ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเคอร์เนลของชวาร์ตซ์เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไปซึ่งตีพิมพ์โดยลอเรนต์ ชวาร์ตซ์ในปี 1952 โดยกล่าวอย่างกว้างๆ ว่าฟังก์ชันทั่วไปที่ชวาร์ตซ์นำเสนอ ( การแจกแจงของชวาร์ตซ์ ) มีทฤษฎีสองตัวแปรที่รวมรูปแบบทวิเชิงเส้น ที่สมเหตุสมผลทั้งหมด บนปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบปริภูมินั้นประกอบด้วยฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขตจำกัด${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ให้และเป็นเซตเปิดในการแจกแจงทุกแบบกำหนด แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องเช่นนั้น ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)}$

${\displaystyle \left\langle k,u\otimes v\right\rangle =\left\langle Kv,u\right\rangle }$

1

สำหรับทุกๆ. ในทางกลับกัน สำหรับแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องดังกล่าวทุกอันจะมีการกระจายเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้ ( 1 ) เป็นจริง การกระจายนี้เรียกว่าเคอร์เนลของแผนที่โดยอ้างอิงถึงเคอร์เนลของการแปลงอินทิกรัลตามนี้ บางครั้งเราเขียนแผนที่เชิงเส้นอย่างไม่เป็นทางการว่า ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy}$

ดังนั้น

${\displaystyle \langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx}$.

เนื่องจาก ฟังก์ชันเคอร์เนล แบบดั้งเดิมของตัวแปรสองตัวในทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ได้รับการขยายขอบเขตให้รวมถึงอนาล็อกฟังก์ชันทั่วไป ซึ่งอนุญาตให้มีความเอกฐานมากขึ้นได้อย่างจริงจัง จึงสามารถสร้างตัวดำเนินการกลุ่มใหญ่จากปริภูมิคู่ของฟังก์ชันกระจายได้ จุดประสงค์ของทฤษฎีบทนี้คือการยืนยันว่ากลุ่มตัวดำเนินการที่ขยายออกไปนั้นสามารถกำหนดลักษณะได้ในเชิงนามธรรม โดยประกอบด้วยตัวดำเนินการทั้งหมดที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขความต่อเนื่องขั้นต่ำ รูปแบบทวิเชิงเส้นบนเกิดขึ้นจากการจับคู่ฟังก์ชันกระจายภาพกับฟังก์ชันทดสอบ ${\displaystyle K(x,y)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ตัวอย่างง่ายๆ คือ การฝังตัวตามธรรมชาติของปริภูมิฟังก์ชันทดสอบลงใน– โดยการส่งฟังก์ชันทดสอบแต่ละฟังก์ชันไปยังการแจกแจงที่สอดคล้องกัน – จะสอดคล้องกับการแจกแจงเดลต้า ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [f]}$

${\displaystyle \delta (x-y)}$

โดยจะเน้นที่แนวทแยงของปริภูมิยูคลิดที่ขีดเส้นใต้ ในแง่ของฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก แม้ว่านี่จะเป็นเพียงข้อสังเกต แต่ก็แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีการกระจายช่วยเพิ่มขอบเขตได้อย่างไร ตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ไม่ได้ "เอกฐาน" ขนาดนั้น อีกวิธีหนึ่งที่จะอธิบายก็คือ สำหรับเคอร์เนลแบบต่อเนื่อง จะมีการสร้างตัว ดำเนินการแบบกระชับบนปริภูมิ เช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องบนตัวดำเนินการนั้นห่างไกลจากความกระชับ และเคอร์เนลของมันถูกประมาณโดยสัญชาตญาณด้วยฟังก์ชันบน ที่มีจุดสูงสุดตามแนวทแยงและหายไปที่อื่น ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle x=y}$

ผลลัพธ์นี้บ่งชี้ว่าการก่อตัวของการแจกแจงมีคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งคือ 'การปิด' ภายในขอบเขตดั้งเดิมของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมีการตีความ (ความเห็นของJean Dieudonné ) ว่าเป็นการตรวจสอบที่แข็งแกร่งถึงความเหมาะสมของทฤษฎีการแจกแจงของ Schwartz สำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในวงกว้าง ในหนังสือÉléments d'analyseเล่ม 7 หน้า 3 เขาตั้งข้อสังเกตว่าทฤษฎีบทนี้รวมถึงตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในระดับเดียวกับตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ และสรุปว่านี่อาจเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดในยุคปัจจุบันของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน เขากล่าวต่อไปทันทีว่าขอบเขตนั้น 'กว้างเกินไป' สำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากคุณสมบัติของความเป็นเอกภาคเมื่อเทียบกับส่วนรองรับของฟังก์ชันซึ่งเห็นได้ชัดสำหรับการหาอนุพันธ์ แม้แต่ความเป็นเอกภาคเมื่อเทียบกับส่วนรองรับเอกฐานก็ไม่ใช่ลักษณะเฉพาะของกรณีทั่วไป การพิจารณาเรื่องนี้จะนำไปสู่ทฤษฎีร่วมสมัยของ ตัวดำเนินการ เชิง อนุพันธ์เทียม

Dieudonnéพิสูจน์ผลลัพธ์ของ Schwartz เวอร์ชันที่ใช้ได้กับแมนิโฟลด์เรียบและผลลัพธ์สนับสนุนเพิ่มเติม ในส่วนที่ 23.9 ถึง 23.12 ของหนังสือเล่มนั้น

ทฤษฎีส่วนใหญ่ของปริภูมิเชิงนิวเคลียร์ได้รับการพัฒนาโดยAlexander Grothendieckในขณะที่เขากำลังศึกษาทฤษฎีเคอร์เนลของ Schwartz และตีพิมพ์ในGrothendieck 1955เรามีการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทนี้ดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบทเคอร์เนลของ Schwartz : ^{[ 1 ]}สมมติว่าXเป็นนิวเคลียร์Yเป็นโลคัลนูน และvเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นต่อเนื่องบนแล้วvมาจากปริภูมิในรูปแบบโดยที่และเป็นเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันที่เหมาะสมของและหรือเทียบเท่าvอยู่ในรูปแบบ ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle Y^{\prime }}$

${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle }$สำหรับทุกคน${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

โดยที่และ แต่ละลำดับของและล้วนมีความต่อเนื่องเท่ากัน นอกจากนี้ ลำดับเหล่านี้ยังสามารถถือได้ว่าเป็นลำดับศูนย์ (กล่าวคือลู่เข้าสู่ 0) ในและตามลำดับ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}}$${\displaystyle \{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}}$${\displaystyle \{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}}$${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$

• เคอร์เนลเฟรดโฮล์ม
• ผลคูณเทนเซอร์แบบฉีด
• ตัวดำเนินการนิวเคลียร์  – ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี
• ปริภูมิเชิงนิวเคลียร์  – การขยายความของปริภูมิยุคลิดมิติจำกัดที่แตกต่างจากปริภูมิฮิลเบิร์ต
• ผลคูณเทนเซอร์เชิงโปรเจคทีฟ
• พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง  – โครงสร้างสำหรับเพิ่มวัตถุลงในพื้นที่ฮิลเบิร์ต
• คลาสเทรซ  – ตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดที่สามารถกำหนดเทรซแบบจำกัดได้

• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [ผลคูณเท นเซอร์เชิงทอพอโลยีและปริภูมิเชิงนิวเคลียร์]. ชุดบันทึกความทรงจำของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (ภาษาฝรั่งเศส). 16.พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. MR  0075539. OCLC  9308061 .
• ฮอร์มานเดอร์, แอล. (1983). การวิเคราะห์ตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วนเชิงเส้น I กรันเดิล. คณิตศาสตร์. วิสเซนชาฟท์. ฉบับที่ 256. สปริงเกอร์ดอย : 10.1007/978-3-642-96750-4 . ไอเอสบีเอ็น 3-540-12104-8MR 0717035​ ​.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• หว่อง, เยา-ชวน (1979). ปริภูมิชวาร์ตซ์ ปริภูมินิวเคลียร์ และผลคูณเทนเซอร์เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลกISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .

• GL Litvinov (2001) [1994], "รูปแบบทวิเชิงเส้นนิวเคลียร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press