ในทางคณิตศาสตร์พหุนามไซโคลโทมิกที่ n สำหรับจำนวนเต็มบวก ใดๆ คือพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบ ได้เพียงพหุนามเดียว ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวหารของและไม่ใช่ตัวหารของสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆรากของพหุนามนี้คือรากปฐมภูมิที่ n ของเอกภาพทั้งหมดโดยที่ครอบคลุมจำนวนเต็มบวกจนถึงและ เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์กับ(โดยที่คือหน่วยจินตนาการ ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง พหุนามไซโคลโทมิกที่ n เท่ากับ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}-1}$${\displaystyle x^{k}-1}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(xe^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)}$

อาจนิยามได้อีกอย่างว่า คือพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นพหุนามขั้นต่ำสุดเหนือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ของ รากที่nดั้งเดิมใดๆ ของเอกภาพ ( เป็นตัวอย่างของรากดังกล่าว) ${\displaystyle e^{2i\pi /n}}$

ความสัมพันธ์ที่สำคัญที่เชื่อมโยงพหุนามไซโคลโทมิกและรากปฐมภูมิของเอกภาพคือ

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,}$

แสดงให้เห็นว่าเป็นรากของก็ต่อเมื่อเป็นรากดั้งเดิมลำดับที่ - ของเอกภาพสำหรับบางค่าที่หารลงตัว^{[ 1 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x^{n}-1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

ถ้าnเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.}$

ถ้าn = 2pโดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 แล้ว

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.}$

สำหรับnไม่เกิน 30 พหุนามไซโคลโทมิกคือ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}}$

กรณีของพหุนามไซโคลโทมิกลำดับที่ 105 นั้นน่าสนใจ เพราะ 105 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน 3 ตัว (3×5×7) และพหุนามนี้เป็นพหุนามตัวแรกที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ 1, 0 หรือ −1: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)={}&x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&{}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&{}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

พหุนามไซโคลโทมิกเป็นพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกในฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ยกเว้นกรณีที่nเท่ากับ 1 หรือ 2 พหุนามเหล่านี้จะเป็นพาลินโดรมที่มีดีกรีเป็นเลขคู่

ระดับของหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวน รากปฐมภูมิลำดับที่ nของเอกภาพ คือโดยที่คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \varphi }$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ที่มีดีกรีในวงแหวนเป็นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดาเนื่องจากGauss ^{[ 4 ]} ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่เลือก ค่าของดีกรีหรือความไม่สามารถแยกตัวประกอบ ได้จะเป็นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดา กรณีของจำนวนเฉพาะnนั้นพิสูจน์ได้ง่ายกว่ากรณีทั่วไป ต้องขอบคุณเกณฑ์ของ Eisenstein ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

ความสัมพันธ์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับพหุนามไซโคลโทมิกคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}}$

ซึ่งหมายความว่า รากที่ nของเอกภาพแต่ละตัวเป็น รากที่ d ดั้งเดิม ของเอกภาพสำหรับd ที่ไม่ซ้ำกันซึ่ง หารnลงตัว

สูตรการผกผันของโมเบียสช่วยให้สามารถแสดงออกมาในรูปเศษส่วนตรรกยะได้อย่างชัดเจน: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

ฟังก์ชันโมเบียส อยู่ที่ไหน${\displaystyle \mu }$

นี่เป็นสูตรเวียนเกิดสำหรับพหุนามไซโคลโทมิกซึ่งสามารถคำนวณได้โดยการหารด้วยพหุนามไซโคลโทมิกสำหรับตัวหารแท้dที่หารn ลงตัว โดยเริ่มจาก: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$${\displaystyle x^{n}-1}$${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}.}$

นี่คืออัลกอริธึมสำหรับการคำนวณค่าใดๆ ก็ได้โดยมีเงื่อนไขว่าต้อง สามารถ แยกตัวประกอบจำนวนเต็มและหารพหุนาม ได้ ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์หลาย ระบบ เช่นSageMath , Maple , MathematicaและPARI/GPมีฟังก์ชันในตัวสำหรับการคำนวณพหุนามไซโคลโทมิก ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ถ้าn = pเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}x^{k}\;.}$

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากกว่าหนึ่งแล้ว

${\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x)\;.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าn = 2pเป็นสองเท่าของจำนวนเฉพาะคี่แล้ว (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น)

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}\;.}$

ถ้าn = p ^mเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ (โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะ) แล้ว

${\displaystyle \Phi _{p^{m}}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}\;.}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าn = p ^m rโดยที่rเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpแล้ว

${\displaystyle \Phi _{p^{m}r}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}})\;.}$

สูตรเหล่านี้สามารถนำไปใช้ซ้ำ ๆ เพื่อให้ได้นิพจน์ง่าย ๆ สำหรับพหุนามไซโคลโทมิกใด ๆในรูปของพหุนามไซโคลโทมิกที่มี ดัชนี ไม่ขึ้นกับกำลังสอง : ถ้าqเป็นผลคูณของตัวหารเฉพาะของn ( ราก ของมัน ) แล้ว^{[ 5 ]}${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q})\;.}$

วิธีนี้ทำให้สามารถกำหนดสูตรสำหรับ พหุนามไซโคลโทมิกตัวที่ n ได้ เมื่อnมีตัวประกอบเฉพาะคี่ไม่เกินหนึ่งตัว: ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะคี่ และ⁠ ⁠${\displaystyle \ell }$และmเป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

${\displaystyle \Phi _{2^{m}}(x)=x^{2^{m-1}}+1\;,}$

${\displaystyle \Phi _{p^{m}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{m-1}}\;,}$

${\displaystyle \Phi _{2^{\ell }p^{m}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{\ell -1}p^{m-1}}\;.}$

สำหรับค่าn อื่นๆ การคำนวณพหุ นามไซโคลโทมิกที่ nจะลดลงในทำนองเดียวกันกับการคำนวณ ที่qเป็นผลคูณของตัวหารเฉพาะคี่ที่แตกต่างกันของnในการจัดการกับกรณีนี้ พบว่าสำหรับp ที่ ^เป็นจำนวนเฉพาะและไม่หารn ลงตัว [ ^{6 ]}${\displaystyle \Phi _{q}(x),}$

${\displaystyle \Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x)\;.}$

ปัญหาของการจำกัดขนาดของสัมประสิทธิ์ของพหุนามไซโคลโทมิกเป็นหัวข้อของเอกสารวิจัยหลายฉบับ^{[ 7 ]}

ถ้าnมีตัวประกอบเฉพาะคี่ที่แตกต่างกันไม่เกินสองตัว Migotti แสดงให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์ของทั้งหมดอยู่ในเซต {1, −1, 0} ^{[ 8 ]}${\displaystyle \Phi _{n}}$

พหุนามไซโคลโทมิกตัวแรกสำหรับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะคี่สามตัวที่แตกต่างกันจะมีสัมประสิทธิ์เป็น −2 (ดูด้านบน ) ส่วนกลับนั้นไม่เป็นจริง: จะมีสัมประสิทธิ์เฉพาะใน {1, −1, 0} เท่านั้น ${\displaystyle \Phi _{105}(x);}$${\displaystyle \Phi _{231}(x)=\Phi _{3\times 7\times 11}(x)}$

ถ้าnเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะคี่ที่แตกต่างกันมากขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์อาจเพิ่มขึ้นเป็นค่าสูงมาก ตัวอย่างเช่นมีค่าสัมประสิทธิ์ตั้งแต่ -22 ถึง 23 และnที่เล็กที่สุดที่มีตัวประกอบเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน 6 ตัว มีค่าสัมประสิทธิ์ที่มีขนาดสูงถึง 532 ${\displaystyle \Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)}$${\displaystyle \Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)}$

ให้A ( n ) แทน ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของสัมประสิทธิ์ของ เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับk ที่เป็นบวกใดๆ จำนวนของnจนถึงxที่มีA ( n ) > n ^kนั้นมีอย่างน้อยc ( k ) ⋅xสำหรับc ( k ) ที่เป็นบวก ซึ่งขึ้นอยู่กับkและx ที่ มีขนาดใหญ่พอสมควร ในทางกลับกัน สำหรับฟังก์ชัน ψ( n ) ใดๆ ที่มีแนวโน้มเข้าสู่อินฟินิตี้กับnเรามีA ( n ) ที่มีขอบเขตบนโดยn ^{ψ( n ) สำหรับ} nเกือบทั้งหมด^{[ 9 ]}${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

การรวมกันของทฤษฎีบทของ Bateman และ Vaughan ระบุว่า^{[ 7 ] : 10} ในอีกด้านหนึ่ง สำหรับทุกๆเรามี ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle A(n)<e^{\left(n^{(\log 2+\varepsilon )/(\log \log n)}\right)}}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมดและในทางกลับกัน เรามี ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A(n)>e^{\left(n^{(\log 2)/(\log \log n)}\right)}}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกจำนวนอนันต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายความว่าพหุนามเอกตัวแปร (โดยเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มบวกจำนวนอนันต์) สามารถมีตัวประกอบ (เช่น) ที่มีสัมประสิทธิ์ใหญ่กว่าสัมประสิทธิ์เดิมในระดับซูเปอร์พหุนาม ซึ่งไม่แตกต่างจากขอบเขตทั่วไปของ Landau-Mignotteมาก นัก${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

ให้nเป็นจำนวนคี่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและมากกว่า 3 แล้ว: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)}$

สำหรับพหุนามบางตัวA _n ( z ) และB _n ( z ) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มA _n ( z ) มีดีกรีφ ( n )/2 และB _n ( z ) มีดีกรีφ ( n )/2 − 2 ยิ่งไปกว่านั้นA _n ( z ) เป็นพาลินโดรมเมื่อดีกรีเป็นเลขคู่ ถ้าดีกรีเป็นเลขคี่จะเป็นแอนติพาลินโดรม ในทำนองเดียวกันB _n ( z ) เป็นพาลินโดรม เว้นแต่ว่าnเป็นจำนวนประกอบและn ≡ 3 (mod 4) ในกรณีนั้นจะเป็นแอนติพาลินโดร ม

กรณีแรกๆ คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}}$

ให้nเป็นจำนวนคี่ ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และมากกว่า 3 แล้ว^{[ 11 ]}

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)}$

สำหรับพหุนามบางตัวU _n ( z ) และV _n ( z ) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยที่U _n ( z ) มีดีกรีφ ( n )/2 และV _n ( z ) มีดีกรีφ ( n )/2 − 1 สามารถเขียนได้ดังนี้เช่นกัน

${\displaystyle \Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).}$

ถ้าnเป็นจำนวนคู่ ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และมากกว่า 2 (ซึ่งจะทำให้n /2 เป็นจำนวนคี่)

${\displaystyle \Phi _{\frac {n}{2}}(-z^{2})=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)}$

สำหรับC _n ( z ) และD _n ( z ) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มC _n ( z ) ที่มีดีกรีφ ( n ) และD _n ( z ) ที่มีดีกรีφ ( n ) − 1 ทั้ง C _n ( z ) และD _n ( z ) เป็นพาลินโดรม

กรณีแรกๆ มีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^{2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}}$

ข้อสันนิษฐาน ของซิสเตอร์ไบเตอร์เกี่ยวข้องกับขนาดสูงสุด (ในค่าสัมบูรณ์) ของสัมประสิทธิ์ของพหุนามไซโคลโทมิกไตรภาคโดยที่เป็นจำนวนเฉพาะคี่สามตัว^{[ 12 ]}${\displaystyle A(pqr)}$${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$${\displaystyle p\leq q\leq r}$

บนฟิลด์จำกัดที่มีจำนวนเฉพาะpของสมาชิก สำหรับจำนวนเต็มn ใดๆ ที่ไม่ใช่พหุคูณของpพหุนามไซโคลโทมิกจะแยกตัวประกอบเป็น พหุนามที่ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ที่มีดีกรีdโดยที่คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์และdคือลำดับการคูณของpมอดูลnโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามนี้ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อpเป็นรากปฐมภูมิมอดูล nนั่นคือpไม่หารnและลำดับการคูณมอดูลn ของมัน คือดีกรีของ^{[ 13 ]}${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{d}}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

ผลลัพธ์เหล่านี้ยังเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มp -adic ด้วย เนื่องจากทฤษฎีบทของเฮนเซลอนุญาตให้ยกการแยกตัวประกอบบนฟิลด์ที่มี สมาชิก pตัว ไปเป็นการแยกตัวประกอบบนจำนวนเต็ม p -adic ได้

ถ้าxมีค่าเป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วสำหรับทุกn ≥ 3 (ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ารากของพหุนามไซโคลโทมิกทั้งหมดเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง สำหรับn ≥ 3 ) ${\displaystyle \Phi _{n}(x)>0}$

สำหรับการศึกษาค่าที่พหุนามไซโคลโทมิกอาจมีเมื่อ กำหนดค่าจำนวนเต็มให้กับ x นั้นพิจารณาเฉพาะกรณีn ≥ 3ก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากกรณีn = 1และ n = 2นั้นเป็นกรณีที่ไม่สำคัญ (มีและ) ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$${\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}$

สำหรับn ≥ 2จะได้ว่า

${\displaystyle \Phi _{n}(0)=1,}$

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=1}$ถ้าnไม่ใช่กำลังของจำนวนเฉพาะ

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=p}$ถ้าเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะที่มีk ≥ 1${\displaystyle n=p^{k}}$

ค่าที่พหุนามไซโคลโทมิกอาจมีสำหรับค่าจำนวนเต็มx อื่นๆ นั้นมีความสัมพันธ์อย่างมากกับ ลำดับการคูณมอ ดูลของจำนวนเฉพาะ ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น สำหรับจำนวนเฉพาะpและจำนวนเต็มbที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpลำดับการคูณของbมอดูโลpคือจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดnที่ทำให้pเป็นตัวหารของ n สำหรับb > 1ลำดับการคูณของbมอดูโลpยังเป็นคาบที่สั้นที่สุดของการแสดง1/ pในฐานตัวเลขb ด้วย (ดู จำนวน เฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน ; ซึ่งอธิบายถึงการเลือกใช้สัญลักษณ์) ${\displaystyle b^{n}-1.}$

นิยามของลำดับการคูณบ่งชี้ว่า ถ้าnคือลำดับการคูณของbมอดูลpแล้วpจะเป็นตัวหารของn ส่วนกลับนั้นไม่เป็นจริง แต่เราได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

ถ้าn > 0เป็นจำนวนเต็มบวก และb > 1เป็นจำนวนเต็ม แล้ว (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)

${\displaystyle \Phi _{n}(b)=2^{k}gh,}$

ที่ไหน

• kเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และมีค่าเท่ากับ 0 เสมอเมื่อ bเป็นจำนวนคู่ (อันที่จริง ถ้า nไม่ใช่ทั้ง 1 หรือ 2 แล้ว kจะมีค่าเป็น 0 หรือ 1 นอกจากนี้ ถ้า nไม่ใช่กำลังของ 2แล้ว kจะมีค่าเท่ากับ 0 เสมอ)
• gคือ 1 หรือตัวประกอบเฉพาะคี่ที่ใหญ่ที่สุดของ n
• hเป็นจำนวนคี่ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ nและตัวประกอบเฉพาะ ของ h คือจำนวนเฉพาะคี่ pที่ทำให้ nเป็นอันดับการคูณของ bมอดูล p

นั่นหมายความว่า ถ้าpเป็นตัวหารเฉพาะคี่ของn แล้วnจะเป็นตัวหารของp − 1หรือpจะเป็นตัวหารของnในกรณีหลัง n จะหาร n ไม่ลงตัว${\displaystyle \Phi _{n}(b),}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

ทฤษฎีบทของซิกมอนดีบ่งชี้ว่ากรณีเดียวที่ b > 1และh = 1คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}}$

จากการแยกตัวประกอบข้างต้น จะได้ว่าตัวประกอบเฉพาะคี่ของ

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}}$

คือจำนวนเฉพาะคี่pที่ทำให้nเป็นอันดับการคูณของbมอดูล pเศษส่วนนี้จะเป็นจำนวนคู่ได้ก็ต่อเมื่อbเป็นจำนวนคี่ ในกรณีนี้ อันดับการคูณของbมอดูล2จะเท่ากับ1เสมอ

มีคู่( n , b ) จำนวนมาก ที่มีb > 1ซึ่งทำให้ n เป็นจำนวนเฉพาะ อันที่จริงสมมติฐานของบุนยาคอฟสกีบ่งชี้ว่า สำหรับทุกnจะมีb > 1ที่เป็น จำนวนเฉพาะ อยู่เป็นอนันต์ ดู (ลำดับA085398ในOEIS ) สำหรับรายการของb > 1 ที่เล็กที่สุด ซึ่งทำให้ n เป็นจำนวนเฉพาะ ( b > 1 ที่เล็กที่สุด ซึ่งทำให้ n เป็นจำนวนเฉพาะมีค่าประมาณ n = 2 โดยที่ n คือค่าคงที่ของออยเลอร์-มาสเชโรนี และ τ คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์) ดูเพิ่มเติม (ลำดับ A206864 ใน OEIS) สำหรับรายการของจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดในรูปแบบ n > 2และb > 1 และโดยทั่วไป ( ลำดับA206942ในOEIS )สำหรับจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดในรูปแบบนี้ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \gamma \cdot \varphi (n)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$

การใช้, สามารถให้การพิสูจน์เบื้องต้นสำหรับจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ 1 modulo n ได้อย่างไม่ ^{จำกัด [} 14 ^{] ซึ่ง}เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต ${\displaystyle \Phi _{n}}$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น ที่ มีสัมประสิทธิ์คงที่ซึ่งเป็นคาบนั้น คือสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลัง ของ ฟังก์ชันตรรกยะที่มีตัวส่วนเป็นผลคูณของพหุนามไซโคลโทมิก

ในทฤษฎีฟังก์ชันก่อกำเนิด เชิงการจัด เรียง ตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะจะกำหนดความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นสำหรับสัมประสิทธิ์อนุกรมกำลังของฟังก์ชันนั้น ตัวอย่างเช่นลำดับฟิโบนาชชีมีฟังก์ชันก่อกำเนิดคือ

${\displaystyle F(x)=F_{1}x+F_{2}x^{2}+F_{3}x^{3}+\cdots ={\frac {x}{1-x-x^{2}}},}$

และการเทียบสัมประสิทธิ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้ค่า สำหรับ${\displaystyle F(x)(1-x-x^{2})=x}$${\displaystyle F_{n}-F_{n-1}-F_{n-2}=0}$${\displaystyle n\geq 2}$

ฟังก์ชันตรรกยะใดๆ ที่ตัวส่วนเป็นตัวหารของจะมีลำดับสัมประสิทธิ์เวียนเกิดที่เป็นคาบ โดยมีคาบไม่เกินnตัวอย่างเช่น${\displaystyle x^{n}-1}$

${\displaystyle P(x)=-{\frac {1+2x}{\Phi _{6}(x)}}={\frac {1+2x}{1-x+x^{2}}}=\sum _{n\geq 0}P_{n}x^{n}=1+3x+2x^{2}-x^{3}-3x^{4}-2x^{5}+x^{6}+3x^{7}+2x^{8}+\cdots }$

มีสัมประสิทธิ์ที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับโดยเริ่มจากแต่ดังนั้นเราอาจเขียนได้ว่า${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}+P_{n-2}=0}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle P_{0}=1,P_{1}=3}$${\displaystyle 1-x^{6}=\Phi _{6}(x)\Phi _{3}(x)\Phi _{2}(x)\Phi _{1}(x)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {(1+2x)\Phi _{3}(x)\Phi _{2}(x)\Phi _{1}(x)}{1-x^{6}}}={\frac {1+3x+2x^{2}-x^{3}-3x^{4}-2x^{5}}{1-x^{6}}},}$

ซึ่งหมายความว่าสำหรับและลำดับนั้นมีคาบ 6 โดยมีค่าเริ่มต้นที่กำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ ${\displaystyle P_{n}-P_{n-6}=0}$${\displaystyle n\geq 6}$

• สนามไซโคลโทมิก
• การแยกตัวประกอบแบบออริเฟยเลียน
• รากแห่งความเป็นหนึ่งเดียว

หนังสือDisquisitiones Arithmeticae [ การสืบสวนทางคณิตศาสตร์ ] ของเกาส์ได้รับการแปลจากภาษาละตินเป็นภาษาฝรั่งเศส เยอรมัน และอังกฤษ ฉบับภาษาเยอรมันประกอบด้วยบทความทั้งหมดของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน ได้แก่ การพิสูจน์ความสัมพันธ์แบบกำลังสอง การกำหนดเครื่องหมายของผลรวมเกาส์ การสืบสวนความสัมพันธ์แบบกำลังสอง และบันทึกที่ไม่เคยตีพิมพ์มาก่อน

• เกาส์, คาร์ล ฟรีดริช (1801), Disquisitiones Arithmeticae (ในภาษาลาติน), ไลพ์ซิก: Gerh เฟลสเชอร์
• Gauss, Carl Friedrich (1807) [1801], Recherches Arithmétiques (ในภาษาฝรั่งเศส) แปลโดย Poullet-Delisle, A.-C.-M., Paris: Courcier
• Gauss, Carl Friedrich (1889) [1801], Unterschungen über höhere Arithmetik ของ Carl Friedrich Gauss (ในภาษาเยอรมัน) แปลโดย Maser, H., Berlin: Springer; พิมพ์ซ้ำปี 1965, นิวยอร์ก: เชลซี, ISBN 0-8284-0191-8
• Gauss, Carl Friedrich (1966) [1801], Disquisitiones Arithmeticae , แปลโดย Clarke, Arthur A., ​​New Haven: Yale, doi : 10.12987/9780300194258 , ISBN 978-0-300-09473-2; ฉบับแก้ไขเพิ่มเติม พ.ศ. 2529 นิวยอร์ก: สปริงเกอร์, doi : 10.1007/978-1-4939-7560-0 , ISBN 978-0-387-96254-2
• Lemmermeyer, Franz (2000), กฎหมายการแลกเปลี่ยน: จากออยเลอร์ถึงไอเซนสไตน์ , เบอร์ลิน: สปริงเกอร์, ดอย : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 978-3-642-08628-1

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "พหุนามไซโคลโทมิก" , MathWorld
• "พหุนามไซโคลโทมิก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ลำดับ OEIS A013595 (สามเหลี่ยมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามไซโคลโทมิก Phi_n(x) (เลขชี้กำลังเรียงจากน้อยไปมาก))
• ลำดับ OEIS A013594 (พหุนามไซโคลโทมิกอันดับต่ำสุดที่มี n หรือ −n เป็นสัมประสิทธิ์)