ในพีชคณิตนามธรรมวงแหวนเมทริกซ์คือเซตของเมทริกซ์ที่มีสมาชิกอยู่ในวงแหวนRซึ่งสร้างวงแหวนภายใต้การบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ [ ^{1 ] เซต}ของ เมทริกซ์ n × n ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในRคือวงแหวนเมทริกซ์ซึ่งเขียนแทนด้วย M _n ( R ) ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} (สัญลักษณ์อื่น: Mat _n ( R ) ^{[ 3 ]}และR ^{n × n [ 6 ]} ) เซตของเมทริกซ์อนันต์บางเซตสร้างวงแหวนเมทริกซ์อนันต์วงแหวนย่อยของวงแหวนเมทริกซ์ก็คือวงแหวนเมทริกซ์อีกวงหนึ่ง เหนือrngสามารถสร้าง rng เมทริกซ์ได้

เมื่อRเป็นริงสลับที่ ริงเมทริกซ์ M _n ( R ) จะเป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงเหนือRและอาจเรียกว่าพีชคณิตเมทริกซ์ในบริบทนี้ ถ้าMเป็นเมทริกซ์และr อยู่ในRแล้ว เมทริกซ์rMคือเมทริกซ์Mที่แต่ละสมาชิกคูณด้วยr

• เซตของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn × n ทั้งหมด บนRซึ่งเขียนแทนด้วย M _n ( R ) บางครั้งเรียกว่า "วงแหวนเต็มของ เมทริกซ์ ขนาดn × n "
• เซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยม บนทั้งหมด เหนือR
• เซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยม ล่างทั้งหมด เหนือR
• เซตของเมทริกซ์แนวทแยง ทั้งหมด เหนือR พีชคณิตย่อย M _n ( R ) นี้เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลคูณโดยตรงของRจำนวนnชุด
• สำหรับG กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนใดๆวงแหวนกลุ่ม${\displaystyle R[G]}$
• สำหรับเซตดัชนีI ใดๆ วงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมของโมดูลR ทางขวา จะสม isomorphic กับวงแหวนของเมทริกซ์จำกัดคอลัมน์ซึ่งมีสมาชิกเป็นดัชนีI × Iและแต่ละคอลัมน์มีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น วงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมของMที่พิจารณาว่าเป็น โมดูล R ทางซ้าย จะสม isomorphic กับวงแหวนของเมทริกซ์จำกัดแถว${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$
• ถ้าRเป็นพีชคณิตแบบบานาคเงื่อนไขเรื่องจำนวนแถวหรือจำนวนคอลัมน์ที่จำกัดในข้อก่อนหน้านี้สามารถผ่อนปรนได้ เมื่อใช้ค่ามาตรฐานแล้ว เรา สามารถใช้ ชุดอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์แทนผลรวมจำกัดได้ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ที่มีผลรวมคอลัมน์เป็นลำดับลู่เข้าสัมบูรณ์จะก่อตัวเป็นวงแหวน ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ที่มีผลรวมแถวเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ก็จะก่อตัวเป็นวงแหวนเช่นกัน แนวคิดนี้สามารถนำไปใช้แทนตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ เช่นกัน
• จุดตัดของวงแหวนเมทริกซ์ที่มีแถวจำกัดและวงแหวนเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์จำกัดก่อให้เกิดวงแหวนอีกวงหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$
• ถ้าRเป็นแบบสลับที่ได้แล้ว M _n ( R ) จะมีโครงสร้างของพีชคณิต *บนRโดยที่การผกผัน * บน M _n ( R ) คือการสลับตำแหน่งของเมทริกซ์
• ถ้าAเป็นC*-algebraแล้ว M _n ( A ) ก็เป็น C*-algebra อีกตัวหนึ่ง ถ้าAไม่มีเอกลักษณ์ แล้ว M _n ( A ) ก็ไม่มีเอกลักษณ์เช่นกัน ตามทฤษฎีบทของ Gelfand–Naimarkจะมี ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตHและไอโซมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริก * จากAไปยังซับอัลเจบราที่ปิดด้วยนอร์มของอัลเจบราB ( H ) ของตัวดำเนินการต่อเนื่อง ซึ่งจะทำให้ M _n ( A ) เหมือนกับซับอัลเจบราของB ( H ^{⊕ n} ) เพื่อความง่าย ถ้าเราสมมติเพิ่มเติมว่าHสามารถแยกได้ และAB ( H )เป็น C*-algebra ที่มีเอกลักษณ์ เราสามารถแยกA ออก เป็นวงแหวนเมทริกซ์เหนือ C*-algebra ที่เล็กกว่าได้ เราสามารถทำได้โดยการกำหนดการฉายภาพp และการฉายภาพเชิงตั้งฉาก 1 − pของมัน  เราสามารถระบุAกับ โดยการคูณเมทริกซ์ทำงานได้ตามที่ตั้งใจไว้เนื่องจากความเป็นเชิงตั้งฉากของการฉายภาพ เพื่อให้ระบุAว่าเป็นเมทริกซ์ริงเหนือ C*-algebra ได้ เราจำเป็นต้องให้pและ 1 −  pมี "อันดับ" เดียวกัน กล่าวคือ เราจำเป็นต้องให้pและ 1 −  pสมมูลกันแบบ Murray–von Neumann กล่าวคือ ต้องมีไอโซเมตรีบางส่วนuที่ทำให้p = uu *และ1 − p = u * uเราสามารถขยายหลักการนี้ไปยังเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่ขึ้นได้ง่ายๆ${\displaystyle \subseteq }$${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
• พีชคณิตเมทริกซ์เชิงซ้อน M _n ( C ) เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงอย่างง่ายมิติจำกัดเพียงชนิดเดียวเหนือฟิลด์Cของจำนวนเชิงซ้อน จนกระทั่งถึงไอโซมอร์ฟิซึม ก่อนการคิดค้นพีชคณิตเมทริกซ์แฮมิลตันในปี 1853 ได้แนะนำวงแหวนซึ่งเขาเรียกว่าไบควอเทอร์เนียน^{[ 7 ]}และผู้เขียนสมัยใหม่จะเรียกว่าเทนเซอร์ในC ⊗ _R Hซึ่งต่อมาแสดงให้เห็นว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ M ₂ ( C ) ฐานหนึ่งของ M ₂ ( C ) ประกอบด้วยหน่วยเมทริกซ์สี่หน่วย (เมทริกซ์ที่มีหนึ่ง 1 และรายการอื่น ๆ ทั้งหมดเป็น 0) ฐานอื่นกำหนดโดยเมทริกซ์เอกลักษณ์ และ เมทริกซ์ Pauliสาม เมทริก ซ์
• วงแหวนเมทริกซ์เหนือฟิลด์คือพีชคณิตฟรอเบนิอุสโดยมีรูปแบบฟรอเบนิอุสที่กำหนดโดยร่องรอยของผลคูณ: σ ( A , B ) = tr( AB )

• วงแหวนเมทริกซ์ M _n ( R ) สามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนของเอนโดมอร์ ฟิซึม ของโมดูลขวาอิสระRที่มีอันดับnนั่นคือM _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) การคูณเมทริกซ์สอดคล้องกับการประกอบของเอนโดมอร์ฟิซึม
• วงแหวน M _n ( D ) เหนือวงแหวนหารDเป็น วงแหวน อาร์ทีเนียนแบบง่าย ซึ่ง เป็นวงแหวนกึ่งง่ายชนิดพิเศษวงแหวนและไม่ใช่ วงแหวน แบบง่ายและไม่ใช่วงแหวนอาร์ทีเนียนหากเซตIเป็นอนันต์ แต่พวกมันยังคง เป็น วงแหวนเชิงเส้นแบบสมบูรณ์${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$
• ทฤษฎีบท Artin –Wedderburnกล่าวว่าวงแหวนกึ่งง่ายทุกวงสมสัณฐานกับผลคูณตรง จำกัด สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบrจำนวนเต็มบวกn _iและวงแหวนหารD _iบาง ค่า${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
• เมื่อเรามอง M _n ( C ) ว่าเป็นวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้นของC ⁿเมทริกซ์ที่หายไปบนปริภูมิย่อยV ที่กำหนด จะก่อให้เกิดอุดมคติซ้าย ในทางกลับกัน สำหรับอุดมคติซ้ายI ที่กำหนด ของ M _n ( C ) จุดตัดของปริภูมิว่างของเมทริกซ์ทั้งหมดในIจะให้ปริภูมิย่อยของC ⁿภายใต้การสร้างนี้ อุดมคติซ้ายของ M _n ( C ) จะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อ หนึ่งกับปริภูมิย่อยของC ⁿ
• มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างอุดมคติ สองด้าน ของ M _n ( R ) และอุดมคติสองด้านของRกล่าวคือ สำหรับแต่ละอุดมคติIของRเซตของ เมทริกซ์ n × n ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในIจะเป็นอุดมคติของ M _n ( R ) และอุดมคติแต่ละอันของ M _n ( R ) เกิดขึ้นในลักษณะนี้ ซึ่งหมายความว่า M _n ( R ) เป็นแบบง่ายก็ต่อเมื่อRเป็นแบบง่าย สำหรับn ≥ 2ไม่ใช่ทุกอุดมคติซ้ายหรืออุดมคติขวาของ M _n ( R ) จะเกิดขึ้นจากการสร้างก่อนหน้านี้จากอุดมคติซ้ายหรืออุดมคติขวาในRตัวอย่างเช่น เซตของเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ที่มีดัชนี 2 ถึงnเป็นศูนย์ทั้งหมดจะก่อให้เกิดอุดมคติซ้ายใน M _n ( R )
• ความสอดคล้องในอุดมคติก่อนหน้านี้เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าวงแหวนRและ M _n ( R ) สมมูลกันแบบโมริตะกล่าวโดยคร่าวๆ หมายความว่าหมวดหมู่ของโมดูลซ้ายRและหมวดหมู่ของโมดูลซ้าย M _n ( R ) มีความคล้ายคลึงกันมาก ด้วยเหตุนี้ จึงมีความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลซ้ายRและโมดูลซ้าย M _n ( R ) และระหว่างชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของอุดมคติซ้ายของRและอุดมคติซ้ายของ M _n ( R ) ข้อความเดียวกันนี้ใช้ได้กับโมดูลขวาและอุดมคติขวา ผ่านความสมมูลแบบโมริตะ M _n ( R ) สืบทอด คุณสมบัติ คงที่แบบโมริตะ ใดๆ ของRเช่น การเป็นซิมเพล็ กซ์ อาร์ ทิเนียนโน เธอร์เรียน และไพรม์

• ถ้าSเป็นวงแหวนย่อยของRแล้ว M _n ( S ) ก็เป็นวงแหวนย่อยของ M _n ( R ) ด้วย ตัวอย่างเช่น M _n ( Z ) เป็นวงแหวนย่อยของ M _n ( Q )
• วงแหวนเมทริกซ์ M _n ( R ) เป็นวงแหวนสลับที่ได้ก็ต่อเมื่อn = 0 , R = 0หรือRเป็นวงแหวนสลับที่ได้และn = 1อันที่จริงแล้ว เงื่อนไขนี้ยังเป็นจริงสำหรับวงแหวนย่อยของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่แสดงเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนขนาด2 × 2 สอง เมทริกซ์ที่ไม่สลับที่ได้ โดยสมมติว่า1 ≠ 0ในR :

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  และ

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• สำหรับn ≥ 2วงแหวนเมทริกซ์ M _n ( R ) เหนือวงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์จะมีตัวหารเป็นศูนย์และสมาชิกที่เป็นนิลโพเทนต์เช่นเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับวงแหวนของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย ตัวอย่างใน เมทริกซ์ 2 × 2จะเป็นดังนี้

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• ศูนย์กลางของ M _n ( R ) ประกอบด้วยผลคูณเชิงสเกลาร์ของ เมท ริกซ์เอกลักษณ์I _n โดยที่สเกลา ร์นั้นเป็นของศูนย์กลางของR
• กลุ่มหน่วยของ M _n ( R ) ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์ผกผันภายใต้การคูณ จะถูกแสดงด้วย GL _n ( R )
• ถ้าFเป็นฟิลด์แล้ว สำหรับเมทริกซ์AและB ใดๆ ใน M _n ( F ) ความเท่าเทียมกันของ AB = I _nจะหมายความว่าBA = I _nอย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับทุกริงR ริง Rที่เมทริกซ์ริงทั้งหมดมีคุณสมบัติดังกล่าวเรียกว่าริงจำกัดเสถียร ( Lam 1999 , หน้า 5)

ในความเป็นจริงRจำเป็นต้องเป็นเซมิริง เท่านั้น เพื่อให้ M _n ( R ) สามารถนิยามได้ ในกรณีนี้ M _n ( R ) เป็นเซมิริงที่เรียกว่าเซมิริงเมทริกซ์ ในทำนองเดียวกัน ถ้า Rเป็นเซมิริงสลับที่ได้แล้ว M _n ( R ) ก็เป็นเซ มิริงเมทริกซ์ เช่นกันเซมิแอลจีบราเมทริกซ์

ตัวอย่างเช่น ถ้าRคือเซมิริงบูลีน ( พีชคณิตบูลีนสององค์ประกอบR = {0, 1}โดยที่1 + 1 = 1 ) ^{[ 8 ]}แล้ว M _n ( R ) คือเซมิริงของความสัมพันธ์ทวิภาคบน เซตที่มี nองค์ประกอบ โดยที่การรวมกันเป็นการ บวก การประกอบความสัมพันธ์^{เป็นการ}คูณความสัมพันธ์ว่าง ( เมทริกซ์ศูนย์ ) เป็นศูนย์ และความสัมพันธ์เอกลักษณ์ ( เมทริกซ์เอกลักษณ์ ) เป็นเอกภาพ [ ^{9 ]}

• พีชคณิตพื้นฐานแบบง่าย
• พีชคณิตคลิฟฟอร์ด
• ทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์ (พีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐาน)
• วงแหวนเมทริกซ์ทั่วไป
• กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์