อ่าน 3 นาที
กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3
ในทฤษฎีกลุ่มจำกัด ทางคณิตศาสตร์ กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 กระทำการ ทรานซิที ฟบนเซต โดยที่ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดจะมีวงโคจร 3 วง...
กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3
ในทฤษฎีกลุ่มจำกัด ทางคณิตศาสตร์ กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 กระทำการ ทรานซิที ฟบนเซต โดยที่ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดจะมีวงโคจร 3 วง การศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มเหล่านี้เริ่มต้นโดยHigman ( 1964 , 1971 ) กลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกหลายกลุ่มถูกค้นพบว่าเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3
การจำแนกประเภท
กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3 แบบดั้งเดิมทั้งหมดอยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งต่อไปนี้:
- Cameron (1981)ได้จำแนกกลุ่มเหล่านั้นโดยที่socle TของT 0เป็นกลุ่มแบบง่าย และT 0 เป็นกลุ่มทรานซิที ฟ2 ตัวที่มีดีกรี√ n
- ลีเบ็ค (1987)จัดประเภทกลุ่มที่มีกลุ่มย่อยปกติแบบอาเบเลียนพื้นฐานทั่วไป
- Bannai (1971–72)จัดประเภทกลุ่มที่มีฐานเป็นกลุ่มสลับแบบง่าย
- Kantor & Liebler (1982)จัดประเภทกลุ่มที่มีฐานเป็นกลุ่มคลาสสิกแบบง่าย
- Liebeck & Saxl (1986)จัดประเภทกลุ่มที่มีฐานเป็นกลุ่มพิเศษหรือกลุ่มประปรายอย่างง่าย
ตัวอย่าง
ถ้าGเป็นกลุ่มทรานซิทีฟ 4 ใดๆ ที่กระทำบนเซตSแล้ว การกระทำของกลุ่มทรานซิทีฟ 4 ต่อคู่ของสมาชิกในSจะเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 [ 1 ]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มสลับ กลุ่มสมมาตร และกลุ่ม Mathieu ส่วนใหญ่ มีการกระทำทรานซิทีฟ 4 ดังนั้นจึงสามารถสร้างเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 ได้
กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปรเจกทีฟที่กระทำบนเส้นตรงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มีมิติอย่างน้อย 3 คือกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3
กลุ่มการสลับตำแหน่ง 3กลุ่มหลายกลุ่มเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3 (ในการกระทำเกี่ยวกับการสลับตำแหน่ง)
โดยทั่วไปแล้ว ตัวรักษาเสถียรภาพจุดของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 ที่กระทำต่อวงโคจรวงใดวงหนึ่งมักจะเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 เช่นกัน ซึ่งทำให้เกิด "สายโซ่" ของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 หลายสาย เช่นสายโซ่ซูซูกิและสายโซ่ที่ลงท้ายด้วยกลุ่มฟิชเชอร์
กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3 ที่ผิดปกติบางกลุ่ม (หลายกลุ่มมาจาก ( Liebeck & Saxl 1986 )) แสดงไว้ด้านล่าง
สำหรับแต่ละแถวในตารางด้านล่าง ในตารางในคอลัมน์ที่ระบุว่า "ขนาด" ตัวเลขทางซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับคือระดับของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่กล่าวถึงในแถวนั้น ในตาราง ผลรวมทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับแสดงความยาวของวงโคจรทั้งสามของตัวรักษาเสถียรภาพของจุดในกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 15 = 1+6+8 ในแถวแรกของตารางภายใต้หัวข้อ หมายความว่ากลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนสำหรับแถวแรกมีระดับ 15 และความยาวของวงโคจรทั้งสามของตัวรักษาเสถียรภาพของจุดในกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนคือ 1, 6 และ 8 ตามลำดับ
| กลุ่ม | ตัวกันสั่นจุด | ขนาด | ความคิดเห็น |
|---|---|---|---|
| A 6 = L 2 (9) = Sp 4 (2)' = M 10 ' | เอส4 | 15 = 1+6+8 | คู่ของจุด หรือกลุ่มของบล็อก 3 บล็อก บล็อกละ 2 จุด ในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนแบบ 6 จุด; สองคลาส |
| 9 | L 2 (8):3 | 120 = 1+56+63 | เส้นโปรเจกทีฟ P 1 (8); สองคลาส |
| 10 | (A 5 ×A 5 ):4 | 126 = 1+25+100 | ชุดของ 2 บล็อก บล็อกละ 5 ในรูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนแบบ 10 จุดตามธรรมชาติ |
| L 2 (8) | 7:2 = Dih(7) | 36 = 1+14+21 | คู่ของจุดใน P 1 (8) |
| L 3 (4) | เอ6 | 56 = 1+10+45 | ไฮเปอร์โอวัลใน P 2 (4); สามคลาส |
