ในทฤษฎีกลุ่ม ทางคณิตศาสตร์ ตัวคูณ ของSchurหรือตัวคูณ Schurคือกลุ่มโฮโมโลยีลำดับ ที่สอง ของกลุ่มG ซึ่ง Issai Schur  ( 1904 ) ได้นำเสนอไว้ในงานของเขาเกี่ยวกับการแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟ ${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$

ตัวคูณชูร์ของกลุ่มจำกัดG คือ กลุ่มอาเบเลียนจำกัดที่มีเลขชี้กำลังหารลงตัวกับอันดับของGถ้ากลุ่มย่อยไซโลว์pของGเป็นกลุ่มวัฏจักรสำหรับp บางตัว อันดับของกลุ่มย่อยนั้นจะหารไม่ลงตัวด้วยpโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ากลุ่มย่อยไซโลว์pของG ทั้งหมด เป็นกลุ่มวัฏจักร กลุ่มย่อยนั้นจะ เป็นกลุ่มย่อยที่ไม่มีสมาชิกอื่น ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$

ตัวอย่างเช่น ตัวคูณชูร์ของกลุ่มโนนาเบเลียนอันดับ 6คือกลุ่มที่ไม่สำคัญเนื่องจากกลุ่มย่อยไซโลว์ทุกกลุ่มเป็นกลุ่มวัฏจักร ตัวคูณชูร์ของกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 16 คือกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 64 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าตัวคูณสามารถมีค่ามากกว่าตัวกลุ่มเองได้อย่างชัดเจน ตัวคูณชูร์ของกลุ่มควอเทอร์เนียนเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ แต่ตัวคูณชูร์ของกลุ่มไดเฮดรัล 2มีอันดับ 2

ตัวคูณของ Schur ของกลุ่มง่าย จำกัด แสดงอยู่ในรายการกลุ่มง่ายจำกัดกลุ่มปกคลุมของกลุ่มสลับและกลุ่มสมมาตรเป็นที่สนใจอย่างมากในปัจจุบัน

แรงจูงใจดั้งเดิมของ Schur ในการศึกษาตัวคูณคือการจำแนกประเภทการแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟของกลุ่ม และสูตรสมัยใหม่ของคำจำกัดความของเขาก็คือกลุ่มโคฮอโมโลยี ที่สอง การแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟนั้นคล้ายกับการแสดงแทนกลุ่ม มาก ยกเว้นว่าแทนที่จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเราจะใช้โฮโมมอร์ฟิซึมไปยังกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปรเจคทีฟ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟคือการแสดงแทนโมดูลัส ศูนย์กลาง${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )}$

Schur  ( 1904 , 1907 ) แสดงให้เห็นว่าทุกกลุ่มจำกัดG จะมีกลุ่มจำกัด Cอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มที่เกี่ยวข้องด้วยซึ่งเรียกว่าSchur coverโดยมีคุณสมบัติว่าการแทนแบบโปรเจคทีฟทุกแบบของGสามารถยกขึ้นเป็นการแทนแบบธรรมดาของCได้ Schur cover ยังเป็นที่รู้จักในชื่อcovering groupหรือDarstellungsgruppe Schur cover ของกลุ่มง่ายจำกัดเป็นที่รู้จักกัน และแต่ละอันเป็นตัวอย่างของกลุ่มกึ่งง่าย Schur cover ของกลุ่มสมบูรณ์ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม แต่ Schur cover ของกลุ่มจำกัดทั่วไปถูกกำหนดได้เพียงจนถึงไอโซคลินิสซึมเท่านั้น

การศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มปกคลุมดังกล่าว นำไปสู่การศึกษาเกี่ยวกับ ส่วนขยาย ส่วนกลางและส่วนลำต้นโดย ธรรมชาติ

ส่วนขยายส่วนกลางของกลุ่มGคือส่วนขยาย

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

โดยที่เป็น กลุ่มย่อยของศูนย์กลางของC${\displaystyle K\leq Z(C)}$

ส่วนขยายลำต้นของกลุ่มGคือส่วนขยาย

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

โดยที่เป็นกลุ่มย่อยของจุดตัดของศูนย์กลางของCและกลุ่มย่อยที่ได้มาของCซึ่งมีข้อจำกัดมากกว่าศูนย์กลาง^{[ 1 ]}${\displaystyle K\leq Z(C)\cap C'}$

ถ้ากลุ่มGเป็นกลุ่มจำกัด และเราพิจารณาเฉพาะส่วนขยายแบบลำต้นเท่านั้น จะมีขนาดใหญ่ที่สุดสำหรับกลุ่มC ดังกล่าว และสำหรับทุกCที่มีขนาดนั้น กลุ่มย่อยKจะสมสัณฐานกับตัวคูณชูร์ของG ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ากลุ่มจำกัดGเป็น กลุ่ม สมบูรณ์Cจะมีเพียงหนึ่งเดียวจนถึงการสมสัณฐาน และตัวมันเองก็เป็นกลุ่มสมบูรณ์C ดังกล่าว มักเรียกว่าส่วนขยายกลางสมบูรณ์สากลของGหรือกลุ่มปกคลุม (เนื่องจากเป็นอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของปริภูมิปกคลุมสากลในทางโทโพโลยี) ถ้ากลุ่มจำกัดGไม่ใช่กลุ่มสมบูรณ์ กลุ่มปกคลุมชูร์ของมัน ( C ทั้งหมด ที่มีอันดับสูงสุด) จะเป็นเพียงไอโซคลินิกเท่านั้น

เรียกโดยย่อว่าส่วนขยายศูนย์กลางสากล (universal central extension ) ก็ได้ แต่โปรดทราบว่าไม่มีส่วนขยายศูนย์กลางที่ใหญ่ที่สุด เนื่องจากผลคูณโดยตรงของGและกลุ่มอาเบเลียน (abelian group)ก่อให้เกิดส่วนขยายศูนย์กลางของGที่มีขนาดใดก็ได้

ส่วนขยายของสเต็มมีคุณสมบัติที่ดีอย่างหนึ่งคือ การยกเซตตัวสร้างของG ใดๆ ก็ตาม จะเป็นเซตตัวสร้างของCด้วย ถ้ากลุ่มGถูกนำเสนอในรูปของกลุ่มอิสระFบนเซตตัวสร้าง และกลุ่มย่อยปกติRที่สร้างขึ้นโดยเซตของความสัมพันธ์บนตัวสร้าง ดังนั้นแล้วกลุ่มปกคลุมเองก็สามารถนำเสนอในรูปของF ได้แต่มีกลุ่มย่อยปกติS ที่เล็กกว่า นั่นคือเนื่องจากความสัมพันธ์ของGระบุองค์ประกอบของKเมื่อพิจารณาว่าเป็นส่วนหนึ่งของCดังนั้นจึงต้องมี ${\displaystyle G\cong F/R}$${\displaystyle C\cong F/S}$${\displaystyle S\leq [F,R]}$

อันที่จริง ถ้าGสมบูรณ์แบบ นี่คือทั้งหมดที่จำเป็น: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] และ M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ] เนื่องจากความเรียบง่ายนี้ การอธิบายเช่น ( Aschbacher 2000 , §33) จึงจัดการกับกรณีสมบูรณ์แบบก่อน กรณีทั่วไปสำหรับตัวคูณของ Schur นั้นคล้ายกัน แต่รับประกันว่าส่วนขยายเป็นส่วนขยายแบบลำต้นโดยการจำกัดไว้ที่กลุ่มย่อยที่ได้มาของF : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ] ทั้งหมดนี้เป็นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นในภายหลังเล็กน้อยของ Schur ซึ่งเขายังได้ให้เกณฑ์ที่เป็นประโยชน์จำนวนหนึ่งสำหรับการคำนวณอย่างชัดเจนยิ่งขึ้นด้วย

ในทฤษฎีกลุ่มเชิงคอมบินา ทอริก กลุ่มมักจะเกิดขึ้นจากการนำเสนอประเด็นสำคัญในสาขาคณิตศาสตร์นี้คือการศึกษาการนำเสนอที่มีความสัมพันธ์น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เช่น กลุ่มที่มีตัวสัมพันธ์หนึ่งตัว เช่นกลุ่ม Baumslag–Solitarกลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มอนันต์ที่มีตัวสร้างสองตัวและความสัมพันธ์หนึ่งตัว และผลลัพธ์เก่าของ Schreier แสดงให้เห็นว่าในการนำเสนอใดๆ ที่มีตัวสร้างมากกว่าความสัมพันธ์ กลุ่มที่ได้จะเป็นอนันต์ ดังนั้นกรณีขอบเขตจึงค่อนข้างน่าสนใจ: กลุ่มจำกัดที่มีจำนวนตัวสร้างเท่ากับจำนวนความสัมพันธ์เรียกว่ามีข้อบกพร่องเป็นศูนย์ สำหรับกลุ่มที่จะมีข้อบกพร่องเป็นศูนย์ กลุ่มนั้นจะต้องมีตัวคูณ Schur ที่เป็นศูนย์ เนื่องจากจำนวนตัวสร้างขั้นต่ำของตัวคูณ Schur จะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนความสัมพันธ์และจำนวนตัวสร้าง ซึ่งก็คือข้อบกพร่องเชิงลบกลุ่มที่มีประสิทธิภาพคือกลุ่มที่ตัวคูณ Schur ต้องการจำนวนตัวสร้างนี้^{[ 2 ]}

