ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตอธิบายพฤติกรรมของปริมาณทางกายภาพใกล้กับการเปลี่ยนสถานะแบบ ต่อเนื่อง เชื่อกันว่า (แม้จะยังไม่ได้รับการพิสูจน์) ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตเป็นสากล กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของระบบทางกายภาพ แต่ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะทั่วไปบางประการเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับระบบเฟอร์โรแมกเนติกที่อยู่ในสมดุลทางความร้อน ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตจะขึ้นอยู่กับ:

• มิติของระบบ
• ขอบเขตของการปฏิสัมพันธ์
• มิติการหมุน

คุณสมบัติของเลขชี้กำลังวิกฤตเหล่านี้ได้รับการสนับสนุนจากข้อมูลการทดลอง ผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์สามารถบรรลุได้ในทางทฤษฎีในทฤษฎีสนามเฉลี่ย ในมิติสูง หรือเมื่อทราบคำตอบที่แน่นอน เช่น แบบจำลอง Isingสองมิติการวิเคราะห์ทางทฤษฎีในมิติทั่วไปต้องใช้ แนวทาง กลุ่มการปรับมาตรฐานหรือสำหรับระบบที่อยู่ในสมดุลทางความร้อน ต้องใช้ เทคนิค การบูตสแตรปแบบคอนฟอร์มอลการเปลี่ยนเฟสและเลขชี้กำลังวิกฤตปรากฏในระบบทางฟิสิกส์หลายระบบ เช่น น้ำที่จุดวิกฤตในระบบแม่เหล็ก ในสภาพนำยิ่งยวด ในการซึมผ่าน และในของไหลปั่นป่วน มิติวิกฤตที่เลขชี้กำลังสนามเฉลี่ยใช้ได้นั้นแตกต่างกันไปตามระบบ และอาจเป็นอนันต์ได้

พารามิเตอร์ควบคุมที่ขับเคลื่อนการเปลี่ยนสถานะมักจะเป็นอุณหภูมิ แต่ก็อาจเป็นตัวแปรระดับมหภาคอื่นๆ เช่น ความดัน หรือสนามแม่เหล็กภายนอก เพื่อความง่าย ในการอธิบายต่อไปนี้จะใช้เพียงอุณหภูมิ การแปลงเป็นพารามิเตอร์ควบคุมอื่นนั้นทำได้ง่าย อุณหภูมิที่เกิดการเปลี่ยนสถานะเรียกว่าอุณหภูมิวิกฤตT_{_c} เราต้องการอธิบายพฤติกรรมของปริมาณทางกายภาพfในรูปของกฎกำลังรอบๆ อุณหภูมิวิกฤต เราจึงแนะนำอุณหภูมิที่ลดลง

${\displaystyle \tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}}$

ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ ณ จุดเปลี่ยนเฟสและกำหนดเลขชี้กำลังวิกฤตดังนี้: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือ กฎกำลังที่เราต้องการ:

${\displaystyle f(\tau )=\tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0}$

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่านี่แสดงถึงพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันf ( τ )เมื่อτ → 0

โดยทั่วไปแล้วเราอาจคาดหวังได้ว่า

${\displaystyle f(\tau )=\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)}$

สมมติว่าระบบที่อยู่ในสภาวะสมดุลทางความร้อนมีสองเฟสที่แตกต่างกัน โดยแต่ละเฟสมีพารามิเตอร์ลำดับΨซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่อุณหภูมิT _cขึ้น ไป

พิจารณาสถานะที่ไม่เป็นระเบียบ ( τ > 0 ) สถานะที่เป็นระเบียบ ( τ < 0 ) และ สถานะ อุณหภูมิวิกฤต ( τ = 0 ) แยกกัน ตามธรรมเนียมมาตรฐาน เลขชี้กำลังวิกฤตที่เกี่ยวข้องกับสถานะที่เป็นระเบียบจะมีเครื่องหมายไพรม์กำกับไว้ นอกจากนี้ยังเป็นธรรมเนียมมาตรฐานอีกอย่างหนึ่งที่จะใช้ตัวยก/ตัวห้อย + (−) สำหรับสถานะที่ไม่เป็นระเบียบ (ที่เป็นระเบียบ) โดยทั่วไปการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติจะเกิดขึ้นในสถานะที่เป็นระเบียบ

ค่าต่อไปนี้จะถูกประเมินที่J = 0 (ยกเว้น ค่า δ )

ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตสามารถหาได้จากพลังงานอิสระจำเพาะf ( J , T )ซึ่งเป็นฟังก์ชันของแหล่งกำเนิดและอุณหภูมิ ความยาวสหสัมพันธ์สามารถหาได้จากฟังก์ชันF [ J ; T ]ในหลายกรณี ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตที่กำหนดในเฟสที่เป็นระเบียบและไม่เป็นระเบียบจะเหมือนกัน

เมื่อมิติวิกฤตบนเป็นสี่ ความสัมพันธ์เหล่านี้จะมีความแม่นยำใกล้จุดวิกฤตในระบบสองมิติและสามมิติ อย่างไรก็ตาม ในสี่มิติ กฎกำลังจะถูกปรับเปลี่ยนด้วยปัจจัยลอการิทึม ซึ่งจะไม่ปรากฏในมิติที่ใกล้เคียงกับสี่แต่ไม่ตรงกับสี่ ซึ่งสามารถใช้เป็นวิธีแก้ปัญหานี้ได้^{[ 1 ]}

ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตสำหรับสนามสเกลาร์ (ซึ่งแบบจำลองไอซิง เป็นตัวอย่างต้นแบบ) ตาม ทฤษฎีแลนเดาแบบคลาสสิก(หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีสนามเฉลี่ย ) กำหนดโดย

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}$

ถ้าเราเพิ่มพจน์อนุพันธ์เข้าไป ทำให้มันกลายเป็น ทฤษฎี Ginzburg–Landauแบบสนามเฉลี่ยเราจะได้

${\displaystyle \eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}}$

หนึ่งในข้อค้นพบที่สำคัญในการศึกษาปรากฏการณ์วิกฤตคือ ทฤษฎีสนามเฉลี่ยของจุดวิกฤตจะถูกต้องก็ต่อเมื่อมิติเชิงพื้นที่ของระบบสูงกว่ามิติหนึ่งที่เรียกว่ามิติวิกฤตบนซึ่งโดยส่วนใหญ่แล้วจะไม่รวมมิติทางกายภาพ 1, 2 หรือ 3 ปัญหาของทฤษฎีสนามเฉลี่ยคือ เลขชี้กำลังวิกฤตไม่ขึ้นอยู่กับมิติเชิงพื้นที่ ซึ่งนำไปสู่ความคลาดเคลื่อนเชิงปริมาณที่ต่ำกว่ามิติวิกฤต โดยที่เลขชี้กำลังวิกฤตที่แท้จริงแตกต่างจากค่าของทฤษฎีสนามเฉลี่ย นอกจากนี้ยังอาจนำไปสู่ความคลาดเคลื่อนเชิงคุณภาพที่มิติเชิงพื้นที่ต่ำ ซึ่งในความเป็นจริงแล้วจุดวิกฤตอาจไม่มีอยู่จริง แม้ว่าทฤษฎีสนามเฉลี่ยจะยังคงทำนายว่ามีอยู่ก็ตาม นี่คือกรณีของแบบจำลอง Ising ในมิติ 1 ซึ่งไม่มีการเปลี่ยนเฟส มิติเชิงพื้นที่ที่ทฤษฎีสนามเฉลี่ยไม่ถูกต้องในเชิงคุณภาพเรียกว่ามิติวิกฤตล่าง

ค่า αที่วัดได้อย่างแม่นยำที่สุดคือ −0.0127(3) สำหรับการเปลี่ยนเฟสของฮีเลียมยิ่งยวด (ที่เรียกว่าการเปลี่ยนเฟสแลมบ์ดา ) ค่านี้วัดบนกระสวยอวกาศเพื่อลดความแตกต่างของความดันในตัวอย่าง^{[ 2 ]}ค่านี้ไม่สอดคล้องกับค่าที่กำหนดทางทฤษฎีที่แม่นยำที่สุด^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}ที่ได้จากเทคนิคการขยายตัวที่อุณหภูมิสูง วิธี มอนเตคาร์โลและการบูตสแตรปแบบคอนฟอร์มอล^{[ 6 ]}

ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตสามารถประเมินได้โดยใช้วิธีมอนเตคาร์โลของแบบจำลองโครงตาข่าย ความแม่นยำของวิธีการหลักการพื้นฐานนี้ขึ้นอยู่กับทรัพยากรการคำนวณที่มีอยู่ ซึ่งเป็นตัวกำหนดความสามารถในการไปถึงขีดจำกัดปริมาตรอนันต์และลดข้อผิดพลาดทางสถิติ เทคนิคอื่นๆ อาศัยความเข้าใจเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับความผันผวนวิกฤต เทคนิคที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือกลุ่มการปรับมาตรฐาน (renormalization group ) ส่วนการบูตสแตรป แบบคอนฟอร์มอล (conformal bootstrap)เป็นเทคนิคที่พัฒนาขึ้นใหม่กว่า ซึ่งได้บรรลุความแม่นยำที่เหนือกว่าสำหรับค่าเลขชี้กำลังวิกฤตของไอซิง (Ising critical exponents )

