สมการของเชบีเชฟ เป็น สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

${\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0,}$

โดยที่pเป็นค่าคงที่จริง (หรือเชิงซ้อน) สมการนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียปาฟนูตี เชบิเชฟคำตอบสามารถหาได้จากอนุกรมกำลัง :

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},}$

โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle a_{n+2}={(np)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}$

อนุกรมลู่เข้าสำหรับ(หมายเหตุxอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน) ดังที่เห็นได้จากการใช้การทดสอบอัตราส่วนกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ความสัมพันธ์เวียนเกิดนี้สามารถเริ่มต้นด้วยค่าa ₀และa ₁ ใดๆ ก็ได้ ซึ่งนำไปสู่ปริภูมิสองมิติของคำตอบที่เกิดขึ้นจากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง ตัวเลือกมาตรฐานมีดังนี้: ${\displaystyle |x|<1}$

a ₀ = 1 ; a ₁ = 0 ซึ่งนำไปสู่คำตอบ

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }$

และ

a ₀ = 0 ; a ₁ = 1 ซึ่งนำไปสู่คำตอบ

${\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}$

คำตอบทั่วไปคือการรวมเชิงเส้นใดๆ ของทั้งสองสิ่งนี้

เมื่อpเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งในสองฟังก์ชันนี้จะมีอนุกรมสิ้นสุดหลังจากจำนวนพจน์ที่จำกัด: ฟังก์ชันFจะสิ้นสุดเมื่อpเป็นจำนวนคู่ และฟังก์ชันGจะสิ้นสุดเมื่อpเป็นจำนวนคี่ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นพหุนามดีกรีpและเป็นสัดส่วนกับพหุนามเชบิเชฟชนิดที่หนึ่ง

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,}$ถ้าpเป็นจำนวนคู่

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,}$ถ้าpเป็นจำนวนคี่

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากสมการเชบิเชฟบนเว็บไซต์ PlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License