ในสาขาพีชคณิตสมัยใหม่ที่เรียกว่าทฤษฎีกลุ่ม กลุ่ม Mathieu M 24 _เป็นกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกที่มีอันดับ

   244,823,040 = 2 ¹⁰  · 3 ³  · 5  · 7  · 11  · 23

≈ 2 × 10⁸ .

M ₂₄เป็นหนึ่งใน 26 กลุ่มสปอร์าดิก และถูกนำเสนอโดยMathieu  ( 1861 , 1873 ) เป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน แบบ 5-ทรานซิทีฟ บนวัตถุ 24 ชิ้นตัวคูณ Schurและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกต่างก็เป็น กลุ่มที่ ไม่ สำคัญ

กลุ่ม Mathieu สามารถสร้างขึ้นได้หลายวิธี ในตอนแรก Mathieu และคนอื่นๆ สร้างกลุ่มเหล่านี้ขึ้นมาในรูปของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนเป็นเรื่องยากที่จะเห็นว่า M ₂₄มีอยู่จริง และตัวสร้างของมันไม่ได้สร้างเพียงกลุ่มสลับ A ₂₄ เท่านั้น เรื่องนี้กระจ่างขึ้นเมื่อ Ernst Witt สร้าง M _{24 ขึ้นมาในรูปของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม (สมมาตร) ของ} ระบบ Steiner S(5,8,24) W ₂₄ ( การออกแบบของ Witt ) M ₂₄คือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนที่แมปบล็อกทุกบล็อกในการออกแบบนี้ไปยังบล็อกอื่นๆ จากนั้นกลุ่มย่อย M ₂₃และ M ₂₂จึงสามารถนิยามได้อย่างง่ายดายว่าเป็นกลุ่มรักษาเสถียรภาพของจุดเดียวและคู่ของจุดตามลำดับ

M ₂₄เป็นกลุ่มย่อยของS ₂₄ที่สร้างขึ้นโดยการเรียงสับเปลี่ยนสามแบบ: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)}$
• ${\displaystyle (3,17,10,7,9)(4,13,14,19,5)(8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16)}$และ
• ${\displaystyle (1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)}$.

M ₂₄สามารถสร้างได้ด้วยการเรียงสับเปลี่ยนสองแบบ: ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle (1,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)}$และ
• ${\displaystyle (1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13,14)(15,19)(16,17)}$

M ₂₄สามารถสร้างขึ้นได้โดยเริ่มจาก PSL(3,4) ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิ 3 มิติเหนือฟิลด์จำกัดที่มี 4 องค์ประกอบ ( Dixon & Mortimer 1996 , หน้า 192–205) กลุ่มนี้บางครั้งเรียกว่าM ₂₁ทำหน้าที่บนระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ F ₄ซึ่งเป็นระบบ S(2,5,21) ที่เรียกว่าW ₂₁บล็อกทั้ง 21 บล็อกเรียกว่าเส้นตรง เส้นตรง 2 เส้นใดๆ จะตัดกันที่จุดเดียว

M ₂₁มีกลุ่มย่อยแบบง่าย 168 กลุ่มที่มีอันดับ 360 และกลุ่มย่อยแบบง่าย 360 กลุ่มที่มีอันดับ 168 ในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปรเจกทีฟ ที่ใหญ่กว่า PGL(3,4) ชุดของกลุ่มย่อยทั้งสองชุดก่อตัวเป็นชั้นสมมูลเดี่ยว แต่ใน M ₂₁ชุดทั้งสองชุดแยกออกเป็น 3 ชั้นสมมูล กลุ่มย่อยเหล่านี้มีวงโคจร 6 วง เรียกว่าไฮเปอร์โอวัลและวงโคจร 7 วง เรียกว่าระนาบย่อยฟาโนชุดเหล่านี้อนุญาตให้สร้างบล็อกใหม่สำหรับระบบสไตเนอร์ที่ใหญ่กว่า M ₂₁เป็นกลุ่มปกติใน PGL(3,4) ที่มีดัชนี 3 PGL(3,4) มีออโตมอร์ฟิซึมภายนอกที่เกิดจากการสลับตำแหน่งขององค์ประกอบสมมูลใน F ₄ (ออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์) ดังนั้น PGL(3,4) จึงสามารถขยายไปยังกลุ่ม PΓL(3,4) ของ การ แปลงกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจก ทีฟ ซึ่งเป็นการขยายแบบแยกส่วนของ M ₂₁โดยกลุ่มสมมาตร S ₃ PΓL(3,4) มีการฝังตัวเป็นกลุ่มย่อยสูงสุดของ M ₂₄ ( Griess 1998 , หน้า 55)

รูปไฮเปอร์โอวัลไม่มีจุด 3 จุดใดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ระนาบย่อยฟาโนก็เช่นกันที่ตรงตามเงื่อนไขความเป็นเอกลักษณ์ที่เหมาะสม

เพิ่มจุดใหม่ 3 จุดลง ใน W ₂₁และให้การแปลงอัตโนมัติใน PΓL(3,4) แต่ไม่ใช่ใน M ₂₁สลับจุดใหม่เหล่านี้ ระบบ S(3,6,22) W ₂₂ถูกสร้างขึ้นโดยการเพิ่มจุดใหม่เพียงจุดเดียวลงในแต่ละเส้น 21 เส้น และบล็อกใหม่คือไฮเปอร์โอวัล 56 อันที่สัมพันธ์กันภายใต้M ₂₁

ระบบ S(5,8,24) จะมีบล็อกหรืออ็อกแทด 759 บล็อก เพิ่มจุดใหม่ทั้ง 3 จุดลงในแต่ละเส้นของ W ₂₁เพิ่มจุดใหม่ที่แตกต่างกันลงในระนาบย่อย Fano ในแต่ละชุดของ 120 และเพิ่มคู่จุดใหม่ที่เหมาะสมลงในไฮเปอร์โอวัลทั้งหมด ซึ่งคิดเป็นอ็อกแทดทั้งหมด ยกเว้น 210 อ็อกแทดที่เหลือเป็นเซตย่อยของ W ₂₁และเป็นผลต่างสมมาตรของคู่เส้น มีหลายวิธีที่เป็นไปได้ในการขยายกลุ่ม PΓL(3,4) ไปยังM ₂₄

กลุ่ม M ₂₄ยังเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอัตโนมัติของรหัส Golay ไบนารีWด้วย กล่าวคือ กลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนพิกัดที่แมปWไปยังตัวมันเอง คำรหัสสอดคล้องกับเซตย่อยของเซตของวัตถุ 24 อย่างเป็นธรรมชาติ (ในทฤษฎีการเข้ารหัส คำว่า "รหัส Golay ไบนารี" มักหมายถึงรหัสที่มีความยาว 23 ที่สั้นกว่า และรหัสที่มีความยาว 24 ที่ใช้ในที่นี้เรียกว่า "รหัส Golay ไบนารีแบบขยาย") เซตย่อยที่สอดคล้องกับคำรหัสที่มีพิกัด 8 หรือ 12 พิกัดเท่ากับ 1 เรียกว่าoctadsหรือdodecadsตามลำดับ octads คือบล็อกของระบบ Steiner S(5,8,24) และรหัส Golay ไบนารีคือปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ F ₂ที่สร้างขึ้นโดย octads ของระบบ Steiner

กลุ่มย่อยแบบง่าย M ₂₃ , M ₂₂ , M ₁₂และ M ₁₁สามารถกำหนดได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยของ M ₂₄ซึ่งเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของพิกัดเดี่ยว, คู่พิกัดเรียงลำดับ, สิบสองเหลี่ยม และสิบสองเหลี่ยมร่วมกับพิกัดเดี่ยว ตามลำดับ

มีความเชื่อมโยงโดยธรรมชาติระหว่างกลุ่ม Mathieu และกลุ่ม Conway ที่ใหญ่กว่า เนื่องจากรหัสไบนารี Golay และแลตทิซ Leechต่างก็อยู่ในปริภูมิที่มีมิติ 24 กลุ่ม Conway นั้นพบได้ในกลุ่ม Monster Robert Griessเรียกกลุ่มสปอราดิก 20 กลุ่มที่พบในกลุ่ม Monster ว่าHappy Familyและเรียกกลุ่ม Mathieu ว่ารุ่น แรก

M ₂₄สามารถสร้างขึ้นได้โดยเริ่มจากสมมาตรของKlein quartic (สมมาตรของการปูพื้นพื้นผิวจีนัสสาม) ซึ่งคือ PSL(2,7) ซึ่งสามารถเสริมด้วยการเรียงสับเปลี่ยนเพิ่มเติม การเรียงสับเปลี่ยนนี้สามารถอธิบายได้โดยเริ่มจากการปูพื้น Klein quartic ด้วยสามเหลี่ยม 56 รูป (มีจุดยอด 24 จุด – จุด 24 จุดที่กลุ่มกระทำ) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยม 2 รูป และรูปแปดเหลี่ยมจากสามเหลี่ยม 6 รูป โดยการเรียงสับเปลี่ยนที่เพิ่มเข้ามาคือ "สลับจุดปลายทั้งสองของขอบของการปูพื้นสามเหลี่ยมดั้งเดิมที่แบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปแปดเหลี่ยม" ^{[ 2 ]}สามารถมองเห็นภาพนี้ได้โดยการระบายสีสามเหลี่ยม – การปูพื้นที่สอดคล้องกันนั้นเป็นการ ปูพื้น t _0,1 {4, 3, 3} ในเชิงโทโพโลยีแต่ไม่ใช่ในเชิงเรขาคณิต และสามารถฝัง (ในเชิงรูปทรงหลายเหลี่ยม) ลงในปริภูมิยูคลิด 3 มิติได้เหมือนกับคิวบิกบูออกตาเฮดรอนขนาดเล็ก (ซึ่งมีจุดยอด 24 จุดเช่นกัน) ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีแสงจันทร์เงามืดเป็นความสัมพันธ์ที่คาดเดาบางส่วนระหว่าง พื้น ผิว K3และ M ₂₄

กลุ่มConway Co1กลุ่มFischer Fi24และกลุ่ม Janko J4แต่ละกลุ่มมีกลุ่มย่อยสูงสุดที่เป็นส่วนขยายของกลุ่ม Mathieu M ₂₄โดยกลุ่ม 2 ¹¹ (ส่วนขยายเหล่านี้ไม่เหมือนกันทั้งหมด)

Frobenius (1904)คำนวณตารางอักขระที่ซับซ้อนของM ₂₄

กลุ่ม Mathieu M ₂₄มีการแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยนแบบทรานซิทีฟ 5 เท่า บนจุด 24 จุด การแสดงแทนเชิงเส้นที่สอดคล้องกันบนจำนวนเชิงซ้อนคือผลรวมของการแสดงแทนแบบไม่สำคัญและการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ 23 มิติ

M ₂₄มีการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 สองแบบ : แบบหนึ่งบนคู่จุด (หรือ duads) 276 = 1+44+231 ที่มีตัวรักษาเสถียรภาพ M ₂₂ .2 และอีกแบบหนึ่งบน duads 1288 = 1+495+792 ที่มีตัวรักษาเสถียรภาพ M ₁₂ .2

ผลหารของการแสดงแทนเชิงเส้น 24 มิติของการแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยนกับปริภูมิย่อยคงที่ 1 มิติของมัน จะให้การแสดงแทน 23 มิติ ซึ่งไม่สามารถลดทอนได้เหนือฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 หรือ 3 และให้การแสดงแทนที่ซื่อสัตย์ที่เล็กที่สุดเหนือฟิลด์ดังกล่าว

การลดการแสดงผลแบบ 24 มิติ mod 2 จะให้การกระทำบนF²⁴ ₂. สิ่งนี้มีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงที่มีมิติ 1, 12 (รหัส Golay) และ 23 ส่วนผลหารย่อยให้การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้สองแบบที่มีมิติ 11 เหนือฟิลด์ที่มี 2 องค์ประกอบ

Choi (1972b)ค้นพบชั้นสมมูล 9 ชั้นของกลุ่มย่อยสูงสุดของM 24 _Curtis (1977)ได้ให้บทพิสูจน์สั้นๆ ของผลลัพธ์ โดยอธิบายชั้นทั้ง 9 ชั้นในแง่ของข้อมูลเชิงการจัดเรียงบนจุด 24 จุด: กลุ่มย่อยจะตรึงจุด คู่ แปด คู่หก สามเหลี่ยม สาม เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ หรือแปดเหลี่ยม ดังที่อธิบายไว้ด้านล่างTodd (1966)ได้ให้ตารางอักขระของ M ₂₄ (ซึ่งคำนวณโดยFrobenius (1904) เป็นครั้งแรก ) และกลุ่มย่อยสูงสุด 8 กลุ่มที่ทราบในขณะนั้น

M ₂₄ประกอบด้วยกลุ่มย่อยแบบง่ายที่ไม่เป็นอาเบเลียนจำนวน 13 ประเภทไอโซมอร์ฟิซึม ได้แก่ กลุ่ม A ₅จำนวน 5 กลุ่ม กลุ่ม PSL(3,2) จำนวน 4 กลุ่ม กลุ่ม A ₆จำนวน 2 กลุ่ม กลุ่ม PSL(2,11) จำนวน 2 กลุ่ม และกลุ่ม A ₇ , PSL(2,23), M ₁₁ , PSL(3,4), A ₈ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃และ M ₂₄ อย่างละ 1 กลุ่ม นอกจากนี้ A ₆ยังถูกระบุไว้ด้านล่างว่าเป็นกลุ่มย่อยในกลุ่มย่อยเซ็กซ์เต็ตด้วย

กลุ่ม Mathieu กระทำต่อจุด 2048 = 1+759+1288 จุดของรหัส Golay มอดูลพื้นที่คงที่ที่มีวงโคจร 3 วง และต่อจุด 4096 = 1+24+276+2024+1771 จุดของรหัสร่วมที่มีวงโคจร 5 วง และกลุ่มย่อยที่ตรึงจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์ของรหัสหรือรหัสร่วมจะให้กลุ่มย่อยสูงสุด 6 ใน 9 คลาส

กลุ่มย่อยสูงสุดทั้ง 9 ประเภทมีดังต่อไปนี้:

กลุ่มย่อยที่ตรึงจุดคือM ₂₃ลำดับที่ 10200960

คู่จุด (duad) คือคู่ของจุดสองจุด กลุ่มย่อยที่ตรึงคู่จุดคือ M ₂₂ :2 อันดับ 887040 โดยมีวงโคจร 2 และ 22

กลุ่มย่อยที่ตรึงอ็อกแทดหนึ่งใน 759 (= 3·11·23) ของรหัส Golay หรือระบบ Steiner คือกลุ่มอ็อกแทด 2 ⁴ :A ₈ลำดับ 322560 โดยมีวงโคจรขนาด 8 และ 16 กลุ่มเชิงเส้น GL(4,2) มีไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษกับกลุ่มสลับ A ₈ตัวรักษาเสถียรภาพแบบจุดต่อจุดOของอ็อกแทดคือกลุ่มอาเบเลียนลำดับ 16 เลขชี้กำลัง 2 ซึ่งการผกผันแต่ละครั้งจะย้ายจุดทั้ง 16 จุดออกไปนอกอ็อกแทด ตัวรักษาเสถียรภาพของอ็อกแทดคือส่วนขยายแบบแยกส่วนของ O โดย A ₈ ( Thompson 1983 , หน้า 197–208)

ดูอุม (duum) คือคู่ของเซตโดเดแคด (เซตที่มี 12 จุด) ที่เสริมกันในรหัสโกเลย์ (Golay code) กลุ่มย่อยที่ตรึงดูอุมไว้คือ M ₁₂ :2 มีอันดับ 190080 เป็นแบบทรานซิทีฟและอิมพริมิทีฟ กลุ่มย่อยนี้ถูกค้นพบโดยโฟรเบนิอุส (Frobenius) กลุ่มย่อย M ₁₂ กระทำแตกต่างกันบนเซต 12 สองเซต ซึ่งสะท้อนถึงออโตมอ ร์ ฟิซึมภายนอกของ M ₁₂

2 ⁶ :(3.S ₆ ), ลำดับที่ 138240: กลุ่มหกคน

พิจารณาเททราดซึ่งเป็นเซตของจุด 4 จุดใดๆ ในระบบสไตเนอร์ W ₂₄อ็อกทาดถูกกำหนดโดยการเลือกจุดที่ห้าจากจุดที่เหลือ 20 จุด มีอ็อกทาดที่เป็นไปได้ 5 แบบ ดังนั้นเททราดใดๆ จะกำหนดการแบ่งส่วนออกเป็นเททราด 6 แบบ เรียกว่าเซกซ์เทตซึ่งตัวรักษาเสถียรภาพใน M ₂₄เรียกว่ากลุ่มเซกซ์เทต

จำนวนเททราดทั้งหมดคือ 24*23*22*21/4! = 23*22*21 เมื่อหารด้วย 6 จะได้จำนวนเซ็กซ์เท็ต คือ 23*11*7 = 1771 ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มเซ็กซ์เท็ตเป็นกลุ่มย่อยของผลคูณแบบเวิร์ทที่มีอันดับ 6!*(4!) ⁶ซึ่งตัวหารเฉพาะมีเพียง 2, 3 และ 5 เท่านั้น ตอนนี้เรารู้ตัวหารเฉพาะของ |M ₂₄ | แล้ว การวิเคราะห์เพิ่มเติมจะกำหนดอันดับของกลุ่มเซ็กซ์เท็ตและด้วยเหตุนี้จึงกำหนด |M ₂₄ | ได้

การจัดเรียงจุดทั้ง 24 จุดลงในตาราง 6x4 นั้นสะดวกกว่า:

นอกจากนี้ การใช้ส่วนประกอบของฟิลด์ F ₄เพื่อกำหนดหมายเลขแถวก็สะดวกเช่นกัน ได้แก่ 0, 1, u, u ²

กลุ่มเซ็กซ์เท็ตมีกลุ่มย่อยอาเบเลียนปกติHที่มีอันดับ 64 ซึ่งสมมาตรกับเฮกซาโค้ดซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีความยาว 6 และมิติ 3 เหนือ F ₄สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ใน H จะทำการสลับตำแหน่งสองครั้งภายใน 4 หรือ 6 คอลัมน์ การกระทำของมันสามารถคิดได้ว่าเป็นการบวกพิกัดเวกเตอร์กับหมายเลขแถว

กลุ่มเซ็กซ์เท็ตเป็นส่วนขยายแบบแยกส่วนของ H โดยกลุ่ม 3.S ₆ ( ส่วนขยายแบบลำต้น ) นี่คือตัวอย่างหนึ่งในกลุ่มมาธิเยอที่กลุ่มแบบง่าย (A ₆ ) เป็นผลหารย่อยไม่ใช่กลุ่มย่อย 3.S ₆เป็นตัวทำให้ปกติใน M ₂₄ของกลุ่มย่อยที่สร้างโดยr =(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX) ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นการคูณเลขแถวด้วย u ²กลุ่มย่อย 3.A ₆เป็นตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของ⟨r⟩ตัวสร้างของ 3.A ₆คือ:

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (หมุน 3 คอลัมน์แรก)

(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW)

(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (ผลคูณของสองรายการก่อนหน้า)

(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (หมุนเวียน 3 คอลัมน์สุดท้าย)

การเรียงสลับคอลัมน์แบบแปลกๆ เช่น (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW) จะสร้าง 3.S ₆ขึ้น มา

กลุ่ม 3.A ₆มีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มย่อยของ SL(3,4) ซึ่งภาพของกลุ่มย่อยนี้ใน PSL(3,4) ได้รับการบันทึกไว้ข้างต้นว่าเป็นกลุ่มไฮเปอร์โอวัล

แอปเพล็ตMoggieมีฟังก์ชันที่แสดงกลุ่มหกคนในรูปแบบสี

ไตรแอดคือเซตของจุด 3 จุด กลุ่มย่อยที่ตรึงไตรแอดคือ PSL(3,4):S ₃ลำดับ 120960 โดยมีวงโคจรขนาด 3 และ 21

ไตรโอคือเซตของอ็อกแทดที่ไม่ซ้ำกัน 3 เซตของรหัสโกเลย์ กลุ่มย่อยที่ตรึงไตรโอคือกลุ่มไตรโอ 2 ⁶ :(PSL(2,7) x S ₃ ) อันดับ 64512 ถ่ายทอดได้และอิมพริมิทีฟ

กลุ่มย่อยที่ตรึงโครงสร้างเส้นเชิงโปรเจกทีฟบนจุด 24 จุดคือ PSL(2,23) อันดับ 6072 ซึ่งการกระทำของมันเป็นแบบถ่ายทอดสองเท่า กลุ่มย่อยนี้ได้รับการสังเกตโดย Mathieu

อ็อกเทิร์นคือการแบ่งจุด 24 จุดออกเป็น 8 บล็อก บล็อกละ 3 จุด กลุ่มย่อยที่ตรึงอ็อกเทิร์นไว้คือกลุ่มอ็อกเทิร์นที่สมมาตรกับ PSL(2,7) มีอันดับ 168 เป็นกลุ่มเรียบง่าย ถ่ายทอดได้ และเป็นกลุ่มอิมพริมิทีฟ เป็นกลุ่มย่อยสูงสุดกลุ่มสุดท้ายของ M ₂₄ที่ถูกค้นพบ

ตารางด้านล่างแสดงรายการกลุ่มย่อยสูงสุดทั้งหมด

มีคลาสการสมมูลทั้งหมด 26 คลาส รูปทรงของวัฏจักรทั้งหมดมีความสมดุลในแง่ที่ว่ารูปทรงเหล่านั้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนวัฏจักรความยาวkเป็นวัฏจักรความยาวN / k สำหรับจำนวนเต็ม Nบางค่าซึ่งขึ้นอยู่กับคลาสการสมมูล

• MathWorld: กลุ่ม Mathieu
• Atlas of Finite Group Representations: M ₂₄
• ริชเตอร์, เดวิด เอ., วิธีการสร้างกลุ่มแมทธิว M ₂₄ , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 16 มกราคม 2010 , เรียกดูเมื่อ 15 เมษายน 2010