ในพีชคณิตนามธรรมไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มคือฟังก์ชันระหว่างสองกลุ่มที่สร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกของกลุ่มในลักษณะที่เคารพการดำเนินการของกลุ่มที่กำหนด หากมีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างสองกลุ่ม กลุ่มเหล่านั้นจะเรียกว่าไอโซมอร์ฟิกกัน จากมุมมองของทฤษฎีกลุ่ม กลุ่มไอโซมอร์ฟิกกันมีคุณสมบัติเหมือนกันและไม่จำเป็นต้องแยกแยะ^{[ 1 ]}

กำหนดให้มีกลุ่มสองกลุ่มและไอ โซมอร์ฟิซึม ของกลุ่ม จาก ไปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากไปอธิบายโดยละเอียดคือ ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มเป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งซึ่งสำหรับทุกและในจะเป็นจริงว่า ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot ),}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

กลุ่มทั้งสองและเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมีไอโซมอร์ฟิซึมจากกลุ่มหนึ่งไปยังอีกกลุ่มหนึ่ง^{[ 1 ] [ 2 ]}เขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$$${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

บ่อยครั้งที่สามารถใช้สัญลักษณ์ที่สั้นกว่าและเรียบง่ายกว่าได้ เมื่อเข้าใจการดำเนินการกลุ่มที่เกี่ยวข้องแล้ว ก็จะละเว้นการดำเนินการเหล่านั้นและเขียนว่า $${\displaystyle G\cong H.}$$

บางครั้งเราอาจเขียนเพียงแค่ว่า การใช้สัญลักษณ์เช่นนั้นจะเหมาะสมโดยปราศจากความสับสนหรือความกำกวมหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับบริบท ตัวอย่างเช่น เครื่องหมายเท่ากับไม่เหมาะสมนักเมื่อกลุ่มทั้งสองเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเดียวกัน ดูตัวอย่างเพิ่มเติมประกอบด้วย ${\displaystyle G=H.}$

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดกลุ่มเซตและฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เราสามารถสร้างกลุ่ม ได้ โดยการกำหนด ${\displaystyle (G,*),}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle f:G\to H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (H,\odot )}$$${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

ถ้าและแล้ว การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจะเป็นออโตมอร์ฟิซึม ( qv ) ${\displaystyle H=G}$${\displaystyle \odot =*}$

โดยสัญชาตญาณ นักทฤษฎีกลุ่มมองกลุ่มไอโซมอร์ฟิกสองกลุ่มดังนี้: สำหรับทุกสมาชิกของกลุ่มหนึ่งจะมีสมาชิกของอีกกลุ่มหนึ่งที่"มีพฤติกรรมเหมือนกัน" กับสมาชิกอีกกลุ่มหนึ่ง (ทำงานกับสมาชิกอื่น ๆ ของกลุ่มในลักษณะเดียวกับสมาชิกอีกกลุ่มหนึ่ง) ตัวอย่างเช่น ถ้าสมาชิก อีกกลุ่มหนึ่งสร้างสมาชิกใหม่ได้ สมาชิกใหม่นั้นก็จะสร้างสมาชิกใหม่ได้ เช่นกันซึ่งหมายความว่าและมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ดังนั้น นิยามของไอโซมอร์ฟิซึมจึงค่อนข้างเป็นธรรมชาติ ${\displaystyle g}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle h.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาจนิยามได้อย่างเทียบเท่ากับ โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ที่ผกผันได้ (ฟังก์ชันผกผันของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเช่นกัน)

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงตัวอย่างที่น่าสนใจบางส่วนของกลุ่มไอโซมอร์ฟิก

• กลุ่มของจำนวนจริง ทั้งหมด ภายใต้การบวกสมสัณฐานกับกลุ่มของจำนวนจริงบวกภายใต้การคูณ: ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$ผ่านทางไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• กลุ่มจำนวนเต็ม(ที่มีการบวก) เป็นกลุ่มย่อยของและกลุ่มตัวประกอบมีสมบัติสมมาตรกับกลุ่มจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 (ภายใต้การคูณ): ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• กลุ่มไคลน์สี่เท่ามีลักษณะสมมาตรกับผลคูณโดยตรงของสองสำเนาของกลุ่มและจึงสามารถเขียนได้เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งคือเนื่องจากเป็นกลุ่มไดเฮดรัล${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Dih} _{2},}$
• โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนคี่ ทั้งหมด จะมีสมบัติสมมาตรกับผลคูณโดยตรงของและ${\displaystyle n,}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• ถ้าเป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์แล้วจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับจำนวนเต็ม (โดยใช้การดำเนินการบวก) จากมุมมองทางพีชคณิต นี่หมายความว่าเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด (โดยใช้การดำเนินการบวก) เป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์ "เพียงกลุ่มเดียว"${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (G,*)}$

