กลุ่ม Mathieu M ₁₂

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ กลุ่ม Mathieu M 12

ในสาขาพีชคณิตสมัยใหม่ที่เรียกว่าทฤษฎีกลุ่ม กลุ่ม Mathieu M 12 เป็นกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกที่มีอันดับ

Q: การนำเสนอ

Frobenius (1904) คำนวณตารางอักขระที่ซับซ้อนของM 12

Q: กลุ่มย่อยสูงสุด

มีคลาสการสมมูล 11 คลาสของกลุ่มย่อยสูงสุดของ M 12 โดย 6 คลาสเกิดขึ้นในคู่แบบออโตมอร์ฟิก ดังต่อไปนี้:

ในสาขาพีชคณิตสมัยใหม่ที่เรียกว่าทฤษฎีกลุ่ม กลุ่ม Mathieu M 12 _เป็นกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกที่มีอันดับ

95,040 = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 11

ประวัติและทรัพย์สิน

M ₁₂เป็นหนึ่งใน 26 กลุ่มสปอร์าดิก และถูกนำเสนอโดยMathieu ( 1861 , 1873 ) มันเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน แบบ 5-ทรานซิทีฟที่คมชัด บนวัตถุ 12 ชิ้น Burgoyne & Fong (1968)แสดงให้เห็นว่าตัวคูณ Schurของ M ₁₂มีอันดับ 2 (แก้ไขข้อผิดพลาดใน ( Burgoyne & Fong 1966 ) ที่พวกเขาอ้างอย่างไม่ถูกต้องว่ามีอันดับ 1)

การครอบคลุมสองชั้นได้รับการค้นพบโดยปริยายก่อนหน้านี้โดยCoxeter (1958)ซึ่งแสดงให้เห็นว่า M ₁₂เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟมิติ 6 เหนือฟิลด์จำกัดที่มี 3 องค์ประกอบ

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกมีอันดับ 2 และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเต็ม M ₁₂ .2 บรรจุอยู่ใน M ₂₄ในฐานะตัวรักษาเสถียรภาพของคู่โดเดคาดเสริมที่มี 24 จุด โดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของ M ₁₂สลับโดเดคาดทั้งสอง

การนำเสนอ

Frobenius (1904)คำนวณตารางอักขระที่ซับซ้อนของM ₁₂

M ₁₂มีการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนแบบทรานซิทีฟ 5 อย่างเคร่งครัดบน 12 จุด โดยที่ตัวรักษาเสถียรภาพจุดคือกลุ่ม Mathieu M ₁₁การระบุ 12 จุดด้วยเส้นโปรเจคทีฟเหนือฟิลด์ขององค์ประกอบ 11 ตัว M ₁₂ถูกสร้างขึ้นโดยการเรียงสับเปลี่ยนของ PSL ₂ (11) ร่วมกับการเรียงสับเปลี่ยน (2,10)(3,4)(5,9)(6,7) การแสดงการเรียงสับเปลี่ยนนี้รักษาระบบ Steiner S(5,6,12) ของเฮกซาดพิเศษ 132 ตัว โดยที่เพนทาดแต่ละตัวบรรจุอยู่ในเฮกซาดพิเศษเพียง 1 ตัว และเฮกซาดเหล่านี้เป็นส่วนรองรับของรหัสคำน้ำหนัก 6 ของรหัส Golay ไตรภาค แบบขยาย ในความเป็นจริง M ₁₂มีการกระทำที่ไม่เท่ากันสองอย่างบน 12 จุด ซึ่งแลกเปลี่ยนกันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอก สิ่งเหล่านี้คล้ายคลึงกับการกระทำที่ไม่เท่ากันสองอย่างของกลุ่มสมมาตรS ₆บน 6 จุด

กลุ่ม ปกคลุมคู่ 2.M ₁₂คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของรหัส Golay ไตรภาค แบบขยาย ซึ่งเป็นรหัสที่มีมิติ 6 ความยาว 12 บนฟิลด์อันดับ 3 ที่มีน้ำหนักต่ำสุด 6 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มปกคลุมคู่นี้มีการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ 6 มิติบนฟิลด์ที่มี 3 องค์ประกอบ

กลุ่ม ปกคลุมคู่ 2.M ₁₂คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของเมทริกซ์ Hadamard ขนาด 12 ×12 ใดๆ

M ₁₂ทำให้องค์ประกอบที่มีอันดับ 11 ในกลุ่มมอนส เตอร์เป็นศูนย์กลาง ส่งผลให้มันกระทำตามธรรมชาติกับพีชคณิตจุด ยอด เหนือฟิลด์ที่มี 11 องค์ประกอบ ซึ่งกำหนดให้เป็นโคฮอโมโลยีเทตของ พีชคณิตจุดยอดมอน ส เตอร์

กลุ่มย่อยสูงสุด

มีคลาสการสมมูล 11 คลาสของกลุ่มย่อยสูงสุดของ M ₁₂โดย 6 คลาสเกิดขึ้นในคู่แบบออโตมอร์ฟิก ดังต่อไปนี้:

กลุ่มย่อยสูงสุดของ*M ₁₂*
เลขที่	โครงสร้าง	คำสั่ง	ดัชนี	ความคิดเห็น
1,2	ม. ₁₁	7,920 = 2 ⁴ ·3 ² ·5·11	12 = 2 ² ·3	สองคลาสที่แลกเปลี่ยนกันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอก คลาสหนึ่งเป็นกลุ่มย่อยที่ตรึงจุดที่มีวงโคจรขนาด 1 และ 11 ในขณะที่อีกคลาสหนึ่งกระทำการทรานซิทีฟกับจุดทั้ง 12 จุด
3,4	S ₆ :2 ≅ M ₁₀ :2	1,440 = 2 ⁵ ·3 ² ·5	66 = 2·3·11	สองคลาสที่แลกเปลี่ยนกันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอก กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มสมมาตร S ₆คลาสหนึ่งเป็นอิมพริมิทีฟและทรานซิทีฟ ทำงานกับบล็อกขนาด 6 จำนวน 2 บล็อก ในขณะที่อีกคลาสหนึ่งเป็นกลุ่มย่อยที่ตรึงจุดคู่หนึ่งไว้และมีวงโคจรขนาด 2 และ 10
5	L ₂ (11)	660 = 2 ² ·3·5·11	144 = 2 ⁴ ·3 ²	ถ่ายทอดได้สองครั้งบนจุดทั้ง 12
6,7	3 ² :(2.S ₄ )	432 = 2 ⁴ ·3 ³	220 = 2 ² ·5·11	สองคลาสที่แลกเปลี่ยนกันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอก คลาสหนึ่งกระทำกับวงโคจรที่มีขนาด 3 และ 9 และอีกคลาสหนึ่งเป็นอิมพริมิทีฟบนเซต 4 เซตที่มีขนาด 3 ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มแอฟฟินบนปริภูมิ C 3 _x C ₃
8	S ₅ x 2	240 = 2 ⁴ ·3·5	396 = 2 ² ·3 ² ·11	อิมพริมิทีฟสองเท่าบนชุด 6 ชุด ชุดละ 2 จุด; ตัวจัดศูนย์กลางของการสลับตำแหน่งหกเท่า
9	Q ₈ :S ₄	192 = 2 ⁶ ·3	495 = 3 ² ·5·11	วงโคจรขนาด 4 และ 8; ตัวจัดศูนย์กลางของการสลับตำแหน่งสี่เท่า (การผกผันของคลาส 2B)
10	4 ² :(2 x S ₃ )	192 = 2 ⁶ ·3	495 = 3 ² ·5·11	แบบดั้งเดิมบนชุดขนาด 4 จำนวน 3 ชุด
11	เอ₄ x เอส₃	72 = 2 ³ ·3 ²	1,320 = 2 ³ ·3·5·11	อิมพริมิทีฟสองเท่า, 4 ชุด ชุดละ 3 จุด

คลาสการผันคำกริยา

รูปทรงวงจรขององค์ประกอบและองค์ประกอบคู่ควบภายใต้การแปลงอัตโนมัติภายนอกมีความสัมพันธ์กันในลักษณะดังต่อไปนี้: การรวมกันของรูปทรงวงจรทั้งสองมีความสมดุล กล่าวคือไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยน วงจร n แต่ละวง ให้เป็น วงจร N / nสำหรับจำนวนเต็มN บาง ค่า

คำสั่ง	ตัวเลข	ตัวปรับศูนย์กลาง	วงจร	ฟิวชั่น
1	1	95040	1 ¹²
2	396	240	2 ⁶
2	495	192	1 ⁴ 2 ⁴
3	1760	54	1 ³ 3 ³
3	2640	36	3 ⁴
4	2970	32	2 ² 4 ²	หลอมรวมภายใต้ออโตมอร์ฟิซึมภายนอก
4	2970	32	1 ⁴ 4 ²	หลอมรวมภายใต้ออโตมอร์ฟิซึมภายนอก
5	9504	10	1 ² 5 ²
6	7920	12	6 ²
6	15840	6	1 2 3 6
8	11880	8	1 ² 2 8	หลอมรวมภายใต้ออโตมอร์ฟิซึมภายนอก
8	11880	8	4 8	หลอมรวมภายใต้ออโตมอร์ฟิซึมภายนอก
10	9504	10	2 10
11	8640	11	1 11	หลอมรวมภายใต้ออโตมอร์ฟิซึมภายนอก
11	8640	11	1 11	หลอมรวมภายใต้ออโตมอร์ฟิซึมภายนอก

ลิงก์ภายนอก

MathWorld: กลุ่ม Mathieu
Atlas of Finite Group Representations: M ₁₂

กลุ่ม Mathieu M 12