${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

แปดแถวแรกของสามเหลี่ยมปาสคาล

ในทางคณิตศาสตร์สามเหลี่ยมปาสคาลเป็นอาร์เรย์สามเหลี่ยมอนันต์ของสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง และพีชคณิต ใน โลกตะวันตกส่วนใหญ่ สามเหลี่ยมปาสคาล ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสบลาส์ ปาสคาลแม้ว่านักคณิตศาสตร์ คนอื่นๆ จะศึกษาสามเหลี่ยม ปาสคา^ลมาหลายศตวรรษก่อนหน้าเขาในเปอร์เซีย^{[ 1 ]} อินเดีย[ ^{2 ]}จีนเยอรมนีและอิตาลี [ ^{3 ]}

โดยทั่วไปแล้ว แถวของสามเหลี่ยมปาสคาลจะถูกนับเริ่มต้นจากแถวบนสุด (แถวที่ 0) ตัวเลขในแต่ละแถวจะถูกนับจากซ้ายไปขวาและมักจะเหลื่อมกันกับตัวเลขในแถวที่อยู่ติดกัน สามเหลี่ยมนี้อาจสร้างขึ้นในลักษณะดังต่อไปนี้: ในแถวที่ 0 (แถวบนสุด) จะมีตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์เพียงตัวเดียวคือ 1 ตัวเลขในแต่ละแถวถัดไปจะสร้างขึ้นโดยการบวกตัวเลขด้านบนและทางซ้ายกับตัวเลขด้านบนและทางขวา โดยถือว่าช่องว่างเป็น 0 ตัวอย่างเช่น ตัวเลขเริ่มต้นของแถวที่ 1 (หรือแถวอื่นๆ) คือ 1 (ผลรวมของ 0 และ 1) ในขณะที่ตัวเลข 1 และ 3 ในแถวที่ 3 จะถูกบวกกันเพื่อให้ได้ตัวเลข 4 ในแถวที่ 4 ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle k=0}$

ในแถวที่ n ของสามเหลี่ยมปาสคาลรายการที่ n จะถูกแทน ด้วย kซึ่งอ่านว่า " nเลือกk " เพราะมันอธิบายจำนวนวิธีเลือก : จำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของจากกลุ่ม สิ่งของ การนับแถวเริ่มต้นที่ 0 และรายการภายในแถวก็จะนับจาก 0 เช่นกัน ตัวอย่างเช่น รายการบนสุดคือk ด้วยสัญลักษณ์นี้ โครงสร้างของย่อหน้าก่อนหน้านี้สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1}$

$${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$$สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆและจำนวนเต็มใดๆ[ ^{4 ] ความ} สัมพันธ์เวียนเกิดนี้สำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามเรียกว่ากฎของปาสคาลสัมประสิทธิ์ทวินามใดๆ สามารถคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$$${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.}$$

รูปแบบของตัวเลขที่ประกอบเป็นสามเหลี่ยมของปาสคาลเป็นที่รู้จักกันมานานก่อนสมัยของปาสคาล นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย อัล-คาราจี (953–1029) ได้เขียนหนังสือที่สูญหายไปแล้วเล่มหนึ่งซึ่งมีคำอธิบายแรกเกี่ยวกับสามเหลี่ยมของปาสคาล^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ในอินเดียจันดะห์ศาสตราโดยกวีและนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียปิงคละ (ศตวรรษที่ 3 หรือ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) อธิบายวิธีการจัดเรียงพยางค์สองประเภทเพื่อสร้างเมตร ที่มีความยาวต่างๆ และนับจำนวน ซึ่งตีความและขยายความโดย ฮาลายุธะผู้ตีความของปิงคละในศตวรรษที่ 10 ว่า "วิธีการขยายแบบพีระมิด" ( เมรุ-ปราสตารา ) สำหรับการนับเมตรนั้นเทียบเท่ากับสามเหลี่ยมของปาสคาล^{[ 8 ]}ต่อมาได้รับการกล่าวซ้ำโดยโอมาร์ คัยยัม (1048–1131) นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียอีกคนหนึ่ง ดังนั้นสามเหลี่ยมนี้จึงถูกเรียกว่าสามเหลี่ยมคัยยัม ( مثلث خیام ) ในอิหร่าน^{[ 9 ]}มีทฤษฎีบทหลายข้อที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมนี้เป็นที่รู้จัก รวมถึงทฤษฎีบททวินามคัยยัมใช้วิธีการหาค่ารากที่nโดยอาศัยการกระจายทวินาม และด้วยเหตุนี้จึงอาศัยสัมประสิทธิ์ทวินาม^{[ 1 ]}

สามเหลี่ยมปาสคาลเป็นที่รู้จักในประเทศจีนในช่วงศตวรรษที่ 11 ผ่านผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวจีนชื่อ เจียเซียน (ค.ศ. 1010–1070) ในช่วงศตวรรษที่ 13 หยางฮุย (ค.ศ. 1238–1298) ได้กำหนดนิยามของสามเหลี่ยม และเป็นที่รู้จักในประเทศจีน ในชื่อ สามเหลี่ยมของหยางฮุย (杨辉三角;楊輝三角) ^{[ 10 ]}