บางกลุ่มสามารถพิสูจน์ได้ว่าสม isomorphic กัน โดยอาศัยสัจพจน์ของการเลือกแต่การพิสูจน์นั้นไม่ได้ระบุวิธีการสร้าง isomorphic ที่เป็นรูปธรรม ตัวอย่างเช่น:

• กลุ่มนี้มีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดภายใต้การบวก^{[ 3 ]}${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• กลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีการคูณเป็นตัวดำเนินการนั้น สมมาตรกับกลุ่มที่กล่าวถึงข้างต้น${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$${\displaystyle S^{1}}$

เคอร์เนลของไอโซมอร์ฟิซึมจากไปคือ{e _G } เสมอ โดยที่ e _Gคือเอกลักษณ์ของกลุ่ม${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle (G,*)}$

ถ้าและเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน แล้วจะเป็นอาเบเลียน ก็ ต่อเมื่อเป็นอาเบเลียน ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

ถ้าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจากไปแล้วสำหรับใดๆอันดับของจะเท่ากับอันดับของ${\displaystyle f}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot ),}$${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

ถ้าและสม isomorphic กันแล้ว กลุ่ม จะเป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$

จำนวนกลุ่มที่แตกต่างกัน (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) ของอันดับ 4 กำหนดโดยลำดับ A000001 ในOEISตัวเลขแรกๆ คือ 0, 1, 1, 1 และ 2 ซึ่งหมายความว่า 4 เป็นอันดับต่ำสุดที่มีกลุ่มมากกว่าหนึ่งกลุ่ม ${\displaystyle n}$

กลุ่มวัฏจักรทั้งหมดที่มีอันดับที่กำหนดจะสมสัณฐานกับ โดยที่หมายถึงการบวกโมดูลัส${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$${\displaystyle +_{n}}$${\displaystyle n.}$

ให้เป็นกลุ่มวัฏจักร และเป็นอันดับของให้เป็นตัวกำเนิดของแล้วจะเท่ากับ เราจะแสดงว่า ${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$$${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

กำหนดให้ เพื่อให้ เห็นได้ชัด ว่า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ดังนั้น ซึ่งพิสูจน์ได้ว่า$${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

จากนิยามนี้ สรุปได้ว่า ไอโซมอร์ฟิซึมใดๆจะแมปองค์ประกอบเอกลักษณ์ของไปยังองค์ประกอบเอกลักษณ์ของ และจะแมปตัวผกผันไปยังตัวผกผัน และโดยทั่วไปแล้วจะแมปกำลังที่ th ไปยังกำลังที่ th และแผนที่ผกผันก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มด้วยเช่นกัน ${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H,}$$${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$$${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

ความสัมพันธ์ "เป็นไอโซมอร์ฟิก" คือความสัมพันธ์สมมูลถ้าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างสองกลุ่มและแล้วทุกสิ่งที่เป็นจริงเกี่ยวกับนั้นซึ่งเกี่ยวข้องกับโครงสร้างของกลุ่มเท่านั้น สามารถแปลผ่าน ไปเป็นข้อความเดียวกันที่เป็นจริงเกี่ยวกับและในทางกลับกันได้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H,}$

ไอโซมอร์ฟิซึมจากกลุ่มหนึ่งไปยังตัวมันเองเรียกว่าออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มนั้น ดังนั้น มันจึงเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) ที่ทำให้ ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle f:G\to G}$$${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

ภาพที่ได้จากการแปลงอัตโนมัติของคลาสการสมมูลกัน นั้น จะเป็นคลาสการสมมูลกันเสมอ (ไม่ว่าจะเป็นคลาสเดียวกันหรือคลาสอื่น)

การประกอบกันของออโตมอร์ฟิซึมสองตัวจะได้ออโตมอร์ฟิซึมอีกตัวหนึ่ง และด้วยการดำเนินการนี้ เซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของกลุ่มหนึ่งซึ่งแทนด้วยตัวมันเอง จะก่อให้เกิดกลุ่มขึ้นมา ซึ่งก็คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ กลุ่มนั้น${\displaystyle G,}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$${\displaystyle G.}$

สำหรับกลุ่มอาเบเลียนทั้งหมด จะมีออโตมอร์ฟิซึมอย่างน้อยหนึ่งตัวที่แทนที่สมาชิกของกลุ่มด้วยตัวผกผันของมัน อย่างไรก็ตาม ในกลุ่มที่สมาชิกทั้งหมดเท่ากับตัวผกผันของมัน ออโตมอร์ฟิซึมนี้คือ ออโต มอร์ฟิซึมที่ไม่สำคัญเช่น ในกลุ่มไคลน์สี่สมาชิก สำหรับกลุ่มนั้น การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ทั้งสามตัวเป็นออโตมอร์ฟิซึม ดังนั้นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจึงสม isomorphic กับ(ซึ่งสม isomorphic กับ) ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

สำหรับจำนวนเฉพาะหนึ่งตัว เราสามารถแทนที่สมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์หนึ่งตัวด้วยสมาชิกอื่นใดก็ได้ โดยที่สมาชิกอื่นๆ จะเปลี่ยนแปลงตามไปด้วย กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจะสม isomorphic กับตัวอย่างเช่นการคูณสมาชิกทั้งหมดของด้วย 3 มอดูล 7 จะได้เป็นออโตมอร์ฟิซึมลำดับที่ 6 ในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม เพราะกำลังที่ต่ำกว่าจะไม่ให้ผลลัพธ์เป็น 1 ดังนั้นออโตมอร์ฟิซึมนี้จึงสร้างนอกจากนี้ยังมีออโตมอร์ฟิซึมอีกตัวที่มีคุณสมบัตินี้ คือ การคูณสมาชิกทั้งหมดของด้วย 5 มอดูล 7 ดังนั้นทั้งสองจึงสอดคล้องกับสมาชิก 1 และ 5 ของตามลำดับ หรือในทางกลับกัน ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$${\displaystyle n=7,}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ นั้นสม isomorphic กับเพราะมีเพียงสมาชิก 1 และ 5 เท่านั้นที่สร้างดังนั้น นอกเหนือจากเอกลักษณ์แล้ว เราจึงสามารถสลับสมาชิกเหล่านี้ได้เท่านั้น ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมีอันดับ 168 ดังที่สามารถหาได้ดังต่อไปนี้ สมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ทั้ง 7 ตัวมีบทบาทเดียวกัน ดังนั้นเราสามารถเลือกได้ว่าตัวใดมีบทบาทเป็น ส่วนสมาชิกที่เหลืออีก 6 ตัวสามารถเลือกให้มีบทบาทเป็น (0,1,0) ได้ ซึ่งจะกำหนดว่าสมาชิกใดสอดคล้องกับสำหรับเราสามารถเลือกได้จาก 4 ตัว ซึ่งจะกำหนดส่วนที่เหลือ ดังนั้นเราจึงมีออโตมอร์ฟิซึม ออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้สอดคล้องกับออโตมอร์ฟิซึมของระนาบฟาโนซึ่งจุดทั้ง 7 จุดสอดคล้องกับ สมาชิก ที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ ทั้ง 7 ตัว เส้นที่เชื่อมต่อจุดสามจุดสอดคล้องกับการดำเนินการของกลุ่ม: และบนเส้นเดียวหมายถึงและดูเพิ่มเติมที่กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์จำกัด ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle (1,0,0).}$${\displaystyle (1,1,0).}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+b=c,}$${\displaystyle a+c=b,}$${\displaystyle b+c=a.}$

สำหรับกลุ่มอาเบเลียน ออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่แบบไม่สำคัญทั้งหมดเป็น ออโตมอร์ฟิ ซึม ภายนอก

กลุ่มที่ไม่เป็นอาเบเลียนจะมีกลุ่ม ออโตมอร์ฟิซึมภายในที่ไม่เป็นศูนย์และอาจมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกด้วย

ออโตมอร์ฟิซึมที่ส่งแต่ละองค์ประกอบไปยังภายในคลาสการผันของตัวเองเรียกว่าการรักษาคลาส เซตของออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวทั้งหมดก่อให้เกิดกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ออโตมอร์ฟิซึมภายในทั้งหมดเป็นการรักษาคลาส^{[ 4 ]}

• ปัญหาไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่ม
• การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (Bijection)  – การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง