ในตรรกศาสตร์ตัวบ่งปริมาณแบบแตกแขนง [ ^{1 ]}หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวบ่งปริมาณเฮนกินตัวบ่งปริมาณแบบเรียงลำดับบางส่วนแบบจำกัดหรือแม้แต่ ตัว ^บ่งปริมาณแบบไม่เชิงเส้นคือการเรียงลำดับบางส่วน^{[ 2 ]}

${\displaystyle \langle Qx_{1}\dots Qx_{n}\rangle }$

ของตัวบ่งปริมาณสำหรับQ  ∈ {∀,∃} เป็นกรณีพิเศษของตัวบ่งปริมาณทั่วไปใน ตรรกศาสตร์คลาสสิก คำนำหน้าตัวบ่งปริมาณจะเรียงลำดับเชิงเส้น โดยที่ค่าของตัวแปรy _mที่ถูกผูกไว้ด้วยตัวบ่งปริมาณQ _mจะขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร

y ₁ , ..., y _{m −1}

ถูกจำกัดด้วยตัวบ่งปริมาณ

Qy ₁ , ..., Qy _{m −1}

ก่อนหน้าQ _mในตรรกะที่มีการกำหนดปริมาณแบบเรียงลำดับบางส่วน (จำกัด) โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้น

การกำหนดปริมาณแบบแตกแขนงปรากฏครั้งแรกในเอกสารการประชุมของLeon Henkinใน ปี พ.ศ. 2492 ^{[ 3 ]}ระบบการกำหนดปริมาณแบบเรียงลำดับบางส่วนมีความแข็งแกร่งระดับกลางระหว่างตรรกะลำดับที่หนึ่งและตรรกะลำดับที่สองพวกมันถูกใช้เป็นพื้นฐานสำหรับตรรกะที่เป็นมิตรต่อความเป็นอิสระของ Hintikkaและ Gabriel Sandu

ตัวบ่งปริมาณเฮนกินที่ง่ายที่สุดคือ ${\displaystyle Q_{H}}$

${\displaystyle (Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\equiv {\begin{pmatrix}\forall x_{1}\,\exists y_{1}\\\forall x_{2}\,\exists y_{2}\end{pmatrix}}\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}).}$

สูตรนี้ (อันที่จริงทุกสูตรที่มีคำนำหน้า Henkin ไม่ใช่แค่สูตรที่ง่ายที่สุด) เทียบเท่ากับ การแปลงเป็น Skolemอันดับสองกล่าวคือ

${\displaystyle \exists f\,\exists g\,\forall x_{1}\forall x_{2}\,\varphi (x_{1},x_{2},f(x_{1}),g(x_{2})).}$

นอกจากนี้ ยังทรงพลังมากพอที่จะกำหนดตัวบ่งปริมาณ(เช่น "มีจำนวนอนันต์") ได้ดังนี้ ${\displaystyle Q_{\geq \mathbb {N} }}$

${\displaystyle (Q_{\geq \mathbb {N} }x)\varphi (x)\equiv (\exists a)(Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})[\varphi (a)\land (x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\land (\varphi (x_{1})\rightarrow (\varphi (y_{1})\land y_{1}\neq a))].}$

มีหลายสิ่งที่เป็นผลสืบเนื่องมาจากสิ่งนี้ รวมถึงการไม่สามารถกำหนดสัจพจน์ของตรรกะลำดับที่หนึ่งได้(สังเกตครั้งแรกโดยEhrenfeucht ) และความเท่าเทียมกันกับเศษส่วนของตรรกะลำดับที่สอง ( ตรรกะลำดับที่สองเชิงมีอยู่ ) ซึ่งผลลัพธ์หลังนี้ได้รับการตีพิมพ์อย่างอิสระในปี 1970 โดยHerbert Enderton ^{[ 4 ]}และ W. Walkoe ^{[ 5 ]}${\displaystyle Q_{H}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$

ตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้สามารถกำหนดได้ด้วย. ^{[ 2 ]}${\displaystyle Q_{H}}$

• เรสเชอร์: "จำนวนของφมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนของψ "

${\displaystyle (Q_{L}x)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname {Card} (\{x\colon \varphi x\})\leq \operatorname {Card} (\{x\colon \psi x\})\equiv (Q_{H}x_{1}x_{2}y_{1}y_{2})[(x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\land (\varphi x_{1}\rightarrow \psi y_{1})]}$

• Härtig: " จำนวน φเท่ากับจำนวนψ "

${\displaystyle (Q_{I}x)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_{L}x)(\varphi x,\psi x)\land (Q_{L}x)(\psi x,\varphi x)}$

• ชาง: "จำนวนของφมีจำนวนเท่ากับขอบเขตของแบบจำลอง"

${\displaystyle (Q_{C}x)(\varphi x)\equiv (Q_{L}x)(x=x,\varphi x)}$

ตัวบ่งปริมาณของเฮนกินสามารถแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณลินด์สตรอมประเภท (4 ) ได้^{[ 2 ]}${\displaystyle Q_{H}}$

Hintikka ในบทความปี 1973 ^{[ 6 ]}ได้เสนอสมมติฐานว่าประโยคบางประโยคในภาษาธรรมชาติจะเข้าใจได้ดีที่สุดในแง่ของตัวบ่งปริมาณแบบแตกแขนง ตัวอย่างเช่น "ญาติบางคนของชาวบ้านแต่ละคนและญาติบางคนของชาวเมืองแต่ละคนเกลียดชังกัน" ควรจะตีความตามที่ Hintikka กล่าวไว้ว่า: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\forall x_{1}\,\exists y_{1}\\\forall x_{2}\,\exists y_{2}\end{pmatrix}}[(V(x_{1})\wedge T(x_{2}))\rightarrow (R(x_{1},y_{1})\wedge R(x_{2},y_{2})\wedge H(y_{1},y_{2})\wedge H(y_{2},y_{1}))].}$

ซึ่งทราบกันว่าไม่มีตรรกะลำดับแรกเทียบเท่า^{[ 7 ]}

แนวคิดของการแตกแขนงไม่จำเป็นต้องจำกัดอยู่แค่การใช้ตัวบ่งปริมาณแบบคลาสสิกเป็นใบ ในบทความปี 1979 ^{[ 9 ]} Jon Barwiseได้เสนอรูปแบบต่างๆ ของประโยค Hintikka (ดังที่บางครั้งเรียกข้างต้น) ซึ่งตัวบ่งปริมาณภายในเองก็เป็นตัวบ่งปริมาณทั่วไปตัวอย่างเช่น: "ชาวบ้านส่วนใหญ่และชาวเมืองส่วนใหญ่เกลียดชังกัน" ^{[ 7 ]}เมื่อสังเกตว่าไม่ปิดภายใต้การปฏิเสธ Barwise ยังเสนอการทดสอบเชิงปฏิบัติเพื่อตรวจสอบว่าประโยคภาษาธรรมชาติเกี่ยวข้องกับตัวบ่งปริมาณแบบแตกแขนงจริงหรือไม่ กล่าวคือ เพื่อทดสอบว่าการปฏิเสธในภาษาธรรมชาติเกี่ยวข้องกับการบ่งปริมาณสากลเหนือตัวแปรเซต ( ประโยค) หรือไม่^{[ 10 ]}${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$

ข้อเสนอของฮินติกก้าได้รับการตอบรับด้วยความสงสัยจากนักตรรกศาสตร์หลายคน เนื่องจากประโยคลำดับที่หนึ่งบางประโยค เช่นประโยคด้านล่าง ดูเหมือนจะสามารถอธิบายประโยคภาษาธรรมชาติของฮินติกก้าได้ดีพอสมควร

${\displaystyle [\forall x_{1}\,\exists y_{1}\,\forall x_{2}\,\exists y_{2}\,\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})]\wedge [\forall x_{2}\,\exists y_{2}\,\forall x_{1}\,\exists y_{1}\,\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})]}$

ที่ไหน

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})}$

หมายถึง

${\displaystyle (V(x_{1})\wedge T(x_{2}))\rightarrow (R(x_{1},y_{1})\wedge R(x_{2},y_{2})\wedge H(y_{1},y_{2})\wedge H(y_{2},y_{1}))}$

แม้ว่าจะมีการถกเถียงเชิงทฤษฎีมากมายตามมา แต่จนกระทั่งปี 2009 จึงมีการทดสอบเชิงประจักษ์กับนักเรียนที่ได้รับการฝึกฝนด้านตรรกศาสตร์และพบว่าพวกเขามีแนวโน้มที่จะกำหนดแบบจำลองที่ตรงกับประโยคลำดับที่หนึ่งแบบ "สองทิศทาง" มากกว่าประโยคที่มีตัวบ่ากบอกปริมาณให้กับโครงสร้างภาษาธรรมชาติหลายอย่างที่ได้มาจากประโยค Hintikka ตัวอย่างเช่น นักเรียนจะได้รับกราฟสองส่วนแบบ ไม่มี ทิศทาง —โดยมีสี่เหลี่ยมและวงกลมเป็นจุดยอด—และถูกถามว่าประโยคเช่น "วงกลมมากกว่า 3 วงและสี่เหลี่ยมมากกว่า 3 วงเชื่อมต่อกันด้วยเส้น" อธิบายแผนภาพได้อย่างถูกต้องหรือไม่^{[ 7 ]}

• ความหมายของเกม
• ตรรกะการพึ่งพา
• ตรรกะที่เป็นมิตรต่อความเป็นอิสระ (ตรรกะ IF)
• ตัวบ่งปริมาณของโมสโตว์สกี
• ตัวบ่งปริมาณของลินด์สตรอม
• ความไม่สามารถเรียงลำดับอันดับแรกไม่ได้

• นักวิเคราะห์เชิงปริมาณตามทฤษฎีเกมที่ PlanetMath