ในสาขาพีชคณิตนามธรรมที่เรียกว่าทฤษฎีวงแหวนวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายคือวงแหวนที่มีโมดูลด้านซ้ายที่เรียบง่ายและซื่อสัตย์ ตัวอย่างที่รู้จักกันดี ได้แก่วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตเวล์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์

กล่าวกันว่า วงแหวนRเป็นวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้าย (left primitive ring ) ถ้ามีโมดูล R ด้านซ้าย แบบง่าย ที่ซื่อสัตย์ (faithful simple left R- module ) ส่วนวงแหวนดั้งเดิมด้านขวา (right primitive ring ) นั้นนิยามในทำนองเดียวกันกับ โมดูล R ด้านขวา อย่างไรก็ตาม มีวงแหวนบางวงที่เป็นดั้งเดิมด้านหนึ่งแต่ไม่ใช่ด้านอื่น ตัวอย่างแรกสร้างขึ้นโดยGeorge M. Bergmanใน ( Bergman 1964 ) ส่วนอีกตัวอย่างหนึ่งที่ Jategaonkar ค้นพบเพื่อแสดงความแตกต่างนี้ สามารถพบได้ในRowen (1988 , หน้า 159)

ลักษณะเฉพาะภายในของวงแหวนดั้งเดิมซ้ายมีดังนี้: วงแหวนจะเป็นวงแหวนดั้งเดิมซ้ายก็ต่อเมื่อมีอุดมคติซ้ายสูงสุด ที่ไม่มี อุดมคติสองด้านที่ไม่เป็น ศูนย์ นิยาม ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับวงแหวนดั้งเดิมขวาเช่นกัน

โครงสร้างของวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยทฤษฎีบทความหนาแน่นของเจคอบสัน : วงแหวนจะเป็นวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายก็ต่อเมื่อมันสม isomorphicกับวงแหวนย่อยหนาแน่น ของวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของ ปริภูมิ เวกเตอร์ด้านซ้ายเหนือวงแหวนหาร

นิยามที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่งระบุว่า วงแหวนจะเป็นวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายก็ต่อเมื่อเป็นวงแหวนเฉพาะที่มีโมดูลด้านซ้ายที่ซื่อสัตย์และมีความยาวจำกัด ( Lam 2001 , Ex. 11.19, p. 191 )

วงแหวนดั้งเดิมด้านเดียวเป็นทั้งวงแหวนกึ่งดั้งเดิมและวงแหวนเฉพาะเนื่องจากวงแหวนผลคูณของวงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์สองวงขึ้นไปไม่ใช่วงแหวนเฉพาะ จึงเห็นได้ชัดว่าผลคูณของวงแหวนดั้งเดิมจะไม่เป็นวงแหวนดั้งเดิมเลย

สำหรับ วงแหวนอาร์ทิเนียนซ้ายเป็นที่ทราบกันว่าเงื่อนไข "พริมิทีฟซ้าย" "พริมิทีฟขวา" "ไพรม์" และ " ซิมเพิล " ล้วนสมมูลกัน และในกรณีนี้มันคือวงแหวนกึ่งซิมเพิลที่สมสัณฐานกับวงแหวนเมทริก ซ์จัตุรัส เหนือวงแหวนหาร โดยทั่วไปแล้ว ในวงแหวนใดๆ ที่มีอุดมคติด้านเดียวขั้นต่ำ "พริมิทีฟซ้าย" = "พริมิทีฟขวา" = "ไพรม์"

วงแหวนสลับที่ถือเป็นวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายก็ต่อเมื่อมันเป็น ฟิลด์

การที่โครงสร้างเป็นแบบดั้งเดิมทางซ้ายนั้นเป็นคุณสมบัติคงที่ตามทฤษฎีของโมริตะ

วงแหวนเชิงเดี่ยวRทุกวงที่มีเอกลักษณ์เป็นทั้งวงแหวนดั้งเดิมซ้ายและขวา (อย่างไรก็ตาม วงแหวนเชิงเดี่ยวที่ไม่มีเอกลักษณ์อาจไม่ใช่วงแหวนดั้งเดิม) สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าRมีอุดมคติซ้ายสูงสุดMและข้อเท็จจริงที่ว่าโมดูลผลหารR / M เป็นโมดูล Rซ้ายเชิงเดี่ยวและตัวทำลาย ของมัน คืออุดมคติสองด้านที่เหมาะสมในRเนื่องจากRเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยว ตัวทำลายนี้คือ {0} และด้วยเหตุนี้R / M จึง เป็นโมดูล R ซ้ายที่ซื่อสัตย์

พีชคณิตเวล์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์เป็นพีชคณิตดั้งเดิม และเนื่องจากเป็นโดเมนจึงเป็นตัวอย่างที่ไม่มีอุดมคติด้านเดียวขั้นต่ำ

กรณีพิเศษของวงแหวนดั้งเดิมคือวงแหวนเชิงเส้นเต็มวงแหวนเชิงเส้นเต็มซ้ายคือวงแหวนของการแปลงเชิงเส้นทั้งหมด ของปริภูมิเวกเตอร์ซ้ายมิติอนันต์เหนือวงแหวนการหาร ( วงแหวนเชิงเส้นเต็มขวาจะแตกต่างออกไปโดยใช้ปริภูมิเวกเตอร์ขวาแทน) ในเชิงสัญลักษณ์โดยที่Vคือปริภูมิเวกเตอร์เหนือวงแหวนการหารDเป็นที่ทราบกันว่าRเป็นวงแหวนเชิงเส้นเต็มซ้ายก็ต่อเมื่อRเป็น วงแหวน ปกติของฟอนนอยมันน์เป็นแบบฉีดตัวเองซ้ายที่มีsocle soc( _R R ) ≠ {0} ^{[ 1 ]}ผ่าน การโต้แย้ง ทางพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงได้ว่ามีความสมมาตรกับวงแหวนของเมทริกซ์แถวจำกัดโดยที่Iคือเซตดัชนีที่มีขนาดเท่ากับมิติของVเหนือDในทำนองเดียวกัน วงแหวนเชิงเส้นเต็มขวาสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นเมทริกซ์คอลัมน์จำกัดเหนือ D${\displaystyle R=\mathrm {สิ้นสุด} (_{D}V)}$${\displaystyle \mathrm {สิ้นสุด} (_{D}V)\,}$${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)\,}$

จากการใช้สิ่งนี้ เราจะเห็นได้ว่ามีวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายที่ไม่เรียบง่าย ตามลักษณะเฉพาะของความหนาแน่นของจาคอบสัน วงแหวนเชิงเส้นเต็มด้านซ้ายRจะเป็นวงแหวนดั้งเดิมด้านซ้ายเสมอ เมื่อมิติ_D Vมีค่าจำกัดRจะเป็นวงแหวนเมทริกซ์จัตุรัสเหนือDแต่เมื่อมิติ_D Vมีค่าอนันต์ เซตของการแปลงเชิงเส้นที่มีอันดับจำกัดจะเป็นอุดมคติสองด้านที่เหมาะสมของRดังนั้นR จึง ไม่ใช่วงแหวนเรียบง่าย

• อุดมคติดั้งเดิม