หัวข้อวิจัยที่ค่อนข้างใหม่คือการค้นหาการนำเสนอที่มีประสิทธิภาพสำหรับกลุ่มง่ายจำกัดทั้งหมดที่มีตัวคูณ Schur เป็นศูนย์ การนำเสนอแบบนี้มีข้อดีอยู่บ้างตรงที่มักจะสั้น แต่ก็ยากที่จะค้นหาและใช้งานได้ เนื่องจากไม่เหมาะสมกับวิธีการมาตรฐาน เช่นการแจงนับโคเซต

ในทางโทโพโลยีกลุ่มต่างๆ มักถูกอธิบายว่าเป็น กลุ่ม ที่นำเสนอ อย่างจำกัด และคำถามพื้นฐานคือการคำนวณโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ของกลุ่มเหล่านั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง โฮโมโลยีที่สองมีบทบาทพิเศษ และนี่ทำให้ไฮนซ์ ฮอปฟ์ค้นพบวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณ วิธีการใน ( Hopf 1942 ) เรียกอีกอย่างว่าสูตรโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ของฮอปฟ์และเหมือนกับสูตรของชูร์สำหรับตัวคูณชูร์ของกลุ่มจำกัด: ${\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]}$

โดยที่Fเป็นกลุ่มอิสระ สูตรเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้เมื่อGเป็นกลุ่มสมบูรณ์^{[ 3 ]}${\displaystyle G\cong F/R}$

การตระหนักว่าสูตรเหล่านี้เหมือนกัน ทำให้ซามูเอล ไอเลนเบิร์กและซอนเดอร์ส แมคเลนสร้างโคฮอโมโลยีของกลุ่มขึ้นมา โดยทั่วไปแล้ว

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}}$

โดยที่เครื่องหมายดอกจันหมายถึงกลุ่มคู่พีชคณิต ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อGเป็นกลุ่มจำกัด จะมีไอโซมอร์ฟิซึม ที่ไม่เป็นธรรมชาติ

${\displaystyle {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).}$

สูตร Hopf สำหรับได้รับการขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นแล้ว สำหรับแนวทางหนึ่งและเอกสารอ้างอิง โปรดดูบทความของ Everaert, Gran และ Van der Linden ที่ระบุไว้ด้านล่าง ${\displaystyle H_{2}(G)}$

กลุ่มสมบูรณ์ (Perfect group)คือกลุ่มที่โฮโมโลยีเชิงอินทิกรัลกลุ่มแรก เป็นศูนย์ กลุ่มสมบูรณ์แบบยิ่ง (Superperfect group)คือกลุ่มที่โฮโมโลยีเชิงอินทิกรัลสองกลุ่มแรกเป็นศูนย์ ชูร์คัฟเวอร์ (Schur covers) ของกลุ่มสมบูรณ์จำกัด (finite perfect group) เป็นแบบสมบูรณ์แบบยิ่ง (superperfect) กลุ่มไร้วัฏจักร (Acyclic group)คือกลุ่มที่โฮโมโลยีเชิงอินทิกรัลแบบลดรูป (Reduced integral homology) ทั้งหมดเป็นศูนย์

กลุ่มK-พีชคณิตที่สอง K ₂ ( R ) ของวงแหวนสลับที่Rสามารถระบุได้กับกลุ่มโฮโมโลยีที่สองH ₂ ( E ( R ), Z ) ของกลุ่มE ( R ) ของเมทริกซ์พื้นฐาน (อนันต์) ที่มี ^{รายการ}อยู่ในR [ ^{4 ]}

• กลุ่มกึ่งง่าย

เอกสารอ้างอิงจาก Clair Miller นำเสนอมุมมองอีกแบบหนึ่งของตัวคูณ Schur ในฐานะแกนหลักของมอร์ฟิซึม κ: G ∧ G → G ที่เหนี่ยวนำโดยแผนที่คอมมิวเทเตอร์