ใน การวิเคราะห์ กลุ่มการปรับมาตรฐานของ ปรากฏการณ์ การเปลี่ยนเฟสในฟิสิกส์มิติวิกฤตคือมิติของพื้นที่ที่ลักษณะของการเปลี่ยนเฟสเปลี่ยนแปลงไป ต่ำกว่ามิติวิกฤตล่างจะไม่มีการเปลี่ยนเฟสเกิดขึ้น เหนือมิติวิกฤตบน ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตของทฤษฎีจะเท่ากับค่าในทฤษฎีสนามเฉลี่ยเกณฑ์ที่สง่างามในการหาค่ามิติวิกฤตภายในทฤษฎีสนามเฉลี่ยมาจากวี. กินซ์เบิร์ก

เนื่องจากกลุ่มการปรับค่าใหม่ (renormalization group)สร้างความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนเฟสและทฤษฎีสนามควอนตัมจึงมีผลกระทบต่อทฤษฎีสนามควอนตัมและต่อความเข้าใจโดยรวมเกี่ยวกับการปรับค่าใหม่ เหนือมิติวิกฤตบน ทฤษฎีสนามควอนตัมที่อยู่ในแบบจำลองของการเปลี่ยนเฟสคือทฤษฎีสนามอิสระส่วนใต้มิติวิกฤตล่าง จะไม่มีทฤษฎีสนามใดที่สอดคล้องกับแบบจำลองนั้น

ในบริบทของทฤษฎีสตริงความหมายจะจำกัดมากขึ้น: มิติวิกฤตคือมิติที่ทฤษฎีสตริงมีความสอดคล้อง โดยสมมติว่า พื้นหลัง ไดลา ตอนคงที่ โดยไม่มีการเรียงลำดับที่ทำให้เกิดความสับสนเพิ่มเติมจากผลกระทบของรังสีพื้นหลัง ตัวเลขที่แน่นอนอาจถูกกำหนดโดยการหักล้างที่จำเป็นของความผิดปกติเชิงคอนฟอร์มัลบนเวิลด์ชีทซึ่งมีค่า 26 สำหรับทฤษฎีสตริงโบซอนิกและ 10 สำหรับทฤษฎีซูเปอร์สตริง

การหาค่ามิติวิกฤตสูงสุดของทฤษฎีสนามเป็นเรื่องของพีชคณิตเชิงเส้นการทำให้กระบวนการนี้เป็นทางการนั้นคุ้มค่า เพราะจะให้ค่าประมาณลำดับต่ำสุดสำหรับการปรับขนาดและเป็นข้อมูลป้อนเข้าที่สำคัญสำหรับกลุ่มการปรับมาตรฐานนอกจากนี้ยังเผยให้เห็นเงื่อนไขของการมีแบบจำลองวิกฤตตั้งแต่แรกเริ่มอีกด้วย

ลากรางเจียนสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของพจน์ โดยแต่ละพจน์ประกอบด้วยปริพันธ์เหนือเอกนามของพิกัดและฟิลด์ตัวอย่างเช่นแบบจำลองมาตรฐาน และจุดไตรวิกฤตลิฟชิตซ์ แบบไอโซโทรปิก ที่มีลากรางเจียน ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \phi ^{4}}$

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{LTP}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

โปรดดูรูปทางด้านขวาด้วย โครงสร้างที่เรียบง่ายนี้อาจเข้ากันได้กับความไม่แปรผันตามมาตราส่วนภายใต้การปรับมาตราส่วนของพิกัดและฟิลด์ด้วยตัวประกอบตาม ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

เวลาไม่ได้ถูกแยกออกมาโดยเฉพาะในที่นี้ — มันเป็นเพียงพิกัดอีกตัวหนึ่ง: ถ้าลากรางเจียนมีตัวแปรเวลา ตัวแปรนี้จะต้องถูกปรับขนาดใหม่ด้วยเลขชี้กำลังคงที่บางค่า เป้าหมายคือการกำหนดชุดเลขชี้กำลัง ${\displaystyle t\ลูกศรขวา tb^{-z}}$${\displaystyle z=-[t]}$${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$

เลขชี้กำลังตัวหนึ่ง เช่นอาจถูกเลือกโดยพลการ ตัวอย่างเช่นในภาษาของการวิเคราะห์มิติหมายความว่าเลขชี้กำลังนับปัจจัยเวกเตอร์คลื่น ( ความยาวผกผัน ) ดังนั้นแต่ละเอกนามของลากรางเจียนจึงนำไปสู่สมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สำหรับเลขชี้กำลังหากมีพิกัดและฟิลด์ (ที่ไม่เท่ากัน) ในลากรางเจียน สม การดังกล่าวจะประกอบเป็นเมทริกซ์จัตุรัส หากเมทริกซ์นี้สามารถผกผันได้ ก็จะมีเพียงคำตอบที่ไม่สำคัญเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น ${\displaystyle [x_{1}]}$${\displaystyle [x_{1}]=-1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k=1/L_{1}}$${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N=0}$

เงื่อนไขสำหรับคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์จะให้สมการระหว่างมิติของพื้นที่ และสมการนี้จะกำหนดมิติวิกฤตบน(โดยมีเงื่อนไขว่ามีมิติตัวแปรเพียงมิติเดียวในลากรางเจียน) การกำหนดพิกัดและฟิลด์ใหม่แสดงให้เห็นว่า การหาค่าเลขชี้กำลังการปรับขนาดเทียบเท่ากับการวิเคราะห์มิติโดยสัมพันธ์กับเวกเตอร์คลื่นโดยที่ค่าคงที่การเชื่อมต่อทั้งหมดที่ปรากฏในลากรางเจียนนั้นไม่มีมิติ ค่าคงที่การเชื่อมต่อที่ไม่มีมิติเป็นลักษณะเฉพาะทางเทคนิคสำหรับมิติวิกฤตบน ${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$

การปรับขนาดแบบง่ายๆ ในระดับของลากรางเจียนนั้นไม่สอดคล้องกับการปรับขนาดทางกายภาพโดยตรง เพราะจำเป็นต้องมีจุดตัด เพื่อให้ ทฤษฎีสนามและปริพันธ์เส้นทาง มีความหมาย การเปลี่ยนแปลงขนาดความยาวจะเปลี่ยนจำนวนองศาอิสระด้วย ความซับซ้อนนี้ถูกนำมาพิจารณาโดยกลุ่มการปรับมาตรฐานผลลัพธ์หลักที่มิติวิกฤตบนคือ ความไม่แปรผันตามขนาดยังคงใช้ได้กับปัจจัยขนาดใหญ่แต่มีปัจจัยเพิ่มเติมในการปรับขนาดของพิกัดและสนาม ${\displaystyle b}$${\displaystyle ln(b)}$

สิ่งที่เกิดขึ้นด้านล่างหรือด้านบนขึ้นอยู่กับว่าเราสนใจระยะทางไกล ( ทฤษฎีสนามสถิติ ) หรือระยะทางสั้น ( ทฤษฎีสนามควอนตัม ) ทฤษฎีสนามควอนตัมนั้นไม่สำคัญ (ลู่เข้า) ด้านล่างและไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้ด้านบน^{[ 1 ]}ทฤษฎีสนามสถิตินั้นไม่สำคัญ (ลู่เข้า) ด้านบนและสามารถปรับค่าใหม่ได้ด้านล่างในกรณีหลังนี้ จะมีส่วนประกอบที่ "ผิดปกติ" เกิดขึ้นกับเลขชี้กำลังการปรับขนาดแบบง่ายส่วนประกอบที่ผิดปกติเหล่านี้กับเลขชี้กำลังวิกฤต ที่มีประสิทธิภาพ จะหายไปที่มิติวิกฤตบน ${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle N}$

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าความไม่แปรผันตามขนาดที่มิติวิกฤตบนสุดนั้นกลายเป็นความไม่แปรผันตามขนาดที่ต่ำกว่ามิตินี้ได้อย่างไร สำหรับเวกเตอร์คลื่นภายนอกขนาดเล็กฟังก์ชันจุดยอด จะได้รับเลขชี้กำลังเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นถ้าเลขชี้กำลังเหล่านี้ถูกแทรกเข้าไปในเมทริกซ์(ซึ่งมีค่าเฉพาะในคอลัมน์แรกเท่านั้น) เงื่อนไขสำหรับความไม่แปรผันตามขนาดจะกลายเป็นสมการนี้จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังที่ผิดปกติของฟังก์ชันจุดยอดทำงานร่วมกันในบางลักษณะ ในความเป็นจริง ฟังก์ชันจุดยอดขึ้นอยู่ซึ่งกันและกันในเชิงลำดับชั้น วิธีหนึ่งในการแสดงความสัมพันธ์นี้คือ สม การ ของ Schwinger–Dyson${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$${\displaystyle A(d)}$${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$

การปรับขนาดแบบง่าย ๆ ณมิติวิกฤตบนสุดจึงมีความสำคัญในฐานะการประมาณลำดับศูนย์ การปรับขนาดแบบง่าย ๆ ณ มิติวิกฤตบนสุดยังจำแนกพจน์ของลากรางจ์ว่าเป็นพจน์ที่เกี่ยวข้อง ไม่เกี่ยวข้อง หรือเป็นพจน์ชายขอบ ลากรางจ์จะเข้ากันได้กับการปรับขนาดหากเลขชี้กำลัง- และ- อยู่บนระนาบไฮเปอร์เพลนตัวอย่างเช่น ดูรูปด้านบนเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบไฮเปอร์เพลนนี้ ${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle N}$

มิติวิกฤตล่างของการเปลี่ยนเฟสของกลุ่มความเป็นสากล ที่กำหนด คือ มิติสุดท้ายที่การเปลี่ยนเฟสนี้จะไม่เกิดขึ้น หากมิติเพิ่มขึ้นโดยเริ่มจาก. ${\displaystyle d_{L}}$${\displaystyle d=1}$

เสถียรภาพทางเทอร์โมไดนามิกของเฟสที่มีระเบียบขึ้นอยู่กับเอนโทรปีและพลังงาน ในเชิงปริมาณนั้นขึ้นอยู่กับชนิดของผนังโดเมนและโหมดการผันผวนของมัน ดูเหมือนว่าจะไม่มีวิธีการที่เป็นทางการทั่วไปในการหาค่ามิติวิกฤตล่างของทฤษฎีสนาม ขอบเขตล่างอาจได้มาจากการใช้เหตุผล ทางกลศาสตร์เชิงสถิติ

พิจารณาระบบหนึ่งมิติที่มีปฏิสัมพันธ์ระยะสั้นก่อน การสร้างผนังโดเมนต้องใช้พลังงานคงที่การดึงพลังงานนี้จากระดับอิสระอื่นๆ จะลดเอนโทรปีลงการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีนี้ต้องเปรียบเทียบกับเอนโทรปีของผนังโดเมนเอง^{[ 2 ]}ในระบบที่มีความยาวจะมีตำแหน่งสำหรับผนังโดเมน ซึ่งนำไปสู่ ​​(ตามหลักการของโบลต์ซมันน์ ) การเพิ่มขึ้นของเอนโทรปีสำหรับอุณหภูมิที่ไม่เป็นศูนย์และมีขนาดใหญ่พอ การเพิ่มขึ้นของเอนโทรปีจะครอบงำเสมอ ดังนั้นจึงไม่มีการเปลี่ยนเฟสในระบบหนึ่งมิติที่มีปฏิสัมพันธ์ระยะสั้นที่ มิติของพื้นที่จึงเป็นขอบล่างสำหรับมิติวิกฤตล่างของระบบดังกล่าว ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L/a}$${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle d_{1}=1}$

สามารถหา ขอบล่างที่แข็งแกร่งกว่าได้โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกันสำหรับระบบที่มีปฏิสัมพันธ์ระยะสั้นและพารามิเตอร์ลำดับที่มีสมมาตรต่อเนื่อง ในกรณีนี้ทฤษฎีบทเมอร์มิน-แวกเนอร์ระบุว่าค่าคาดหวังของพารามิเตอร์ลำดับเป็นศูนย์ที่และดังนั้นจึงไม่มีการเปลี่ยนเฟสแบบปกติที่และต่ำกว่า ${\displaystyle d_{L}=2}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle d_{L}=2}$

สำหรับระบบที่มีความผิดปกติแบบดับลงเกณฑ์ที่กำหนดโดย Imry และ Ma ^{[ 3 ]}อาจมีความเกี่ยวข้อง ผู้เขียนเหล่านี้ใช้เกณฑ์ดังกล่าวเพื่อกำหนดมิติวิกฤตล่างของแม่เหล็กสนามสุ่ม

• Kanon: โปรแกรมฟรีสำหรับระบบปฏิบัติการ Windows สำหรับกำหนดขนาดวิกฤต พร้อมตัวอย่าง ความช่วยเหลือออนไลน์ และรายละเอียดทางคณิตศาสตร์