ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันการ วัดค่าการฉายภาพหรือการวัดสเปกตรัมคือฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยบางส่วนของเซตคงที่ และค่าของฟังก์ชันนั้นเป็นการฉายภาพแบบสมมาตร บนปริภูมิฮิลเบิร์ต คง ที่^{[ 1 ]}การวัดค่าการฉายภาพ (PVM) มีลักษณะคล้ายกับการวัดค่าจริง ในเชิงรูปแบบ ยกเว้นว่าค่าของมันเป็นค่าการฉายภาพแบบสมมาตรแทนที่จะเป็นจำนวนจริง เช่นเดียวกับกรณีของการวัดทั่วไป เป็นไปได้ที่จะทำการอินทิเกรตฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนโดยสัมพันธ์กับ PVM ผลลัพธ์ของการอินทิเกรตดังกล่าวคือตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่กำหนด

มาตรวัดค่าการฉายภาพ (Projection-valued measures: PVM) ใช้ในการแสดงผลลัพธ์ในทฤษฎีสเปกตรัมเช่นทฤษฎีบทสเปกตรัม ที่สำคัญ สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองซึ่งในกรณีนี้ PVM บางครั้งเรียกว่า มาตรวัด สเปกตรัมแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันของ บอเรล สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองถูกสร้างขึ้นโดยใช้ปริพันธ์เทียบกับ PVM ในกลศาสตร์ควอนตัม PVM คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการวัดเชิงฉายภาพพวกมันถูกขยายความโดย มาตรวัดค่าตัวดำเนินการบวก ( Positive operator valued measures : POEM) ในความหมายเดียวกับที่สถานะผสมหรือเมทริกซ์ความหนาแน่น ขยาย ความ แนวคิดของสถานะบริสุทธิ์

ให้แทนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้และ ปริภูมิที่วัดได้ซึ่งประกอบด้วยเซตและพีชคณิตโบเรล σบนการวัดค่าการฉายภาพคือแผนที่จากไปยังเซตของตัวดำเนินการสมมาตรในขอบเขตบน ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle \pi (E)}$เป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$และโดยที่คือเซตว่างและคือตัวดำเนินการเอกลักษณ์${\displaystyle \pi (X)=I}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle I}$
• ถ้าin ไม่ทับซ้อนกัน แล้วสำหรับทุก,${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$${\displaystyle M}$${\displaystyle v\in H}$

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$สำหรับทุกคน${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

คุณสมบัติข้อที่สี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคุณสมบัติข้อแรกและข้อที่สาม^{[ 4 ]}คุณสมบัติข้อที่สองและข้อที่สี่แสดงให้เห็นว่าถ้าและแยกออกจากกัน กล่าวคือภาพและตั้งฉากซึ่งกันและกัน ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$${\displaystyle \pi (E_{1})}$${\displaystyle \pi (E_{2})}$

ให้และส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก ของมัน แทนภาพและ เคอร์เนลตามลำดับ ของถ้าเป็นปริภูมิย่อยปิดของแล้วสามารถเขียนได้เป็นการ แยกส่วนเชิงตั้งฉากและเป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์เฉพาะบน ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติทั้งสี่ประการ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}$${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$${\displaystyle \pi (E)}$${\displaystyle V_{E}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}$${\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$${\displaystyle V_{E}}$

สำหรับทุกๆและการวัดค่าการฉายภาพจะสร้างการวัดค่าเชิงซ้อนบนที่กำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$${\displaystyle E\in M}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

โดยมีการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดไม่เกิน[ ^{7 ] มัน} จะลดลงเหลือ การวัดค่าจริงเมื่อ ${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

และเป็นการวัดความน่าจะเป็นเมื่อเป็น เวก เตอร์ หน่วย${\displaystyle \xi }$

ตัวอย่าง ให้เป็น ปริภูมิการวัดแบบ σ-จำกัดและสำหรับทุกให้ ${\displaystyle (X,M,\mu )}$${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

เช่น การคูณด้วยฟังก์ชันตัวบ่งชี้ บนL ² ( X )จากนั้นกำหนดการวัดค่าการฉายภาพ^{[ 7 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้า, , และมีการวัดเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องซึ่งใช้ฟังก์ชันที่วัดได้และให้ค่าอินทิกรัล ${\displaystyle 1_{E}}$${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle E=(0,1)}$${\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mu _{\varphi ,\psi }}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\varphi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\varphi }}(x)\,dx}$

ถ้าπเป็นการวัดค่าการฉายภาพบนปริภูมิที่วัดได้ ( X , M ) แล้ว แผนที่

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

ขยายไปสู่แผนที่เชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันขั้นบันไดบนXอันที่จริง ตรวจสอบได้ง่ายว่าแผนที่นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน แผนที่นี้ขยายไปในลักษณะมาตรฐานไปยัง ฟังก์ชันที่วัดได้ที่มีค่าเชิงซ้อนและมีขอบเขตทั้งหมดบนXและเรามีสิ่งต่อไปนี้

ทฤษฎีบทนี้ถูกต้องสำหรับฟังก์ชันที่วัดได้แบบไม่จำกัดขอบเขตเช่นกันแต่ในกรณีนั้นจะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบไม่จำกัดขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$

ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้ให้ เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่ มีขอบเขต และเป็นสเปกตรัมของ ทฤษฎีบทสเปกตรัมกล่าวว่ามีการวัดค่าการฉายภาพที่ไม่ซ้ำกันซึ่งกำหนดบนเซตย่อยบอเรลโดยที่ และเรียกว่าการฉายภาพสเปกตรัมของ[ ^{3 ] [ 10 ] อิน}ทิกรัลขยายเป็นฟังก์ชันที่ไม่มีขอบเขตเมื่อสเปกตรัมของไม่มีขอบเขต^{[ 11 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \pi ^{A}}$${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$$${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}$$${\displaystyle \pi ^{A}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$

ทฤษฎีบทสเปกตรัมช่วยให้เราสามารถกำหนดแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันของบอเรลสำหรับฟังก์ชันที่วัดได้แบบบอเรลใดๆโดยการอินทิเกรตเทียบกับการวัดค่าการฉายภาพ: การสร้างที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับตัวดำเนินการปกติและฟังก์ชันที่วัดได้ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \pi ^{A}}$$${\displaystyle g(A):=\int _{\mathbb {R} }g(\lambda )\,d\pi ^{A}(\lambda ).}$$${\displaystyle g:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

ขั้นแรก เราจะยกตัวอย่างทั่วไปของการวัดค่าการฉายภาพโดยอาศัยปริพันธ์โดยตรงสมมติว่า ( X , M , μ) เป็นปริภูมิการวัด และให้ { H _x } _{x ∈ X}เป็นตระกูลของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ซึ่งสามารถวัดได้ด้วย μ สำหรับทุก E ∈ Mให้π ( E ) เป็นตัวดำเนินการคูณด้วย 1 _Eบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

ดังนั้นπจึงเป็นการวัดค่าการฉายภาพบน ( X , M )

สมมติว่าπและ ρ เป็นมาตรวัดที่มีค่าอยู่ในการฉายภาพบน ( X , M )โดยมีค่าอยู่ในการฉายภาพของHและK πและ ρ จะสมมูลกันแบบเอกภาพก็ต่อเมื่อมีตัวดำเนินการเอกภาพU : H → Kที่ทำให้

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

สำหรับทุก E ∈ M

ทฤษฎีบท . ถ้า ( X , M ) เป็นปริภูมิบอเรลมาตรฐานแล้วสำหรับมาตรวัดπ ที่มีค่าเป็นค่าการฉาย บน ( X , M ) ทุกๆ ตัว ซึ่งมีค่าอยู่ในค่าการฉายของปริภูมิ ฮิลเบิร์ตที่ แยกได้จะมีมาตรวัดบอเรล μ และตระกูลของปริภูมิฮิลเบิร์ต { H _x } _{x ∈ X} ที่วัดได้ด้วย μ เช่นนั้นπจะสมมูลแบบเอกภาพกับการคูณด้วย 1 _Eบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

ชั้นการวัดของ μ และชั้นสมมูลของการวัดของฟังก์ชันความหลากหลายx → dim H _xอธิบายลักษณะการวัดที่มีค่าการฉายภาพได้อย่างสมบูรณ์จนถึงความสมมูลแบบเอกภาพ

การวัดค่าการฉายภาพπจะเป็นเอกพันธุ์ที่มีความหลากหลายnก็ต่อเมื่อฟังก์ชันความหลากหลายมีค่าคงที่n เท่านั้น เห็นได้ชัดว่า

ทฤษฎีบท : มาตรวัดค่าการฉายภาพใดๆπที่รับค่าในการฉายภาพของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ จะเป็นผลรวมโดยตรงเชิงตั้งฉากของมาตรวัดค่าการฉายภาพเอกพันธุ์:

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

ที่ไหน

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

และ

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม เมื่อกำหนดการวัดค่าการฉายภาพของปริภูมิที่วัดได้ไปยังปริภูมิของเอนโดมอร์ฟิซึมต่อเนื่องบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$

• พื้นที่เชิงฉาย ของพื้นที่ฮิลเบิร์ตถูกตีความว่าเป็นเซตของสถานะที่เป็นไปได้ ( ปกติ ) ของระบบควอนตัม^{[ 12 ]}${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$
• พื้นที่ที่วัดได้คือพื้นที่ค่าสำหรับคุณสมบัติเชิงควอนตัมบางอย่างของระบบ (หรือ "สิ่งที่สังเกตได้")${\displaystyle X}$
• มาตรวัดค่าการฉายภาพแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสังเกตได้จะมีค่าต่างๆ กัน${\displaystyle \pi }$

ตัวเลือกที่นิยมใช้คือเส้นจำนวนจริง แต่ก็อาจเป็นอย่างอื่นได้เช่นกัน ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(สำหรับตำแหน่งหรือโมเมนตัมในสามมิติ)
• ชุดข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง (สำหรับโมเมนตัมเชิงมุม พลังงานของสถานะผูกพัน ฯลฯ)
• เซต 2 จุด "จริง" และ "เท็จ" สำหรับค่าความจริงของประพจน์ใดๆ เกี่ยวกับ${\displaystyle \varphi }$

ให้เป็นเซตย่อยที่วัดได้ของและเป็นสถานะควอนตัมเวกเตอร์ แบบนอร์มาไลซ์ ในโดยที่นอร์มฮิลเบิร์ตของมันเป็นเอกภาพ ความน่าจะเป็นที่ค่าที่สังเกตได้จะมีค่าในเมื่อระบบอยู่ในสถานะคือ ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \|\varphi \|=1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi \mid \pi (E)\mid \varphi \rangle .}$

เราสามารถวิเคราะห์สิ่งนี้ได้สองวิธี วิธีแรก สำหรับแต่ละค่าคงที่การฉายภาพคือตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองซึ่ง ปริภูมิ ไอเกน 1 ของตัวดำเนินการนี้คือสถานะที่ค่าของตัวแปรสังเกตได้อยู่ในปริภูมิไอเกน 1 เสมอและปริภูมิไอเกน 0 ของตัวดำเนินการนี้คือสถานะที่ค่าของตัวแปรสังเกตได้ไม่เคยอยู่ในปริภูมิไอเกน 1 เลย ${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi (E)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E}$

ประการที่สอง สำหรับแต่ละสถานะเวกเตอร์มาตรฐานที่กำหนดไว้การเชื่อมโยง ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }$

เป็นการวัดความน่าจะเป็นในการแปลงค่าของสิ่งที่สังเกตได้ให้เป็นตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$

การวัดที่สามารถทำได้โดยใช้การวัดที่มีค่าเป็นการฉายภาพเรียกว่าการวัดเชิงฉายภาพ (projective measurement ) ${\displaystyle \pi }$

ถ้าเป็นเส้นจำนวนจริง จะมีตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองซึ่งกำหนดบน โดย ที่เกี่ยวข้อง กับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

ซึ่งลดลงเหลือ

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

ถ้าส่วนรองรับของเป็นเซตย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X}$

ตัวดำเนินการข้างต้นเรียกว่าตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งเกี่ยวข้องกับการวัดสเปกตรัม ${\displaystyle A}$

แนวคิดของการวัดค่าแบบฉายภาพ (projection-valued measure) ได้รับการขยายความโดยการ วัดค่าแบบตัวดำเนินการเชิงบวก ( Positive Operator-valued measure : POEM) โดยที่ความจำเป็นสำหรับความเป็นตั้งฉากที่แฝงอยู่ในตัวดำเนินการฉายภาพถูกแทนที่ด้วยแนวคิดของเซตของตัวดำเนินการที่เป็น "การแบ่งส่วนของเอกภาพ" ที่ไม่ตั้งฉากกัน กล่าวคือ เซตของตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนกึ่งบวก ที่รวมกันได้เอกลักษณ์ การขยายความนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม

• ทฤษฎีบทสเปกตรัม
• ทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการกระชับ
• ทฤษฎีสเปกตรัมของพีชคณิต C* ปกติ