ในทางคณิตศาสตร์ตัวกรองบนเซตจะให้แนวคิดอย่างไม่เป็นทางการว่าเซตย่อย ใด เป็น "เซตขนาดใหญ่" ตัวบ่งปริมาณตัวกรองเป็นตัวบ่งปริมาณเชิงตรรกะประเภทหนึ่ง ซึ่งโดยไม่เป็นทางการจะบอกได้ว่าข้อความนั้นเป็นจริงหรือไม่สำหรับองค์ประกอบ "ส่วนใหญ่" ของเซต ตัวบ่งปริมาณดังกล่าว มักใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการจัด เรียง ทฤษฎีแบบจำลอง (เช่น เมื่อจัดการกับอัลตราโปรดักต์ ) และในสาขาอื่นๆ ของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ตัวกรอง (อัลตรา) ${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X.}$

ในที่นี้เราจะใช้แบบแผนทฤษฎีเซต โดยที่ตัวกรองบนเซตจะถูกกำหนดให้เป็นตัวกรองที่เหมาะสมเชิงลำดับในโพเซตกล่าวคือ เป็นเซตย่อยของโดยที่: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq ),}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

• ${\displaystyle \varnothing \notin {\mathcal {F}}}$และ;${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$
• สำหรับทุกสิ่งที่เรามี;${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {F}}}$
• สำหรับทุกๆถ้าหากว่า${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X,}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}.}$

โปรดจำไว้ว่าตัวกรองแบบใดแบบหนึ่งจะเป็น ตัวกรอง แบบอัลตร้าฟิลเตอร์หากสำหรับทุกๆเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}}.}$

เมื่อกำหนดตัวกรองบนเซตเราจะกล่าวว่าเซตย่อยเป็นแบบ -stationaryถ้าสำหรับทั้งหมดที่เรามี^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing .}$

ให้เป็นตัวกรองบนเซตเรากำหนดตัวบ่งปริมาณตัวกรองและเป็นสัญลักษณ์ตรรกะเชิงรูปธรรมที่มีความหมายดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x}$${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x}$

${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \{x\in X:\varphi (x)\}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \{x\in X:\varphi (x)\}}$อยู่กับที่${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

สำหรับสูตรอันดับหนึ่ง ทุกสูตร ที่มีตัวแปรอิสระหนึ่งตัว นอกจากนี้ยังยอมรับคำจำกัดความทางเลือกอื่นๆ ได้อีกด้วย ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \exists A\in {\mathcal {F}}\ \ \forall x\in A\ \ \varphi (x)}$

${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \forall A\in {\mathcal {F}}\ \ \exists x\in A\ \ \varphi (x)}$

เมื่อใดที่เป็นอัลตราฟิลเตอร์ ตัวบ่งชี้ปริมาณสองตัวที่กำหนดไว้ข้างต้นจะตรงกัน และเรามักจะใช้สัญลักษณ์แทน ในการพูด เราอาจออกเสียงว่า " เกือบทั้งหมด" "ส่วนใหญ่" "ส่วนใหญ่(ตาม)" หรือ "ส่วนใหญ่(ตาม)" ในกรณีที่ฟิลเตอร์ใส เราอาจละเว้นการกล่าวถึง${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

ตัวบ่งปริมาณตัวกรองและเป็นไปตามเอกลักษณ์เชิงตรรกะต่อไปนี้^{[ 1 ]}สำหรับสูตรทั้งหมด: ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x}$${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x}$${\displaystyle \varphi ,\psi }$

• ความเป็นสองด้าน:${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \neg \exists _{\mathcal {F}}x\ \neg \varphi (x)}$
• การอ่อนตัวลง:${\displaystyle \forall x\ \varphi (x)\implies \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\implies \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\implies \exists x\ \varphi (x)}$
• คำสันธาน:
  • ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\land \psi (x){\big )}\iff {\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\land {\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
  • ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\land \psi (x){\big )}\implies {\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\land {\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
• การแยก:
  • ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\lor \psi (x){\big )}\;\Longleftarrow \;{\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\lor {\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
  • ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\lor \psi (x){\big )}\;\Longleftrightarrow \;{\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\lor {\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
• ถ้าเปิดใช้งานตัวกรองแล้ว: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X,}$
  • ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\implies \forall _{\mathcal {G}}x\ \varphi (x)}$
  • ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\;\Longleftarrow \;\exists _{\mathcal {G}}x\ \varphi (x)}$

นอกจากนี้ หากเป็นอัลตราฟิลเตอร์ ตัวกำหนดปริมาณของฟิลเตอร์ทั้งสองจะตรงกัน: เมื่อเปลี่ยนชื่อตัวกำหนดปริมาณนี้คุณสมบัติต่อไปนี้จะคงอยู่: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x).}$${\displaystyle {\mathcal {F}}x,}$

• การปฏิเสธ:${\displaystyle {\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \neg {\mathcal {F}}x\ \neg \varphi (x)}$
• การอ่อนตัวลง:${\displaystyle \forall x\ \varphi (x)\implies {\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\implies \exists x\ \varphi (x)}$
• คำสันธาน:${\displaystyle {\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\land \psi (x){\big )}\iff {\big (}{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\land {\big (}{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
• การแยก:${\displaystyle {\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\lor \psi (x){\big )}\iff {\big (}{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\lor {\big (}{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$

โดยทั่วไป ตัวระบุปริมาณแบบฟิลเตอร์จะไม่สามารถสลับตำแหน่งกันได้ และจะไม่สามารถสลับตำแหน่งกับตัวระบุปริมาณ แบบ ปกติได้เช่นกัน${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$

• ถ้าตัวกรองแบบง่ายๆ บนแล้วการแยกนิยามออก เราจะได้และ ซึ่งจะได้ตัวบ่งปริมาณ และตัวระบุปริมาณตามปกติกลับคืนมา${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \{x\in X:\varphi (x)\}=X,}$${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \{x\in X:\varphi (x)\}\cap X\neq \varnothing .}$${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$
• ให้เป็นตัวกรอง Fréchetบนเซตอนันต์ดังนั้นจะเป็นจริงก็ ต่อเมื่อ เป็นจริงสำหรับ จำนวนจำกัด และจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเป็นจริงสำหรับจำนวนอนันต์ โดยทั่วไปแล้ว ตัวบ่งปริมาณและมักจะใช้สัญลักษณ์และตามลำดับ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \forall _{{\mathcal {F}}^{\infty }}x\ \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \exists _{{\mathcal {F}}^{\infty }}x\ \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle \forall _{{\mathcal {F}}^{\infty }}}$${\displaystyle \exists _{{\mathcal {F}}^{\infty }}}$${\displaystyle \forall ^{\infty }}$${\displaystyle \exists ^{\infty },}$
• ให้เป็น "ตัวกรองการวัด" บนที่สร้างขึ้นโดยเซตย่อยทั้งหมดที่มีการวัดแบบเลเบสการสร้างข้างต้นทำให้เราได้ "ตัวบ่งปริมาณการวัด": เป็นจริงก็ต่อ เมื่อ เป็นจริง เกือบทุกที่และเป็นจริงก็ต่อเมื่อ เป็นจริงบนเซตที่มีการวัดเป็นบวก^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle A\subseteq [0,1]}$${\displaystyle \mu (A)=1.}$${\displaystyle \forall _{\mathcal {M}}x\ \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \exists _{\mathcal {M}}x\ \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$
• สมมติว่าเป็นตัวกรองหลักบนเซตบางเซตจากนั้นเราจะได้และ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$${\displaystyle A\subseteq X.}$${\displaystyle \forall _{{\mathcal {F}}_{A}}x\ \varphi (x)\iff \forall x\in A\ \varphi (x),}$${\displaystyle \exists _{{\mathcal {F}}_{A}}x\ \varphi (x)\iff \exists x\in A\ \varphi (x).}$
  • ถ้าเป็นตัวกรองอัลตราฟิลเตอร์หลักขององค์ประกอบนั้น เราก็จะมี${\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}}$${\displaystyle d\in X,}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}\,x\ \varphi (x)\iff \varphi (d).}$

ประโยชน์ของตัวบ่งปริมาณแบบตัวกรองคือ มักช่วยให้การแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างกระชับหรือชัดเจนยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น พิจารณาคำนิยามของการลู่เข้าของลำดับค่าจริง : ลำดับจะลู่เข้าสู่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists N\in \mathbb {N} \ \ \forall n\in \mathbb {N} \ {\big (}\ n\geq N\implies \vert a_{n}-a\vert <\varepsilon \ {\big )}}$

เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณของ Fréchet ตามที่นิยามไว้ข้างต้น เราสามารถให้คำนิยามที่ดีกว่า (เทียบเท่ากัน) ได้ดังนี้: ${\displaystyle \forall ^{\infty }}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \forall ^{\infty }n\in \mathbb {N} :\ \vert a_{n}-a\vert <\varepsilon }$

ตัวระบุปริมาณตัวกรองมีประโยชน์อย่างยิ่งในการสร้างที่เกี่ยวข้องกับตัวกรอง ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีการดำเนินการไบนารีที่กำหนดไว้บนนั้น มีวิธีที่เป็นธรรมชาติในการขยาย^{[ 3 ]}ไปยังเซตของอัลตราฟิลเตอร์บน: ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \beta X,}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}\oplus {\mathcal {V}}={\big \{}A\subseteq X:\ {\mathcal {U}}x\ {\mathcal {V}}y\ \ x+y\in A{\big \}}}$

ด้วยความเข้าใจเกี่ยวกับตัวกำหนดปริมาณอัลตราฟิลเตอร์ คำจำกัดความนี้จึงค่อนข้างเข้าใจง่าย กล่าวคือคือกลุ่มของเซตย่อยที่ สำหรับกรณีส่วนใหญ่(ตามเงื่อนไข) และสำหรับกรณีส่วนใหญ่(ตามเงื่อนไข) ผลรวมจะอยู่ในลองเปรียบเทียบกับคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันโดยไม่มีตัวกำหนดปริมาณอัลตราฟิลเตอร์: ${\displaystyle {\mathcal {U}}\oplus {\mathcal {V}}}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle x+y}$${\displaystyle A.}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}\oplus {\mathcal {V}}={\big \{}A\subseteq X:\ \{x\in X:\ \{y\in X:\ x+y\in A\}\in {\mathcal {V}}\}\in {\mathcal {U}}{\big \}}}$

ความหมายของเรื่องนี้ค่อนข้างไม่ชัดเจน

สัญชาตญาณที่เพิ่มขึ้นนี้ยังเห็นได้ชัดในบทพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับอัลตราฟิลเตอร์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นแบบสมาคมบนโดยใช้คำจำกัดความแรกของก็จะสรุปได้ง่ายๆ ว่าเป็นแบบสมาคมบนการพิสูจน์สิ่งนี้โดยใช้คำจำกัดความที่สองต้องใช้ความพยายามมากขึ้น^{[ 5 ]}${\displaystyle +}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \oplus ,}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \beta X.}$

• ตัวกรอง (คณิตศาสตร์)  – เซตย่อยพิเศษของเซตที่มีลำดับบางส่วน
• กรองตามเซต  – กลุ่มของเซตย่อยที่แสดงถึงเซตขนาดใหญ่
• ตัวบ่งปริมาณทั่วไป  – นิพจน์ที่แสดงถึงเซตของเซตในความหมายเชิงรูปธรรม
• การทำให้กระชับแบบสโตน-เช็ก  – แนวคิดในทางโทโพโลยี
• อัลตร้าฟิลเตอร์  – ตัวกรองคุณภาพสูงสุด
• อัลตร้าฟิลเตอร์ในชุดอุปกรณ์  – ฟิลเตอร์คุณภาพสูงที่เหมาะสมที่สุด