ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเซตผลต่างคือเซตย่อยที่มีขนาดเท่ากับกลุ่มที่มี อันดับ เท่ากับ ซึ่งสมาชิก ที่ไม่ใช่ เอกลักษณ์ ทุกตัวของ สามารถแสดงเป็นผลคูณของสมาชิกของ ได้อย่างแน่นอนวิธี เซตผลต่างเรียกว่าเป็นเซตวัฏจักร เซตอาเบเลียน เซตไม่อาเบเลียนฯลฯ ถ้ากลุ่มมีคุณสมบัติที่สอดคล้องกัน เซตผลต่างที่มี บางครั้งเรียกว่าเซตระนาบหรือเซตเชิงเดี่ยว^{[ 1 ]}ถ้าเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่เขียนในสัญกรณ์การบวก เงื่อนไขที่กำหนดคือสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัวของสามารถเขียนเป็นผลต่างของสมาชิกของ ได้ อย่างแน่นอนวิธี คำว่า "เซตผลต่าง" เกิดขึ้นในลักษณะนี้ ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d_{1}d_{2}^{-1}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda }$

• การนับอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่ามีคู่ขององค์ประกอบจากที่จะให้ผลลัพธ์เป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ ดังนั้นเซตผลต่างทุกเซตจะต้องสอดคล้องกับสมการ${\displaystyle k^{2}-k}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k^{2}-k=(v-1)\lambda .}$
• ถ้าเป็นเซตผลต่าง และแล้วก็เป็นเซตผลต่างเช่นกัน และ เรียกว่าการเลื่อนตำแหน่งของ( ในสัญกรณ์การบวก)${\displaystyle D}$${\displaystyle g\in G,}$${\displaystyle gD=\{gd:d\in D\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D+g}$
• ส่วนเติมเต็มของเซตผลต่าง - คือเซตผลต่าง - ^{[ 2 ]}${\displaystyle (v,k,\lambda )}$${\displaystyle (v,vk,v-2k+\lambda )}$
• เซตของการแปลทั้งหมดของเซตผลต่างก่อให้เกิดการออกแบบบล็อกสมมาตรเรียกว่าการพัฒนาของและใช้สัญลักษณ์ในการออกแบบดังกล่าวจะมีองค์ประกอบ (โดยทั่วไปเรียกว่าจุด) และบล็อก (เซตย่อย) แต่ละบล็อกของการออกแบบประกอบด้วยจุด แต่ละจุดจะอยู่ในบล็อก บล็อกสองบล็อกใดๆ จะมีองค์ประกอบร่วมกันอย่างแน่นอน และจุดสองจุดใดๆ จะอยู่ในบล็อกอย่างแน่นอนพร้อมกัน กลุ่มนี้ทำหน้าที่เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของการออกแบบ มันมีความสามารถในการถ่ายทอดอย่างเฉียบคมทั้งบนจุดและบล็อก^{[ 3 ]}${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle dev(D).}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle G}$
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าแล้วเซตผลต่างจะก่อให้เกิดระนาบเชิงโปรเจกทีฟตัวอย่างของเซตผลต่าง (7,3,1) ในกลุ่มคือเซตย่อยการเลื่อนของเซตผลต่างนี้ก่อให้เกิดระนาบฟาโน${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }$${\displaystyle \{1,2,4\}}$
• เนื่องจากชุดความแตกต่างทุกชุดให้การออกแบบสมมาตรชุดพารามิเตอร์จึงต้องเป็นไปตามทฤษฎีบท Bruck–Ryser– Chowla ^{[ 4 ]}
• ไม่ใช่ว่าการออกแบบสมมาตร ทุกแบบ จะให้ชุดความแตกต่างเสมอไป^{[ 5 ]}

เซตผลต่างสองเซตในกลุ่มและในกลุ่มจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีการสมมาตรของกลุ่มระหว่างและโดยที่สำหรับบางค่าเซตผลต่างสองเซตจะสมมาตรกันก็ต่อเมื่อแบบแผนและสมมาตรกันในฐานะแบบแผนบล็อก ${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle D_{1}^{\psi }=\{d^{\psi }\colon d\in D_{1}\}=gD_{2}}$${\displaystyle g\in G_{2}.}$${\displaystyle dev(D_{1})}$${\displaystyle dev(D_{2})}$

เซตผลต่างที่เทียบเท่ากันนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน แต่ก็มีตัวอย่างของเซตผลต่างไอโซมอร์ฟิกกันที่ไม่เทียบเท่ากัน ในกรณีของเซตผลต่างแบบวัฏจักร เซตผลต่างไอโซมอร์ฟิกกันที่รู้จักทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากัน^{[ 6 ]}

ตัวคูณของเซตผลต่างในกลุ่มคือ ออโตมอร์ฟิซึม ของกลุ่มเช่นนั้นสำหรับบางถ้าเป็นกลุ่มอาเบเลียนและคือออโตมอร์ฟิซึมที่แมปแล้วเรียกว่า ตัวคูณ เชิงตัวเลขหรือตัวคูณฮอลล์^{[ 7 ]}${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle D^{\phi }=gD}$${\displaystyle g\in G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle h\mapsto h^{t}}$${\displaystyle t}$

มีการตั้งสมมติฐานว่า ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ ที่หาร vลงตัวแต่หาร p ไม่ลงตัวออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่กำหนดโดยจะตรึงการแปลบางอย่างของD ไว้ (ซึ่งเทียบเท่ากับการเป็นตัวคูณ) เป็นที่ทราบกันว่าเป็นจริงเมื่อเป็นกลุ่มอาเบล และสิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทตัวคูณแรก ผลลัพธ์ที่ทราบกันโดยทั่วไปมากกว่าคือทฤษฎีบทตัวคูณที่สอง กล่าวว่า ถ้าเป็นเซตผลต่าง ในกลุ่มอาเบลที่มีเลขชี้กำลัง( ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของอันดับของทุกองค์ประกอบ) ให้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกับถ้ามีตัวหารของเช่นนั้นสำหรับทุกจำนวนเฉพาะp ที่หาร mลงตัวจะมีจำนวนเต็มiที่tเป็นตัวหารเชิง ตัวเลข ^{[ 8 ]}${\displaystyle k-\lambda }$${\displaystyle g\mapsto g^{p}}$${\displaystyle p>\lambda }$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (v,k,\lambda )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v^{*}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle m>\lambda }$${\displaystyle k-\lambda }$${\displaystyle t\equiv p^{i}\ {\pmod {v^{*}}}}$

ตัวอย่างเช่น 2 เป็นตัวคูณของเซตผลต่าง (7,3,1) ที่กล่าวถึงข้างต้น

มีการกล่าวถึงว่าตัวคูณเชิงตัวเลขของเซตผลต่างในกลุ่มอาเบเลียนจะตรึงการแปลของแต่ยังสามารถแสดงได้ว่ามีการแปลของซึ่งถูกกำหนดโดยตัวคูณเชิงตัวเลขทั้งหมดของ^{[ 9 ]}${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D.}$

ชุดความแตกต่างที่ทราบหรือส่วนเติมเต็มของชุดเหล่านั้นจะมีชุดพารามิเตอร์ชุดใดชุดหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 10 ]}

• ${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1))}$-เซตผลต่างสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ บางจำนวน และจำนวนเต็มบวกบางจำนวนสิ่งเหล่านี้เรียกว่าพารามิเตอร์แบบคลาสสิกและมีการสร้างเซตผลต่างโดยใช้พารามิเตอร์เหล่านี้อยู่หลายแบบ${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle (4n-1,2n-1,n-1)}$-เซตผลต่างสำหรับจำนวนเต็มบวกบางจำนวนเซตผลต่างที่มีv = 4 n − 1เรียกว่าเซตผลต่างแบบ Paley${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle (4n^{2},2n^{2}-n,n^{2}-n)}$-เซตผลต่างสำหรับจำนวนเต็มบวกบางจำนวนเซตผลต่างที่มีพารามิเตอร์เหล่านี้เรียกว่าเซตผลต่างฮาดามาร์ด${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle (q^{n+1}(1+(q^{n+1}-1)/(q-1)),q^{n}(q^{n+1}-1)/(q-1),q^{n}(q^{n}-1)/(q-1))}$-ชุดผลต่างสำหรับเลขชี้กำลังของจำนวนเฉพาะบางค่าและจำนวนเต็มบวกบางค่ารู้จักกันในชื่อพารามิเตอร์แมคฟาร์แลนด์ (McFarland parameters )${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle (3^{n+1}(3^{n+1}-1)/2,3^{n}(3^{n+1}+1)/2,3^{n}(3^{n}+1)/2)}$-ชุดผลต่างสำหรับจำนวนเต็มบวกบางจำนวนเรียกว่าพารามิเตอร์สเปนซ์ (Spence parameters )${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle (4q^{2n}(q^{2n}-1)/(q-1),q^{2n-1}(1+2(q^{2n}-1)/(q+1)),q^{2n-1}(q^{2n-1}+1)(q-1)/(q+1))}$-เซตผลต่างสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะบางจำนวนและจำนวนเต็มบวกบางจำนวนเซตผลต่างที่มีพารามิเตอร์เหล่านี้เรียกว่าเซตผลต่างเดวิส-เจดวาบ-เฉิน${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$

ในการสร้างเซตผลต่างหลายๆ แบบ กลุ่มที่ใช้มักเกี่ยวข้องกับกลุ่มการบวกและกลุ่มการคูณของฟิลด์จำกัดสัญลักษณ์ที่ใช้ในการแสดงฟิลด์เหล่านี้จะแตกต่างกันไปตามสาขาวิชา ในส่วนนี้คือฟิลด์กาโลอิสอันดับโดยที่เป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะ กลุ่มภายใต้การบวกจะใช้สัญลักษณ์ในขณะที่คือกลุ่มการคูณของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle {\rm {GF}}(q)}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle G=({\rm {GF}}(q),+)}$${\displaystyle {\rm {GF}}(q)^{*}}$

• ชุดความแตกต่างPaley :${\displaystyle (4n-1,2n-1,n-1)}$

ให้เป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ ในกลุ่มให้เป็นเซตของกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด${\displaystyle q=4n-1}$${\displaystyle G=({\rm {GF}}(q),+)}$${\displaystyle D}$

• ชุดความแตกต่างระหว่าง Singer :${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1))}$

ให้. แล้วเซตเป็นเซตผลต่าง โดยที่คือฟังก์ชันร่องรอย${\displaystyle G={\rm {GF}}(q^{n+2})^{*}/{\rm {GF}}(q)^{*}}$${\displaystyle D=\{x\in G~|~{\rm {Tr}}_{q^{n+2}/q}(x)=0\}}$${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1))}$${\displaystyle {\rm {Tr}}_{q^{n+2}/q}:{\rm {GF}}(q^{n+2})\rightarrow {\rm {GF}}(q)}$${\displaystyle {\rm {{Tr}_{q^{n+2}/q}(x)=x+x^{q}+\cdots +x^{q^{n+1}}.}}}$

• กำลังของจำนวนเฉพาะคู่ - ความแตกต่างเกิดขึ้นเมื่อและเป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่:${\displaystyle \left(q^{2}+2q,{\frac {q^{2}+2q-1}{2}},{\frac {q^{2}+2q-3}{4}}\right)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q+2}$

ในกลุ่มให้^{[ 11 ]}${\displaystyle G=({\rm {GF}}(q),+)\oplus ({\rm {GF}}(q+2),+)}$${\displaystyle D=\{(x,y)\colon y=0{\text{ หรือ }}x{\text{ และ }}y{\text{ ไม่เป็นศูนย์และทั้งคู่เป็นกำลังสองหรือทั้งคู่ไม่ใช่กำลังสอง}}\}.}$

การใช้ชุดผลต่างแบบวงจรและวิธีการสร้างการออกแบบบล็อกสมมาตรอย่างเป็นระบบนั้นมีมาตั้งแต่RC Boseและบทความสำคัญของเขาในปี 1939 ^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างต่างๆ ปรากฏขึ้นก่อนหน้านี้ เช่น "ชุดผลต่าง Paley" ซึ่งมีมาตั้งแต่ปี 1933 ^{[ 13 ]}การขยายแนวคิดชุดผลต่างแบบวงจรไปยังกลุ่มทั่วไปมากขึ้นนั้นเกิดจากRH Bruck ^{[ 14 ]}ในปี 1955 ^{[ 15 ]}ตัวคูณได้รับการแนะนำโดยMarshall Hall Jr. ^{[ 16 ]}ในปี 1947 ^{[ 17 ]}

Xia, Zhou และ Giannakisพบว่าเซตความแตกต่างสามารถนำมาใช้สร้างสมุดรหัส เวกเตอร์เชิงซ้อน ที่บรรลุขีดจำกัด Welch ที่ยาก สำหรับแอมพลิจูดสหสัมพันธ์ไขว้สูงสุดได้

กลุ่มผลต่าง (Difference family)คือเซตของเซตย่อยของกลุ่มหนึ่งๆโดยที่อันดับของกลุ่มผลต่างคือขนาดของเซตผลต่างคือสำหรับทุกและสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ของกลุ่มผลต่างสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณ ของสมาชิก ของกลุ่มผลต่างสำหรับบางกลุ่ม ผลต่าง (กล่าวคือทั้งสองมาจากกลุ่มผลต่างเดียวกัน) ในรูปแบบ ที่แน่นอน${\displaystyle (v,k,\lambda ,s)}$${\displaystyle B=\{B_{1},\ldots ,B_{s}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d_{1}d_{2}^{-1}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{1},d_{2}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle \lambda }$

ชุดความแตกต่างคือตระกูลความแตกต่างที่มีสมการพารามิเตอร์ข้างต้นขยายเป็น^{[ 18 ]} การพัฒนาของตระกูลความแตกต่างคือ2-ดีไซน์ทุก 2-ดีไซน์ที่มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมปกติจะเป็นสำหรับตระกูลความแตกต่างบางตระกูล${\displaystyle s=1.}$${\displaystyle s(k^{2}-k)=(v-1)\แลมบ์ดา .}$${\displaystyle dev(B)=\{B_{i}+g:i=1,\ldots ,s,g\in G\}}$${\displaystyle dev(B)}$${\displaystyle B.}$

• การออกแบบเชิงผสมผสาน

• มัวร์, อีเอช; พอลลาสเต็ก, เอชเอสเค (2013). เซตผลต่าง: การเชื่อมโยงพีชคณิต การจัดเรียง และเรขาคณิต . AMS. ISBN 978-0-8218-9176-6.
• สโตเรอร์, โทมัส (1967). ไซโคลโทมีและเซตความแตกต่าง . ชิคาโก: บริษัทมาร์คแฮมพับลิชชิ่ง. Zbl  0157.03301 .
• Xia, Pengfei; Zhou, Shengli; Giannakis, Georgios B. (2005). "การบรรลุขอบเขต Welch ด้วยเซตผลต่าง" (PDF) . IEEE Transactions on Information Theory . 51 (5): 1900– 1907. doi : 10.1109/TIT.2005.846411 . ISSN  0018-9448 . S2CID  8916926 . Zbl  1237.94007 ..

Xia, Pengfei; Zhou, Shengli; Giannakis, Georgios B. (2006). "การแก้ไขการบรรลุขอบเขต Welch ด้วยเซตผลต่าง " IEEE Trans. Inf. Theory . 52 (7): 3359. doi : 10.1109/tit.2006.876214 . Zbl  1237.94008 .

• Zwillinger, Daniel (2003). ตารางและสูตรทางคณิตศาสตร์มาตรฐานของ CRC .สำนักพิมพ์ CRC. หน้า  246. ISBN 1-58488-291-3.