เมื่อพิจารณาจากมาตราส่วนวิกฤต เราสามารถแสดงปริมาณทางเทอร์โมไดนามิกทั้งหมดใหม่ได้ในรูปของปริมาณไร้มิติ เมื่ออยู่ใกล้จุดวิกฤตมากพอ ทุกสิ่งสามารถแสดงใหม่ได้ในรูปของอัตราส่วนบางอย่างของกำลังของปริมาณที่ลดทอนแล้ว ซึ่งสิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันมาตราส่วน

ที่มาของฟังก์ชันการปรับขนาดสามารถมองเห็นได้จากกลุ่มการปรับมาตรฐาน จุดวิกฤตเป็นจุดคงที่อินฟราเรดในบริเวณใกล้เคียงจุดวิกฤตที่มีขนาดเล็กพอ เราสามารถทำให้การกระทำของกลุ่มการปรับมาตรฐานเป็นเชิงเส้นได้ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วหมายความว่า การปรับขนาดระบบด้วยปัจจัยaจะเทียบเท่ากับการปรับขนาดตัวดำเนินการและสนามแหล่งกำเนิดด้วยปัจจัยΔสำหรับ Δ บางค่า^{ดังนั้น}เราจึงสามารถกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ให้กับปริมาณทั้งหมดในรูปของปริมาณที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนที่ปรับขนาดแล้วได้

เป็นที่เชื่อกันมานานแล้วว่าเลขชี้กำลังวิกฤตจะเหมือนกันทั้งเหนือและใต้อุณหภูมิวิกฤต เช่นα ≡ α ′หรือγ ≡ γ ′แต่ปัจจุบันได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป: เมื่อสมมาตรต่อเนื่องถูกทำลายลงอย่างชัดเจนเป็นสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องโดยความไม่สมมาตรที่ไม่เกี่ยวข้อง (ในความหมายของกลุ่มการปรับมาตรฐาน) เลขชี้กำลังγและγ ′จะไม่เหมือนกัน^{[ 7 ]}

เลขชี้กำลังวิกฤตแสดงด้วยอักษรกรีก เลขชี้กำลังเหล่านี้จัดอยู่ในกลุ่มความเป็นสากลและเป็นไปตามความสัมพันธ์การปรับขนาดและ การปรับขนาดขั้นสูง

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}}$

สมการเหล่านี้บ่งชี้ว่ามีเลขชี้กำลังอิสระเพียงสองตัวเท่านั้น เช่นνและηทั้งหมดนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีของกลุ่มการปรับมาตรฐาน (renormalization group )

การเปลี่ยนเฟสและเลขชี้กำลังวิกฤตยังปรากฏใน กระบวนการ เพอร์โคเลชันโดยที่ความเข้มข้นของไซต์หรือลิงก์ที่ "ถูกครอบครอง" ของแลตทิซเป็นพารามิเตอร์ควบคุมของการเปลี่ยนเฟส (เมื่อเทียบกับอุณหภูมิในการเปลี่ยนเฟสแบบคลาสสิกในฟิสิกส์) ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือเพอร์โคเลชันแบบเบอร์นูลลีในแลตทิซสี่เหลี่ยมสองมิติ ไซต์ต่างๆ จะถูกครอบครองแบบสุ่มด้วยความน่าจะเป็นกลุ่มจะถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มของไซต์ที่ถูกครอบครองที่อยู่ใกล้เคียงกัน สำหรับค่าเล็กๆ ของไซต์ที่ถูกครอบครอง จะเกิดเป็นกลุ่มเล็กๆ เฉพาะที่เท่านั้น ที่เกณฑ์เพอร์โคเลชัน (เรียกอีกอย่างว่าความน่าจะเป็นวิกฤต) จะเกิดกลุ่มที่ครอบคลุมซึ่งขยายไปทั่วไซต์ตรงข้ามของระบบ และเราจะมีการเปลี่ยนเฟสอันดับสองซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยเลขชี้กำลังวิกฤตสากล^{[ 8 ] [ 9 ]}สำหรับเพอร์โคเลชันชั้นความเป็นสากลจะแตกต่างจากชั้นความเป็นสากลของไอซิง ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังวิกฤตความยาวสหสัมพันธ์คือ สำหรับเพอร์โคเลชันแบบเบอร์นูลลี 2 มิติ เมื่อเทียบกับสำหรับแบบจำลองไอซิง 2 มิติ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{c}\approx 0.5927}$${\displaystyle \nu =4/3}$${\displaystyle \nu =1}$

