ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีมิติการปรับขนาดหรือเรียกง่ายๆ ว่ามิติของตัวดำเนินการเฉพาะที่ในทฤษฎีสนามควอนตัม บ่งบอกถึงคุณสมบัติการปรับขนาดของตัวดำเนินการภายใต้การขยายตัวของปริภูมิ เวลา หากทฤษฎีสนาม ควอนตัม ไม่แปรเปลี่ยนตามมาตราส่วน มิติการปรับขนาดของตัวดำเนินการจะเป็นตัวเลขคงที่ มิฉะนั้นจะเป็นฟังก์ชันของมาตราส่วนระยะทาง ${\displaystyle x\to \lambda x}$

ในทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน ตามคำนิยาม ตัวดำเนินการแต่ละตัว จะได้รับ ตัวประกอบภายใต้การขยายโดยที่เป็นจำนวนที่เรียกว่ามิติการปรับขนาดของ ซึ่ง หมายความว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุดจะขึ้นอยู่กับระยะทางในลักษณะ โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของตัวดำเนินการเฉพาะที่หลายตัวจะต้องขึ้นอยู่กับระยะทางในลักษณะที่ ${\displaystyle O}$${\displaystyle x\to \lambda x}$${\displaystyle \lambda ^{-\เดลต้า }}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle O}$${\displaystyle \langle O(x)O(0)\rangle }$${\displaystyle (x^{2})^{-\Delta }}$${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

ทฤษฎีที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนส่วนใหญ่ยังไม่ขึ้นกับการแปลงตามความสอดคล้องซึ่งกำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติมต่อฟังก์ชันความสัมพันธ์ของตัวดำเนินการเฉพาะที่^{[ 1 ]}

ทฤษฎีอิสระเป็นทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนที่ง่ายที่สุด ในทฤษฎีอิสระ เราจะแยกความแตกต่างระหว่างตัวดำเนินการพื้นฐาน ซึ่งเป็นสนามที่ปรากฏในลากรางเจียนและตัวดำเนินการประกอบ ซึ่งเป็นผลคูณของตัวดำเนินการพื้นฐาน มิติการปรับขนาดของตัวดำเนินการพื้นฐานถูกกำหนดโดยการวิเคราะห์มิติจากลากรางเจียน (ในสี่มิติของปริภูมิเวลา มิติการปรับขนาดจะเป็น 1 สำหรับสนามโบซอนิกพื้นฐาน รวมถึงศักย์เวกเตอร์ 3/2 สำหรับสนามเฟอร์มิออนิกพื้นฐาน เป็นต้น) มิติการปรับขนาดนี้เรียกว่ามิติคลาสสิก (มีการใช้คำว่ามิติเชิงแคนอนิกและมิติเชิงวิศวกรรมด้วย) ตัวดำเนินการประกอบที่ได้จากการนำผลคูณของตัวดำเนินการสองตัวที่มีมิติและ เป็นตัวดำเนินการใหม่ที่มีมิติเป็น ผล รวม${\displaystyle O}$${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$

เมื่อเปิดใช้งานการโต้ตอบ มิติการปรับขนาดจะได้รับการแก้ไขที่เรียกว่ามิติผิดปกติ (ดูด้านล่าง)

มีทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนอยู่มากมายที่ไม่ใช่ทฤษฎีอิสระ ทฤษฎีเหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ มิติการปรับมาตราส่วนของตัวดำเนินการในทฤษฎีดังกล่าวอาจไม่สามารถอ่านได้จากLagrangianและไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม (ครึ่ง) ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีที่ไม่ขึ้น กับมาตราส่วน (และขึ้นกับคอนฟอร์มัล) ที่อธิบายจุดวิกฤตของ แบบจำลอง Isingสองมิติมีตัวดำเนินการที่มีมิติเป็น 1/8 ^{[ 2 ] [ 1 ]}${\displaystyle \sigma }$

