ในทางคณิตศาสตร์การกระจายพหุนามสามพจน์คือการกระจายกำลังของผลรวมของสามพจน์ออกเป็นเอกนามการกระจายพหุนามสามพจน์มีสูตรดังนี้

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},}$

โดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และผลรวมจะคำนวณจากชุดค่าผสมทั้งหมดของดัชนีที่ไม่เป็นลบⁱ , j และ k โดยที่i + j + k = n ^[ 1 ^]สัมประสิทธิ์พหุนามกำหนด โดย

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.}$

สูตรนี้เป็นกรณีพิเศษของสูตรพหุนามสำหรับm = 3สัมประสิทธิ์สามารถกำหนดได้ด้วยการวางนัยทั่วไปของสามเหลี่ยมปาสคาลในสามมิติ เรียกว่าพีระมิดปาสคาลหรือทรงสี่หน้าปาสคาล^{[ 2 ]}

การกระจายพหุนามสามพจน์สามารถคำนวณได้โดยการใช้การกระจายพหุนามสองพจน์สองครั้ง โดยกำหนดให้ซึ่งจะนำไปสู่ ${\displaystyle d=b+c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{nr}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{nr}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{nr}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{rs}\,c^{s}.\end{aligned}}}$

ข้างต้น ผลลัพธ์ ในบรรทัดที่สองได้รับการประเมินโดยการประยุกต์ใช้การกระจายทวินามครั้งที่สอง ซึ่งเป็นการเพิ่มผลรวมอีก ครั้ง เหนือดัชนี${\displaystyle (b+c)^{r}}$${\displaystyle s}$

ผลคูณของสัมประสิทธิ์ทวินามทั้งสองจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการย่อให้สั้นลง ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle {n \choose r}\,{r \choose s}={\frac {n!}{r!(nr)!}}{\frac {r!}{s!(rs)!}}={\frac {n!}{(nr)!(rs)!s!}},}$

และเมื่อเปรียบเทียบชุดดัชนีในที่นี้กับชุดดัชนีในเลขชี้กำลังแล้ว จะสามารถเปลี่ยนชื่อเป็นซึ่งจะให้ผลลัพธ์ตามที่กล่าวไว้ในย่อหน้าแรก ${\displaystyle i=nr,~j=rs,~k=s}$

จำนวนพจน์ของพหุนามสามพจน์ที่ขยายแล้วคือจำนวนสามเหลี่ยม

${\displaystyle t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},}$

โดยที่nคือเลขชี้กำลังที่พหุนามสามพจน์ถูกยกกำลัง^{[ 3 ]}

ตัวอย่างของการกระจายพหุนามสามพจน์ที่มีได้แก่: ${\displaystyle n=2,3,4}$

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)}$

${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+ac^{2}+a^{2}c)+6abc}$

${\displaystyle (a+b+c)^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+ab^{3}+b^{3}c+bc^{3}+a^{3}c+ac^{3})+6(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+12(a^{2}bc+ab^{2}c+abc^{2})}$

• การขยายทวินาม
• พีระมิดของปาสคาล
• สัมประสิทธิ์พหุนาม
• สามเหลี่ยมพหุนาม