ในยุโรป สามเหลี่ยมของปาสคาลปรากฏขึ้นครั้งแรกในหนังสือArithmeticของJordanus de Nemore (ศตวรรษที่ 13) ^{[ 11 ]} สัมประสิทธิ์ทวินามได้รับการคำนวณโดยGersonidesในช่วงต้นศตวรรษที่ 14 โดยใช้สูตรการคูณ^{[ 12 ]} Petrus Apianus (1495–1552) ได้ตีพิมพ์สามเหลี่ยมฉบับเต็มบนหน้าปกหนังสือเกี่ยวกับการคำนวณทางธุรกิจของเขาในปี 1527 ^{[ 13 ]} Michael Stifelได้ตีพิมพ์ส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยม (จากคอลัมน์ที่สองถึงคอลัมน์กลางในแต่ละแถว) ในปี 1544 โดยอธิบายว่าเป็นตารางของตัวเลขรูปทรง^{[ 12 ]}ในอิตาลี สามเหลี่ยมของปาสคาลเรียกว่าสามเหลี่ยมของทาร์ตาเกลียซึ่งตั้งชื่อตามนักพีชคณิตชาวอิตาลีทาร์ตาเกลีย (ค.ศ. 1500–1577) ผู้ตีพิมพ์สามเหลี่ยมหกแถวในปี ค.ศ. 1556 ^{[ 12 ]}เจโรลาโม คาร์ดาโนยังได้ตีพิมพ์สามเหลี่ยมรวมถึงกฎการบวกและการคูณสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมในปี ค.ศ. 1570 ^{[ 12 ]}

Traité du triangle arithmétique ( ตำราว่าด้วยสามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ ) ของปาสคาลได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1665 ^{[ 14 ]}ในตำรานี้ ปาสคาลได้รวบรวมผลลัพธ์หลายอย่างที่ทราบกันในขณะนั้นเกี่ยวกับสามเหลี่ยม และนำมาใช้แก้ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นต่อมาสามเหลี่ยมนี้ได้รับการตั้งชื่อตามปาสคาลโดยPierre Raymond de Montmort (1708) ซึ่งเรียกมันว่าtable de M. Pascal pour les combinaisons (ภาษาฝรั่งเศส: ตารางของนายปาสคาลสำหรับการจัดหมู่) และAbraham de Moivre (1730) ซึ่งเรียกมันว่าTriangulum Arithmeticum PASCALIANUM (ภาษาละติน: สามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ของปาสคาล) ซึ่งกลายเป็นพื้นฐานของชื่อเรียกสมัยใหม่ในโลกตะวันตก^{[ 15 ]}

สามเหลี่ยมปาสคาลใช้กำหนดสัมประสิทธิ์ที่ปรากฏในการกระจายทวินามตัวอย่างเช่น ในการกระจาย สัมประสิทธิ์คือค่าในแถวที่สองของสามเหลี่ยมปาสคาล: , , . $${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},}$$${\displaystyle {\tbinom {2}{0}}=1}$${\displaystyle {\tbinom {2}{1}}=2}$${\displaystyle {\tbinom {2}{2}}=1}$

โดยทั่วไปทฤษฎีบททวินามกล่าวว่า เมื่อ ยกกำลัง ทวินามเช่นด้วยจำนวนเต็มบวกนิพจน์จะขยายออกเป็น โดย ที่สัมประสิทธิ์คือตัวเลขในแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลอย่างแม่นยำ: ${\displaystyle x+y}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{nk}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n},}$$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle a_{k}={n \choose k}.}$$

เส้นทแยงมุมด้านซ้ายทั้งหมดของสามเหลี่ยมปาสคาลสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ของในการกระจายทวินามเหล่านี้ ในขณะที่เส้นทแยงมุมด้านซ้ายถัดไปสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ของและอื่นๆ ต่อไป ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x^{n-1}y}$

เพื่อดูว่าทฤษฎีบททวินามเกี่ยวข้องกับการสร้างสามเหลี่ยมปาสคาลอย่างง่ายอย่างไร ลองพิจารณาปัญหาการคำนวณสัมประสิทธิ์ของการกระจายของในรูปของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของโดยที่เรากำหนดให้เพื่อความง่าย สมมติว่า ตอน นี้ ${\displaystyle (x+y)^{n+1}}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$${\displaystyle y=1}$$${\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}$$$${\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}$$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dbinom {0}{0}}\\{\dbinom {1}{0}}\quad {\dbinom {1}{1}}\\{\dbinom {2}{0}}\quad {\dbinom {2}{1}}\quad {\dbinom {2}{2}}\\{\dbinom {3}{0}}\quad {\dbinom {3}{1}}\quad {\dbinom {3}{2}}\quad {\dbinom {3}{3}}\\{\dbinom {4}{0}}\quad {\dbinom {4}{1}}\quad {\dbinom {4}{2}}\quad {\dbinom {4}{3}}\quad {\dbinom {4}{4}}\\{\dbinom {5}{0}}\quad {\dbinom {5}{1}}\quad {\dbinom {5}{2}}\quad {\dbinom {5}{3}}\quad {\dbinom {5}{4}}\quad {\dbinom {5}{5}}\end{array}}}$

หกแถวแรกของสามเหลี่ยมปาสคาลในรูปสัมประสิทธิ์ทวินาม

ผลรวมทั้งสองสามารถจัดเรียงดัชนีใหม่และรวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ ${\displaystyle k=i+1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+a_{n}x^{n+1}+a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{n+1}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ด้านซ้ายและขวาสุดจึงยังคงเป็น 1 และสำหรับค่าใดๆ ก็ตามสัมประสิทธิ์ของพจน์ในพหุนามจะเท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ของและในกำลังก่อนหน้านี่คือหลักการบวกแบบลงล่างสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมปาสคาล ${\displaystyle 0<k<n+1}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$${\displaystyle a_{k-1}+a_{k}}$${\displaystyle x^{k-1}}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเปลี่ยนข้อโต้แย้งนี้ให้เป็นการพิสูจน์ (โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์ ) ของทฤษฎีบททวินาม

เนื่องจากสัมประสิทธิ์จึงเหมือนกันในการขยายกรณีทั่วไป ${\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}}$

ผลลัพธ์ที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของทฤษฎีบททวินามได้มาจากการตั้งค่าตัวแปรทั้งสองเป็น เพื่อให้ ${\displaystyle x=y=1}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมของสมาชิกในแถวที่ i ของสามเหลี่ยมปาสคาลคือกำลังที่ i ของ 2 ซึ่งเทียบเท่ากับข้อความที่ว่าจำนวนเซตย่อยของเซตที่มีสมาชิก k ตัวคือn ตัว ดังที่เห็นได้จากการสังเกตว่าสมาชิกแต่ละตัวสามารถถูกรวมหรือแยกออกจากเซตย่อยที่กำหนดได้อย่างอิสระ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

การประยุกต์ใช้สามเหลี่ยมปาสคาลที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่งคือการคำนวณการจัดหมู่จำนวนการจัดหมู่ของสิ่งของที่เลือกมาในแต่ละครั้ง กล่าวคือ จำนวนเซตย่อยขององค์ประกอบจากองค์ประกอบต่างๆ สามารถหาได้จากสมการ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

(สัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ได้แก่⁠ ⁠${\displaystyle C(n,k)}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle C_{k}^{n}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle {}_{n}C_{k}}$ .) นี่เท่ากับรายการในแถวของสามเหลี่ยมปาสคาล แทนที่จะทำการคำนวณแบบคูณ เราสามารถดูรายการที่เหมาะสมในสามเหลี่ยม (ที่สร้างขึ้นโดยการบวก) ได้เลย ตัวอย่างเช่น สมมติว่าต้องจ้างคนงาน 3 คนจากผู้สมัคร 7 คน ดังนั้นจำนวนตัวเลือกการจ้างงานที่เป็นไปได้คือ 7 เลือก 3 ซึ่งเป็นรายการ 3 ในแถวที่ 7 ของตารางข้างต้น (โดยพิจารณาว่าแถวแรกคือแถวที่ 0) ซึ่งก็คือ. ^{[ 16 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}=35}$

เมื่อหารด้วยแถวที่ ของสามเหลี่ยมปาสคาลจะกลายเป็นการแจกแจงทวินามในกรณีสมมาตรที่โดยทฤษฎีบทลิมิตกลางการแจกแจงนี้จะเข้าใกล้การแจกแจงปกติเมื่อเพิ่มขึ้น สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการใช้สูตรของสเตอร์ลิงกับแฟกทอเรียลที่เกี่ยวข้องในสูตรสำหรับการรวมกัน ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n}$

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการสังเคราะห์แบบไม่ต่อเนื่องในสองแง่มุม ประการแรก การคูณพหุนามสอดคล้องกับการสังเคราะห์แบบไม่ต่อเนื่องอย่างแม่นยำ ดังนั้นการสังเคราะห์ลำดับซ้ำๆกับตัวเองจึงสอดคล้องกับการยกกำลังของและด้วยเหตุนี้จึงสร้างแถวของสามเหลี่ยม ประการที่สอง การสังเคราะห์ฟังก์ชันการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม ซ้ำๆ กับตัวเองสอดคล้องกับการคำนวณฟังก์ชันการกระจายสำหรับผลรวมของ สำเนาอิสระ nชุดของตัวแปรนั้น นี่คือสถานการณ์ที่ทฤษฎีบทลิมิตกลางใช้ได้ และด้วยเหตุนี้จึงส่งผลให้เกิดการกระจายแบบปกติในลิมิต (การดำเนินการของการสังเคราะห์ซ้ำๆ ของบางสิ่งกับตัวเองเรียกว่ากำลังการสังเคราะห์ ) ${\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}}$${\displaystyle x+1}$

สามเหลี่ยมปาสคาลมีคุณสมบัติหลายประการและประกอบด้วยรูปแบบตัวเลขมากมาย

• ผลรวมขององค์ประกอบในแถวเดียวกันจะมีค่าเป็นสองเท่าของผลรวมขององค์ประกอบในแถวก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น แถวที่ 0 (แถวบนสุด) มีค่าเป็น 1 แถวที่ 1 มีค่าเป็น 2 แถวที่ 2 มีค่าเป็น 4 และอื่นๆ ต่อไปเรื่อยๆ เนื่องจากองค์ประกอบทุกตัวในแถวหนึ่งจะสร้างองค์ประกอบสองตัวในแถวถัดไป คือหนึ่งตัวทางซ้ายและหนึ่งตัวทางขวา ผลรวมขององค์ประกอบในแถวนั้น  จึงเท่ากับ2/3${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$
• เมื่อนำผลคูณขององค์ประกอบในแต่ละแถวมาใช้กับลำดับของผลคูณ (ลำดับ^{A001142 ใน OEIS) จะมีความสัมพันธ์กับฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e [} 17 ] [ 18 ] โดยเฉพาะอย่าง^{ยิ่งให้กำหนดลำดับสำหรับ}ทั้งหมด ดังนี้ :${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
  จากนั้น อัตราส่วนของผลคูณแถวที่ต่อเนื่องกันคือและอัตราส่วนของอัตราส่วนเหล่านี้คือด้านขวามือของสมการข้างต้นมีรูปแบบตามนิยามของลิมิตของ$${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$$$${\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}$$${\displaystyle e}$$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$
• ${\displaystyle \pi }$สามารถพบได้ในสามเหลี่ยมปาสคาลโดยใช้ชุดอนันต์นิลา กัน ธา^{[ 19 ]}$${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}$$
• ตัวเลขบางส่วนในสามเหลี่ยมปาสคาลมีความสัมพันธ์กับตัวเลขในสามเหลี่ยมโลซานิช
• ผลรวมของกำลังสองขององค์ประกอบในแถว  nเท่ากับองค์ประกอบตรงกลางของแถว  ²ⁿ ตัวอย่างเช่น 1/2 + 4/2 ⁺ 6/2 ⁺ 4/2 ⁺ 1/2 ⁼ 70ในรูปแบบทั่วไป$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$$
• ในแถวคู่ใดๆตัวเลขตรงกลางลบด้วยตัวเลขที่อยู่ถัดไปทางซ้ายสองตำแหน่งจะได้เท่ากับจำนวนคาตาลันเช่น ในแถวที่ 4 ซึ่งประกอบด้วย 1, 4, 6, 4, 1 เราจะได้จำนวนคาตาลัน ลำดับที่ 3${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}}$${\displaystyle C_{3}=6-1=5}$
• ในแถว  pโดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะพจน์ทั้งหมดในแถวนั้น ยกเว้นเลข 1 จะหารด้วยp ลงตัว สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ จากสูตรการคูณเนื่องจากตัวส่วนไม่มีตัวประกอบเฉพาะที่เท่ากับpดังนั้นp จึง ยังคงอยู่ในตัวเศษหลังจากการหารจำนวนเต็ม ทำให้พจน์ทั้งหมดเป็นพหุคูณของp${\displaystyle {\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}}$${\displaystyle k!(p-k)!}$
• ความเท่าเทียมกัน : ในการนับ^พจน์คี่ในแถว  nให้แปลงnเป็นเลขฐานสองให้xเป็นจำนวน 1 ในการแสดงเลขฐานสอง จากนั้นจำนวนพจน์คี่จะเป็น2xตัวเลขเหล่านี้คือค่าในลำดับของ Gould ^{[ 20 ]}
• รายการทุกรายการในแถว 2 ⁿ  − 1, n  ≥ 0 เป็นจำนวนคี่^{[ 21 ]}
• ความเป็นขั้ว : เมื่อนำองค์ประกอบในแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลมาบวกและลบสลับกัน ผลลัพธ์จะเป็น 0 ตัวอย่างเช่น แถวที่ 6 คือ 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 ดังนั้นสูตรคือ 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0

เส้นทแยงมุมของสามเหลี่ยมปาสคาลประกอบด้วยจำนวนรูปทรงเรขาคณิตของซิมเพล็กซ์:

• เส้นทแยงมุมที่ลากตามขอบด้านซ้ายและด้านขวาประกอบด้วยเลข 1 เท่านั้น
• เส้นทแยงมุมที่อยู่ถัดจากเส้นทแยงมุมขอบประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติเรียงลำดับกัน จำนวนซิมเพล็กซ์ 1 มิติจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 เมื่อส่วนของเส้นตรงขยายไปยังจำนวนเต็มถัดไปตามเส้นจำนวน
• เมื่อเลื่อนเข้ามาด้านใน เส้นทแยงมุมคู่ถัดไปจะประกอบด้วยตัวเลขสามเหลี่ยมตามลำดับ
• เส้นทแยงมุมคู่ถัดไปจะประกอบด้วยตัวเลขทรงสี่หน้า ตามลำดับ และเส้น ทแยงมุมคู่ถัดไปจะให้ตัวเลขทรงห้าเหลี่ยม

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}$

ความสมมาตรของรูปสามเหลี่ยมบ่งชี้ว่า จำนวนมิติ d ^{ตัวที่}nเท่ากับจำนวนมิติ n ตัว ^ที่d

สูตรทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเรียกซ้ำคือ โดยที่n ^{( d )}คือ แฟกทอเรี ยล ที่เพิ่มขึ้น$${\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},}$$

ความหมายทางเรขาคณิตของฟังก์ชันP _dคือ: P _d (1) = 1 สำหรับทุกdสร้างสามเหลี่ยมมิติ d ( สามเหลี่ยม 3 มิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ) โดยวางจุดเพิ่มเติมไว้ใต้จุดเริ่มต้น ซึ่งสอดคล้องกับP _d (1) = 1 วางจุดเหล่านี้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการวางตัวเลขในสามเหลี่ยมของปาสคาล ในการหา P _d ( x ) ให้มีจุดทั้งหมดxจุดที่ประกอบเป็นรูปร่างเป้าหมาย P _d ( x ) จะเท่ากับจำนวนจุดทั้งหมดในรูปร่างนั้น สามเหลี่ยมมิติ 0 คือจุด และสามเหลี่ยมมิติ 1 คือเส้นตรง ดังนั้นP ₀ ( x ) = 1 และP ₁ ( x ) = xซึ่งเป็นลำดับของจำนวนธรรมชาติ จำนวนจุดในแต่ละชั้นสอดคล้องกับP _{d  − 1} ( x )

มีอัลกอริธึมง่ายๆ ที่สามารถคำนวณหาค่าของทุกองค์ประกอบในแถวหรือแนวทแยงมุมได้โดยไม่ต้องคำนวณค่าขององค์ประกอบอื่นๆ หรือค่าแฟกทอเรียล

ในการคำนวณแถวที่มีองค์ประกอบให้เริ่มต้นด้วยสำหรับแต่ละองค์ประกอบถัดไป ค่าจะถูกกำหนดโดยการคูณค่าก่อนหน้าด้วยเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ: ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณแถวที่ 5 เศษส่วนคือ  , , , และดังนั้นองค์ประกอบคือ  , , , เป็นต้น (องค์ประกอบที่เหลือหาได้ง่ายที่สุดโดยใช้สมมาตร) ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$

ในการคำนวณแนวทแยงมุมที่มีองค์ประกอบ ให้เริ่มต้นใหม่อีกครั้งด้วยและหาองค์ประกอบถัดไปโดยการคูณด้วยเศษส่วนบางค่า: ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณเส้นทแยงมุมที่เริ่มต้นที่เศษส่วนคือ  และองค์ประกอบคือเป็นต้น โดยสมมาตร องค์ประกอบเหล่านี้จึงเท่ากับเป็นต้น ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$

• รูปแบบที่ได้จากการระบายสีเฉพาะเลขคี่ในสามเหลี่ยมปาสคาลนั้นคล้ายคลึงกับแฟร็กทัลที่รู้จักกันในชื่อสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกีความคล้ายคลึงนี้จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเมื่อพิจารณาจำนวนแถวมากขึ้น ในที่สุด เมื่อจำนวนแถวเข้าใกล้ค่าอนันต์ รูปแบบที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี โดยสมมติว่าเส้นรอบรูปคงที่ โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลขอาจถูกระบายสีแตกต่างกันไปตามว่าตัวเลขนั้นเป็นพหุคูณของ 3, 4 ฯลฯ หรือไม่ ซึ่งจะทำให้เกิดรูปแบบที่คล้ายคลึงกันอื่นๆ

เนื่องจากสัดส่วนของจำนวนสีดำมีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อn เพิ่มขึ้น ผลที่ตามมาคือสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ทวินามคี่มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อnมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์^{[ 22 ]}

			10
		10	20

รูปสามเหลี่ยมของปาสคาลที่วางซ้อนบนตารางจะแสดงจำนวนเส้นทางที่แตกต่างกันไปยังแต่ละช่อง โดยสมมติว่าพิจารณาเฉพาะเส้นทางไปทางขวาและลงล่างไปยังช่องที่อยู่ติดกันเท่านั้น

• ในส่วนสามเหลี่ยมของตาราง (ดังภาพด้านล่าง) จำนวนเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดหนึ่งไปยังจุดบนสุดของสามเหลี่ยมจะเป็นค่าที่สอดคล้องกันในสามเหลี่ยมของปาสคาล บน กระดานเกม Plinkoที่มีรูปร่างเหมือนสามเหลี่ยม การกระจายนี้จะให้ความน่าจะเป็นของการได้รับรางวัลต่างๆ

• หากจัดเรียงแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลชิดซ้าย แถบแนวทแยง (ที่ระบุด้วยรหัสสีด้านล่าง) จะรวมกันได้เท่ากับตัวเลขฟิโบนาชชี

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}}$

เมทริกซ์ทวินามในรูปเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล จุดทั้งหมดแทนค่า 0

เนื่องจากโครงสร้างที่เรียบง่ายโดยใช้แฟกทอเรียล เราจึงสามารถแสดงสามเหลี่ยมปาสคาลในรูปแบบพื้นฐานที่สุดโดยใช้เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลได้ดังนี้: สามเหลี่ยมปาสคาลคือเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลที่มีลำดับ 1, 2, 3, 4, ... บนแนวทแยงมุมย่อย และเป็นศูนย์ในทุกตำแหน่งอื่น

การติดป้ายกำกับองค์ประกอบของซิมเพล็กซ์ n แต่ละตัวจะตรงกับองค์ประกอบพื้นฐานของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่ใช้เป็นรูปแบบในพีชคณิตเรขาคณิตแทนที่จะเป็นเมทริกซ์ การรับรู้การดำเนินการทางเรขาคณิต เช่น การหมุน ช่วยให้สามารถค้นพบการดำเนินการทางพีชคณิตได้ เช่นเดียวกับที่แต่ละแถวnเริ่มต้นที่ 0 ของสามเหลี่ยมปาสคาลสอดคล้องกับ ซิมเพล็กซ์ (n-1)ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง มันยังกำหนดจำนวนรูปแบบพื้นฐานที่มีชื่อในพีชคณิตเรขาคณิตnมิติ ทฤษฎีบท ทวินามสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่สามเหลี่ยมปาสคาลให้ไว้^{[ 23 ]}การพิสูจน์เดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับซิมเพล็กซ์ได้ ยกเว้นว่าคอลัมน์แรกของเลข 1 ทั้งหมดจะต้องถูกละเลย ในขณะที่ในพีชคณิต สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับจำนวนจริง ที่มีฐานเป็น 1 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

แต่ละแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลแสดงจำนวนองค์ประกอบ (เช่น ขอบและมุม) ของแต่ละมิติในซิมเพล็กซ์ที่ สอดคล้องกัน (เช่น สามเหลี่ยมหรือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับk > 0ค่า ที่ kในแถวที่nคือจำนวน องค์ประกอบมิติ ( k − 1)ใน ซิมเพล็กซ์มิติ ( n − 1)ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยม (ซิมเพล็กซ์ 2 มิติ) มีองค์ประกอบ 2 มิติหนึ่งตัว (ตัวมันเอง) องค์ประกอบ 1 มิติสามตัว (เส้นหรือขอบ) และองค์ประกอบ 0 มิติสามตัว ( จุดยอดหรือมุม) ซึ่งสอดคล้องกับแถวที่สาม 1, 3, 3, 1 ของสามเหลี่ยมปาสคาล ข้อเท็จจริงนี้สามารถอธิบายได้โดยการรวมกฎของปาสคาลสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมเข้ากับการสร้างทางเรขาคณิตของซิมเพล็กซ์: ซิมเพล็กซ์แต่ละอันเกิดจากซิมเพล็กซ์ที่มีมิติต่ำกว่าหนึ่งมิติโดยการเพิ่มจุดยอดใหม่ที่อยู่นอกพื้นที่ซึ่งซิมเพล็กซ์มิติต่ำกว่านั้นอยู่ จากนั้นองค์ประกอบมิติ dแต่ละตัวในซิมเพล็กซ์ที่เล็กกว่าจะยังคงเป็น องค์ประกอบมิติ dของซิมเพล็กซ์ที่สูงกว่า และ องค์ประกอบมิติ ( d − 1) แต่ละตัว เมื่อเชื่อมต่อกับจุดยอดใหม่จะสร้าง องค์ประกอบมิติ d ใหม่ ของซิมเพล็กซ์ที่สูงกว่า^{[ 24 ]}

พบรูปแบบที่คล้ายกันเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับรูปสามเหลี่ยม ในการค้นหารูปแบบนั้น ต้องสร้างรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกับสามเหลี่ยมของปาสคาล โดยที่ค่าในแถวที่ (x + 2) คือสัมประสิทธิ์ของ^{แถวที่} ( x + 1) แทนที่จะเป็น^{แถวที่} ( x + 1)มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ วิธีที่ง่ายกว่าคือเริ่มต้นด้วยแถวที่ 0 = 1 และแถวที่ 1 = 1, 2 จากนั้นสร้างรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกันตามกฎต่อไปนี้:

${\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$

กล่าวคือ เลือกตัวเลขสองตัวตามกฎของสามเหลี่ยมปาสคาล แต่ให้คูณตัวเลขทางซ้ายด้วยสองเท่าก่อนนำมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}$

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างสามเหลี่ยมนี้คือ เริ่มจากสามเหลี่ยมของปาสคาล แล้วคูณแต่ละค่าด้วย 2k ^โดยที่ k คือตำแหน่งในแถวของตัวเลขที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ค่าที่ 2 ในแถวที่ 4 ของสามเหลี่ยมของปาสคาลคือ 6 (ความชันของ 1 สอดคล้องกับค่าที่ 0 ในแต่ละแถว) เพื่อให้ได้ค่าที่อยู่ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในสามเหลี่ยมแบบอนาล็อก ให้คูณ 6 ด้วย2k = 6 × 2k ^{/ 2k =} 6 × 4k = 24kเมื่อสร้างสามเหลี่ยมแบบอนาล็อกเสร็จแล้ว จำนวนองค์ประกอบของมิติใดๆ ที่ประกอบเป็นลูกบาศก์ ที่มีมิติใดๆ (เรียกว่าไฮเปอร์คิวบ์ ) สามารถอ่านได้จากตารางในลักษณะเดียวกับสามเหลี่ยมของปาสคาล ตัวอย่างเช่น จำนวนองค์ประกอบ 2 มิติในลูกบาศก์ 2 มิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือ 1 จำนวนองค์ประกอบ 1 มิติ (ด้าน หรือเส้น) คือ 4 และจำนวนองค์ประกอบ 0 มิติ (จุด หรือจุดยอด) คือ 4 ซึ่งตรงกับแถวที่ 2 ของตาราง (1, 4, 4) ลูกบาศก์มี 1 ลูกบาศก์ 6 หน้า 12 ขอบ และ 8 จุดยอด ซึ่งตรงกับแถวถัดไปของสามเหลี่ยมอนาล็อก (1, 6, 12, 8) รูปแบบนี้ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมรูปแบบนี้จึงเกิดขึ้น ก่อนอื่นให้ตระหนักว่าการสร้าง ลูกบาศก์ nมิติจากลูกบาศก์( n − 1)มิติ ทำได้โดยการทำซ้ำรูปทรงเดิมและเลื่อนไปเป็นระยะทางหนึ่ง (สำหรับ ลูกบาศก์ n มิติปกติ คือความยาวด้าน) ตั้งฉากกับพื้นที่ของรูปทรงเดิม จากนั้นเชื่อมต่อจุดยอดแต่ละจุดของรูปทรงใหม่กับจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปทรงเดิม กระบวนการทำซ้ำเริ่มต้นนี้เป็นเหตุผลว่าทำไมในการนับจำนวนองค์ประกอบมิติของลูกบาศก์nมิติ จึงต้องคูณตัวเลขตัวแรกของคู่ตัวเลขในแถวเดียวกันด้วย 2 ก่อนที่จะบวกกันเพื่อให้ได้ตัวเลขด้านล่าง การคูณด้วย 2 ในครั้งแรกจึงให้จำนวนองค์ประกอบ "ดั้งเดิม" ที่จะพบในลูกบาศก์n มิติที่สูงขึ้นถัดไป และเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ องค์ประกอบใหม่จะถูกสร้างขึ้นจากองค์ประกอบที่มีมิติน้อยกว่าหนึ่งมิติ (ด้านต่อจุดยอด หน้าต่อด้าน เป็นต้น) เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว ตัวเลขสุดท้ายของแถวแสดงถึงจำนวนจุดยอดใหม่ที่จะถูกเพิ่มเข้าไปเพื่อสร้างn -cube ที่สูงขึ้นถัดไป

ในสามเหลี่ยมนี้ ผลรวมขององค์ประกอบในแถวmเท่ากับ 3m ^อีกครั้งหนึ่ง เพื่อใช้องค์ประกอบในแถวที่ 4 เป็นตัวอย่าง: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81ซึ่ง เท่ากับ${\displaystyle 3^{4}=81}$

แต่ละแถวของสามเหลี่ยมปาสคาลแสดงจำนวนจุดยอดที่ระยะห่างแต่ละระยะจากจุดยอดคงที่ใน ลูกบาศก์ n มิติ ตัวอย่างเช่น ในสามมิติ แถวที่สาม (1 3 3 1) สอดคล้องกับ ลูกบาศก์สามมิติปกติ กล่าวคือ เมื่อกำหนดจุดยอดVแล้ว จะมีจุดยอดหนึ่งจุดที่ระยะห่าง 0 จากV (นั่นคือVเอง) จุดยอดสามจุดที่ระยะห่าง 1 จุดยอดสามจุดที่ระยะห่าง√2และจุดยอดหนึ่งจุดที่ระยะห่าง√3 (จุดยอดตรงข้ามกับV ) แถวที่ สองสอดคล้องกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในขณะที่แถวที่มีหมายเลขมากกว่าจะสอดคล้องกับไฮเปอร์คิวบ์ในแต่ละมิติ

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ สัมประสิทธิ์ของ ( x  + 1) ⁿคือแถวที่ n ของสามเหลี่ยม ตอนนี้สัมประสิทธิ์ของ ( x  − 1) ⁿเหมือนกัน ยกเว้นว่าเครื่องหมายจะสลับจาก +1 เป็น −1 แล้วกลับมาอีกครั้ง หลังจากปรับค่ามาตรฐานอย่างเหมาะสมแล้ว รูปแบบของตัวเลขเดียวกันจะเกิดขึ้นในการแปลงฟูริเยร์ของ sin( x ) ^{n +1} / xกล่าวคือ ถ้าnเป็นเลขคู่ ให้ใช้ส่วนจริงของการแปลง และถ้าnเป็นเลขคี่ ให้ใช้ส่วนจินตนาการจากนั้นผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดซึ่งค่าของมัน (ปรับค่ามาตรฐานอย่างเหมาะสม) จะได้รับจาก แถวที่ nของสามเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายสลับกัน^{[ 25 ]}ตัวอย่างเช่น ค่าของฟังก์ชันขั้นบันไดที่ได้จาก:

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}$

สร้างแถวที่ 4 ของรูปสามเหลี่ยม โดยสลับเครื่องหมายกัน นี่เป็นการสรุปผลลัพธ์พื้นฐานต่อไปนี้ (ซึ่งมักใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า ):

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}$

คือฟังก์ชันกล่อง [ ^{26 ] แถว} ที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมคือแถว 0 ซึ่งประกอบด้วยเลข 1 เพียงตัวเดียว

ถ้า n สอดคล้องกับ 2 หรือ 3 mod 4 เครื่องหมายจะเริ่มต้นด้วย −1 อันที่จริง ลำดับของพจน์แรก (ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) สอดคล้องกับกำลังของiซึ่งวนรอบจุดตัดของแกนกับวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน:$${\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }$$

สามเหลี่ยมของปาสคาลอาจขยายขึ้นไปด้านบน เหนือ 1 ที่จุดยอด โดยยังคงรักษาคุณสมบัติการบวกไว้ แต่มีมากกว่าหนึ่งวิธีที่จะทำเช่นนั้น^{[ 27 ]}

สามเหลี่ยมของปาสคาลมี การขยายไปสู่ มิติ ที่สูงกว่า ในรูป แบบสามมิติเรียกว่าพีระมิดของปาสคาลหรือทรงสี่หน้าของปาสคาลส่วนในรูปแบบทั่วไปเรียกว่าซิมเพล็กซ์ของปาสคาล

เมื่อฟังก์ชันแฟกทอเรียลถูกกำหนดเป็นสามเหลี่ยมของปาสคาลสามารถขยายออกไปนอกจำนวนเต็มเป็นเนื่องจากเป็น^เมโรเมอร์ฟิก กับ ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด[ ^{28 ]}${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Gamma (z+1)}$

ไอแซค นิวตันเคยสังเกตว่าห้าแถวแรกของสามเหลี่ยมปาสคาล เมื่ออ่านเป็นตัวเลขจำนวนเต็ม จะได้กำลังของสิบเอ็ดที่สอดคล้องกัน เขาอ้างโดยไม่มีการพิสูจน์ว่าแถวถัดไปก็สร้างกำลังของสิบเอ็ดเช่นกัน^{[ 29 ]}ในปี 1964 โรเบิร์ต แอล. มอร์ตัน ได้นำเสนอข้อโต้แย้งที่เป็นทั่วไปมากขึ้นว่าแต่ละแถว สามารถอ่านเป็นตัวเลขฐานโดยที่คือแถวสุดท้ายสมมุติ หรือลิมิตของสามเหลี่ยม และแถว คือผลคูณย่อยของมัน^{[ 30 ]}เขาพิสูจน์ว่ารายการของแถวเมื่อตีความโดยตรงเป็นตัวเลขค่าประจำหลัก จะสอดคล้องกับการกระจายทวินามของมีการพัฒนาการพิสูจน์ที่เข้มงวดมากขึ้นตั้งแต่นั้นมา^{[ 31 ] [ 32 ]}เพื่อให้เข้าใจหลักการเบื้องหลังการตีความนี้ได้ดีขึ้น นี่คือบางสิ่งที่ควรระลึกถึงเกี่ยวกับทวินาม: ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$

• เลข ฐานในระบบเลขตำแหน่ง (เช่น) คือพหุนามเอกตัวแปรในตัวแปรโดยที่ดีกรีของตัวแปรในพจน์ที่(เริ่มต้นด้วย) คือตัวอย่างเช่น.${\displaystyle a}$${\displaystyle 14641_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}}$
• แถวหนึ่งสอดคล้องกับการกระจายทวินามของตัวแปรสามารถถูกกำจัดออกจากการกระจายได้โดยการตั้งค่าการกระจายในตอนนี้เป็นแบบอย่างของรูปแบบที่ขยายของตัวเลขฐาน[ ^{33 ] [ 34 ] ดัง}ที่แสดงไว้ข้างต้นดังนั้น เมื่อนำรายการของแถวมาต่อกันและอ่านในฐานจะได้ค่าตัวเลขที่เทียบเท่ากับถ้าสำหรับแล้วทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับโดยที่สอดคล้องกับและค่าคี่ของจะให้ผลคูณแถวที่เป็นลบ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}${\displaystyle (a+b)^{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$${\displaystyle c=a+1}$${\displaystyle c<0}$${\displaystyle a{\bmod {2}}c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{c-1,-(c+1)\}}$${\displaystyle n}$

โดยการกำหนดฐานของแถว (ตัวแปร) ให้เท่ากับหนึ่งและสิบ แถวนั้นจะกลายเป็นผลคูณและตามลำดับ เพื่อให้เห็นภาพ ลองพิจารณาซึ่งให้ผลคูณของแถวการแสดงผลเชิงตัวเลขของเกิดจากการนำค่าในแถว มาต่อกันแถวที่สิบสองแสดงถึงผลคูณ: ${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}}$${\displaystyle 11_{10}^{n}=11^{n}}$${\displaystyle a=n}$${\displaystyle \textstyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}}$${\displaystyle 11_{n}^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}$

ด้วยตัวเลขประกอบ (คั่นด้วย ":") ในฐานสิบสอง ตัวเลขตั้งแต่ ถึงเป็นตัวเลขประกอบเนื่องจากค่าในแถวเหล่านี้คำนวณได้ค่ามากกว่าหรือเท่ากับสิบสอง ในการทำให้ ตัวเลข เป็นมาตรฐาน^{[ 38 ]}เพียงแค่นำหน้าของตัวเลขประกอบตัวแรกมาทด นั่นคือ ลบคำนำหน้าของสัมประสิทธิ์จากตัวเลขซ้ายสุดไปจนถึง แต่ไม่รวมตัวเลขขวาสุด และใช้เลขคณิตฐานสิบสองเพื่อบวกคำนำหน้าที่ลบออกกับค่าในแถวทางซ้ายทันที จากนั้นทำซ้ำกระบวนการนี้โดยดำเนินการไปทางซ้ายจนกว่าจะถึงค่าซ้ายสุด ในตัวอย่างนี้ สตริงที่เป็นมาตรฐานจะลงท้ายด้วยสำหรับทุกตัวเลขซ้ายสุดคือสำหรับซึ่งได้มาจากการทดค่าของที่ค่าดังนั้น ความยาวของค่าที่เป็นมาตรฐานของจึงเท่ากับความยาวของแถวส่วนจำนวนเต็มของมีตัวเลขเพียงตัวเดียวเนื่องจาก(จำนวนตำแหน่งทางซ้ายที่จุดทศนิยมเลื่อนไป) น้อยกว่าความยาวของแถวหนึ่ง ด้านล่างนี้คือค่าที่เป็นมาตรฐานของ ตัวเลขประกอบยังคงอยู่ในค่าเนื่องจากเป็นเศษเหลือ จากการคำนวิดฐาน ที่แสดงในฐานสิบ: ${\displaystyle k=n-1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \textstyle {n \choose n-1}}$${\displaystyle 01}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 10_{n}}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle 11_{n}^{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle 1.1_{n}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}}$${\displaystyle 1234}$

${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}$

• "สามเหลี่ยมปาสคาล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สามเหลี่ยมของปาสคาล" . แมธเวิลด์ .
• แผนภูมิวิธีเก่าของกำลังคูณเจ็ด(จากหนังสือ Ssu Yuan Yü Chien ของ Chu Shi-Chieh ปี 1303 แสดงแถวเก้าแถวแรกของสามเหลี่ยมปาสคาล)
• ตำราว่าด้วยสามเหลี่ยมเลขคณิตของปาสคาล(ภาพหน้าตำราของปาสคาล ปี ค.ศ. 1654; บทสรุป )