ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตนูนปริมาตรผสมเป็นวิธีหนึ่งในการเชื่อมโยงจำนวนที่ไม่เป็นลบกับกลุ่มของทรงนูนในปริภูมิ จำนวนนี้ขึ้นอยู่กับขนาดและรูปร่างของทรงนูน และทิศทางสัมพัทธ์ของทรงนูนเหล่านั้นต่อกัน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ให้เป็นทรงนูนในและพิจารณาฟังก์ชัน ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

โดยที่แทนปริมาตรมิติ และอาร์กิวเมนต์คือผลรวมมินคอฟสกีของทรงนูนที่ปรับขนาดแล้วสามารถแสดงได้ว่าเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีดังนั้นจึงสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle {\text{เล่ม}}_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

โดยที่ฟังก์ชันมีความสมมาตร สำหรับฟังก์ชันดัชนีเฉพาะตัวหนึ่งสัมประสิทธิ์นั้นเรียกว่าปริมาตรผสมของ ฟังก์ชัน นั้น ${\displaystyle V}$${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$

• ปริมาตรผสมจะถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้:

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$;
2. ${\displaystyle V}$มีความสมมาตรในข้อโต้แย้ง
3. ${\displaystyle V}$เป็นแบบหลายเชิงเส้น: สำหรับ.${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$

• ปริมาตรผสมมีค่าไม่เป็นลบและเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในแต่ละตัวแปร: สำหรับ.${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$
• ความไม่เท่าเทียมกันของอเล็กซานดรอฟ–เฟนเชล ค้นพบโดยอเล็กซานเดอร์ ดานิโลวิช อเล็กซานดรอฟและเวอร์เนอร์ เฟนเชล :

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

อสมการทางเรขาคณิตจำนวนมาก เช่นอสมการบรุนน์-มินคอฟสกีสำหรับทรงนูน และอสมการแรกของมินคอฟสกีเป็นกรณีพิเศษของอสมการอเล็กซานดรอฟ-เฟนเชล

ให้เป็นทรงนูน และให้เป็นทรงกลมยุคลิดรัศมีหนึ่งหน่วย ปริมาตรผสม ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

เรียกว่า^{ปริพันธ์}ควอร์มาสลำดับที่jของ^{[ 1} ]${\displaystyle K}$

นิยามของปริมาตรผสมนำไปสู่สูตรของสไตเนอร์ (ตั้งชื่อตามยาคอบ สไตเนอร์ ):

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

ปริมาตรภายในลำดับที่ j ของคือการทำให้เป็นมาตรฐานที่แตกต่างกันของปริพันธ์ควอร์มาส ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j})=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\kappa _{n-j}t^{n-j}.}$

ปริมาตรของลูกบอลหน่วยมิติ n คือ เท่าใด${\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})}$${\displaystyle (n-j)}$

ทฤษฎีบทของ Hadwigerยืนยันว่าการประเมินค่า ทุกค่า บนวัตถุนูนในที่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งของเป็นการรวมเชิงเส้นของปริพันธ์ quermass (หรือเทียบเท่ากับปริมาตรภายใน) ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ปริมาตรที่แท้จริงลำดับที่ th ของเซตเว้าขนาดกะทัดรัดสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีทางเรขาคณิตเพิ่มเติมดังนี้: ${\displaystyle i}$${\displaystyle A\subseteq R^{n}}$

หากเลือกปริภูมิย่อยเชิงเส้นมิติ n ของ n โดยสุ่ม และฉายภาพตั้งฉาก ลงบนปริภูมิย่อยนี้เพื่อให้ได้n มิติค่าที่คาดหวังของปริมาตรมิติ n (แบบยุคลิด) จะเท่ากับn โดยมีค่าคงที่ประกอบ ${\displaystyle i}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \pi _{L}(A)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathrm {Vol} (\pi _{L}(A))}$${\displaystyle \mathrm {Vol} _{i}(A)}$

ในกรณีของเซตเว้า สามมิติที่มีปริมาตรสองเท่า ทฤษฎีบทของโคชีกล่าวว่า การฉายภาพที่คาดหวังไปยังระนาบสุ่มนั้นเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิว

ปริมาตรที่แท้จริงของลูกบอลหน่วยในเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดเมื่อกำหนดวัตถุนูนn มิติ ปริมาตรที่แท้จริงลำดับที่ของจะเป็นไปตามสูตร Cauchy-Kubota ^{[ 3 ]}ในที่นี้แทนปริมาตรมิติของลูกบอลหน่วยมิติ การอินทิเกรตจะทำโดยสัมพันธ์กับการวัดความน่าจะเป็น Haarบน ซึ่งเป็น Grassmannianของปริภูมิย่อยมิติในและแทนการฉายภาพเชิงตั้งฉากบน ${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{j}\left(B^{n}\right)={\frac {\kappa _{n}}{\kappa _{n-j}}}{\binom {n}{j}},\quad j=0,\ldots ,n.\\&\kappa _{m}=\operatorname {Vol} _{m}\left(B^{m}\right)={\frac {\pi ^{m/2}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}+1\right)}}\end{aligned}}}$$${\textstyle K}$${\textstyle j}$${\textstyle K}$$${\displaystyle V_{j}(K):={\frac {\kappa _{n}}{\kappa _{j}\kappa _{n-j}}}{\binom {n}{j}}\int _{\mathrm {G} (n,j)}V_{j}\left(\operatorname {proj} _{E}K\right)\mathrm {d} E}$$${\textstyle \kappa _{j}}$${\textstyle j}$${\textstyle j}$${\textstyle \mathrm {G} (n,j)}$${\textstyle j}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle \operatorname {proj} _{E}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow E}$${\textstyle E\in \mathrm {G} (n,j)}$

Burago, Yu.D. (2001) [1994], "ทฤษฎีปริมาตรผสม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press