ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนG ที่กระทำต่อเซตจำกัดX ที่ไม่ว่าง เปล่า เรียกว่ากลุ่มดั้งเดิม (primitive group)ถ้าGกระทำแบบทราน ซิทีฟ (transitive group) บนXและการแบ่งส่วน (partition) ที่การกระทำ ของGรักษาไว้มีเพียงการแบ่งส่วนแบบไม่สำคัญ (trivial partition) เป็นเซตเดียวหรือเป็นเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวจำนวน | X | เซตเท่านั้น ในทางกลับกัน ถ้าGกระทำแบบทรานซิทีฟและGไม่รักษาการแบ่งส่วนที่ไม่ใช่แบบไม่สำคัญGจะเรียกว่ากลุ่มไม่ดั้งเดิม (imprimitive group )

แม้ว่ากลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบดั้งเดิมจะเป็นแบบถ่ายทอดได้ แต่กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบถ่ายทอดได้ทั้งหมดไม่จำเป็นต้องเป็นแบบดั้งเดิมเสมอไป ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือกลุ่มไคลน์สี่ตัวที่กระทำกับจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งรักษาการแบ่งส่วนตามเส้นทแยงมุมไว้ ในทางกลับกัน หากกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนรักษาเฉพาะการแบ่งส่วนที่ไม่สำคัญเท่านั้น กลุ่มนั้นจะเป็นแบบถ่ายทอดได้ ยกเว้นในกรณีที่กลุ่มไม่สำคัญกระทำกับเซตที่มี 2 สมาชิก เนื่องจากสำหรับการกระทำที่ไม่เป็นแบบถ่ายทอดได้วงโคจรของG จะสร้างการแบ่งส่วนที่ไม่สำคัญซึ่ง Gรักษาไว้หรือการกระทำของกลุ่มนั้นไม่สำคัญ ซึ่งในกรณีนี้ การแบ่งส่วนที่ไม่สำคัญ ทั้งหมดของX (ซึ่งมีอยู่สำหรับ | X | ≥ 3 ) จะถูกรักษาไว้โดยG

คำศัพท์นี้ได้รับการแนะนำโดยÉvariste Galoisในจดหมายฉบับสุดท้ายของเขา ซึ่งเขาใช้คำศัพท์ภาษาฝรั่งเศสว่าéquation primitiveสำหรับสมการที่มีกลุ่ม Galoisเป็นกลุ่มดั้งเดิม^{[ 1 ]}

ในจดหมายฉบับเดียวกันที่เขาแนะนำคำว่า "ดั้งเดิม" กาโลอิสได้ระบุทฤษฎีบทต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

ถ้าGเป็นกลุ่มแก้ได้ แบบดั้งเดิม ที่กระทำบนเซตจำกัดXแล้ว อันดับของXจะเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะpยิ่งไปกว่านั้นXอาจถูกระบุว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้นบนฟิลด์จำกัดที่มี สมาชิก pตัว และGกระทำบนXในฐานะกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นนั้น

ถ้าเซตXที่G กระทำนั้นเป็นเซตจำกัด จำนวนสมาชิกของเซต Xนั้น เรียกว่าดีกรีของG

ผลลัพธ์ที่ได้จากงานของกาโลอิสนี้คือ ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะคี่ อันดับของกลุ่มทรานซิทีฟที่แก้ได้ซึ่งมีดีกรีpจะเป็นตัวหารของ p อันที่จริง ทุกกลุ่มทรานซิทีฟที่มีดีกรีเป็นจำนวนเฉพาะล้วนเป็นกลุ่มดั้งเดิม (เนื่องจากจำนวนสมาชิกของพาร์ติชันที่กำหนดโดยGต้องเป็นตัวหารของp ) และ p คือจำนวนสมาชิกของกลุ่มแอฟฟินในปริภูมิแอฟฟินที่มี สมาชิก pตัว ${\displaystyle p(p-1).}$${\displaystyle p(p-1)}$

ดังนั้น ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 กลุ่มสมมาตรและกลุ่มสลับที่มีดีกรีpจะไม่สามารถหาคำตอบได้ เนื่องจากอันดับของกลุ่มเหล่านั้นมากกว่า 3 ทฤษฎีบท อาเบล-รัฟฟินีเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงนี้และข้อเท็จจริงที่ว่ามีพหุนามที่มีกลุ่มกาโลอิสสมมาตร ${\displaystyle p(p-1).}$

นิยามที่เทียบเท่ากันของความเป็นดั้งเดิมนั้นอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า การกระทำแบบถ่ายทอดทุกอย่างของกลุ่มGนั้นสมมูลกับการกระทำที่เกิดขึ้นจากการกระทำแบบแคนอนิกของGบนเซตG / Hของโคเซตโดยที่Hเป็นกลุ่มย่อยของGการกระทำของกลุ่มจะเป็นแบบดั้งเดิมก็ต่อเมื่อมันสมมูลกับG / Hสำหรับกลุ่มย่อยสูงสุด HของGและจะเป็นแบบไม่ดั้งเดิมในกรณีอื่น ๆ (นั่นคือ ถ้ามีกลุ่มย่อยแท้KของGซึ่งHเป็นกลุ่มย่อยแท้) การกระทำแบบไม่ดั้งเดิมเหล่านี้เป็นตัวอย่างของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

จำนวนของกลุ่มดั้งเดิมที่มีระดับเล็กนั้น ได้รับการระบุโดยโรเบิร์ต คาร์ไมเคิลในปี 1937:

มีกลุ่มดั้งเดิมจำนวนมากที่มีดีกรี 16 ดังที่คาร์ไมเคิลกล่าวไว้ กลุ่มเหล่านี้ทั้งหมด ยกเว้น กลุ่ม สมมาตรและ กลุ่ม สลับ ล้วนเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มแอฟฟินบนปริภูมิ 4 มิติเหนือฟิลด์ จำกัด 2 องค์ประกอบ

• พิจารณากลุ่มสมมาตร ที่กระทำต่อเซตและการเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

ทั้งสองอย่างและกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยนั้นเป็นแบบดั้งเดิม ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \eta }$

• ทีนี้ลองพิจารณากลุ่มสมมาตร ที่กระทำต่อเซตและการเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยไม่ใช่กลุ่มดั้งเดิม เนื่องจากพาร์ติชันที่และยังคงอยู่ภายใต้นั่น คือและ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$

• ทุกกลุ่มทรานซิทีฟที่มีดีกรีเฉพาะล้วนเป็นกลุ่มดั้งเดิม
• กลุ่มสมมาตร ที่กระทำต่อเซตนั้นเป็นกลุ่มดั้งเดิมสำหรับทุกค่าnและกลุ่มสลับที่กระทำต่อเซตนั้นเป็นกลุ่มดั้งเดิมสำหรับทุกค่า  n  > 2${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

• บล็อก (ทฤษฎีกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน)
• ทฤษฎีบทของจอร์แดน (กลุ่มสมมาตร)
• ทฤษฎีบทโอแนน-สก็อตต์การจำแนกกลุ่มดั้งเดิมจำกัดออกเป็นประเภทต่างๆ