ในทางคณิตศาสตร์มัลติเซต (หรือแบ็กหรือเอ็มเซต ) เป็นการดัดแปลงแนวคิดของเซตซึ่งแตกต่างจากเซตตรงที่^{[ 1 ]}อนุญาตให้มีหลายอินสแตนซ์สำหรับแต่ละองค์ประกอบจำนวนอินสแตนซ์ที่กำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบเรียกว่ามัลติพลิซิตี้ขององค์ประกอบนั้นในมัลติเซต ผลที่ตามมาคือ มีมัลติเซตจำนวนอนันต์ที่มีเฉพาะองค์ประกอบaและbแต่มีความแตกต่างกันในมัลติพลิซิตี้ขององค์ประกอบเหล่านั้น:

• เซต{ a , b }ประกอบด้วยสมาชิกเพียงสองตัว คือ aและbโดยแต่ละตัวมีจำนวนครั้งที่ปรากฏเท่ากับ 1 เมื่อมอง{ a , b } เป็นมัลติเซต
• ในมัลติเซต{ a , a , b }นั้น สมาชิกaมีจำนวนซ้ำ 2 ครั้ง และ สมาชิก bมีจำนวนซ้ำ 1 ครั้ง
• ในมัลติเซ็ต{ a , a , a , b , b , b }นั้นaและbต่างก็มีจำนวนซ้ำเท่ากับ 3

วัตถุเหล่านี้แตกต่างกันทั้งหมดเมื่อมองในฐานะมัลติเซต แม้ว่าจะเป็นเซตเดียวกันก็ตาม เนื่องจากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันทั้งหมด เช่นเดียวกับเซต และตรงกันข้ามกับทูเปิลลำดับที่แสดงรายการองค์ประกอบไม่สำคัญในการแยกแยะมัลติเซต ดังนั้น{ a , a , b }และ{ a , b , a } จึงหมายถึงมัลติเซตเดียวกัน เพื่อแยกแยะระหว่างเซตและมัลติเซต บางครั้งจะใช้สัญกรณ์ที่รวม ^{วงเล็บ}เหลี่ยมไว้ด้วย: มัลติเซต{ a , a , b }สามารถแสดงได้ด้วย[ a , a , b ] [ ^{2 ]}

จำนวนสมาชิกหรือ "ขนาด" ของมัลติเซต คือ ผลรวมของจำนวนครั้งที่สมาชิกทุกตัวในมัลติเซตปรากฏ ตัวอย่างเช่น ในมัลติเซต{ a , a , b , b , b , c }จำนวนครั้งที่สมาชิกa , b , และcปรากฏ คือ 2, 3 และ 1 ตามลำดับ ดังนั้น จำนวนสมาชิกของมัลติเซตนี้คือ 6

ตามที่ Donald Knuthกล่าว ไว้ Nicolaas Govert de Bruijnเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่าmultisetในช่วงทศวรรษ 1970 ^{[ 3 ] : 694} อย่างไรก็ตาม แนวคิดของ multiset มีมาก่อนการบัญญัติศัพท์คำว่าmultisetหลายศตวรรษ Knuth เองระบุว่าการศึกษา multiset ครั้งแรกนั้นมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียBhāskarāchāryaซึ่งได้อธิบายการเรียงสับเปลี่ยนของ multiset ในช่วงประมาณปี 1150 นอกจาก ^นี้ยังมีการเสนอหรือใช้ชื่ออื่นๆ สำหรับแนวคิดนี้ เช่นlist , bunch , bag , heap , sample , weighted set , collectionและsuite [ ^{3 ] : 694}

Wayne Blizard ติดตามมัลติเซตย้อนกลับไปถึงจุดเริ่มต้นของตัวเลข โดยโต้แย้งว่า "ในสมัยโบราณ ตัวเลขnมักจะถูกแทนด้วยชุดของเส้นขีดเครื่องหมายนับหรือหน่วยจำนวนn หน่วย" ^{[ 4 ]}วัตถุเหล่านี้และชุดวัตถุที่คล้ายกันสามารถถือได้ว่าเป็นมัลติเซต เนื่องจากเส้นขีด เครื่องหมายนับ หรือหน่วยถือว่าแยกแยะไม่ได้ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าผู้คนใช้มัลติเซตโดยปริยายแม้กระทั่งก่อนที่คณิตศาสตร์จะเกิดขึ้น

ความต้องการเชิงปฏิบัติสำหรับโครงสร้างนี้ทำให้มัลติเซ็ตถูกค้นพบใหม่หลายครั้ง โดยปรากฏในวรรณกรรมภายใต้ชื่อที่แตกต่างกัน^{[ 5 ] : 323} ตัวอย่างเช่น มัลติเซ็ตมีความสำคัญใน ภาษา AI ยุคแรก เช่น QA4 ซึ่งถูกเรียกว่าbagsซึ่งเป็นคำที่Peter Deutschเป็น ผู้คิดค้น ^{[ 6 ]}มัลติเซ็ตยังถูกเรียกว่า aggregate, heap, bunch, sample, weighted set, occurrence set และ fireset (finitely repeated element set) อีกด้วย^{[ 5 ] : 320 [ 7 ]}

แม้ว่ามัลติเซตจะถูกใช้โดยปริยายมาตั้งแต่สมัยโบราณ แต่การสำรวจอย่างชัดเจนเกิดขึ้นในภายหลังมาก การศึกษามัลติเซตครั้งแรกที่รู้จักกันนั้นมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อBhāskarāchāryaประมาณปี 1150 ซึ่งได้อธิบายการเรียงสับเปลี่ยนของมัลติเซต^{[ 3 ] : 694} งานของMarius Nizolius (1498–1576) มีการอ้างอิงถึงแนวคิดของมัลติเซตในยุคแรกๆ อีกครั้ง^{[ 8 ]} Athanasius Kircherพบจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของมัลติเซตเมื่อสามารถทำซ้ำองค์ประกอบหนึ่งได้^{[ 9 ]} Jean Prestetได้ตีพิมพ์กฎทั่วไปสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนของมัลติเซตในปี 1675 ^{[ 10 ]} John Wallisได้อธิบายกฎนี้โดยละเอียดมากขึ้นในปี 1685 ^{[ 11 ]}

มัลติเซ็ตปรากฏอย่างชัดเจนในงานของริชาร์ด เดเดคินด์^{[ 12 ] [ 13 ]}

นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้กำหนดรูปแบบของมัลติเซตและเริ่มศึกษาพวกมันในฐานะโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำในศตวรรษที่ 20 ตัวอย่างเช่นHassler Whitney (1933) ได้อธิบายเซตทั่วไป ("เซต" ซึ่งฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสามารถรับ ค่า จำนวนเต็ม ใดๆ ก็ได้ : บวก ลบ หรือศูนย์) ^{[ 5 ] : 326 [ 14 ] : 405} Monro (1987) ได้ตรวจสอบหมวดหมู่Mulของมัลติเซตและมอร์ฟิซึม ของพวกมัน โดยกำหนดมัลติเซตเป็นเซตที่มีความสัมพันธ์สมมูล ระหว่างองค์ประกอบ " ประเภทเดียวกัน" และมอร์ฟิซึมระหว่างมัลติเซตเป็นฟังก์ชันที่เคารพประเภทเขายังได้แนะนำมัลตินัมเบอร์ : ฟังก์ชันf ( x ) จากมัลติเซตไปยังจำนวนธรรมชาติซึ่งให้ค่าความซ้ำซ้อนขององค์ประกอบxในมัลติเซต Monro โต้แย้งว่าแนวคิดของมัลติเซตและมัลตินัมเบอร์มักถูกผสมปนเปกันโดยไม่แยกแยะ แม้ว่าทั้งสองจะมีประโยชน์ก็ตาม^{[ 5 ] : 327–328 [ 15 ]}

หนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและเป็นธรรมชาติที่สุดคือเซตของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนธรรมชาติnโดยที่เซตขององค์ประกอบพื้นฐานคือเซตของตัวประกอบเฉพาะของnเช่น จำนวน120มีการแยกตัวประกอบเฉพาะ ซึ่งให้เซต{2, 2, 2, 3, 5 } $${\displaystyle 120=2^{3}3^{1}5^{1},}$$

ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องคือเซตของคำตอบของสมการพีชคณิต เช่น สมการกำลังสองมีสองคำตอบ อย่างไรก็ตาม ในบางกรณีคำตอบทั้งสองเป็นจำนวนเดียวกัน ดังนั้นเซตของคำตอบของสมการอาจเป็น{3, 5}หรืออาจเป็น{4, 4}ในกรณีหลังจะมีคำตอบที่มีความซ้ำซ้อน 2 โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตกล่าวว่า คำตอบ เชิงซ้อนของสมการพหุนามดีกรีd จะประกอบเป็นเซตที่มีขนาดสมาชิกdเสมอ

กรณีพิเศษของข้างต้นคือค่าไอเกนของเมทริกซ์ซึ่งโดยปกติแล้วความซ้ำซ้อนจะถูกกำหนดโดยความซ้ำซ้อนของค่าไอเกนในฐานะรากของพหุนามลักษณะเฉพาะอย่างไรก็ตาม ความซ้ำซ้อนอีกสองแบบถูกกำหนดขึ้นตามธรรมชาติสำหรับค่าไอเกน ได้แก่ ความซ้ำซ้อนในฐานะรากของพหุนามขั้นต่ำและความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตซึ่งถูกกำหนดให้เป็นมิติของเคอร์เนลของA − λI (โดยที่λคือค่าไอเกนของเมทริกซ์A ) ความซ้ำซ้อนทั้งสามนี้กำหนดเซตของค่าไอเกนสามเซต ซึ่งอาจแตกต่างกันทั้งหมด: ให้Aเป็น เมทริกซ์ n × nในรูปแบบปกติของจอร์แดนที่มีค่าไอเกนเพียงค่าเดียว ความซ้ำซ้อนของมันคือnความซ้ำซ้อนในฐานะรากของพหุนามขั้นต่ำคือขนาดของบล็อกจอร์แดนที่ใหญ่ที่สุด และความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตคือจำนวนบล็อกจอร์แดน

มัลติเซตอาจถูกกำหนดอย่างเป็นทางการเป็นคู่ลำดับ( U , m )โดยที่Uเป็นเซตที่เรียกว่าเอกภพหรือเซตพื้นฐานและ m เป็นฟังก์ชันจากUไปยังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ [ ^{7 ] ค่า} m สำหรับองค์ประกอบmเรียกว่าความซ้ำซ้อนของm ในมัลติเซต และตีความ ได้ว่าเป็นจำนวนครั้งที่m ปรากฏในมัลติเซต ${\displaystyle m\colon U\to \mathbb {N} }$${\displaystyle m(a)}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

ส่วนรองรับรากหรือตัวพาของมัลติเซตคือเซตย่อยของ⁠ ⁠ ที่เกิด จากองค์ประกอบ⁠ ⁠เช่นนั้น⁠ ⁠ ^{[ 7 ]}มัลติเซตจำกัดคือมัลติเซตที่มี ส่วนรองรับ จำกัดผู้เขียนส่วนใหญ่กำหนดมัลติเซตเป็นมัลติเซตจำกัด ซึ่งเป็นกรณีในบทความนี้เช่นกัน โดยเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น มัลติเซตทั้งหมดเป็นมัลติเซต จำกัด${\displaystyle U}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle m(a)>0}$

ผู้เขียนบางท่าน^{[ 16 ]}กำหนดมัลติเซตโดยมีข้อจำกัดเพิ่มเติมว่า⁠ ⁠${\displaystyle m(a)>0}$สำหรับทุก⁠ ⁠${\displaystyle a}$หรือเทียบเท่ากับการสนับสนุนเท่ากับเซตพื้นฐาน มัลติเซตที่มีมัลติพลิซิตี้อนันต์ก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน^{[ 17 ]}แต่ไม่ได้พิจารณาในบทความนี้ ผู้เขียนบางท่านกำหนดมัลติเซตในแง่ของเซตดัชนี จำกัด ⁠ ⁠${\displaystyle I}$และฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f\colon I\rightarrow U}$โดยที่มัลติพลิซิตี้ขององค์ประกอบ⁠ ⁠${\displaystyle a\in U}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle |f^{-1}(a)|}$จำนวนองค์ประกอบของ⁠ ⁠${\displaystyle I}$ ที่ถูกแม ป ไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle a}$โดย⁠ ⁠${\displaystyle f}$