มี ระบบ แอนไอโซโทรปิก บาง ระบบที่ความยาวของความสัมพันธ์ขึ้นอยู่กับทิศทาง

การซึมผ่านแบบมีทิศทางสามารถถือได้ว่าเป็นการซึมผ่านแบบแอนไอโซโทรปิกเช่นกัน ในกรณีนี้เลขชี้กำลังวิกฤตจะแตกต่างกัน และมิติวิกฤตบนคือ 5 ^{[ 10 ]}

พฤติกรรมที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นอาจเกิดขึ้นได้ที่จุดวิกฤตหลายจุดที่ขอบหรือจุดตัดของแมนิโฟลด์วิกฤต ซึ่งสามารถเข้าถึงได้โดยการปรับค่าพารามิเตอร์สองตัวขึ้นไป เช่น อุณหภูมิและความดัน

ตัวอย่างข้างต้นกล่าวถึงเฉพาะคุณสมบัติคงที่ของระบบวิกฤตเท่านั้น อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติพลวัตของระบบก็อาจกลายเป็นวิกฤตได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวลาลักษณะเฉพาะτ _charของระบบจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อτ _char ∝ ξ ^zโดยมีเลขชี้กำลังพลวัตz ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มความเป็นสากลคงที่ขนาดใหญ่ของแบบจำลองที่เทียบเท่ากันซึ่งมีเลขชี้กำลังวิกฤตคงที่ที่เหมือนกันจะแตกออกเป็นกลุ่มความเป็นสากลพลวัต ที่เล็กลง หากเรากำหนดให้เลขชี้กำลังพลวัตนั้นเหมือนกันด้วย

ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตสมดุลสามารถคำนวณได้จากทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล

นอกจากนี้ ยังมีเลขชี้กำลังวิกฤตสำหรับภาวะวิกฤตที่เกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติในระบบที่มีการสูญเสียพลังงานด้วย

• กลุ่มความเป็นสากลสำหรับค่าตัวเลขของเลขชี้กำลังวิกฤต
• เครือข่ายที่ซับซ้อน
• กราฟสุ่ม
• ความไม่เท่าเทียมกันของรัชบรูค
• การวัดระดับปัญญา
• บูตสแตรปแบบสอดคล้อง
• เลขชี้กำลังวิกฤตของ Ising
• เลขชี้กำลังวิกฤตของการซึมผ่าน
• วิทยาศาสตร์เครือข่าย
• ทฤษฎีการซึมผ่าน
• ทฤษฎีกราฟ

• Hagen Kleinertและ Verena Schulte-Frohlinde, คุณสมบัติที่สำคัญของ φ ⁴ -ทฤษฎี , World Scientific (สิงคโปร์, 2001) ; ISBNปกอ่อน 981-02-4658-7
• Toda, M., Kubo, R., N. Saito, ฟิสิกส์เชิงสถิติ เล่ม 1 , Springer-Verlag (เบอร์ลิน, 1983); ปกแข็งISBN 3-540-11460-2
• J.M.E.O. Mans, กลศาสตร์เชิงสถิติของการเปลี่ยนสถานะ , สำนักพิมพ์ Oxford Clarendon Press
• หนังสือ "Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena" โดย HE Stanleyสำนักพิมพ์ Oxford University Press ปี 1971
• คลาสความเป็นสากลจาก Sklogwiki
• Zinn-Justin, Jean (2002). ทฤษฎีสนามควอนตัมและปรากฏการณ์วิกฤต , อ็อกซ์ฟอร์ด, สำนักพิมพ์ Clarendon (2002), ISBN 0-19-850923-5
• Zinn-Justin, J. (2010). "ปรากฏการณ์วิกฤต: แนวทางทฤษฎีสนาม"บทความ Scholarpedia Scholarpedia, 5(5):8346.
• D. Poland, S. Rychkov, A. Vichi, "The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques, and Applications" , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
• F. Leonard และ B. Delamotte เลขชี้กำลังวิกฤตอาจแตกต่างกันได้ทั้งสองด้านของการเปลี่ยนผ่าน: กลไกทั่วไป , Phys. Rev. Lett. 115, 200601 (2015), https://arxiv.org/abs/1508.07852 ,