ถ้าAคือบริเวณที่ระบายสีแดงในภาพนี้…

…ดังนั้น ส่วนเติมเต็มของAก็คือทุกสิ่งทุกอย่างที่เหลือ

ในทฤษฎีเซตส่วนเติมเต็มของเซตAซึ่งมักจะแสดงด้วย(หรือA ′ ) ^{[ 1 ]}คือเซตของสมาชิก ที่ไม่ ^อยู่ในA ^{[ 2} ]${\displaystyle A^{c}}$

เมื่อพิจารณา ว่า องค์ประกอบทั้งหมดในเอกภพซึ่งก็คือองค์ประกอบทั้งหมดที่กำลังพิจารณาอยู่ เป็นสมาชิกของเซตU ที่กำหนดไว้แล้ว ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของAคือเซตขององค์ประกอบในUที่ไม่ได้อยู่ในA

ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของAเมื่อเทียบกับเซตBหรือที่เรียกว่าผลต่างเซตของBและAเขียนแทนด้วยA ก็ คือเซตของสมาชิกในBที่ไม่อยู่ในA${\displaystyle B\setminus A,}$

ถ้าAเป็นเซตส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของA (หรือเรียกง่ายๆ ว่าส่วนเติมเต็มของA ) คือเซตของสมาชิกที่ไม่อยู่ในA (ภายในเซตที่ใหญ่กว่าซึ่งกำหนดโดยปริยาย) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้Uเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่กำลังศึกษา ถ้าไม่จำเป็นต้องกล่าวถึงUไม่ว่าจะเป็นเพราะได้ระบุไว้ก่อนหน้านี้ หรือเป็นสิ่งที่ชัดเจนและเป็นเอกลักษณ์ ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของAคือส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของAในU : ^{[ 3 ] [ a ]}$${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของAมักจะแสดงด้วย[ ^{3 ] สัญลักษณ์}อื่นๆได้แก่^{[ 4 ] [ 2 ] [ 5 ]}${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle {\overline {A}}}$${\displaystyle A',}$${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ และ }}\complement A.}$

• สมมติว่าเอกภพคือเซตของจำนวนเต็มถ้าAคือเซตของจำนวนคี่ เซตส่วนเติมเต็มของAคือเซตของจำนวนคู่ ถ้าBคือเซตของจำนวนทวีคูณของ 3 เซตส่วนเติมเต็มของBคือเซตของจำนวนที่สอดคล้องกับ 1 หรือ 2 มอดูล 3 (หรือพูดให้เข้าใจง่ายกว่าคือ จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ทวีคูณของ 3)
• สมมติว่าจักรวาลคือ สำรับ ไพ่มาตรฐาน 52 ใบถ้าเซตAคือชุดไพ่โพดำ เซตเสริมของAคือการรวมกันของชุดไพ่ดอกจิก ดอกข้าวหลามตัด และดอกหัวใจ ถ้าเซตBคือการรวมกันของชุดไพ่ดอกจิกและดอกข้าวหลามตัด เซตเสริมของBคือการรวมกันของชุดไพ่ดอกหัวใจและโพดำ
• เมื่อเอกภพคือเอกภพของเซตที่อธิบายไว้ในทฤษฎีเซต แบบเป็นทางการ ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของเซตโดยทั่วไปจะไม่ใช่เซต แต่เป็นคลาสที่เหมาะสมสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดู ที่ เซตสากล

ให้AและBเป็นเซตสองเซตในเอกภพUเอกลักษณ์ต่อไปนี้แสดงถึงคุณสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์:

กฎของเดอ มอร์แกน : ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

กฎการเติมเต็ม: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• $ถ้า A ∈ B แล้ว Bⁿ ∈ Aⁿ$

  (ซึ่งเป็นผลมาจากความเท่าเทียมกันของประโยคเงื่อนไขกับประโยคแย้ง )

กฎ การผกผันหรือกฎส่วนเติมเต็มสองเท่า:

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์และส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}$

ความสัมพันธ์ที่มีผลต่างคงที่:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

กฎส่วนเติมเต็มสองข้อแรกข้างต้นแสดงให้เห็นว่า ถ้าA เป็น เซตย่อยแท้ที่ไม่ว่างของUแล้ว{ A , A ^∁ }จะเป็นพาร์ ติชันของU

ถ้าAและBเป็นเซตส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของAในB [ ^{3 ]}หรือเรียกอีกอย่างว่า^ผลต่างเซตของBและA [ ^{6 ]}คือเซตขององค์ประกอบในBแต่ไม่^อยู่ใน A

ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของAในBจะถูกแสดงตามมาตรฐาน ISO 31-11บางครั้งอาจเขียนว่าแต่สัญลักษณ์นี้อาจกำกวมได้ เนื่องจากในบางบริบท (ตัวอย่างเช่นการดำเนินการเซตของมินคอฟสกีใน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ) อาจตีความได้ว่าเป็นเซตขององค์ประกอบทั้งหมดที่bมาจากBและaมาจากA${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle BA,}$${\displaystyle ba,}$

อย่างเป็นทางการ: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• ถ้าเป็นเซตของจำนวนจริงและเป็นเซตของจำนวนตรรกยะแล้วเป็นเซตของจำนวนอตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

ให้A , BและCเป็นเซตสามเซตในเอกภพU เอกลักษณ์ต่อไปนี้แสดงถึงคุณสมบัติที่โดดเด่นของส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  โดยมีกรณีพิเศษที่สำคัญซึ่งแสดงให้เห็นว่าจุดตัดสามารถแสดงได้โดยใช้เพียงการดำเนินการส่วนเติมเต็มเชิงสัมพัทธ์เท่านั้น${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$เทียบเท่ากับ.${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

ความสัมพันธ์ทวิภาค ถูกนิยามว่าเป็นเซตย่อยของผลคูณของเซตความสัมพันธ์ส่วนเติมเต็มคือเซตส่วนเติมเต็มของในส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์สามารถเขียนได้ เป็นโดยที่ มักถูกมองว่าเป็นเมทริกซ์ตรรกะที่มีแถวแทนองค์ประกอบของและคอลัมน์แทนองค์ประกอบของความจริงของสอดคล้องกับ 1 ในแถวคอลัมน์การสร้างความสัมพันธ์ส่วนเติมเต็มของจึงสอดคล้องกับการสลับ 1 ทั้งหมดเป็น 0 และ 0 ทั้งหมดเป็น 1 สำหรับเมทริกซ์ตรรกะของส่วนเติมเต็ม ${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle {\bar {R}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle b.}$${\displaystyle R}$

ความสัมพันธ์ เสริมและพีชคณิตของเซตรวมถึงการประกอบความสัมพันธ์และความ สัมพันธ์ผกผัน ล้วน เป็น ปฏิบัติการพื้นฐานของแคลคูลัสแห่งความสัมพันธ์

ใน ภาษาการจัดพิมพ์ LaTeXคำสั่ง\setminus^{[ 7 ]}มักใช้สำหรับการแสดงผลสัญลักษณ์ความแตกต่างของเซต ซึ่งคล้ายกับ สัญลักษณ์ แบ็กสแลชเมื่อแสดงผล\setminusคำสั่งจะมีลักษณะเหมือนกับ\backslashยกเว้นว่าจะมีช่องว่างด้านหน้าและด้านหลังสแลชมากกว่าเล็กน้อย คล้ายกับลำดับ LaTeX มี \mathbin{\backslash}รูปแบบที่แตกต่าง\smallsetminusกันอยู่ในแพ็กเกจ amssymb แต่สัญลักษณ์นี้ไม่ได้รวมอยู่ใน Unicode แยกต่างหาก สัญลักษณ์(ตรงข้ามกับ) ถูกสร้างขึ้นโดย(สอดคล้องกับสัญลักษณ์ Unicode U+2201 ∁ COMPLEMENT ) ${\displaystyle \complement }$${\displaystyle C}$\complement

• พีชคณิตของเซต  – เอกลักษณ์และความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเซต
• จุดตัด (ทฤษฎีเซต)  – เซตของสมาชิกที่พบร่วมกันในทุกเซตบางเซต
• รายการเอกลักษณ์และความสัมพันธ์ของเซต  – ความเท่าเทียมกันสำหรับการรวมกันของเซต
• ทฤษฎีเซตแบบง่าย  – ทฤษฎีเซตแบบไม่เป็นทางการ
• ผลต่างสมมาตร  – จำนวนสมาชิกในเซตใดเซตหนึ่งจากสองเซตเท่านั้น
• ยูเนียน (ทฤษฎีเซต)  – เซตของสมาชิกในเซตใดเซตหนึ่ง

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ส่วนเติมเต็ม" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เซตส่วนเติมเต็ม" . MathWorld .