มัลติเซตอาจแสดงได้ในรูปเซตที่มีบางองค์ประกอบซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น มัลติเซตที่มีซัพพอร์ต⁠ ⁠${\displaystyle \{a,b\}}$และฟังก์ชันความซ้ำซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle m(a)=2,\;m(b)=1}$สามารถแสดงได้เป็น{ a , a , b }สัญกรณ์ที่กระชับกว่าในกรณีที่มีความซ้ำซ้อนสูงคือ⁠ ⁠${\displaystyle \{(a,2),(b,1)\}}$สำหรับมัลติเซตเดียวกัน

หากมัลติเซตที่มีส่วนรองรับรวมอยู่ใน⁠ ⁠ มักจะแสดงเป็น ซึ่งสามารถใช้กฎการคำนวณของตัวแปรที่ไม่แน่นอนได้ กล่าวคือ สามารถลบเลขชี้กำลัง 1 และตัวประกอบที่มีเลขชี้กำลัง 0 ออกได้ และมัลติเซตไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ วิธีนี้ช่วยให้สามารถขยายสัญกรณ์ไปยังเซตพื้นฐานอนันต์ได้ ข้อดีของสัญกรณ์นี้คือ ช่วยให้สามารถใช้สัญกรณ์ได้โดยไม่ต้องทราบส่วนรองรับที่แน่นอน ตัวอย่างเช่นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠ก่อให้เกิดมัลติเซตเช่นนั้น ${\displaystyle A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},}$$$${\displaystyle \prod _{a\in U}a^{m(a)}.}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle n=\prod _{p\;{\text{prime}}}p^{m(p)}=2^{m(2)}3^{m(3)}5^{m(5)}\cdots .}$$

โดยทั่วไปแล้ว สมาชิกของมัลติเซตจะถูกเลือกจากเซตคงที่Uซึ่งบางครั้งเรียกว่าเอกภพซึ่งมักจะเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติสมาชิกของUที่ไม่ได้อยู่ในมัลติเซตที่กำหนด จะกล่าวได้ว่ามีจำนวนซ้ำเป็น 0 ในมัลติเซตนั้น นี่เป็นการขยายฟังก์ชันจำนวนซ้ำของมัลติเซตไปเป็นฟังก์ชันจากUไปยังเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเป็นการกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้กับมัลติเซตที่มีสมาชิกอยู่ใน U${\displaystyle \mathbb {N} }$

ฟังก์ชันความเท่าเทียมแบบขยายนี้โดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชันความเท่าเทียมและเพียงพอสำหรับการกำหนดเซตหลายสมาชิกเมื่อเอกภพที่ประกอบด้วยสมาชิกนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว ฟังก์ชันความเท่าเทียมนี้เป็นการขยายความของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของเซตย่อยและมีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกัน

การสนับสนุนของมัลติเซตในเอกภพUคือเซตพื้นฐานของมัลติเซต^{[ 7 ]}ซึ่งอาจแสดงโดย[ ^{7 ]} , ^{[ 18 ]}หรือ^โดยใช้ฟังก์ชันความหลากหลายจะมีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {S} _{A}}$${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle \operatorname {Supp} (A):=\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\}.}$$

มัลติเซตจะเรียกว่ามัลติเซตจำกัดก็ต่อเมื่อเซตพื้นฐาน (support) ของมันมีจำนวนจำกัด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าจำนวนสมาชิก (cardinality) ของมัน มีจำนวนจำกัดมัลติเซตว่างเป็นมัลติเซตเพียงหนึ่งเดียวที่มี เซตพื้นฐาน (support) ว่างเปล่าและดังนั้นจึงมีจำนวนสมาชิกเป็น 0 $${\displaystyle |A|=\sum _{x\in \operatorname {Supp} (A)}m_{A}(x)=\sum _{x\in U}m_{A}(x)}$$

