ในความหมายเชิงรูปธรรมตัวบ่งปริมาณทั่วไป ( GQ ) คือนิพจน์ที่แสดงถึงเซตของเซตนี่คือความหมายมาตรฐานที่กำหนดให้กับวลีคำนามที่มีตัวบ่งปริมาณ ตัวอย่างเช่น ตัวบ่งปริมาณทั่วไปevery boy หมายถึงเซตของเซตที่ every boy เป็นสมาชิก การจัดการตัวบ่งปริมาณนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการบรรลุความหมายเชิงองค์ประกอบสำหรับประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ เป็นเด็กผู้ชาย}}\to x\in X)\}}$$

ในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง มีตัวบ่งปริมาณ อยู่สองตัว ซึ่งมีความหมายตายตัวในความหมายเชิงแบบจำลอง (กล่าวคือ ความหมายเชิงเซต) ของตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \forall ,\exists }$

เมื่อกำหนดภาษาลำดับที่หนึ่งแบบจำลอง ของภาษา และการตีความตัวแปร เราจะเขียน เพื่อหมายความ ว่า "สูตรเชิงปริมาณถูกจำลองโดยแบบจำลองที่มีการตีความ" โดยนิยามแล้วคือเอกภพของแบบจำลอง ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi }$${\displaystyle \forall x\psi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi \iff \forall a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi }$$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

ในทำนองเดียวกันสามารถเขียนสิ่งนี้ในสัญกรณ์ทางทฤษฎีเซตได้ดังนี้ โดยที่ แทนการดำเนินการเซตกำลัง$${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi \iff \exists a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{M\}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

สิ่งนี้อาจดูเหมือนเป็นวงจรวนซ้ำ เนื่องจากทฤษฎีเซตมักถูกกำหนดเป็นทางการในตรรกะลำดับที่หนึ่ง (เช่นในทฤษฎีเซต ZFC ) อย่างไรก็ตาม หากเราใช้ทฤษฎีเซตดังกล่าวเป็นฐาน เราก็สามารถสร้างตรรกะลำดับที่หนึ่งอื่นๆ บนพื้นฐานของทฤษฎีเซตนี้ได้ นี่คือมุมมองทั่วไปที่ใช้ในทฤษฎีแบบจำลอง

ต่อไป เราจะพิจารณาตัวเองว่าเป็นสัญลักษณ์ที่กำลังถูกสร้างแบบจำลอง ซึ่งคล้ายกับวิธีที่ความเท่าเทียมกันถูกตีความว่าเป็นสัญลักษณ์ความสัมพันธ์แบบไบนารีในตรรกะลำดับที่หนึ่งที่มีความเท่าเทียมกันจากนั้นเราเขียนใหม่ว่า: โดยที่คือแบบจำลองของสัญลักษณ์ในแบบจำลองและคือแบบจำลองของสัญลักษณ์ในแบบจำลอง ${\displaystyle \forall ,\exists }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \forall ^{\mathcal {M}}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \exists ^{\mathcal {M}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \forall ^{\mathcal {M}}:=\{M\}}$${\displaystyle \forall }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \exists ^{\mathcal {M}}:=\{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

ดังนั้น เราสามารถกำหนดแบบจำลองของตัวบ่งปริมาณทั่วไปได้ดังนี้ เมื่อกำหนดภาษาลำดับที่หนึ่งที่เสริมด้วยตัวบ่งปริมาณทั่วไปแล้วแบบจำลองของภาษาจะจำลองแต่ละตัวบ่งปริมาณเป็นเซต โดยที่โดยทั่วไปแล้ว ตัวบ่งปริมาณอาจบ่งปริมาณตัวแปรk ตัว ในกรณีนั้น แบบจำลองของมันคือเซตชนิดของตัวบ่งปริมาณดังกล่าวคือ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\dots }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle Q_{n}^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M)}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}Q_{n}x\psi \iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in Q_{n}^{\mathcal {M}}}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M^{k})}$${\displaystyle \langle k\rangle }$

ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากเซตย่อยของสามารถถือได้ว่าเป็น ความสัมพันธ์ k -ary บนดังนั้น ตัวบ่งปริมาณเหนือตัวแปร k ตัว จึงสามารถถือได้ว่าเป็นภาคแสดงสำหรับ ความสัมพันธ์ k - ary บน${\displaystyle M^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

โดยทั่วไปแล้ว ตัวบ่งปริมาณจะถูกใช้ดังนี้: มันถูกจำลองโดยความสัมพันธ์แบบn -ary เหนือความสัมพันธ์แบบ n-ary, ความสัมพันธ์แบบ n-ary, ..., ความสัมพันธ์แบบ n-ary เหนือนิยามทั่วไปนี้ หรือนิยามตัวบ่งปริมาณแบบทั่วไป บางครั้งเรียกว่า ตัวบ่ง ปริมาณแบบ ลินด์สตรอม (Lindström quantifier ) ${\displaystyle Q}$$${\displaystyle Qx_{1,1},\dots ,x_{1,m_{1}};x_{2,1},\dots ,x_{2,m_{2}};\dots ;x_{n,1},\dots ,x_{n,m_{n}}(\psi _{1},\dots ,\psi _{n})}$$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle M}$

กล่าวกันว่าตัวบ่งชี้ปริมาณดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะหากลักษณะเฉพาะนั้นมีรูปแบบหนึ่งก็จะเป็น แบบ เอกนาม (monadic ) มิเช่นนั้นจะเป็นแบบพหุนาม (polyadic ) ${\displaystyle \langle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\rangle }$${\displaystyle \langle 1,1,\dots ,1\rangle }$

ประเภท ⟨1⟩:

• ${\displaystyle \exists _{=1}}$ความหมายที่ว่า "มีอยู่เพียง 1 ตัวเท่านั้น" ถูกกำหนดโดย${\displaystyle \exists _{=1}^{\mathcal {M}}:=\{\{a\}:a\in M\}}$
• และโดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนดโดยฯลฯ ได้${\displaystyle \exists _{=2},\exists _{=3},\dots }$${\displaystyle \exists _{=2}^{\mathcal {M}}:=\{\{a,b\}:a\in M,b\in M,a\neq b\}}$
• ${\displaystyle \exists _{\leq n}}$ความหมายที่ว่า "มีอยู่ไม่เกินn ตัว " ถูกกำหนดโดย.${\displaystyle \exists _{\leq n}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|\leq n\}}$
• ${\displaystyle \exists _{\geq \omega }}$ความหมายที่ว่า "มีอยู่มากมายนับไม่ถ้วน" นั้น นิยามโดย...${\displaystyle \exists _{\geq \omega }^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,S{\text{ is infinite}}\}}$
• ตัวบ่งชี้ปริมาณของ Rescher ซึ่งหมายถึง "ส่วนใหญ่แล้ว" ถูกกำหนดโดย.${\displaystyle Q_{R}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|>|M\setminus S|\}}$

ประเภท ⟨2⟩:

• ${\displaystyle W}$ความหมายของ "เป็นการเรียงลำดับที่ดี " ถูกกำหนดโดยตัวอย่างเช่นหมายถึง " เป็นการเรียงลำดับที่ดี" เมื่อกำหนดแบบจำลองของโครงสร้างจะเป็นเซตที่มีการเรียงลำดับที่ดีบางส่วน ที่น่าสังเกตคือ การเรียงลำดับที่ดีนั้นไม่สามารถกำหนดเป็นสัจพจน์ได้ในตรรกะลำดับที่หนึ่งมาตรฐาน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเราได้ขยายขอบเขตความสามารถของภาษาตรรกะแล้ว${\displaystyle W^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M\times M,S{\text{ is a well-ordering of }}M\}}$${\displaystyle Wxy,x<y}$${\displaystyle <}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle Wxy,x<y}$${\displaystyle (M,<^{\mathcal {M}})}$

• ตัวบ่งปริมาณ ของแรมซีย์ (Ramsey quantifier) ​​นิยามโดย ก็ต่อเมื่อมีเซตอนันต์เช่นนั้นตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทแรมซีย์อนันต์กล่าวว่า ถ้าเรามีเซตอนันต์และลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดสองจุดใดๆ แล้วระบายสีเส้นเชื่อมแต่ละเส้นด้วยสีใดสีหนึ่งจากจำนวนสีที่จำกัด แล้วจะมีคลิก อนันต์ ที่มีสีเดียวกันอยู่ ให้เป็นความสัมพันธ์แบบ 2-ary โดยที่หมายถึงและเส้นเชื่อมถูกระบายสีด้วยสีที่iแล้วทฤษฎีบทแรมซีย์อนันต์กล่าวว่า${\displaystyle Q^{2}}$${\displaystyle S\in (Q^{2})^{\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subset M}$${\displaystyle \forall x\neq y\in A,(x,y)\in S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{m}}$${\displaystyle C_{i}(x,y)}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \bigvee _{i=1}^{m}Q^{2}(C_{i})}$

ประเภท ⟨n⟩:

• ตัวบ่งปริมาณของแรมซีย์กำหนดโดยiff ที่มีอนันต์เช่นนั้นเซตย่อย ขนาด n ใดๆ เราจะมีทฤษฎีบทแรมซีย์อนันต์สามารถระบุได้ด้วย^{[ 3 ]}${\displaystyle Q^{n}}$${\displaystyle S\in (Q^{n})^{\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subset M}$${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset A}$${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in S}$${\displaystyle Q^{n}}$

ประเภท ⟨1, 1⟩:

• คำ ว่า "ทั้งหมด" ถูกกำหนดโดยตัวอย่างเช่น "มนุษย์ทุกคนต้องตาย" เขียนเป็น ในทำนองเดียวกัน "บางส่วน" "ไม่ใช่บางส่วน" และ "ไม่ใช่ทั้งหมด" เป็นประโยคประเภท ⟨1, 1⟩ ด้วยวิธีนี้ ประโยคทั้ง 4 ประเภทในตรรกศาสตร์เชิงเทอมจึงถูกแสดงออกมาอย่างเป็นธรรมชาติในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งด้วยตัวบ่งปริมาณแบบทั่วไป${\displaystyle {\text{All}}^{\mathcal {M}}:=\{(A,B):A\subset B,B\subset M\}}$${\displaystyle {\text{All }}x,y,({\text{man}}(x),{\text{mortal}}(y))}$
• ในทำนองเดียวกัน "อย่างน้อย 5", "3 พอดี", "จำนวนคู่", "มีมากกว่า" เป็นต้น
• ตัวบ่งปริมาณของ Härtig หมายถึง "จำนวนเท่ากัน" ^{[ 4 ]}

ตัวบ่งปริมาณสามารถนำมาผสมผสานและดัดแปลงเพื่อสร้างตัวบ่งปริมาณเพิ่มเติมได้ โดยใช้การดำเนินการกับตัวบ่งปริมาณเหล่านั้น

การทำให้เป็นสัมพัทธ์ : ความสัมพันธ์ แบบ n -ary บนเซตสามารถทำให้เป็นสัมพัทธ์กับเซตย่อย ได้ โดยการกำหนด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือโดยใช้การดำเนินการนี้ ตัวบ่งปริมาณประเภทสามารถทำให้เป็นสัมพัทธ์กับตัวบ่งปริมาณประเภทได้โดยการเลือกช่องแรกของตัวบ่งปริมาณดังกล่าวให้เป็นเซตที่มันทำให้เป็นสัมพัทธ์: การวนซ้ำ : เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณ ⟨1⟩ สองตัวเราจะได้ตัวบ่งปริมาณ ⟨2⟩ ซึ่งได้มาจากการขยายการสร้างสำหรับโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารีประโยคสามารถวิเคราะห์ได้เป็น โดยที่เป็นตัวบ่งปริมาณ ⟨2⟩ ที่ได้จากการวนซ้ำไป ยัง${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle R\upharpoonright N:=R\cap N^{n}}$$${\displaystyle \forall a_{1},\dots ,a_{n}\in N,R\upharpoonright N(a_{1},\dots ,a_{n})\iff R(a_{1},\dots ,a_{n})}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \langle m_{1},\dots ,m_{n}\rangle }$${\displaystyle Q_{\text{rel}}}$${\displaystyle \langle 1,m_{1},\dots ,m_{n}\rangle }$$${\displaystyle Q_{\text{rel}}^{\mathcal {M}}(N,R_{1},\dots ,R_{n}):=Q^{\mathcal {M}}(R_{1}\upharpoonright N,\dots ,R_{n}\upharpoonright N)}$$${\displaystyle Q,Q'}$${\displaystyle Q\cdot Q'}$${\displaystyle \forall ,\exists }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \forall x\exists y,R(x,y)}$${\displaystyle (\forall \cdot \exists )xy,R(x,y)}$${\displaystyle \forall \cdot \exists }$${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$

แบบจำลองจะจำลองก็ต่อเมื่อโดยที่คือความสัมพันธ์แบบ 1-ary บน ที่ได้จาก การ แทนค่า ลงในช่องแรกของความสัมพันธ์แบบ 2-ary บน${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \forall x\exists y,R(x,y)}$${\displaystyle \forall ^{\mathcal {M}}(\{a\in M:\exists ^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})}$${\displaystyle R^{\mathcal {M}}(a,\cdot )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณสองตัวที่มีประเภท ⟨1⟩, ⟨1⟩ พวกมันจะวนซ้ำไปยังตัวบ่งปริมาณประเภท ⟨2⟩: เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณที่มีประเภทพวกมันจะวนซ้ำไปยัง ซึ่งเป็นตัวบ่งปริมาณ ${\displaystyle Q,Q'}$$${\displaystyle (Q\cdot Q')^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}):=Q^{\mathcal {M}}(\{a\in M:Q'^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})}$$${\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{n}}$${\displaystyle \langle m_{1}\rangle ,\dots ,\langle m_{n}\rangle }$${\displaystyle Q_{1}\cdot \dots \cdot Q_{n}}$${\displaystyle \langle m_{1}+\dots +m_{n}\rangle }$

การสรุปใหม่ : เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณประเภทมันสามารถสรุปใหม่เป็นตัวบ่งปริมาณประเภท ได้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าความสัมพันธ์k -ary บนเซตนั้นเหมือนกับความสัมพันธ์ 1-ary บน: โปรดสังเกตว่าถึงแม้ในทางรูปแบบจะเหมือนกัน แต่ประเภทของมันแตกต่างกัน อย่างหนึ่งคือ เพื่อดูสิ่งนี้ ลองพิจารณาการสรุปใหม่ของสูตรคือสูตรที่ถูกตีความบนแบบจำลองที่ "แรก" และ "ที่สอง" ถูกกำหนดไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งแบบจำลองที่มีเอกภพอยู่ในรูปแบบในขณะที่คือสูตรที่ถูกตีความบนแบบจำลองธรรมดา ${\displaystyle Q}$${\displaystyle \langle 1,\dots ,1\rangle }$${\displaystyle \operatorname {Res} _{k}(Q)}$${\displaystyle \langle k,\dots ,k\rangle }$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{k}}$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{k}(Q)^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})\iff Q^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})}$$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \exists x,{\text{first}}(x)={\text{second}}(x)}$${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{2}(\exists )x_{1}x_{2},x_{1}=x_{2}}$

ทฤษฎีประเภท (Type Theory ) มักถูกนำมาใช้เพื่อทำให้ความหมายของนิพจน์ประเภทต่างๆ ชัดเจนยิ่งขึ้น โครงสร้างมาตรฐานกำหนดเซตของประเภทแบบเวียนซ้ำดังนี้:

1. eและtเป็นประเภทข้อมูล
2. ถ้าaและbเป็นประเภทเดียวกัน ดังนั้น a ก็เป็นประเภทเดียวกันด้วย${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. ไม่มีสิ่งใดเป็นประเภท เว้นแต่สิ่งที่สามารถสร้างขึ้นได้จากบรรทัดที่ 1 และ 2 ข้างต้น

จากนิยามนี้ เรามีชนิดข้อมูลพื้นฐานคือeและtแต่ยังมี ชนิดข้อมูลที่ซับซ้อนอีก นับไม่ถ้วน ซึ่งบางส่วนได้แก่: $${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$$

• สำนวนประเภทeแสดงถึงองค์ประกอบของจักรวาลแห่งการสนทนา ซึ่ง ก็คือเซตของเอนทิตีที่การสนทนากล่าวถึง โดยปกติเซตนี้จะเขียนเป็นตัวอย่างของสำนวน ประเภท e ได้แก่ Johnและhe${\displaystyle D_{e}}$
• นิพจน์ประเภทtแสดงถึงค่าความจริงซึ่งมักแสดงเป็นเซตโดยที่ 0 หมายถึง "เท็จ" และ 1 หมายถึง "จริง" ตัวอย่างของนิพจน์ที่บางครั้งเรียกว่าเป็นประเภทtได้แก่ประโยคหรือประพจน์${\displaystyle \{0,1\}}$
• นิพจน์ประเภทนี้แสดงถึงฟังก์ชันจากเซตของเอนทิตีไปยังเซตของค่าความจริง เซตของฟังก์ชันนี้แสดงเป็นฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตโดยจะแมปแต่ละบุคคลที่เป็นสมาชิกของเซตไปยัง "จริง" และสิ่งอื่น ๆ ไปยัง "เท็จ" โดยทั่วไปมักกล่าวว่านิพจน์เหล่านี้แสดงถึงเซตมากกว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ แม้ว่าในทางเทคนิคแล้วคำหลังจะแม่นยำกว่า ตัวอย่างของนิพจน์ประเภทนี้ได้แก่เพรดิ เค ตคำนาม และ คำคุณศัพท์บางประเภท${\displaystyle \langle e,t\rangle }$${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• โดยทั่วไป นิพจน์ของประเภทเชิงซ้อนจะหมายถึงฟังก์ชันจากเซตของเอนทิตีประเภทหนึ่งไปยังเซตของเอนทิตีอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นโครงสร้างที่เราสามารถเขียนได้ดังนี้:${\displaystyle \langle a,b\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

ตอนนี้เราสามารถกำหนดประเภทให้กับคำในประโยคข้างต้นของเรา (Every boy sleeps) ได้ดังนี้

• ประเภท (เด็กผู้ชาย) =${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• ประเภท (จำนวนครั้งที่นอนหลับ) =${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• ประเภท (ทุกๆ) =${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$
• ประเภท (เด็กผู้ชายทุกคน) =${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

ดังนั้นเราจึงเห็นได้ว่าตัวบ่งปริมาณทั่วไปในตัวอย่างของเรามีประเภทเป็น${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

ดังนั้น คำว่า "every" หมายถึงฟังก์ชันจากเซต หนึ่ง ไปยังอีกเซตหนึ่ง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หมายถึงฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังเซตของเซตต่างๆ มันคือฟังก์ชันที่สำหรับเซตA และ B ใด ๆ ก็ตาม ทุก ( A ) ( B ) = 1 ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle A\subseteq B}$

วิธีที่มีประโยชน์ในการเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือแคลคูลัสแลมบ์ดาตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียนความหมายของการนอนหลับได้ในรูปนิพจน์แลมบ์ดาต่อไปนี้ ซึ่งเป็นฟังก์ชันจากตัวแปรxไปยังประโยคที่ว่าx นอนหลับ พจน์แลมบ์ดาเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสิ่งที่อยู่ก่อนคาบ และมีเรนจ์เป็นประเภทของสิ่งที่อยู่หลังคาบ ถ้าxเป็นตัวแปรที่มีเรนจ์ครอบคลุมองค์ประกอบของแล้วพจน์แลมบ์ดาต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันเอกลักษณ์บนตัวแปรแต่ละตัว: $${\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}$$${\displaystyle D_{e}}$$${\displaystyle \lambda x.x}$$

ตอนนี้เราสามารถเขียนความหมายของ"ทุกๆ"ด้วยเทอมแลมบ์ดาต่อไปนี้ โดยที่X และ Yเป็นตัวแปรประเภท: ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}$$

ถ้าเราย่อความหมายของคำว่า"เด็กผู้ชาย " และ " นอนหลับ " เป็น " B " และ " S " ตามลำดับ เราจะได้ว่าประโยคที่ว่า " เด็กผู้ชายทุกคนนอนหลับในตอนนี้" หมายความว่าดังต่อไปนี้: โดยการลดรูป βและ $${\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)}$$$${\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)}$$$${\displaystyle B\subseteq S}$$

คำว่า"every"เป็นคำกำหนด (determiner ) เมื่อใช้ร่วมกับคำนามจะได้เป็นคำบ่งปริมาณทั่วไป (generalized quantifier ) ​​ประเภทหนึ่ง${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

กล่าวได้ว่าตัวบ่งปริมาณทั่วไป GQ เป็นแบบเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง (หรือเรียกว่าบ่งชี้ขึ้นด้านบน ) ถ้าสำหรับทุกคู่ของเซตXและYข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้าเช่นนั้น GQ( X ) จะนำไปสู่ ​​GQ( Y )${\displaystyle X\subseteq Y}$

GQ สำหรับเด็กผู้ชายทุกคนนั้นมีความสม่ำเสมอและเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ตัวอย่างเช่น เซตของสิ่งต่างๆ ที่วิ่งเร็วเป็นเซตย่อยของเซตของสิ่งต่างๆ ที่วิ่งดังนั้น ประโยคแรกด้านล่างจึงบ่งชี้ถึงประโยคที่สอง:

1. เด็กผู้ชายทุกคนวิ่งเร็ว
2. เด็กผู้ชายทุกคนวิ่ง

กล่าวได้ว่า GQ เป็นแบบลดลงอย่างต่อเนื่อง (หรือเรียกว่าบ่งชี้ลงด้านล่าง ) ถ้าสำหรับทุกคู่ของเซตXและYข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้าเช่นนั้น GQ( Y ) จะนำไปสู่ ​​GQ( X )${\displaystyle X\subseteq Y}$

ตัวอย่างของค่า GQ ที่ลดลงแบบโมโนโทนคือ"ไม่มีเด็กผู้ชาย " สำหรับค่า GQ นี้ เราจะได้ว่าประโยคแรกด้านล่างบ่งชี้ถึงประโยคที่สอง

1. ไม่มีเด็กผู้ชายคนไหนวิ่ง
2. ไม่มีเด็กผู้ชายคนไหนวิ่งเร็วได้หรอก

เทอมแลมบ์ดาสำหรับคำกำหนด"ไม่ " คือดังต่อไปนี้ หมายความว่าเซตทั้งสองมีส่วนร่วม ที่ว่าง เปล่า GQ ที่ลดลงแบบโมโนโทนเป็นหนึ่งในนิพจน์ที่สามารถอนุญาตให้มีรายการที่มีขั้วลบได้เช่น " ใดๆ" GQ ที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนไม่อนุญาตให้มีรายการที่มีขั้วลบ $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset }$$

