สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้หรือสัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ (เขียนแทนด้วยACω ₎เป็นสัจพจน์ในทฤษฎีเซตที่ระบุว่า เซตที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตที่สามารถนับได้จะต้องมีฟังก์ชันการเลือกกล่าวคือ กำหนดฟังก์ชันที่มีโดเมน (โดยที่แทนเซตของจำนวนธรรมชาติ ) ซึ่งเป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่าสำหรับทุกจะมีฟังก์ชันที่มีโดเมนซึ่งสำหรับทุก ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle A(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle f(n)\in A(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

AC _ωมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งผลลัพธ์หลายอย่างขึ้นอยู่กับการมีฟังก์ชันการเลือกสำหรับเซตของจำนวนจริง ที่นับได้ ตัวอย่างเช่น เพื่อพิสูจน์ว่าจุดสะสม ทุกจุด ของเซตเป็นลิมิตของลำดับของสมาชิกบางลำดับของเซตนั้น จำเป็นต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ (ในรูปแบบอ่อน) เมื่อ กำหนด สูตรสำหรับจุดสะสมของปริภูมิเมตริก ใดๆ ข้อความดังกล่าวจะเทียบเท่ากับ AC _ω${\displaystyle x}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$

ความสามารถในการวิเคราะห์โดยใช้ตัวเลือกที่นับได้นำไปสู่การรวม AC _ωเป็นสัจพจน์ในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ บางรูปแบบ แม้ว่าจะมีการยืนยันว่าฟังก์ชันตัวเลือกมีอยู่จริงโดยไม่ต้องสร้างมันขึ้นมาก็ตาม^{[ 1 ]}

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ AC _ωต่อไปนี้คือหลักฐาน (จากZF  + AC _ω ) ที่แสดงว่าทุกเซตอนันต์เป็นอนันต์เดเดคินด์ : ^{[ 2 ]}

ให้เป็นอนันต์ สำหรับแต่ละจำนวนธรรมชาติให้เป็นเซตของ-tuple ทั้งหมดที่ประกอบด้วยสมาชิกที่แตกต่างกันของเนื่องจากเป็นอนันต์ ดังนั้น แต่ละ จึงไม่ว่างเปล่า การใช้ AC _ωจะได้ลำดับที่แต่ละเป็น-tuple จากนั้นเราสามารถนำ tuple เหล่านี้มาต่อกันเป็นลำดับเดียวของสมาชิกใน ซึ่งอาจมีสมาชิกซ้ำกัน การตัดสมาชิกที่ซ้ำกันออกจะทำให้ได้ลำดับของสมาชิกที่แตกต่างกัน โดยที่ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$, กับ.${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$

สิ่งนี้มีอยู่เพราะเมื่อเลือกแล้วเป็นไปไม่ได้ที่องค์ประกอบทั้งหมดของจะอยู่ในกลุ่มองค์ประกอบที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้ ดังนั้นจึงมีเซตที่นับได้ ฟังก์ชันที่แมปแต่ละไปยัง(และคงองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดของไว้) เป็นแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากไปยังซึ่งไม่ใช่แบบทั่วถึง พิสูจน์ได้ว่าเป็นอนันต์เดเดคินด์^{[ 2 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle B_{n+1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{n+1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ (AC _ω ) นั้นอ่อนกว่าสัจพจน์ของการเลือกแบบขึ้นอยู่ (DC) อย่างเคร่งครัด ^{[ 3 ]}ซึ่งในทางกลับกันก็อ่อนกว่าสัจพจน์ของการเลือก (AC) DC และด้วยเหตุนี้ AC _ωจึงใช้ได้ในแบบจำลอง Solovayซึ่งสร้างขึ้นในปี 1970 โดยRobert M. Solovayเป็นแบบจำลองของทฤษฎีเซตที่ไม่มีสัจพจน์ของการเลือกอย่างสมบูรณ์ ซึ่งเซตทั้งหมดของจำนวนจริงสามารถวัดได้^{[ 4 ]}

บทตั้งของ Urysohn (UL) และทฤษฎีบทส่วนขยาย Tietze (TET) เป็นอิสระจาก ZF+AC _ω : มีแบบจำลองของ ZF+AC _ωที่ UL และ TET เป็นจริง และแบบจำลองที่พวกมันเป็นเท็จ ทั้ง UL และ TET ได้รับการอนุมานโดย DC ^{[ 5 ]}

Paul Cohenแสดงให้เห็นว่า AC _ωไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel (ZF) หากไม่มีสัจพจน์ของการเลือก^{[ 6 ]} อย่างไรก็ตาม เซตอนันต์ที่นับได้บางเซตของเซตที่ไม่ว่างเปล่าสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีฟังก์ชันการเลือกใน ZF โดยไม่ต้องใช้ สัจพจน์ของการเลือกในรูปแบบ ใดๆตัวอย่างเช่นมีฟังก์ชันการเลือก โดยที่ คือเซตของเซตจำกัดแบบสืบทอด กล่าวคือ เซตแรกที่มีอันดับไม่จำกัดในเอกภพ Von Neumannฟังก์ชันการเลือกคือ: { ⟨ W _n , W _k ⟩ : k < n < ω ∧ W _k ∈ W _n ∧ ∀ j < k ( W _j ∉ W _n ) } โดยที่W _n = { W _k  : k < n ∧ ( n mod 2 ^{k +1} ) ≥ 2 ^k } สำหรับn <ω Wแสดงรายการเซตจำกัดทางพันธุกรรมทุกเซตเพียงครั้งเดียว และอิงตามเลขฐานสองสำหรับnซึ่งมีเลข 1 ในแต่ละตำแหน่งที่สอดคล้องกับkโดยที่W _k ∈ W _nอีกตัวอย่างหนึ่งคือเซตของช่วงเปิด ที่เหมาะสมและมีขอบเขต ของจำนวนจริงที่มีจุดปลายจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$${\displaystyle V_{\omega }}$

ZF+AC _ωเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าการรวมกันของเซตที่นับได้จำนวนมากสามารถนับได้ ข้อความเหล่านี้ไม่เทียบเท่ากัน: แบบจำลองแรกของCohenให้ตัวอย่างที่การรวมกันของเซตที่นับได้สามารถนับได้ แต่ AC _ωไม่เป็นจริง^{[ 7 ]}

มีรูปแบบที่เทียบเท่ากับสัจพจน์ของการเลือกที่นับได้หลายรูปแบบ ในแง่ที่ว่าสามารถพิสูจน์รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งใน ZF ได้โดยสมมติว่ารูปแบบอื่น ๆ ก็ได้ ซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• เซตที่ไม่ว่างเปล่าทุกชุดที่นับได้จะมีฟังก์ชันการเลือก^{[ 8 ]}
• เซตที่ไม่ว่างเปล่าทุกชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะมีชุดย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมฟังก์ชันการเลือก^{[ 8 ]}
• ปริภูมิ σ-compactทุก ปริภูมิ (การรวมกันของ ปริภูมิ compactจำนวนนับได้) เป็นปริภูมิ Lindelöf (การคลุมแบบเปิดทุกอันมีการคลุมย่อยจำนวนนับได้) ^{[ 8 ]}ปริภูมิเมตริกเป็นσ-compact ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิ Lindelöf ^{[ 9 ]}
• ปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สองทุก ปริภูมิ (มีฐานที่นับได้ของเซตเปิด) เป็นปริภูมิที่แยกได้ (มีเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้) ^{[ 8 ]}ปริภูมิเมตริกจะแยกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิ σ-คอมแพ็กต์^{[ 9 ]}
• ฟังก์ชันค่าจริง ต่อเนื่องตามลำดับทุกฟังก์ชันในปริภูมิเมตริกเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง^{[ 8 ]}
• จุดสะสมทุก จุด ของเซตย่อยของปริภูมิเมตริกเป็นลิมิตของลำดับจุดจากเซตย่อย^{[ 9 ]}
• บทพิสูจน์ ของRasiowa–Sikorski MA ซึ่งเป็นรูปแบบที่นับได้ของสัจพจน์ของ Martin : ในลำดับก่อนหน้าที่มีเงื่อนไขลูกโซ่ที่นับได้ทุกตระกูลที่นับได้ของเซตย่อยหนาแน่นจะมีตัวกรองที่ตัดกับเซตย่อยทั้งหมด (ในบริบทนี้ เซตจะเรียกว่าหนาแน่นหากองค์ประกอบทุกตัวของลำดับก่อนหน้ามีขอบล่างในเซต) ^{[ 8 ]}${\displaystyle (\aleph _{0})}$