การดำเนินการตามปกติของเซตสามารถขยายไปสู่มัลติเซตได้โดยใช้ฟังก์ชันความซ้ำซ้อน ในลักษณะเดียวกับการใช้ฟังก์ชันตัวบ่งชี้สำหรับเซตย่อย ในที่นี้AและBเป็นมัลติเซตในเอกภพU ที่กำหนด โดยมีฟังก์ชันความซ้ำซ้อนและ${\displaystyle m_{A}}$${\displaystyle m_{B}.}$

• การรวม: A รวมอยู่ในBซึ่งเขียนแทนด้วยA ⊆ Bถ้า$${\displaystyle m_{A}(x)\leq m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• ยูเนียน:ยูเนียน(ซึ่งในบางบริบทเรียกว่าตัวคูณร่วมสูงสุดหรือ ต่ำสุด ) ของAและBคือมัลติเซตCที่มีฟังก์ชันความซ้ำซ้อน^{[ 13 ]}$${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• จุดตัด:จุดตัด (ซึ่งในบางบริบทเรียกว่าอินฟิมัมหรือตัวหารร่วมมาก ) ของAและBคือ มัลติเซตCที่มีฟังก์ชันความซ้ำซ้อน$${\displaystyle m_{C}(x)=\min(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• ผลรวม:ผลรวมของAและBคือมัลติเซตCที่มีฟังก์ชันความซ้ำซ้อนอาจมองได้ว่าเป็นการขยายความของยูเนียนที่ไม่ทับซ้อนกันของเซตต่างๆ มันกำหนด โครงสร้าง โมโนอิดแบบสลับที่ได้บนมัลติเซตจำกัดในเอกภพที่กำหนด โมโนอิดนี้เป็นโมโนอิดแบบสลับที่ได้อิสระโดยมีเอกภพเป็นฐาน$${\displaystyle m_{C}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• ความแตกต่าง:ความแตกต่างระหว่างAและBคือมัลติเซ็ตCที่มีฟังก์ชันความซ้ำซ้อน$${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x)-m_{B}(x),0)\quad \forall x\in U.}$$

มัลติเซตสองเซตจะไม่มีส่วนร่วมกันหากเซตสนับสนุนของมัลติเซตทั้งสองนั้นไม่มีส่วนร่วมกัน กล่าวคือ การตัดกันของมัลติเซตทั้งสองเท่ากับมัลติเซตว่าง หรือผลรวมของมัลติเซตทั้งสองเท่ากับยูเนียนของมัลติเซตทั้งสอง

มีหลักการรวม-แยกสำหรับมัลติเซตจำกัด (คล้ายกับหลักการสำหรับเซต ) ซึ่งระบุว่า การรวมกันแบบจำกัดของมัลติเซตจำกัด คือ ผลต่างของผลรวมของมัลติเซตสองชุด: ในผลรวมชุดแรก เราพิจารณาจุดตัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ จำนวน คี่ของมัลติเซตที่กำหนด ในขณะที่ในผลรวมชุดที่สอง เราพิจารณาจุดตัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ จำนวน คู่ของมัลติเซตที่กำหนด

เซตย่อยจำกัดของเซตคือมัลติ${\displaystyle U}$เซตที่${\displaystyle U}$มี เซตพื้นฐานโดยที่สำหรับ${\displaystyle m(a)\leq 1}$ทุก${\displaystyle a\in U}$

จำนวนมัลติเซตที่มีขนาดkโดยมีองค์ประกอบที่มาจากเซตจำกัดที่มีขนาดnบางครั้งเรียกว่าสัมประสิทธิ์มัลติเซตหรือจำนวนมัลติเซตผู้เขียนบางคนเขียนจำนวนนี้ว่าซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่ตั้งใจให้คล้ายกับสัมประสิทธิ์ทวินาม ตัวอย่างเช่น ใช้ใน (Stanley, 1997) และอาจออกเสียงว่า " n multichoose k " เพื่อให้คล้ายกับ " n choose k " เช่นเดียวกับการแจกแจงทวินามที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ทวินาม มีการแจกแจงทวินามเชิงลบซึ่งมีสัมประสิทธิ์มัลติเซตอยู่ด้วย สัมประสิทธิ์มัลติเซตไม่ควรสับสนกับสัมประสิทธิ์พหุนามที่ปรากฏในทฤษฎีบทพหุนาม ${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