การคูณตัวดำเนินการมีความซับซ้อนในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์เมื่อเทียบกับทฤษฎีอิสระการขยายผลคูณตัวดำเนินการของตัวดำเนินการสองตัวที่มีมิติและโดยทั่วไปจะไม่ให้ตัวดำเนินการที่ไม่ซ้ำกัน แต่จะให้ตัวดำเนินการจำนวนอนันต์ และมิติของตัวดำเนินการเหล่านั้นโดยทั่วไปจะไม่เท่ากับในตัวอย่างแบบจำลอง Ising สองมิติข้างต้น ผลคูณตัวดำเนินการจะให้ตัวดำเนินการที่มีมิติเป็น 1 และไม่ใช่สองเท่าของมิติของ^{[ 2 ] [ 1 ]}${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$${\displaystyle \sigma \times \sigma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \sigma }$

มีทฤษฎีสนามควอนตัมจำนวนมากซึ่งแม้จะไม่คงที่ตามมาตราส่วนอย่างแท้จริง แต่ก็ยังคงคงที่ตามมาตราส่วนโดยประมาณในช่วงระยะทางที่ยาวไกล ทฤษฎีสนามควอนตัมดังกล่าวสามารถได้มาจากการเพิ่มเทอมปฏิสัมพันธ์ให้กับทฤษฎีสนามอิสระด้วยค่าคู่ควบ ไร้มิติขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น ในมิติปริภูมิเวลาสี่มิติ เราสามารถเพิ่มค่าคู่ควบสเกลาร์ควอติก ค่าคู่ควบยูคาวา หรือค่าคู่ควบเกจได้ มิติการปรับขนาดของตัวดำเนินการในทฤษฎีดังกล่าวสามารถแสดงได้โดยใช้แผนภาพเป็น โดยที่คือมิติเมื่อค่าคู่ควบทั้งหมดถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ (เช่น มิติแบบคลาสสิก) ในขณะที่เรียกว่ามิติที่ผิดปกติและแสดงเป็นอนุกรมกำลังในค่าคู่ควบโดยรวมเรียกว่า[ ^{3 ] การ} แยกมิติการปรับขนาดออกเป็นส่วนคลาสสิกและส่วนที่ผิดปกติจะมีความหมายก็ต่อเมื่อค่าคู่ควบมีขนาดเล็ก ดังนั้น จึงเป็นการแก้ไขเล็กน้อย ${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)}$${\displaystyle \Delta _{0}}$${\displaystyle \gamma (g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \gamma (g)}$

โดยทั่วไป เนื่องมาจากผลของกลศาสตร์ควอนตัม ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะไม่คงที่ แต่จะแปรผัน (ในศัพท์เฉพาะของทฤษฎีสนามควอนตัมคือrun ) ตามมาตราส่วนระยะทางโดยขึ้นอยู่กับฟังก์ชันเบตา ของมัน ดังนั้น มิติที่ผิดปกติจึงขึ้นอยู่กับมาตราส่วนระยะทางในทฤษฎีดังกล่าวด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของตัวดำเนินการเฉพาะที่ไม่ได้เป็นเพียงแค่กำลังง่ายๆ อีกต่อไป แต่มีการพึ่งพาต่อระยะทางที่ซับซ้อนกว่า โดยทั่วไปจะมีค่าแก้ไขแบบลอการิทึม ${\displaystyle g}$${\displaystyle \gamma (g)}$

อาจเกิดขึ้นได้ว่าวิวัฒนาการของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะนำไปสู่ค่าที่ฟังก์ชันเบตาเป็นศูนย์ ในกรณีนั้น ที่ระยะทางไกล ทฤษฎีจะกลายเป็นทฤษฎีที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนและมิติที่ผิดปกติจะหยุดเคลื่อนที่ พฤติกรรมเช่นนี้เรียกว่าจุดตรึงอินฟราเรด ${\displaystyle g=g_{*}}$

ในกรณีพิเศษอย่างยิ่ง อาจเกิดขึ้นเมื่อค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อและมิติที่ผิดปกติไม่เปลี่ยนแปลงเลย ทำให้ทฤษฎีมีความไม่แปรผันตามมาตราส่วนที่ระยะทางทั้งหมดและสำหรับค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อใดๆ ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้เกิดขึ้นในทฤษฎี Yang–Mills แบบซูเปอร์สมมาตร N= 4