การซึมผ่านแบบแรก (First passage percolation)เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายเส้นทางที่สามารถเข้าถึงได้ในตัวกลางแบบสุ่มภายในระยะเวลาที่กำหนด

การซึมผ่านครั้งแรกเป็นหนึ่งในสาขาคลาสสิกที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยJohn HammersleyและDominic Welshในปี 1965 ในฐานะแบบจำลองการไหลของของเหลวในตัวกลางที่มีรูพรุน^{[ 1 ]}เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการซึมผ่านและการซึมผ่าน แบบเบอร์นูลลีแบบคลาสสิก สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนย่อยของการซึมผ่านครั้งแรก

เสน่ห์ส่วนใหญ่ของแบบจำลองนี้อยู่ที่คำจำกัดความที่เรียบง่าย (ในฐานะปริภูมิเมตริก แบบสุ่ม ) และคุณสมบัติที่ว่าข้อสันนิษฐานที่น่าสนใจหลายข้อไม่จำเป็นต้องใช้ความพยายามมากนักในการกล่าวถึง ส่วนใหญ่แล้ว เป้าหมายของการแพร่กระจายแบบผ่านครั้งแรกคือการทำความเข้าใจระยะทางแบบสุ่มบนกราฟ โดยที่น้ำหนักถูกกำหนดให้กับขอบ คำถามส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการหาเส้นทางที่มีน้ำหนักน้อยที่สุดระหว่างสองจุด ซึ่งเรียกว่าเส้นทางจีโอเดสิกหรือเพื่อทำความเข้าใจว่าเรขาคณิตแบบสุ่มมีพฤติกรรมอย่างไรในระดับขนาดใหญ่

เช่นเดียวกับทฤษฎีการซึมผ่านโดยทั่วไป ปัญหาหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับการซึมผ่านครั้งแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดหรือเวลาที่เหมาะสมที่สุด แบบจำลองนี้กำหนดไว้ดังนี้^{[ 2 ]} ให้เป็นกราฟเราวางตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ เรียกว่าเวลาผ่านของขอบที่ขอบเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดแต่ละขอบของกราฟ โดยปกติแล้ว ชุดข้อมูลจะถือว่าเป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน แต่ก็มีรูปแบบอื่นของแบบจำลองนี้ ตัวแปรสุ่มนี้ตีความได้ว่าเป็นเวลาหรือต้นทุนที่จำเป็นในการเดินทางผ่านขอบ ${\displaystyle G}$${\displaystyle t(e)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle t(e)}$${\displaystyle t(e)}$${\displaystyle e}$

เนื่องจากขอบแต่ละขอบในการแพร่กระจายแบบผ่านครั้งแรกมีน้ำหนัก (หรือเวลา) ของตัวเอง เราจึงสามารถเขียนเวลาทั้งหมดของเส้นทางเป็นผลรวมของน้ำหนักของขอบแต่ละขอบในเส้นทางได้^{[ 3 ]}

${\displaystyle T(\gamma )=\sum _{i\in \gamma }t(e_{i}).}$

เมื่อกำหนดจุดยอดสองจุดที่มี ค่า เป็นหนึ่งแล้ว จะกำหนดเซต ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle T(x,y)=\inf _{\gamma }T(\gamma ),}$

โดยที่ค่าต่ำสุด (infimum) อยู่เหนือเส้นทางจำกัดทั้งหมดที่เริ่มต้นที่และสิ้นสุดที่ฟังก์ชันนี้เหนี่ยวนำให้เกิดเมตริกเทียมแบบสุ่มบน ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle G}$

แบบจำลองการซึมผ่านครั้งแรกที่มีชื่อเสียงที่สุดคือบนโครงตาข่ายหนึ่งในคำถามที่โด่งดังที่สุดคือ "ลูกบอลที่มีรัศมีขนาดใหญ่จะมีลักษณะอย่างไร" คำถามนี้ถูกยกขึ้นในบทความต้นฉบับของ Hammersley และ Welsh ในปี 1969 และนำไปสู่ทฤษฎีบทรูปร่างจำกัดของ Cox-Durrett ในปี 1981 ^{[ 4 ]} แม้ว่าทฤษฎีบท Cox-Durrett จะแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของรูปร่างจำกัด แต่คุณสมบัติหลายอย่างของเซตนี้ยังไม่เป็นที่รู้จัก ตัวอย่างเช่น คาดว่าภายใต้สมมติฐานที่ไม่เข้มงวด เซตนี้ควรจะเป็นเซตเว้าอย่างเคร่งครัด ณ ปี 2016 ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดคือการมีอยู่ของจุดอนุพันธ์ Auffinger-Damron ในกรณีขอบ แบน Cox- Liggett ^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างเฉพาะของการซึมผ่านครั้งแรกที่สามารถจำลองได้โดยใช้โซ่ Markovตัวอย่างเช่นกราฟสมบูรณ์สามารถอธิบายได้โดยใช้โซ่ Markov และต้นไม้แบบเรียกซ้ำ^{[ 6 ]}และแถบความกว้าง 2 สามารถอธิบายได้โดยใช้โซ่ Markov และแก้ไขโดยใช้โซ่Harris ^{[ 7 ]}

ปรากฏการณ์การซึมผ่านของช่องทางแรกเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นจุดเริ่มต้นของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ รวมถึงทฤษฎีบทเออร์โกดิกแบบย่อยบวก ซึ่งเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีเออร์โกดิก

นอกเหนือจากคณิตศาสตร์แล้วแบบจำลองการเติบโตของอีเดนยังใช้ในการจำลองการเติบโตของแบคทีเรียและการสะสมของวัสดุ อีกตัวอย่างหนึ่งคือการเปรียบเทียบต้นทุนที่ลดลงจากการประมูลแบบวิคเครย์-คลาร์ก-โกรฟส์ (VCG-auction) กับเส้นทางที่ลดลงจากการแพร่กระจายแบบผ่านครั้งแรก เพื่อวัดว่าการประมูลแบบ VCG-auction นั้นมองโลกในแง่ร้ายเพียงใดในขีดจำกัดล่าง ปัญหาทั้งสองนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน และสามารถหาการแจกแจงเพื่อใช้ในทฤษฎีการประมูลได้