ค่าของสัมประสิทธิ์มัลติเซตสามารถระบุได้อย่างชัดเจนโดย ที่นิพจน์ที่สองเป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม^{[ a ]} ​​ในความเป็นจริงผู้เขียนหลายคนหลีกเลี่ยงการใช้สัญลักษณ์แยกต่างหากและเขียนเพียงสัมประสิทธิ์ทวินาม ดังนั้นจำนวนของมัลติเซตดังกล่าวจึงเท่ากับจำนวนของเซตย่อยที่มีขนาดkของเซตที่มีขนาดn + k − 1ความคล้ายคลึงกับสัมประสิทธิ์ทวินามสามารถเน้นได้โดยการเขียนตัวเศษในนิพจน์ข้างต้นเป็นกำลังแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้น เพื่อให้ตรงกับนิพจน์ของสัมประสิทธิ์ทวินามโดยใช้กำลังแฟกทอเรียลที่ลดลง: $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}$$$${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n^{\overline {k}} \over k!},}$$$${\displaystyle {n \choose k}={n^{\underline {k}} \over k!}.}$$

ตัวอย่างเช่น มีมัลติเซต${\displaystyle \textstyle 4=\left(\!{\binom {2}{3}}\!\right)}$ที่มีขนาดสมาชิก 3 ตัว โดยมีสมาชิกมาจากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ {1, 2}ได้แก่{1, 1, 1} , {1, 1, 2} , {1, 2, 2}และ{2, 2, 2}นอกจากนี้ยังมีซับเซต${\displaystyle \textstyle 4={\binom {4}{3}}}$ที่มีขนาดสมาชิก 3 ตัว ในเซตที่มีสมาชิก 4 ตัวคือ {1, 2, 3, 4}ได้แก่{1, 2, 3} , {1, 2, 4} , {1, 3, 4}และ{2, 3, 4 }

วิธีง่ายๆ วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์มัลติเซตและสัมประสิทธิ์ทวินามที่กล่าวมาข้างต้น คือการแสดงมัลติเซตในรูปแบบต่อไปนี้ ก่อนอื่น ให้พิจารณาสัญลักษณ์สำหรับมัลติเซตที่จะแทน{ a , a , a , a , a , a , b , b , c , c , c , d , d , d , d , d , d } (6 a s, 2 b s, 3 c s, 7 d s )ในรูปแบบนี้:

 • • • • • • | • • • • | • • • • • • •

นี่คือมัลติเซตที่มีขนาดสมาชิกk = 18ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกของเซตที่มีขนาดสมาชิกn = 4จำนวนอักขระรวมทั้งจุดและเส้นแนวตั้งที่ใช้ในสัญลักษณ์นี้คือ18 + 4 − 1จำนวนเส้นแนวตั้งคือ 4 − 1 จำนวนมัลติเซตที่มีขนาดสมาชิก 18 จึงเท่ากับจำนวนวิธีจัดเรียง เส้นแนวตั้ง 4 − 1เส้นในหมู่อักขระ 18 + 4 − 1 ตัว และดังนั้นจึงเท่ากับจำนวนซับเซตที่มีขนาดสมาชิก 4 − 1 ของเซตที่มีขนาดสมาชิก18 + 4 − 1หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนวิธีจัดเรียงจุด 18 จุดในหมู่อักขระ18 + 4 − 1ตัว ซึ่งก็คือจำนวนซับเซตที่มีขนาดสมาชิก 18 ของเซตที่มีขนาดสมาชิก18 + 4 − 1ดังนั้นนี่ คือค่าสัมประสิทธิ์มัลติเซตและค่าเทียบเท่าของมัน: $${\displaystyle {4+18-1 \choose 4-1}={4+18-1 \choose 18}=1330,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\!\!{4 \choose 18}\!\!\right)&={21 \choose 18}={\frac {21!}{18!\,3!}}={21 \choose 3},\\[1ex]&={\frac {{\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}\cdot \mathbf {19\cdot 20\cdot 21} }{\mathbf {1\cdot 2\cdot 3} \cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}}},\\[1ex]&={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;19\cdot 20\cdot 21} }{\,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;1\cdot 2\cdot 3\quad } }},\\[1ex]&={\frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3}}.\end{aligned}}}$$

จากความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ทวินามและสัมประสิทธิ์มัลติเซต จะได้ว่าจำนวนมัลติเซตที่มีขนาดkในเซตที่มีขนาดnสามารถเขียนได้ ดังนี้ นอกจากนี้ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=(-1)^{k}{-n \choose k}.}$$$${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{k+1 \choose n-1}\!\!\right).}$$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับสัมประสิทธิ์มัลติเซตอาจกำหนดได้ ดังนี้ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right)\quad {\mbox{for }}n,k>0}$$$${\displaystyle \left(\!\!{n \choose 0}\!\!\right)=1,\quad n\in \mathbb {N} ,\quad {\mbox{and}}\quad \left(\!\!{0 \choose k}\!\!\right)=0,\quad k>0.}$$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นสามารถตีความได้ดังนี้ ให้ n เป็นเซตต้นทาง จะมีมัลติเซต (ว่างเปล่า) ขนาด 0 เพียงหนึ่งเดียวเสมอ และถ้าn = 0จะไม่มีมัลติเซตที่ใหญ่กว่านั้น ซึ่งให้เงื่อนไขเริ่มต้น ${\displaystyle [n]:=\{1,\dots ,n\}}$

ทีนี้ ลองพิจารณากรณีที่n , k > 0มัลติเซตที่มีขนาดสมาชิกkโดยมีสมาชิกจาก[ n ]อาจมีหรือไม่มีสมาชิกสุดท้ายnก็ได้ ถ้ามีสมาชิกสุดท้าย n ปรากฏอยู่ การลบn ออกไป หนึ่งครั้งจะทำให้เหลือมัลติเซตที่มีขนาดสมาชิกk − 1โดยมีสมาชิกจาก[ n ] และมัลติเซตแบบนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมด ซึ่งให้ ความเป็นไปได้ ทั้งหมดจำนวนหนึ่ง $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)}$$

ถ้าnไม่ปรากฏ มัลติเซตดั้งเดิมของเราจะเท่ากับมัลติเซตที่มีขนาดkโดยมีสมาชิกจาก[ n − 1]ซึ่งมีจำนวน $${\displaystyle \left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).}$$

ดังนั้น, $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของสัมประสิทธิ์มัลติเซตนั้นง่ายมาก คือ เนื่องจากมัลติเซตมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเอกนามดังนั้นจึงเป็นจำนวนเอกนามดีกรีdใน ตัวแปร nตัว ดังนั้น อนุกรมข้างต้นจึงเป็นอนุกรมฮิลเบิร์ตของวงแหวนพหุนาม ด้วย$${\displaystyle \sum _{d=0}^{\infty }\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)t^{d}={\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$$${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

เนื่องจากเป็นพหุนามในn ดังนั้นทั้ง พหุ นามและฟังก์ชันก่อกำเนิดจึงถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับค่าเชิงซ้อน ใดๆ ของ n${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$

สูตรการคูณช่วยให้สามารถขยายคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์มัลติเซตได้โดยการแทนที่nด้วยจำนวนใดๆα (ลบ จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน): $${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)={\frac {\alpha ^{\overline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .}$$

ด้วยนิยามนี้ เราจะได้สูตรทวินามเชิงลบแบบทั่วไป (โดยกำหนดให้ตัวแปรตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับ 1) ซึ่งเป็นเหตุผลที่ทำให้สามารถเรียกสัมประสิทธิ์ทวินามเชิงลบได้ว่า: ${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)}$$${\displaystyle (1-X)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)X^{k}.}$$

สูตร อนุกรมเทย์เลอร์นี้ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนαและX ทุกตัว ที่มี| X | < 1นอกจากนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นเอกลักษณ์ของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการในXซึ่งในความเป็นจริงแล้วสามารถใช้เป็นนิยามของอนุกรมกำลังใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่เท่ากับ 1 ได้ ประเด็นก็คือ ด้วยนิยามนี้ เอกลักษณ์ทั้งหมดที่คาดหวังได้สำหรับการยกกำลัง นั้นเป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

$${\displaystyle (1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )},}$$ และสูตรต่างๆ เช่นนี้ สามารถนำมาใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ของสัมประสิทธิ์มัลติเซตได้

ถ้าαเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกnแล้ว พจน์ทั้งหมดที่มีk > −nจะเป็นศูนย์ และอนุกรมอนันต์จะกลายเป็นผลรวมจำกัด อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าα อื่นๆ รวมถึงจำนวนเต็มบวกและจำนวนตรรกยะ อนุกรมจะเป็นอนันต์

มัลติเซ็ตมีการใช้งานที่หลากหลาย^{[ 7 ]}พวกมันกำลังกลายเป็นพื้นฐานในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}มัลติเซ็ตได้กลายเป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ซึ่งมักใช้ถุง คำพ้องความ หมาย^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}ตัวอย่างเช่น มัลติเซ็ตมักถูกใช้เพื่อนำความสัมพันธ์ไปใช้ในระบบฐานข้อมูล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตาราง (ที่ไม่มีคีย์หลัก) ทำงานเป็นมัลติเซ็ต เนื่องจากสามารถมีเรคอร์ดที่เหมือนกันได้หลายรายการ ในทำนองเดียวกันSQLทำงานกับมัลติเซ็ตและส่งคืนเรคอร์ดที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณา "SELECT name FROM Student" ในกรณีที่มีเรคอร์ดหลายรายการที่มีชื่อ "Sara" ในตารางนักเรียน เรคอร์ดทั้งหมดจะแสดงขึ้น นั่นหมายความว่าผลลัพธ์ของการสืบค้น SQL เป็นมัลติเซ็ต หากผลลัพธ์เป็นเซตแทน เรคอร์ดที่ซ้ำกันในเซตผลลัพธ์จะถูกกำจัดออกไป การใช้งานอีกอย่างหนึ่งของมัลติเซ็ตคือการสร้างแบบจำลองมัลติกราฟ ในมัลติกราฟนั้น สามารถมีเส้นเชื่อมได้หลายเส้นระหว่างจุดยอด สองจุดใดๆ ก็ได้ ดังนั้น สิ่งที่ระบุเส้นเชื่อมเหล่านั้นจึงเป็นมัลติเซต ไม่ใช่เซต

นอกจากนี้ยังมีการใช้งานอื่นๆ อีก ตัวอย่างเช่นRichard Radoใช้มัลติเซตเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบคุณสมบัติของตระกูลเซต เขาเขียนว่า "แนวคิดของเซตไม่ได้คำนึงถึงการเกิดขึ้นหลายครั้งของสมาชิกใดๆ ก็ตาม แต่ข้อมูลประเภทนี้มักมีความสำคัญ เราเพียงแค่ต้องนึกถึงเซตของรากของพหุนามf ( x ) หรือสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้น " ^{[ 5 ] : 328–329}

มีการนำเสนอ ศึกษา และประยุกต์ใช้การวางนัยทั่วไปที่แตกต่างกันของมัลติเซตเพื่อแก้ปัญหาต่างๆ

• มัลติเซตแบบมีเครื่องหมาย (ซึ่งจำนวนครั้งของการปรากฏขององค์ประกอบสามารถเป็นจำนวนเต็ม ใดๆ ก็ได้ ) ^{[ 26 ]}
• มัลติเซตค่าจริง (ซึ่งจำนวนสมาชิกสามารถเป็นจำนวนจริง ใดๆ ก็ได้ ) ^{[ 27 ]}
• มัลติเซตแบบฟัซซี่^{[ 28 ]}
• มัลติเซ็ตแบบหยาบ^{[ 29 ]}
• ชุดไฮบริด^{[ 30 ]}
• มัลติเซตที่มีมัลติพลิซิตี้เป็น ฟังก์ชันขั้นบันไดค่าจริงใดๆ^{[ 31 ]}
• มัลติเซ็ตแบบอ่อน^{[ 32 ]}
• มัลติเซ็ตแบบฟัซซี่อ่อน^{[ 33 ]}
• เซตที่มีชื่อ (การรวมเซตทั่วไปทั้งหมด) ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

• ความถี่ (ทางสถิติ)ในฐานะอนาล็อกของความหลากหลาย
• เซตเสมือน
• ทฤษฎีเซต
• แบบจำลองถุงคำ
• สื่อการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งกลุ่มของมัลติเซตใน Wikiversity