพันธ์ตามขวาง (ตั้งฉาก) และตามยาว (ขนาน) ตามลำดับ นอกจากนี้ยังสอดคล้องกับความสัมพันธ์ไฮเปอร์สเกลลิ่งด้วย ${\displaystyle \nu _{\parallel }}$${\displaystyle \zeta =1/z=\nu _{\perp }/\nu _{\parallel }}$${\displaystyle d/z=\eta +2\delta }$

มีการใช้ข้อตกลงอื่นสำหรับเลขชี้กำลังซึ่งในที่นี้เราเรียกว่าถูกกำหนดผ่านความสัมพันธ์ดังนั้น^{[ 84 ]} มันสอดคล้องกับความสัมพันธ์ไฮเปอร์สเกลลิ่ ง${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle \langle R^{2}\rangle \sim t^{z'}}$${\displaystyle z'=\nu _{\parallel }/\nu _{\perp }=2/z}$${\displaystyle dz'=2\eta +4\delta }$

${\displaystyle \delta }$คือเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกับพฤติกรรมของความน่าจะเป็นในการอยู่รอดเป็นฟังก์ชันของเวลา: . ${\displaystyle P(t)\sim t^{-\delta }}$

${\displaystyle \eta }$(บางครั้งเรียกว่า) คือเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกับพฤติกรรมของจำนวนเว็บไซต์ที่เข้าชมโดยเฉลี่ย ณ เวลา(เฉลี่ยจากตัวอย่างทั้งหมด รวมถึงตัวอย่างที่หยุดการแพร่กระจายแล้ว): . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle t}$${\displaystyle N(t)\sim t^{-\eta }}$

เลขชี้กำลังมิติ d (พื้นที่) + 1 (เวลา) แสดงไว้ด้านล่าง

${\displaystyle d+1}$	${\displaystyle 1+1}$	${\displaystyle 2+1}$	${\displaystyle 3+1}$	${\displaystyle 4-\varepsilon }$[ 85 ] [ 86 ]	${\displaystyle {\text{Mean Field}}}$
${\displaystyle \beta }$	0.276486(8) [ 87 ] 0.276 7(3) [ 88 ]	0.5834(30) [ 89 ] 0.580(4) [ 88 ]	0.813(9) [ 90 ] 0.818(4) [ 88 ] 0.82205 [ 85 ]	${\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{6}}}$	1
${\displaystyle \delta ,\alpha }$	0.159464(6) [ 87 ] 0.15944(2) [ 88 ]	0.4505(1) [ 89 ] 0.451(3) [ 84 ] 0.4509(5) [ 91 ] 0.4510(4) [ 88 ] 0.460(6) [ 92 ]	0.732(4) [ 93 ] 0.7398(10) [ 88 ] 0.73717 [ 94 ]	${\displaystyle 1-{\frac {\varepsilon }{4}}}$	1
${\displaystyle \eta ,\theta }$	0.313686(8) [ 87 ] 0.31370(5) [ 88 ]	0.2303(4) [ 91 ] 0.2307(2) [ 88 ] 0.2295(10) [ 89 ] 0.229(3) [ 84 ] 0.214(8) [ 92 ]	0.1057(3) [ 88 ] 0.114(4) [ 90 ] 0.12084 [ 94 ]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{12}}}$	0
${\displaystyle \nu _{\parallel }}$	1.733847(6) [ 87 ] 1.733825(25) [ 95 ] 1.7355(15) [ 88 ] 1.73(2) [ 96 ]	1.16(5) [ 96 ] 1.287(2) [ 88 ] 1.295(6) [ 84 ]	1.106(3) [ 88 ] 1.11(1) [ 90 ] 1.10571 [ 94 ]	${\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{12}}}$	1
${\displaystyle \nu _{\perp }}$	1.096854(4) [ 87 ] 1.096844(14) [ 95 ] 1.0979(10) [ 88 ]	0.7333(75) [ 93 ] 0.729(1) [ 88 ]	0.584(5) [ 93 ] 0.582(2) [ 88 ] 0.58360 [ 94 ]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {\varepsilon }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle z=2/z'}$	1.580745(10) [ 87 ] 1.5807(2) [ 88 ]	1.7660(16) [ 93 ] 1.765(3) [ 84 ] 1.766(2) [ 89 ] 1.7665(2) [ 88 ] 1.7666(10) [ 91 ]	1.88746 [ 94 ] 1.8990(4) [ 88 ] 1.901(5) [ 93 ]	${\displaystyle 2-{\frac {\varepsilon }{12}}}$	2
${\displaystyle \gamma }$	2.277730(5) = 41/18?, [ 87 ] 2.278(2) [ 97 ]	1.595(18) [ 89 ]	1.237(23) [ 90 ]	${\displaystyle 1+{\frac {\varepsilon }{6}}}$	1
${\displaystyle \tau }$	2.112(5), [ 98 ] 2.1077(13), [ 99 ] 2.10825(8) [ 87 ]

ความสัมพันธ์เชิงสเกลลิ่งสำหรับการซึมผ่านแบบมีทิศทาง

${\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}}$

${\displaystyle \tau =2+{\frac {2}{1+\gamma /\beta }}}$^{[ 99 ]}

${\displaystyle {\tilde {\tau }}=\nu _{\parallel }-\beta }$^{[ 87 ]}

${\displaystyle \eta =\gamma /\nu _{\parallel }-1}$

${\displaystyle d_{\mathrm {DP} }=2-\beta /\nu _{\parallel }}$^{[ 100 ]}

${\displaystyle d_{b,\mathrm {DP} }=2-2\beta /\nu _{\parallel }}$^{[ 100 ]}

${\displaystyle \Delta =\beta +\gamma }$

${\displaystyle dz'=2\eta +4\delta }$

${\displaystyle d/z=\eta +2\delta }$

สำหรับการซึมผ่านแบบไดนามิก (การเติบโตแบบแพร่ระบาดของกลุ่มการซึมผ่านแบบปกติ) เรามี

${\displaystyle P(t)\sim L^{-\beta /\nu }\sim (t^{1/d_{\mathrm {min} }})^{-\beta /\nu }=t^{-\delta }}$ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \delta ={\frac {\beta }{\nu d_{\mathrm {min} }}}={\frac {d-d_{f}}{d_{\mathrm {min} }}}}$

สำหรับให้พิจารณาและเมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับ จะได้ ซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle N(t)\sim t^{\eta }}$${\displaystyle N(\leq s)\sim s^{3-\tau }\sim R^{d_{f}(3-\tau )}\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle N(t)\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }-1}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {d_{f}(3-\tau )}{d_{\mathrm {min} }}}-1={\frac {2d_{f}-d}{d_{\mathrm {min} }}}-1}$

อีกด้วย,${\displaystyle z=d_{\mathrm {min} }}$

เมื่อใช้เลขยกกำลังข้างต้น เราจะพบว่า

${\displaystyle d:}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6-\varepsilon }$	${\displaystyle {\text{Mean Field}}}$
${\displaystyle \delta }$	0.09212	0.34681	0.59556	0.8127		1
${\displaystyle \eta ,\mu }$	0.584466	0.48725	0.30233	0.1314		0

• เลขชี้กำลังวิกฤต
• คลาสสากล
• ทฤษฎีการซึมผ่าน
• เกณฑ์การซึมผ่าน
• พฤติกรรมวิกฤตของพื้นผิวการซึมผ่าน
• ค่าการนำไฟฟ้าใกล้จุดวิกฤตการซึมผ่าน