| L 4 (3) | PSp 4 (3):2 | 117 = 1+36+80 | ขั้วซิมเพล็กติกของ P 3 (3); สองคลาส |
| G 2 (2)' = U 3 (3) | PSL 3 (2) | 36 = 1+14+21 | โซ่ซูซูกิ |
| ยู3 (5) | เอ7 | 50 = 1+7+42 | การกระทำบนจุดยอดของกราฟ Hoffman-Singleton ; สามคลาส |
| U 4 (3) | L 3 (4) | 162 = 1+56+105 | สองคลาส |
| Sp 6 (2) | G 2 (2) = U 3 (3):2 | 120 = 1+56+63 | กลุ่ม Chevalley ประเภท G 2ที่กระทำบนพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหนือ GF(2) |
| Ω 7 (3) | G 2 (3) | 1080 = 1+351+728 | กลุ่ม Chevalley ประเภท G 2ที่กระทำบนอ็อกโทเนียนจินตนาการของพีชคณิตอ็อกโทเนียนเหนือ GF(3); สองคลาส |
| U 6 (2) | U 4 (3):2 2 | 1408 = 1+567+840 | ตัวรักษาเสถียรภาพจุดคือภาพของการแสดงเชิงเส้นที่ได้จากการ "นำลง" การแสดงเชิงซ้อนของกลุ่มมิตเชลล์ (กลุ่มสะท้อนเชิงซ้อน) โมดูล 2; สามคลาส |
| ม. 11 | M 9 :2 = 3 2 :SD 16 | 55 = 1+18+36 | คู่ของจุดในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนแบบ 11 จุด |
| ม. 12 | M 10 :2 = A 6 .2 2 = PΓL(2,9) | 66 = 1+20+45 | คู่ของจุด หรือคู่ของบล็อกเสริมของ S(5,6,12) ในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยน 12 จุด; สองคลาส |
| เอ็ม22 | 2 4 :A 6 | 77 = 1+16+60 | บล็อกของ S(3,6,22) |
| เจ2 | U 3 (3) | 100 = 1+36+63 | โซ่ซูซูกิ ; การกระทำบนจุดยอดของกราฟฮอลล์-จังโก |
| กลุ่มฮิกแมน-ซิมส์ HS | เอ็ม22 | 100 = 1+22+77 | การกระทำบนจุดยอดของกราฟ Higman-Sims |
| เอ็ม22 | เอ7 | 176 = 1+70+105 | สองคลาส |
| ม. 23 | ม21 :2 = ลิตร3 (4):2 2 = PΣL(3,4) | 253 = 1+42+210 | คู่ของจุดในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยน 23 จุด |
| ม. 23 | 2 4 :A 7 | 253 = 1+112+140 | บล็อกของ S(4,7,23) |
| กลุ่มแมคลาฟลิน McL | U 4 (3) | 275 = 1+112+162 | การกระทำบนจุดยอดของกราฟ McLaughlin |
| ม. 24 | ม. 22 :2 | 276 = 1+44+231 | คู่ของจุดในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยน 24 จุด |
| G 2 (3) | U 3 (3):2 | 351 = 1+126+244 | สองคลาส |
| G 2 (4) | เจ2 | 416 = 1+100+315 | โซ่ซูซูกิ |
| ม. 24 | จ. 12 :2 | 1288 = 1+495+792 | คู่ของโดเดคาดเสริมในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยน 24 จุด |
| ซูซูกิ กรุ๊ป ซูซ | G 2 (4) | 1782 = 1+416+1365 | โซ่ซูซูกิ |
| G 2 (4) | U 3 (4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| โค2 | พีเอสยู6 (2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| กลุ่ม Rudvalis Ru | 2 F 4 (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| ไฟ22 | 2.PSU 6 (2) | 3510 = 1+693+2816 | 3-การสลับตำแหน่ง |
| ไฟ22 | Ω 7 (3) | 14080 = 1+3159+10920 | สองคลาส |
| ฟิ23 | 2. ฟิ22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3-การสลับตำแหน่ง |
| G 2 (8).3 | SU 3 (8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| ฟิ23 | PΩ 8 + (3).S 3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| ฟิ24 ' | ฟิ23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-การสลับตำแหน่ง |
หมายเหตุ
- ^วงโคจรทั้งสามได้แก่: คู่คงที่นั้นเอง; คู่ที่มีองค์ประกอบร่วมกันกับคู่คงที่อย่างน้อยหนึ่งตัว; และคู่ที่ไม่มีองค์ประกอบร่วมกันกับคู่คงที่เลย
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3
ในทฤษฎีกลุ่มจำกัด ทางคณิตศาสตร์ กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 กระทำการ ทรานซิที ฟบนเซต โดยที่ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดจะมีวงโคจร 3 วง...
การจำแนกประเภท
กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3 แบบดั้งเดิมทั้งหมดอยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งต่อไปนี้:
ตัวอย่าง
ถ้า G เป็นกลุ่มทรานซิทีฟ 4 ใดๆ ที่กระทำบนเซต S แล้ว การกระทำของกลุ่มทรานซิทีฟ 4 ต่อคู่ของสมาชิกใน S จะเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนอันดับ 3 [ 1 ] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มสลับ กลุ่มสมมาตร และ กลุ่ม Mathieu ส่วนใหญ่ มีการกระทำทรานซิทีฟ 4...
หมายเหตุ
^ วงโคจรทั้งสามได้แก่: คู่คงที่นั้นเอง; คู่ที่มีองค์ประกอบร่วมกันกับคู่คงที่อย่างน้อยหนึ่งตัว; และคู่ที่ไม่มีองค์ประกอบร่วมกันกับคู่คงที่เลย ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank_3_permutation_group&oldid=1304619174 "