1. ดี: ไม่มีเด็กผู้ชายคนไหน มี เงิน เลย
2. แย่: *เด็กผู้ชายทุกคนมีเงินหมด *

กล่าวได้ว่า GQ ไม่เป็นไปในทิศทางเดียวหากไม่ใช่ทั้งแบบเพิ่มขึ้นทีละน้อยหรือลดลงทีละน้อย ตัวอย่างของ GQ ดังกล่าวคือ " เด็กผู้ชายสามคนพอดี"ประโยคต่อไปนี้ไม่มีประโยคใดบ่งชี้ถึงอีกประโยคหนึ่ง

1. มีนักเรียนวิ่งทั้งหมดสามคนพอดี
2. นักเรียนสามคนวิ่งเร็วพอดี

ประโยคแรกไม่ได้หมายความว่าประโยคที่สองจะเป็นเช่นนั้นเสมอไป ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนนักเรียนที่วิ่งมีสามคนพอดี ไม่ได้หมายความว่านักเรียนแต่ละคนวิ่งเร็วดังนั้นจำนวนนักเรียนที่ทำเช่นนั้นอาจน้อยกว่า 3 ก็ได้ ในทางกลับกัน ประโยคที่สองก็ไม่ได้หมายความว่าประโยคแรกจะเป็นเช่นนั้นเสมอไป ประโยคที่ว่า นักเรียนสามคนวิ่งเร็วอาจเป็นจริงได้ แม้ว่าจำนวนนักเรียนที่วิ่งเฉยๆ (เช่น วิ่งไม่เร็ว) จะมากกว่า 3 ก็ตาม

เทอมแลมบ์ดาสำหรับตัวกำหนด (เชิงซ้อน) ที่ว่า "แน่นอนสาม"คือดังต่อไปนี้ มันบอกว่าจำนวนสมาชิกของส่วนที่ตัดกันระหว่างสองเซตเท่ากับ 3 $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$$

กล่าวได้ว่าคำนำหน้า D เป็นคำนำหน้าแบบอนุรักษ์นิยมหากความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ตัวอย่างเช่น ประโยคสองประโยคต่อไปนี้มีความเท่าเทียมกัน $${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$

1. เด็กผู้ชายทุกคนนอนหลับ
2. เด็กผู้ชายทุกคนก็คือเด็กผู้ชายที่นอนหลับ

มีการเสนอว่า คำกำหนด ทั้งหมด —ในทุกภาษาธรรมชาติ—เป็นแบบอนุรักษ์^{[ 2 ]} การแสดงออกonlyไม่ใช่แบบอนุรักษ์ ประโยคสองประโยคต่อไปนี้ไม่เท่ากัน แต่ในความเป็นจริง การวิเคราะห์onlyในฐานะคำกำหนด นั้นไม่เป็นที่นิยม แต่โดยทั่วไปแล้วมักจะถือว่าเป็นคำวิเศษณ์ที่ไวต่อจุด โฟกัส

1. มีแต่เด็กผู้ชายเท่านั้นที่นอนหลับ
2. มีแต่เด็กผู้ชายเท่านั้นแหละที่นอนหลับ

• ขอบเขต (ความหมายเชิงรูปธรรม)
• ตัวบ่งปริมาณของลินด์สตรอม
• ตัวบ่งปริมาณแบบแตกแขนง

• Stanley Peters ; Dag Westerståhl (2006). ตัวบ่งปริมาณในภาษาและตรรกศาสตร์ . สำนักพิมพ์ Clarendon. ISBN 978-0-19-929125-0.
• อันโตนิโอ บาเดีย (2009). ตัวบ่งปริมาณในการปฏิบัติ: การกำหนดปริมาณแบบทั่วไปในภาษาคำถาม ภาษาตรรกะ และภาษาธรรมชาติสปริงเกอร์ISBN 978-0-387-09563-9.
• Wągiel M (2021). การหาปริมาณอนุภาคย่อยอะตอม (pdf) . เบอร์ลิน: สำนักพิมพ์ Language Science Press. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.

• Dag Westerståhl, 2011. ' ตัวบ่งปริมาณทั่วไป '. สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด .