ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทพหุนามอธิบายวิธีการกระจายกำลังของผลรวมในรูปของกำลังของพจน์ต่างๆ ในผลรวมนั้น มันเป็นการขยายความของทฤษฎีบททวินามจากทวินามไปสู่พหุนาม

สำหรับจำนวนเต็มบวกm ใดๆ และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn ใดๆ ทฤษฎีบทพหุนามอธิบายว่าผลรวมที่มีmพจน์จะขยายอย่างไรเมื่อยกกำลัง n : โดยที่ เป็นสัมประสิทธิ์พหุนาม [ ^{1 ] ผล}รวมจะคำนวณจากการรวมกันของดัชนีจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบk ₁ถึงk _m ทั้งหมด โดยที่ผลรวมของk _i ทั้งหมด คือnนั่นคือ สำหรับแต่ละพจน์ในการขยาย เลขชี้กำลังของx _iต้องรวมกันได้เท่ากับn ^{[ 2 ] [ a ]}$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n\\k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0\end{array}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}$$$${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$

ในกรณีที่m = 2ข้อความนี้จะลดลงเหลือเพียงทฤษฎีบททวินาม^{[ 2 ]}

กำลังสามของพหุนามa + b + cหาได้จาก สูตรนี้ สามารถคำนวณได้ด้วยมือโดยใช้สมบัติการกระจายของการคูณเหนือการบวกและการรวมพจน์ที่เหมือนกันแต่ก็สามารถทำได้ (อาจจะง่ายกว่า) ด้วยทฤษฎีพหุนาม สามารถ "อ่าน" สัมประสิทธิ์พหุนามจากพจน์ต่างๆ ได้โดยใช้สูตรสัมประสิทธิ์พหุนาม ตัวอย่างเช่น พจน์มีสัมประสิทธิ์พจน์มีสัมประสิทธิ์และอื่นๆ $${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$$${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3}$${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6}$

สามารถเขียนข้อความของทฤษฎีบทได้อย่างกระชับโดยใช้ดัชนีหลายตัวดังนี้ : โดยที่ และ $${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}$$$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$$$${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}.}$$

การพิสูจน์ทฤษฎีพหุนามนี้ใช้ทฤษฎี ทวินามและการอุปมานบนm

ขั้นแรก สำหรับm = 1ทั้งสองข้างจะเท่ากับx ₁ ⁿเนื่องจากมีเพียงพจน์เดียวk ₁ = nในผลรวม สำหรับขั้นตอนการอุปมาน สมมติว่าทฤษฎีพหุนามเป็นจริงสำหรับmแล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}}$

โดยอาศัยสมมติฐานการอุปมาน โดยการนำทฤษฎีบททวินามมาใช้กับตัวประกอบสุดท้าย

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นกระบวนการเหนี่ยวนำ ขั้นตอนสุดท้ายตามมาเพราะ

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}$

ดังที่เห็นได้ชัดเจนจากการเขียนสัมประสิทธิ์ทั้งสามโดยใช้แฟกทอเรียลดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}$

ตัวเลข

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}$

สัมประสิทธิ์ พหุนามปรากฏอยู่ในทฤษฎีบทซึ่งสามารถแสดงได้หลายวิธี รวมถึงในรูปผลคูณของสัมประสิทธิ์ทวินามหรือแฟกทอเรียล :

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={n \choose k_{1}}{n-k_{1} \choose k_{2}}\cdots {n-(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}) \choose k_{m}}}$

การแทนค่าx _i = 1สำหรับทุกiลงในทฤษฎีบทพหุนาม

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}$

ให้ทันทีว่า

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.}$

จำนวนพจน์ในผลรวมพหุนาม_# n _{, m เท่ากับ}จำนวนเอกนามดีกรีnบนตัวแปรx₁ _, …, xₙ :

${\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}$

สามารถนับได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีการนับแบบดาวและแท่ง

กำลังสูงสุดของจำนวนเฉพาะpที่หารค่าสัมประสิทธิ์พหุนามลงตัว สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Kummerที่ ได้รับการขยายความ

โดยประมาณค่าตามวิธีของสเตอร์ลิงหรือเทียบเท่ากับการขยายอนุกรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันล็อกแกมมาตัวอย่างเช่น$${\displaystyle \log {\binom {kn}{n,n,\cdots ,n}}=kn\log(k)+{\frac {1}{2}}\left(\log(k)-(k-1)\log(2\pi n)\right)-{\frac {k^{2}-1}{12kn}}+{\frac {k^{4}-1}{360k^{3}n^{3}}}-{\frac {k^{6}-1}{1260k^{5}n^{5}}}+O\left({\frac {1}{n^{6}}}\right)}$$$${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$$

สัมประสิทธิ์พหุนามมีการตีความเชิงการจัดเรียงโดยตรง เช่น จำนวนวิธีในการฝากวัตถุที่แตกต่างกันn ชิ้นลงในถังที่แตกต่างกัน mถัง โดยมี วัตถุ k ₁ชิ้นอยู่ในถังแรก วัตถุ k ₂ชิ้นอยู่ในถังที่สอง และอื่นๆ^{[ 3 ]}

ในกลศาสตร์เชิงสถิติและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงถ้าเรามีการแจกแจงจำนวนของป้ายกำกับแล้ว สัมประสิทธิ์พหุนามจะเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติจากสัมประสิทธิ์ทวินาม เมื่อกำหนดการแจกแจงจำนวน { n _i }บนเซตของสิ่งของทั้งหมดN ชิ้น n _iจะแทนจำนวนสิ่งของที่จะได้รับป้ายกำกับi (ในกลศาสตร์เชิงสถิติiคือป้ายกำกับของสถานะพลังงาน)

จำนวนการจัดเรียงหาได้จาก

• เลือกn _{= 1}จากจำนวนทั้งหมดNให้มีหมายเลข 1 สามารถทำได้หลายวิธี${\displaystyle {\tbinom {N}{n_{1}}}}$
• จากจำนวนN − n ₁ที่เหลือ ให้เลือกn ₂เพื่อติดป้ายกำกับ 2 รายการ สามารถทำได้หลายวิธี${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}}{n_{2}}}}$
• จากจำนวนN − n ₁ − n ₂ที่เหลือ ให้เลือกn ₃เพื่อติดป้ายกำกับ 3 รายการ วิธีนี้สามารถทำได้หลายวิธี เช่นกัน${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}}$

การคูณจำนวนตัวเลือกในแต่ละขั้นตอนจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .}$

ผลลัพธ์ของการตัดทอนจะได้สูตรที่ระบุไว้ข้างต้น

สัมประสิทธิ์พหุนาม

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}$

นอกจากนี้ ยังเป็นจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน ที่แตกต่างกันของ มัลติเซตที่มี สมาชิก nตัว โดยที่k _{_i} คือจำนวนครั้งที่ สมาชิกตัวที่ iปรากฏ ตัวอย่างเช่น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของตัวอักษรในคำว่า MISSISSIPPI ซึ่งมี M 1 ตัว, I 4 ตัว, S 4 ตัว และ P 2 ตัว คือ

${\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}$

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทพหุนามเพื่อขยายสามเหลี่ยมปาสคาลหรือพีระมิดปาสคาลไปสู่ซิมเพล็กซ์ปาสคาลได้ ซึ่งจะช่วยให้สร้างตารางค้นหาค่าสัมประสิทธิ์พหุนามได้อย่างรวดเร็ว

โครงสร้างที่เกี่ยวข้องคือสามเหลี่ยมพหุนาม หรือสามเหลี่ยมปาสคาลทั่วไปอันดับ m ซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด : จากนั้น จะได้ กฎของปาสคาลคืนมาเมื่อสัมประสิทธิ์พหุนามเหล่านี้สามารถเขียนได้ในรูปนิพจน์ปิดที่มีการประกอบจำนวนเต็มที่มีขอบเขต: $${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{i=0}^{m-1}{\binom {n-1}{k-i}}_{m-1}}$$${\displaystyle m=2}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{\begin{array}{c}k_{0}+k_{1}+\cdots +k_{m-1}=n\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +(m-1)k_{m-1}=k\end{array}}{n \choose k_{0},k_{1},\ldots ,k_{m-1}}}$$ และไม่มี: ^{[ 4 ]} (ลำดับA008287ในOEIS )

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{i=0}^{\lfloor k/m\rfloor }(-1)^{i}{\binom {n}{i}}{\binom {n-1+k-im}{n-1}}}$$

• การแจกแจงแบบพหุนาม
• ดาวและแท่ง (คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง)