สามเหลี่ยมพหุนามสามพจน์เป็นรูปแบบหนึ่งของสามเหลี่ยมปาสคาลความแตกต่างระหว่างทั้งสองคือ ค่าในสามเหลี่ยมพหุนามสามพจน์นั้นเป็นผลรวมของค่าทั้งสาม (ต่างจากสองค่าในสามเหลี่ยมปาสคาล) ที่อยู่เหนือกว่า

รายการ ที่-th ของแถวที่ -th จะถูกระบุด้วย ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose k}_{2}}$.

แถวจะนับจาก 0 โดยค่าในแถวที่ i จะถูกกำหนดดัชนีโดยเริ่มจากด้านซ้าย และค่าตรงกลางจะมีดัชนีเป็น 0 ความสมมาตรของค่าในแถวเกี่ยวกับค่าตรงกลางแสดงโดยความสัมพันธ์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$

${\displaystyle {n \choose k}_{2}={n \choose -k}_{2}}$

แถว ที่-th สอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ในการขยายพหุนามของการขยายพหุนามสามพจน์ที่ยกกำลัง -th: ^{[ 1 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle (1+x+x^{2})}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}=\sum _{j=0}^{2n}{n \choose jn}_{2}x^{j}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{n+k}}$

หรือในเชิงสมมาตร

${\displaystyle \left(1+x+1/x\right)^{n}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{k}}$,

ดังนั้นจึงมีชื่อเรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์พหุนามสามพจน์เนื่องจากมีความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์พหุนามหลายพจน์ :

${\displaystyle {n \choose k__{2}=\sum _{\textstyle {0\leq \mu ,\nu \leq n \atop \mu +2\nu =n+k}}{\frac {n!}{\mu !\,\nu !\,(n-\mu -\nu )!}}}$

นอกจากนี้ เส้นทแยงมุม ยัง มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ เช่น ความสัมพันธ์กับจำนวนสามเหลี่ยม

ผลรวมขององค์ประกอบในแถวที่ -th คือ. ${\displaystyle n}$${\displaystyle 3^{n}}$

สัมประสิทธิ์พหุนามสามารถสร้างได้โดยใช้สูตรเวียนเกิด ต่อไปนี้ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {0 \choose 0}_{2}=1}$,

${\displaystyle {n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}}$สำหรับ,${\displaystyle n\geq 0}$

โดยที่สำหรับและ. ${\displaystyle {n \choose k}_{2}=0}$${\displaystyle \ k<-n}$${\displaystyle \ k>n}$

รายการตรงกลางของสามเหลี่ยมพหุนาม

1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, … (ลำดับA002426ในOEIS )

ค่า เหล่า นี้ได้รับการศึกษาโดยออยเลอร์และรู้จักกันในชื่อสัมประสิทธิ์ไตรนามกลาง

สัมประสิทธิ์พหุนามกลางที่เป็นจำนวนเฉพาะที่ทราบมีเพียง3, 7 และ 19 ที่ n = 2, 3 และ 4 เท่านั้น

สัมประสิทธิ์ พหุนามกลางลำดับที่ คือ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose 0}_{2}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n(n-1)\cdots (n-2k+1)}{(k!)^{2}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose 2k}{2k \choose k}.}$

ฟังก์ชันการสร้างของพวกเขาคือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 1+x+3x^{2}+7x^{3}+19x^{4}+\ldots ={\frac {1}{\sqrt {(1+x)(1-3x)}}}.}$

ออยเลอร์ตั้งข้อสังเกตถึง ตัวอย่างการเหนี่ยวนำฟอลลาซิสที่น่าจดจำต่อไปนี้("ตัวอย่างที่โดดเด่นของการเหนี่ยวนำฟอลลาเชียส"):

${\displaystyle 3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)}$สำหรับ,${\displaystyle 0\leq n\leq 7}$

โดยที่จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่nคือ อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าที่มากกว่าความสัมพันธ์นี้ไม่ถูกต้องจอร์จ แอนดรูว์สอธิบายความผิดพลาดนี้โดยใช้เอกลักษณ์ทั่วไป^{[ 3 ]}${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 2\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left[{n+1 \choose 10k}_{2}-{n+1 \choose 10k+1}_{2}\right]=F_{n}(F_{n}+1).}$

จำนวนวิธีในการเข้าถึงเซลล์โดยใช้จำนวนการเคลื่อนย้ายน้อยที่สุด

รูปสามเหลี่ยมนี้แสดงถึงจำนวนเส้นทางที่เป็นไปได้ที่ราชา สามารถใช้ได้ ในเกมหมากรุกค่าในแต่ละช่องแสดงถึงจำนวนเส้นทางที่แตกต่างกัน (โดยใช้จำนวนการเดินน้อยที่สุด) ที่ราชาสามารถใช้เพื่อไปถึงช่องนั้นได้

สัมประสิทธิ์ของในการขยายของจะให้จำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการจั่ว ไพ่จาก ไพ่สองชุดที่เหมือนกัน^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น จากไพ่สองชุดที่มีไพ่สามใบ A, B, C การจั่วที่แตกต่างกันมีดังนี้: ${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle 6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1}$.

โดยเฉพาะอย่าง ยิ่ง สูตรนี้จะให้ค่าจำนวนมือที่แตกต่างกันในเกมไพ่Doppelkopf${\displaystyle {24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง ยังสามารถได้มาซึ่งนิพจน์นี้โดยพิจารณาจำนวนวิธีในการเลือกคู่ไพ่ที่เหมือนกันจากสองชุด ซึ่งก็คือสัมประสิทธิ์ทวิ นาม ไพ่ ที่เหลือสามารถเลือกได้หลายวิธี^{[ 4 ]}ซึ่งสามารถเขียนในรูปของสัมประสิทธิ์ทวินามได้ดังนี้ ${\displaystyle p}$${\displaystyle {n \choose p}}$${\displaystyle k-2p}$${\displaystyle {np \choose k-2p}}$

${\displaystyle {n \choose kn}_{2}=\sum _{p=\max(0,kn)}^{\min(n,[k/2])}{n \choose p}{np \choose k-2p}}$.

ตัวอย่างข้างต้นสอดคล้องกับสามวิธีในการเลือกไพ่สองใบโดยไม่มีไพ่คู่ที่เหมือนกัน (AB, AC, BC) และสามวิธีในการเลือกไพ่คู่ที่เหมือนกัน (AA, BB, CC)

• เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1767) “การสังเกตการวิเคราะห์ (“การสังเกตเชิงวิเคราะห์”)” . โนวี Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 124– 143.